高中数学破题致胜微方法函数的周期性：抽象函数周期的求法 递推法 含答案
函数的周期性及其应用解题方法
函数的周期性及其应用解题方法方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(x＋a)＝1/f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1/f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1/f(x)，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x ＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－7/3≤x≤5.v1.0 可编辑可修改分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－7/3≤x＜－1/3或－1/3＜x＜3或3＜x≤5.∴x的取值范围是答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x －6)|]≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64) |(3x＋1)(2x －6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了．。
高中数学抽象函数专题含答案-教师版
抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数， 求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共 一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题资料
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：12.利用周期性求函数解析式 Word版含解析
利用周期性求函数解析式周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。
今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。
先看例题例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =-我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈ 121x k ⇒-<-<则有：2(2)(2)f x k x k -=-又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -=所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-一般规律：区间转移：将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。
进而求出，该区间上的函数解析式再看一个例题加深印象练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式首先通过题目条件，证明函数为周期函数因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－又因为(2)()f x f x +=-所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝所以函数为周期函数，且周期T =4因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈-可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式练习：1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式.答案：2. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5. ∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。
考点10 函数的周期性和对称性【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(解析版)
考点10函数的周期性和对称性1、常见的确定函数周期的条件函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件2、周期性的应用（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。
3、对称性的应用（1）函数自身的对称性①函数)(x f y =的图像关于点)(b a A ，对称的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+，即b x a f x a f 2)()(=++-。
推论：函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 。
②函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称的充要条件是：)()(x a f x a f -=+，即)2()(x a f x f -=。
推论：函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -=。
（2）不同函数对称性①函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图像关于直线2ab x -=成轴对称。
②互为反函数的两个函数关于直线x y =对称。
考点一函数的周期性及应用1．（2022·广西桂林·高一期末）已知()f x 是以2为周期的函数，且()2,[1,1]f x x x =∈-，则()7f =（）A ．1B ．-1C ．±1D ．7【解析】因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以2k 为()f x 的周期，即(2)(),.f x k f x k Z +=∈所以()()()2716111f f f =+===.故选：A.2．（2022·江苏扬州·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（）A ．1716B ．54C ．2D ．1【解析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，∴1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B3．（2022·四川眉山·高一期末）若偶函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则()113.5f =______．【解析】因为()()13f x f x +=-，所以()()()163f x f x f x +=-=+，所以()f x 周期为6，且为偶函数，当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，()()()()113.5186 5.5 5.50.5=⨯+==-f f f f ，()()10.530.5f f -+=--，所以()()10.5 2.5f f -=-，根据函数为偶函数()()2.5 2.510f f =-=-，所以()()110.5 2.510f f -=-=，即()1113.510=f .故答案为：110.4．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()21f x f x +=，若()15f =，则()5f -=______.【解析】令1x =-，()()111f f -=，则()115f -=.令3x =-，()()131f f --=，则()35f -=；令5x =-，()()351f f --=，则()155f -=.故答案为:155．（2022·广东揭阳·高一期末）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,其中R a ∈.若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2022f a 的值是____________.【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，92221115210f f ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11210a -+=-，解得25a =，所以()24424220222022808555555f a f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：25-.6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【解析】(1)∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭，∴317322332212f f f f⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭.