复习课整式的乘法和乘法公式
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
整式的乘法和乘法公式复习课课件
• 整式的乘法复习 • 乘法公式复习 • 整式的乘法与乘法公式的应用 • 整式的乘法和乘法公式的注意事项 • 练习与巩固
01
整式的乘法复习
单项式乘单项式
总结词
直接相乘，系数相乘，同底数幂 相乘。
详细描述
单项式与单项式相乘时，只需将 它们的系数相乘，并将相同的字 母的幂相加。例如，$2x^3y$与 $3xy^2$相乘得到$6x^4y^3$。
提高练习题
提高练习题1
计算 (x + y)^2(x - y)^2。
提高练习题2
化简 (a^2 - b^2) / (a^2 + ab + b^2)。
提高练习题3
求 (a^2 + 2ab + b^2) / (a^2 - b^2) 的值。
综合练习题
1 2
综合练习题1
计算 ((x + y)(x - y))^2。
VS
公式范围
整式的乘法公式有一定的适用范围，如完 全平方公式适用于任意实数a、b的情况； 平方差公式适用于任意实数a、b（a≠b） 的情况等。
公式推导和证明方法
推导方法
整式的乘法公式可以通过基本的运算法则进 行推导，如通过同底数幂的乘法法则推导出 幂的乘方公式；通过单项式乘以多项式的法 则推导出分配律等。
02
乘法公式复习
平方差公式
总结词
理解平方差公式的结构特点
总结词
掌握平方差公式的应用
详细描述
平方差公式是整式乘法中的重要公式之一，表示 两个平方数的差等于它们的线性组合的平方。这 个公式在代数和几何中都有广泛的应用，是解决 数学问题的关键工具。
详细描述
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的乘法与乘法公式
整式乘法与乘法公式主讲教师：郭艳敏【知识精讲】（一）本节课知识点1. 同底数幂的乘法(,)m n m n a a a m n +⋅=都是正整数 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2. 幂的乘方()(,)nm mn a a m n =都是正整数 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3．积的乘方()()nn n ab a b n =是正整数 积的乘方，等于把积的每一个因式别离乘方，再把所得的幂相乘.4．单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.整式运算的注意事项：(1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减.(2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也确实是幸免知识上的混淆及符号等错误.5．单项式与多项式相乘的乘法法那么单项式与多项式相乘，确实是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.6．多项式相乘的乘法法那么多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.7. 平方差公式()22()a b a b a b +-=-两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差.8. 完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.9. 同底数幂的除法(0)m n m n a a a a -÷=≠ 即同底数幂相除，底数不变，指数相减.()01a a =≠，0 任何非零数的零次幂都得110. 单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂别离相除作为商的因式，关于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.11. 多项式除以单项式多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加.（二）本节课的重、难点1. 重点：依照法那么正确进行整式乘除法运算2. 难点：法那么的逆用、乘法公式的灵活运用、添括号时括号中符号的处置（三）本节课的易错点1. 学生容易混淆乘法公式的结构特点和公式中字母的普遍含义2. 添括号时，括号中符号的处置易错【典例剖析】例1. 下面是某同窗在一次考试中的计算摘录：①()523623x x x -=-⋅；②()a b a b a 22423-=-÷；③()523a a =；④()()23a a a -=-÷-. 其中正确的个数有( ) 个 个 个 个例2. 已知==-=-yx y x y x ，则，21222（ ） A ．1 B ． ±2 C ． -2 D ． 2例3. （1）若35,37m n ==，那么3m n +=________ （2）已知339n n +=，那么n =（3）假设3x +5y =3, 832x y ⋅=__________例4.（1）要使23()254x x a b x x +-=++恒成立，那么a = ,b =（2）要使22()23x x ax x +-+中不含2x 项，那么a =例5. 若n 为自然数，试说明n (2n +1)-2n (n -1)的值必然是3的倍数.例6. 计算2323(1)()[()]y y y -⋅-⋅- (2)3222(2)()a a --例7. 计算（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅32235425y x y x xy （2）(y +2)(y -2)-(3-y )(3+y )(3)()()a b c a b c +--+ （4）22232[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷例8. 简便计算（1）103×97 （2）1022【王牌例题】例1. x 2+ax +121是一个完全平方式，那么a =例2. 已知x ²+y ²+4x -2y +5=0，求x +y 的值例3.已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +，a -b 的值例4.解不等式组()()()()()⎩⎨⎧--+>+++-->-255831432522x x x x x x x x x例5.已知m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2004的值例6.观看以劣等式：3211=332123+=33321236++=33332123410+++=……想一想，等式左侧各项的底数与等式右边的底数有什么关系？