三角形重心性质的向量表示及其推广
三角形各心含义性质向量表示
性质：重心分中线所成比为2:1 (可作为判断方
法)
uuur uuur uuur GA GB GC
0
uuur PG
1
uuur (PA
uuur PB
uuur PC)
G为三角形重心
3
uuur uuur uuur uuur
OP OA ( AB AC)
P轨迹通过三角形重心
C
MP
A' B
G
A
B
A
C
O
三.“垂心”的向量表示 垂心含义：三条高的交点
PA PB PB PC PC PA
P为三角形垂心
uuur OP
uuur OA
uuur uuurAB
uuur uuurAC
AB
cos B
AC
cos
C
P轨迹通过三角形垂心
(0， )
C
A
E
C
B
P
M H P
A
F
B
O
四.“内心”的向量表示
内心含义：三角形内切圆的圆心
性质：（1）内心到三条边距离相等
（2）三个角的角平分线交点为内心
aGA bGB cGC 0
uuur OP
uuur
OA
uuur uAuBur
uuur uAuC外心”的向量表示
外心含义：三角形外接圆的圆心 性质：（1）三条中垂线交点
（2）外心到三角形三个顶点的距离相等
GA GB GC
2
2
2
GA GB GC
三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1 ．O 是 ABC 的重心OAOB OC0 ;SB OCSAOCSAOB1 S AB COA OB OC 0 ;若 O 是 ABC的重心，则3故 u u uru u uru u ur u u urG 为 ABC 的重心 .PG1( PAPBPC )32 ．O 是 ABC的垂心OA OB OB OC OCOA ;若 O 是ABC(非直角三角形 ) 的垂心，则SBOC ：SAOC ：SAOBtan A ： ：tan B tan C故 tan A OAtan BOBtan C OC 03 ．O 是ABC的外心| OA | | OB | | OC | (或 OA222OBOC )：S：SAOBsin：：AOBsin 2A : sin 2B : sin 2C若 O 是 ABC 的外心则 SBOCAOCBOC sinAOC sin故 sin 2A OAsin 2BOBsin 2C OC4 ． O 是内心OA( AB AC ) OB( BABC) OC( CACB) 0ABC的充要条件是| AB | AC | BA | | BC | | CA|| CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB ,BC ,CA 的单位向量为 e 1,e 2, e3，则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 )OC (e 2 e 3 ) 0， O 是ABC 内心 的充 要条 件也 可以是aOAbOBcOC。
若 O 是 ABC 的 内心 ，则S BOC ： S AOC ： SAOBa ：b ： c故aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC0;uuur uuur uuur uuur uuur uuur r P 是 ABC 的内心 ; e 1A| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0e 2uuur uuur向量 ( AB AC)( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是BAC 的角平BCuuur uuur| AB | | AC |分线所在直线 ) ；P( 一) 将平面向量与三角形内心结合考查例 1 ． O 是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C 是 平面上 不 共 线的 三个 点 ， 动 点 P满 足OP OA(ABAC) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ）（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D ）垂心解析：因为AB uuur uuuruuure1和 e2，又是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为ABOP OA AP ，则原式可化为AP(e1e2 ) ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ，那么在ABC 中， AP 平分BAC ，则知选 B.(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 ．H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA点H是△ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0HB AC 0HB AC ,同理 HC AB ， HA BC .故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例 3.( 湖南 )P是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则P是△ABC的（D）A ．外心B．内心C．重心 D ．垂心解析 :由PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 .即PB (PA PC)0,即PB CA 0则 PB CA,同理 PA BC , PC AB所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 ．G 是△ABC 所在平面内一点，GA GB GC =0点G是△ABC的重心 .证明作图如右，图中 GB GC GE连结 BE 和 CE，则 CE=GB ，BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 .将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得 GA EG =0GA GE2GD ，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例 5 ．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心PG1PC ) .(PA PB3证明PG PA AG PB BG PC CG3PG(AG BG CG ) ( PA PB PC )∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC =0AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC) .（反之亦然（证略））3uuur uuur uuur r例 6 若 O 为ABC 内一点，OA OB OC 0 ，则O是ABC的（）A ．内心B．外心C．垂心 D ．重心uuur uuur uuur r uuur uuur uuur解析：由 OA OB OC0 得 OB OC OA ，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则uuur uuur uuur uuur1 uuur2 OE ，同理可证其它两边上的这个性OB OC OD ，由平行四边形性质知OE OD ， OA2质，所以是重心，选 D 。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1.0是的重心；若0是的重心，则故；为的重心.2.0是的垂心；若0是（非直角三角形）的垂心，则故3.0是的外心（或）若0是的外心则故4. 0是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才0是内心的充要条件可以写成，0是内心的充要条件也可以是。
若0是的内心，则故；是的内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；xx 例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P 点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，贝卩知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，点H是厶ABC的垂心.由,同理，.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.（xx）P 是厶ABC所在平面上一点，若，则P是厶ABCF（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析: 由. 即贝S所以P为的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，=0点G是厶ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE贝S CE=GB BE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0,故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心.证明••*是厶ABC的重心/• =0=0,即由此可得. （反之亦然（证略））例6 若为内一点, ,则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由得，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，贝卩，由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故=++,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=.证明：+=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1、O 是ABC ∆的垂心⇔∙=∙=∙若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故tan tan tan =++C B A2、H 是面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心图1A1、O是ABC∆的内心的充要条件是=⎫⎛∙=⎫⎛∙=⎫⎛∙OCOBOA引进单位向量，使条件变得更简洁。