(2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++==-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+，∴()()()1321f x x f x -+=+∴()3537x f x x +=-+.考点二函数的对称性及应用7．（2022·福建泉州·高一期末）写出一个满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)(3)f f >的函数()f x 的解析式__________．【解析】由(1)(1)f x f x +=-，可知函数()f x 关于1x =对称，所以()2()1f x x =--，又(0)1,(3)4f f =-=-，满足(0)(3)f f >.所以函数()f x 的解析式为()2()1f x x =--（答案不唯一）.故答案为：()2()1f x x =--（答案不唯一）.8．（2023·全国·高一专题练习）设函数()=y f x 的定义域为R ，则函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于（）A ．直线=1y 对称B ．直线=1x 对称C ．直线2y=对称D ．直线=2x 对称【解析】设函数3()=y f x -的图象上任意一点00()，P x y ，则00)3(=y f x -，00()，P x y 关于直线=2x 的对称点为00()4，Q x y -．又函数1()=y f x -中，当04=x x -时，00[()]()143==y f x f x ---，所以00()4，Q x y -在1()=y f x -的图象上．故函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于直线=2x 对称，故选：D9．（2022·贵州·高一阶段练习（理））已知函数()f x 满足(2)()4f x f x ++-=-，函数()f x 与()3g x x =-图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则()51i i i x y =+=∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为(2)()4f x f x ++-=-，所以()f x 的图象关于点()1,2-对称，又()3g x x =-也关于点()1,2-对称，则函数()f x 与()3g x x =-图象的交点也关于点()1,2-对称，所以()()511255i i i x y =+=+-⨯=-⎡⎤⎣⎦∑；故选：B10．（2022·贵州·高一阶段练习（文））已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，函数()f x 与2()25g x x x =--图像的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则51i i x ==∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以(1)(1)f x f x +=-，即函数()f x 的对称轴为1x =，因为22()25(1)6g x x x x =--=--，所以由题知，函数()f x 与()g x 图像的5个交点满足123455x x x x x ++++=，即515i i x ==∑，故A ，B ，D 错误.故选：C.11．（2022·全国·高一单元测试）设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题：①若()y f x =是偶函数，则(2)y f x =+的图像关于y 轴对称；②若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图像关于直线2x =对称；③若(2)(2)f x f x -=-，则函数()y f x =的图像关于直线2x =对称；④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称．其中正确命题的序号为________．【解析】若(2)y f x =+是偶函数，则(2)(2)f x f x +=-+，所以()y f x =的图象关于2x =对称，①错误，②正确；(2)(2)[(2)]f x f x f x -=-=--，令2x t -=即()()f t f t =-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，③错误；(2)y f x =-是将()f x 的图象向右平移2个单位而得，(2)[(2)]y f x f x =-=--是将()f x 的图象沿y 轴对称后再向右平移2个单位而得，因此(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称，④正确.故答案为：②④12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x f x x =+．(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定值；(3)求()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【解析】（1）因为()221x f x x =+，所以()2222112*********f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+=++== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值；（3）由（2）知()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()111f f +=，()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……，()1202212022f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()()()()11121232021232021⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f f f f f ()1202220222022⎛⎫++= ⎪⎝⎭f f .考点三周期性与奇偶性结合13．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．2022【解析】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.14．（2022·四川雅安·高一期末）若()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，则()()20212022f f +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】因为()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=---，()()11f x f x +=--+，所以()()11f x f x --=-+，所以()()2f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()2021202210102110112010f f f f f f +=⨯++⨯+=+因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=--+，所以()()11f f =-，即()10f =，所以()()()()20212022100f f f f +=+=.故选：A.15．（2022·河南新乡·高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()15f -=，则()()()120221f f f +++=L （）A ．10B ．10-C ．5-D ．5【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x -=，因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4．因为()()115f f =--=-，()()200f f =-=，()()315f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=，故()()()()()1220215050202115f f f f f +++=⨯+==-．故选：C16．（2022·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【解析】解法一：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解法二：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．