猜一猜，能够得出什么规律？【课堂回忆】1. 同底数幂的乘法(,)m n m n a a a m n +⋅=都是正整数2. 幂的乘方()(,)nm mn a a m n =都是正整数 3. 积的乘方()()nn n ab a b n =是正整数 4. 单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.5. 单项式与多项式相乘的乘法法那么单项式与多项式相乘，确实是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.6. 多项式相乘的乘法法那么多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.7. 平方差公式()22()a b a b a b +-=- 8. 完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+.9. 同底数幂的除法(0)m n m n a a a a -÷=≠10.单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂别离相除作为商的因式，关于只在被除式里含有的字母， 那么连同它的指数作为商的一个因式.11.多项式除以单项式多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加.。
北师版初一下第一章整式的乘除复习课件
(x)3 (x)2 (x) (x)6 x6
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示： (a m ) n a mn
（其中m、n为正整数）
[(a m )n ] p amnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4)4 a44 a8,[(b2)3]4 b234 b24
A 1，2； B 2，1 C 1，1， D 1，3
2、下列运算正确的是：（ C ）
A x3·x2=x6
B x3-x2=x
C（-x）2·（-x）=-x3 D x6÷x2=x3
3、已知代数式3y2-2y+6的值为8，则代数式 1.5y2-y+1的值为（B ）
A1 B2
C 3 D4
4请你观察图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便 可得到两个你非常熟悉的公式，这两个公式分别是
1 c= 20 x+21
，则代
数式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值是（ B ）
A. 4
B.3
C.2
D.1
12、若a，b都是有理数且满足 2a2 -2ab+b 2 +4a+4=0 ，
则2ab的值等于（ B ）
A. -8
B. 8
C.32
D.2004
13、下列算式正确的是（ D ）
A、—30=1
9、完全平方公式 法则：两数和（或差）的平方，等于这两数 的平方和再加上（或减去）这两数积的2倍。
数学符号表示：
(a b)2 a2 2ab b2; (a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结
一、整式的乘法1.几个常用公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算：(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法：(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质：交换律：a·b=b·a结合律：(a·b)·c=a·(b·c)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用：展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念：将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。
2.因式分解的方法：a.公因式提取法：找出整个整式和各项中的公因式，并提取出来。
b.公式法：利用已知的一些公式对整式进行因式分解。
c.分组法：将整式中各项按一定的规则分组，然后在每组内部进行因式分解。
d.辗转相除法：若整式中存在因式公共因式，可以多次使用辗转相除法进行因式分解。
3.一些常见的因式分解公式：a.二次差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式：a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式：a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用：简化计算、寻找整式的根、列立方程等。
整式及乘法公式
第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。
三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。
整式的乘和乘法公式复习法
例1 利用完全平方公式计算： （1） 197 2
练习 利用整式乘法公式计算： （1）998 2
（2）( a b 3 )( a b 3 )
( x 2 )( x 2 ) ( x 1 )( x 3 ) （3 ）
ab 1 ) ( ab 1 ) （4）(
三乘法公式 四（一） 平方差公式 2 2 ( a b )( a b ) a b 五 （a、b可以 是数，也可以是整式） 六即：两数和与这两数差的积，等 于它们的平方差。
例2 利用平方差公式计算： 1 1 （1）( x y )( x y )
4
4
（2）
( m n )( m n ) 3 n
练习：计算 1 . (b5 ) 2
1 3 ( ) 2. 3
3 2
3 8
2
3 .(a
(p )
4
5 .(x ) 7 . 3
4 6
(x ) 6 .(2)
8. (2)
3 2
2 3
（三）积的乘方 n n n ( ab ) a b （n是正整数） 法则： 积的乘方等于各乘因数（或式）的 乘方的积。
例：计算： n 2 （1 ） (3 a ) （3 ） (2xy)
4
（2） (2 3)
2
（4 ） ( 2 b )
5
练习 ：计算 2 2 3 （1 ） (4a ) （2） (ab)
（3）( x
4
2
y )
2
3 3
（4） ( p q)
2
2
( 3 x ) ( 2 x ) （5 ） （6 ） 2 3 5
三） 多项式乘多项式 四法则 多项式与多项式相乘，先 用一个多项式的每一项乘另一多 项式的每一项，再把所得的积相 加。