高考专题之三角形四心的向量性质
高考专题之三角形“四心”的向量性质四心的概念（1）重心：中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心：高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A BC ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若G A G B G C ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D EF ，，分别为ABC △的边B C A C A ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P图3图2与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。
三角形的重心向量公式的证明
三角形的重心向量公式的证明三角形的重心向量公式是：$\overrightarrow{OG} =\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC})$，其中$O$为任意选取的原点，$A,B,C$为三角形的三个顶点，$G$为三角形的重心。
证明：先求出三角形$\triangle ABC$上任意一点$P$到三角形三个顶点的距离平方和：$PA^2 + PB^2 + PC^2 = (\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OP})^2 + (\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OP})^2 + (\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OP})^2$展开得到：$PA^2 + PB^2 + PC^2 = (\overrightarrow{OP})^2 +\overrightarrow{OA}^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OB}^2 +2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OC}^2 + 2\overrightarrow{OC} \cdot\overrightarrow{OP}$因为$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$，将其代入上式得：$PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3(\overrightarrow{OP})^2 +(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC})^2$化简并整理得：$PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3(\overrightarrow{OP})^2 + a^2 + b^2 + c^2$其中，$a,b,c$分别为三角形的三边长。
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
中学数学研究
41
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔
x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：厶ABC中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：UABC中、每个角的角平分线的交点(内切圆的圆心)；外心：.IABC中、每条边上所对应的中垂线的交点(外接圆的圆心) 一、重心1、O 是. ABC 的重心= OA OB 0C = 0若0是ABC 的重心，贝「BOC = ：AOC = ：AOB =»：ABC 故OA OB 0C = 0,31 PG (PA PB PC) = G 为- ABC 的重心.32、P是厶ABC所在平面内任一点上是厶ABC的重心u PC).3证明：PG 二PA AG 二PB BG = PC CG 二3PG 二(AG BG CG) (PA PB PC)•/ 6是厶ABC的重心••• GA GB GC = 0 二AG BG CG = 0，即3PG 二PA PB PC1由此可得PG =-(PA PB PC).(反之亦然(证略))33、已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =OA • ■ (AB AC)，‘(0, *)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重心.例1若O为ABC内一点，OA • OB • OC = 0 ，则O是ABC的( )A.内心心B .外心D .重心C .垂1、O 是：ABC 的垂心=OA.OB =OB・OC =OA・OC若O是.：ABC （非直角三角形）的垂心，贝U故tan AOA tan BOB tanCOC = 02、H是面内任一点，HA HB二HB HC二HC HAu点H是厶ABC的垂心.由HA HB 二HB HC = HB （HC - HA）二0= HB AC 二0= HB _ AC,同理HC_AB , HA_BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））3、P是厶ABC 所在平面上一点，若PA P^PB P^PC PA，贝U P是厶ABC的垂心.•»—-------------------------------------------------------------------- ・l ---------- ■]由PA PB 二PB PC，得PB （PA -PC 0，即FB CA = 0 ,所以PB 丄CA .同理可证PC丄AB，PA丄BC .••• P是厶ABC的垂心.如图1.B图14、已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足---------- —* —K . ——-OP=OA + h |一A--------- 十一，扎w（0,+血），则动点P的轨迹一定通过J AB|cos B |AC|COS C△ ABC的垂心.例2 P是厶ABC所在平面上一点，若PA卩B = PB卩PC PA，贝U P是厶ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心1、O 是 ABC 的内心的充要条件是的内心的充要条件可以写成OA ・ e i e a = OB ・ e i e ? = OC ・ e ?巨=0 2、O 是 ABC 的内心的充要条件也可以是 a ・OA • b ・OB • c ・OC =0。
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三角形重心的性质的向量表示与推广及其应用
吴家华（四川省遂宁中学校 629000）
摘 要 本文给出了三角形重心性质的一个向量表示并进行了推广，同时介绍了它们的简单应用.
关键词 三角形、重心、向量、推广
我们知道，三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比为1:2，即重心到顶点的距离等于该中线长的三分之二. 重心的这一性质如果我们用向量来表示的话，则有下列结论：
定理1 设G 为ABC ∆的重心，则)(3
1
AC AB AG +=；反之也成立. 证明：设BC 的中点为D ，则)(2
1
AC AB AD +=. ∵G 为ABC ∆的重心，∴AD AG 3
2
=
. ∴)(31
)(213232AC AB AC AB AD AG +=+⋅==.
故)(3
1
AC AB AG +=.
反之，若)(3
1
AC AB AG +=，则AC AB AG +=3，即
0)()(=-+-+AC AG AB AG AG ，0=++CG BG AG ，
∴0=++GC GB GA ,故G 为ABC ∆的重心.
定理1 得证.