17．【多选】（2022·甘肃张掖·高一期末）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-.当(0,2)x ∈时，21()f x x x=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．19(24-=-f C ．()(+4)f x f x =D ．()22021=-f 【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()f x 的图象关于原点对称，又函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以()(4)f x f x -=，则()(4)f x f x -=--，即()(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x +=，所以函数()f x 的周期8T =，故AC 错误；又当(0,2)x ∈时，21()f x x x =+，所以1119((22244⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭f f ，故B 正确所以()()()()()()20212528+553312=⨯==-=-=-=-f f f f f f .故D 正确故选：BD.考点四对称性与周期性结合18．（2022·云南德宏·高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件：①1(3)()f x f x +=-；②对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(3)y f x =+的图像关于y 轴对称．则下列结论中正确的是A ．(3)(7)(4.5)f f f <<B ．(7)(3)(4.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(3)f f f <<D ．(3)(4.5)(7)f f f <<【解析】先由1(3)()f x f x +=-，得函数周期为6，得到f （7）=f （1）；再利用y=f （x+3）的图象关于y 轴对称得到y=f （x ）的图象关于x=3轴对称，进而得到f （1）=f （5）；最后利用条件（2）得出结论．因为1(3)()f x f x +=-，所以()()()()11613f x f x f x f x +=-=-=+-；即函数周期为6，故()()71f f =；又因为()3y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()y f x =的图象关于x=3对称，所以()()15f f =；又对任意123x x 6≤≤＜，都有()()12f x f x ＜；所以()()()()()3 4.5517f f f f f ==＜＜．故选:D ．19．（2022·贵州遵义·高一期末）对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，()()40f x f x ++-=.当01x ≤≤时，()21f x x =-.设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，53b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20234c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________.【解析】对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-①；函数()f x 满足()()40f x f x ++-=，则()f x 关于点(2,0)对称，所以()()4f x f x =--②；由①②得：()()24f x f x -=--，则()f x 是周期函数，周期为4T =所以5221113333b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20232020333111444444c f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又01x ≤≤时，()21f x x =-，即()f x 在[0,1]x ∈上单调递减所以111432f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故答案为：c b a >>或a b c <<.20．（2022·浙江·杭十四中高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（）A ．0B ．8C ．16D ．32【解析】()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数12y x =-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为4416⨯=.故选C.考点五单调性与对称性的结合21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，并且对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（）A ．()()02f f >B ．()()11f f =-C ．()32ff <-D ．))2121ff>【解析】由函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，可得函数()f x 关于1x =对称，又由对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，可得函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递减函数，则在区间(1,)+∞上单调递增函数，由0121-=-，所以()()02f f =，所以A 不正确；由1111-<--，所以()()11f f <-，所以B 不正确；3121-<--，所以()32f f <-，所以C 正确；211211--<-，所以))2121ff-<，所以D 不正确.故选：C.22．【多选】（2022·全国·高一）若函数f (x )满足：∀x ∈R ，f (x ＋2)＝f (2－x )，且12121212()(),[2,),0(),-∀∈+∞>≠-f x f x x x x x x x 则（）A ．f (0)＞f (3)B ．∀x ∈R ，f (x )≤f (2)C ．25(1)4f a a f ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≥D ．若f (m )＞f (3)，则1＜m ＜3【解析】由x ∀∈R ，()()22f x f x +=-，可得()f x 图象关于2x =对称，由[)12,2,x x ∀∈+∞，()()12120f x f x x x ->-，可得()f x 在[)2,+∞上单调递增，在(),2-∞上单调递减，当2x =时，()2f 最小，结合函数的单调性和对称性得：距离2x =越近函数值越小，则显然A 正确，B 不正确；对C ，2235121244a a a a -++-=-+≥=-，C 正确；对D ，()()3f m f >时，x m =距2x =更远，则21m ->，解得3m >或1m <，D 不正确．故选：AC.23．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解析】由函数()f x 的图象关于直线1x =对称可得()()31f f =-，结合奇函数的性质可知()3a f =-()()()311f f f =-=--=，()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1-上单调递增，所以()()1012f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C24．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意()121,x x ∈+∞、，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(][],01,2-∞D ．[][)0,12,+∞【解析】()()2f x f x =-，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00=f ，对任意()12,1,x x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得该函数在(),1-∞上单调递减，当1x =时，符合题意；当10x -<时，即1x <时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤<；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥，综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞.故选：D.考点六单调性、奇偶性与周期性结合25．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x +1）=1()f x ，若f （x ）在[-1，0]上是减函数，那么f （x ）在[2，3]上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数【解析】因为函数f （x ）满足f （x +1）=1()f x ，所以()()()121f x f x f x +==+，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又因为()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，所以()f x 在[0，1]上是增函数，那么f （x ）在[2，3]上是增函数，故选：A26．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-且()f x 在[]0,2上是增函数，则（）A ．()()()111221f f f <<B ．()()()211211f f f <<C ．()()()112112f f f <<D ．()()()211112f f f <<【解析】()()4f x f x -=-()()()84f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则()()()()()1133411f f f f f ==--=--=，()()()()()4400124f f f f f ==--=-=，()()()()()5541211f f f f f ==--=-=-，()f x 为奇函数，且在[]0,2上是增函数，则()f x 在[]22-,上是增函数，()()()101f f f ∴-<<，即()()()211211f f f <<.故选：B.27．（2022·河南·温县第一高级中学高一开学考试（文））已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的12,[4,8]x x ∈，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-；②(4)()f x f x +=-；③(4)y f x =+是偶函数；若(6)a f =，(11)b f =，(2017)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【解析】根据题意，若对任意的1x ，2[4x ∈，8]，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，若(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为8，若(4)y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线4x =对称，()6a f =，()()()1135b f f f ===，()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，又由函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，则有b a c <<；故选：C ．考点七奇偶性、周期性与对称性结合28．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．无法确定【解析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，119133*********f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.29．（2022·全国·兴国中学高一阶段练习（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(32)f x -为偶函数，(21)f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）①函数()f x 的图象关于直线1x =对称②函数()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称③函数()f x 的周期为4④(2023)0f =A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【解析】因为(32)f x -为偶函数，所以(32)(32)f x f x -=--，所以(2)(2)f x f x -=--，()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线1x =对称，①错误；因为(21)f x -为奇函数，所以(21)(21)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故②正确，由①可知，()(4)f x f x =--，由②可知，()(2)f x f x =---，故有(4)(2)f x f x --=---，令x x =-，则有(4)(2)f x f x -=--，所以()422T=---，解得4T =，所以函数()f x 的周期为4，故③正确；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故④正确．故选：C ．30．【多选】（2022·辽宁丹东·高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数【解析】因为()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 图像关于()1,0对称，同时关于直线2x =对称；所以()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+，故A 选项错误；所以()()4f x f x +=-，()()()22f x f x f x -=-=+，故B 选项正确；所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 为周期函数，周期为4.所以()()()4f x f x f x +=-=，即函数()f x 为偶函数，故C 选项正确；所以()()()()()311213f x f x f x f x f x ⎡⎤-=+=--+=+-+=--⎣⎦，故函数()3f x -为奇函数，D 选项正确；故选：BCD31．（2022·内蒙古包头·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，若(1)2f =，则(20)(21)(22)f f f ++的值为（）A ．6B ．4C ．2D ．0【解析】∵定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，∴()(2)()f x f x f x +=-=-，∴()(4)(2)f x f x f x +=-+=，又(1)2f =∴()()(20)5400f f f =⨯==，()()(21)54112f f f =⨯+==，()()()(22)542200f f f f =⨯+===，∴(20)(21)(22)2f f f ++=.故选：C.32．【多选】（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=【解析】由()f x 的对称中心为()0,0，对称轴为1x =，则()f x 也关于直线1x =-对称且()(2)f x f x =-，A 、D 正确，由A 分析知：()(2)()f x f x f x =-=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，则()()()2023202400g f f ===，B 正确；但不能说明()f x 最小正周期为4，C 错误；故选：ABD33．（2022·江苏南通·高一期末）已知f (x )是定义域在R 上的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论不正确的是（）A ．f （4）＝0B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f （x ＋8）＝f (x )D ．若f （－3）＝－1，则f （2022）＝－1【解析】对于A ：因为f (x )是定义域在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又(2)(2)f x f x -+=+，令2x =-代入可得(4)(0)0f f ==，故A 正确；对于B ：因为(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 图象关于2x =对称，无法确定是否关于直线x ＝1对称，故B 错误；对于C ：因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，所以(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，故C 正确；对于D ：由C 选项可得，()f x 的周期为8，所以(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确；故选：B34．