笔者在解题研究中，尝试把重心G 改为ABC ∆所在平面内的任意一点，发现定理1可以推广为下列一般形式：
定理 2 设分别过ABC ∆的两个顶点C B ,的直线相交于一点P ，且分别交对边所在直线于点M N ,. 若AB AM λ=，AC AN μ=，则
AC AB AP λμ
λμλμμλ--+--=
1)
1(1)1(.
证明：如图1所示，设MC t MP =，NB s NP =，则
M
p N
B
C
A
AC
t AM t AM AC t AM MC t AM MP AM AP +-=-+=+=+=)1()(AC t AB t +-=)1(λ.
AB
s AN s AN AB s AN NB s AN NP AN AP +-=-+=+=+=)1()(AB s AC s +-=)1(μ.
∵AB 与AC 不共线，
∴⎩⎨⎧=-=-t s s t )1()1(μλ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧--=--=⇒λμμλλμλμ1)1(1)1(s t . 故AC AB AP λμ
λμλμμλ--+--=
1)1(1)1(.
定理2得证.
显然，定理2的结论是建立在ABC ∆的基础上的，那么，我们在应用定理2解决问题 时就需要一个三角形作依托，也就是说，我们解决问题的关键在于这个三角形的选择. 因此，我们不妨把定理中的这个ABC ∆叫做基底三角形（注意，顶点C B A ,,按逆时针顺序），简称为“基三角”.
笔者在教学和解题实践中发现，上述三角形重心性质的向量表示及其推广在解决平面 向量和平面几何问题中具有较广泛的应用.下面举例说明之.
例1.如图2所示，在ABC ∆中，E D ,分别为AC AB ,的中点，CD 与BE 交于点F ， 设a AB =，b AC =，b n a m AF +=，若向量),(n m s =，则=||s （ ）
.
A 32 .
B 32 .
C 65 .
D 3
4
图2
解：由已知可知，F 为ABC ∆的重心， 则由定理1可得：b a b a AF 3
131)(31+=+=
.
∵b n a m AF +=，且a ，b 不共线， ∴31=
=n m ，则)3
1,31(=s . ∴3
2)31()31(||22=+=
s ,故选B . 例2.P 是ABC ∆内一点，)(3
1
AC AB AP +=，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比 值为（ ）
.A 2 .B 3 .
C 2
3
.D 6 解：∵)(3
1
AC AB AP +=，∴由定理1知，P 是ABC ∆的重心. ∴
3
1
=∆∆ABC ABP S S ,即ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比值为3. 故选B .
例3.如图3所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，N M ,分别是边OB OA ,上的点， 且a OM 31=
，b ON 2
1
=.设AN 与BM 交于点P ，用向量a ，b 表示OP .
图3
解：取OAB ∆为基底三角形，因为N M ,分别是边OB OA ,上的点，且a OM 3
1
=
，b ON 2
1=.
∴31=λ，2
1
=μ,则由定理2，得：
b a b a OP 5
2
511)1(1)1(+=--+--=
λμλμλμμλ，
即
b a OP 5
251+=. 例4.如图4所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，设点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA 所成的比为1:3，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .
解：取ABO ∆为基底三角形，连接AP ，因为点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA
所成的比为1:3，
∴AB AM 32=
，AO AN 41=，则32=λ，4
1=μ. 由定理2得：AO AB AO AB AP 10
1
531)1(1)1(+=--+--=
λμλμλμμλ.
图4
∴OA OA OB OA AO AB OA AP OA OP 10
1
)(5310153--+=++
=+= b a OB OA 53
10353103+=+=，
即b a OP 5
3
103+=.
例5.如图5所示，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且NC AN 2=，
AM 与BN 相交于点P ，求PM AP :的值.
图5
解：取CAB ∆为基底三角形，连接PC ，则由已知得：CA CN 31=，CB CM 2
1
=， ∴31=
λ，2
1
=μ. 由定理2得：CB CA CB CA CP 52
511)1(1)1(+=--+--=
λμλμλμμλ,
∴)(5251AC AB AC AC AP -+-
=-,即AB AC AP 5
2
52+=.
∵点M 是BC 的中点，∴)(2
1
AC AB AM +=. ∴AM AP 5
4
=
，即1:4:=PM AP .∴1:4:=PM AP . 例6.（2014年武汉高三调研）如图6所示，在ABC ∆中，AC AN 3
1
=，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 11
2
+
=，则实数m 的值为（ ）
.
A 119 .
B 115 .
C 113 .
D 11
2
解：取CAB ∆为基底三角形，延长AP 交BC 于点M ，连接PC . ∵AC AN 31=
，∴CA CN 32=，即3
2=λ. 设CB CM μ=，则由定理2，得：
CB CA CB CA CP μ
μ
μμλμλμλμμλ2323)1(21)1(1)1(-+--=--+--=
.
则CB CA CA CP AP μ
μ
μ23231-+--
=-=.
又∵CB m CA m CA CA CB m AC AB m AP ++-=--=+
=)11
2
(112)(112，且CA ， CB 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-m m μ
μμ23112231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒1157
5m μ.
故应选.B
P
M
N
C
B
A。