【多选】（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数()f x ，R x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图像关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（）A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3-对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称【解析】令2x =，由()()()492f x f x f =-+得：()()()()2292,20f f f f =+=，()()4f x f x ∴=-，即()f x 的一条对称轴是2x =，又()9f x +关于()9,0-对称，令()()9g x f x =+，即()()990g x g x -++--=，()()()()99990f x f x f x f x -+++--+=+-=，()f x 是奇函数；()()()()()()8484444f x f x f x f x f x f x +=-+=--=-+=--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()f x 的周期为8；对于A ：正确；对于B ：()()()()()()()()()444546456012f f f f f f f f f ++=++=+-+-()()0122022f f =--=-，正确；对于D ：令113t x =-，将3x =代入得0=t ，即要证明()3f t +关于()0,3对称，显然由()()336f t f t -+++=，故()3f t +关于()0,3对称，即1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于()3,3对称，正确；对于C ：同上，将1x =-代入得43t =-，即4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭显然不是()3f t +的对称点，错误；故选：ABD.考点八单调性、奇偶性与对称性结合35．（2022·湖南常德·高一期中）已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为A ．B ．C ．D ．【解析】由题意得，函数向左平移2个单位得，又在上是单调减函数，所以函数在是减函数，又函数是偶函数，所以，所以，即，故选A ．36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<【解析】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．37．（2022·河南·高一阶段练习（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<【解析】函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t ft f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<.故选：D.考点九单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合38．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()8f x f x +=，函数的图像关于2x =对称且函数在区间[]02，上单调递增，则()()()251180f f f -，，的从小到大的顺序为________.【解析】由()()8f x f x +=知函数周期为8T =，所以()()()2525381f f f -=-+⨯=-，()()()111183f f f =-=，而函数图像关于2x =对称，所以()()()1131f f f ==，()()()80801080f f f =-⨯=.又因为()f x 定义在R 上的奇函数且在[]02，上单调递增，所以()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()()101f f f -<<，即()()() 258011f f f -<<.故答案为：()()()258011f f f -<<39．（2011·辽宁铁岭·高一阶段练习（文））已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=；②对于任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12;f x f x <③函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称.则()()()4.5, 6.5,7a f b f c f ===从小到大的关系是_____【解析】因为对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=，∴函数()y f x =的周期是4，∵任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <，∴函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∵函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，∴()()22f x f x -+=+，即函数()y f x =的对称轴为2x =，∴()()()()()()()()4.50.5, 6.5 2.5 1.5,731f f f f f f f f =====，又函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∴()()()0.51 1.5f f f <<，()()()4.57 6.5f f f <<，即a c b <<.故答案为：a c b <<．40．（2022·全国·高一单元测试）定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【解析】由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-，因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>，故选：B.41．【多选】（2022·福建·莆田一中高一期末）已知()y f x =是周期为4的奇函数，且当02x ≤≤时，(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，设()()(1)g x f x f x =++，则（）A ．(2022)1g =B ．函数()y g x =为周期函数C ．函数()y g x =在区间(6,7)上单调递减D ．函数()y g x =的图象既有对称轴又有对称中心【解析】因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+-=-=-，A 错误，B 正确；令21x -≤<-，即12x <-≤，则()2()f x x f x -=+=-，即()2f x x =--；令10x -≤<，即01x <-≤，则()()f x x f x -=-=-，即()f x x =；所以2,21(),112,12x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<≤⎩，根据周期性()y g x =在(6,7)上的图象与在(2,1)--相同，所以，当21x -≤<-，即110x -≤+<时，()()(1)211g x f x f x x x =++=--++=-，C 错误；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=-=-且(1)(1)f x f x -=-+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=----=++=，故()g x 关于12x =对称，()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+++-+-=++-+-=，所以()g x 关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BD。
高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)：抽象函数周期的求法函数模型法Word版含答案
数学模型，在数学学习中有很大的作用，它可以帮助我们解决很多未知的问题。
如何有效利用数
学模型呢？首先要对基础知识掌握的扎实，其次要在遇到问题时，大胆想象，大胆类比，用已知知识
作为铺垫，找到问题的突破口。
我们知道，基本初等函数分为，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而三角函数中大多
数都具有周期性，今天我们就利用三角函数作为模型，求抽象函数的周期。
先看例题
例：设函数f (x )的定义域为R ，且对任意的实数x ，y 满足()()2()()f x y f x y f x f y ，并存在非零实数c ，使()02f c
，证明函数f(x)是周期函数
类比()cos f x x
因为，通过两角和差的余弦公式展开，有：
cos()cos()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )x
y x y x y x y x y x y 即cos()cos()2cos cos x y x y x y
而对于余弦函数()02
f ，而2T ，类比原函数()02c f ，我们可以猜测，T =2c
所以，可令,()()2()()02
222c
c c c y f x f x f x f 整理得：()()2
2c
c f x f x 所以有()
()f x c f x (2)()f x c f x。
2009年高中数学高考复习中抽象函数周期问题复习
抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。
对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅。
（I ）设f ()12=，求f f ()()1214，；（II ）证明f x ()是周期函数。
解析：（I ）解略。
（II ）证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称 故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知 f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得 f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称 又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数 且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a =对称 ∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f a x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。
证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称∴=-∈=-∈∴-=-∈f x f a x x Rf x f b x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式的-x 以x 代换得 f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？经过探索，我们得到 思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。
抽象函数的周期问题
抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。
对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅。
（I ）设f ()12=，求f f ()()1214，；（II ）证明f x ()是周期函数。
解析：（I ）解略。
（II ）证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称 故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知 f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得 f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称 又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数 且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a =对称 ∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得 f x f a x x R ()()=+∈2， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。
证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称∴=-∈=-∈∴-=-∈f x f a x x Rf x f b x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式的-x 以x 代换得 f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。
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高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质。
今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期，同学们可以类比数列中相应的方法，深入理解，灵活应用。
我们知道在数列中，有许多递推关系，比如1n n a a d +-=，说明它是一个等差数列。
如果我们再得知1a 的值，则可推导出数列的通项公式。
相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。
先看例题
例：已知函数()()f x x R ∈满足：(1)()(2)f x f x f x +=++，证明f (x )是周期函数 证明(1)()(2)f x f x f x +=++Q
令x =x +1，再次使用递推式
(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=+++
两式联立可得：
()(3),f x f x =-+再令x =x +3，可知(3)(6)f x f x +=-+
所以(6)()f x f x +=
注意：当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。
回忆：
()()f x a f x +=-
1()()
f x a f x +=
1()()
f x a f x +=- 都可以整理为：()=()f x f x T +的形式
之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数。
练：已知定义在R 上的函数f (x )满足11()()
1)(f x f x f x ++=
-，则f (x )必有一周期为（） A.2 B.3 C.4 D.5 解：令x =x +1，再次使用递推式
1(1)(2)1(1)
f x f x f x +++=-+ 将原递推式代入上式：
1()11(1)1()(2)1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x +
+
++-+==+
-+-- 整理得到1(2)()
f x f x +=-，根据上面复习的公式，直接可以得到 (4)()f x f x +=
即原函数是周期函数，且周期为T =4
注意：本题不必去计算(3)f x +的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。
总结：
1.根据递推公式求函数周期，往往需要根据条件多次递推，解决问题。
2.要熟练掌握周期函数的特性，将递推式合理的进行转化。
3.注意得出周期函数的三个关键等式，合理运用，降低运算量。
练习：
1.已知函数()()f x x R ∈满足(1)()(2)f x f x f x +=++，且()() 11,22010f f ==，则()()()()1232009f f f f +++⋯+=
2.设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R
，都有1(1)2
f x +=+1
(1)2f -=，求f (2005)的值
答案：
1.(6)(),f x f x +=
()()()()()()()()()()200963345,
12320091234532009
f f f f f f f f f f =⨯++++⋯+=++++==
2.
解：1
(2)2f x +=
=12+
1
2=+
1
1
|()|22f x =+-
又1
1
()[(1)1]22f x f x =-+= 所以1
1
(2)[()]()22f x f x f x +=+-= ()()()()()()1234560f f f f f f +++++=
所以f(x)是以2为周期的周期函数
所以
1 (2005)(210031)(1)
2 f f f
=⨯-=-=。