理论力学-第12章-高教版
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理论力学课件第12章
对球B，应用动能定理，则有
得
1
0 mu22 mgl (1 cos )
2
（d）
u2 2 gl (1 cos )
将式（d）、（e）代入式（c）中，解得
k 2
1 cos
1 cos30
1 2
1 0.353
1 cos
1 cos 45
（e）
小为
v v 3 0.2
a
0
0.002
m/s2 1 400 m/s2
设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的
动力学基本方程为
ma F G
由方程解得
F m( g a) 1 409.8 N
可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一
些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力
（12-14）
将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得
mm
1
T T1 T2 (1 k ) 1 2 (v1 v2 )[(v1 u1 ) (v2 u2 )]
2
m1 m2
由式（12-6），得
u1 u2 k (v1 v2 )
于是
T T1 T2
（12-6）化为
u
k
v
若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳
的高度h来表示k。由自由落体公式可知
| v | 2 gH
于是得
| u | 2 gh
u
k
v
h
H
图12-3
（12-10）
测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料
理论力学 第12章
P
δW dt
Mz
d
dt
M z
2.功率方程
dT
dt
n δWi i1 dt
n
Pi
i 1
—— 功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于 质点系的所有力的功率的代数和.
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变 化和转化的问题。
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
dT dt P输入 P有用 P无用
mi
即： T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
Jmz iri2
即：
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
质心为C
1 2
J pω2
Jp JC md2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与 绕质心转动的动能之和.
则杆的动能：
§12-3 动能定理
1.质点的动能定理
将 m dvr 两 端Fr 点乘 ，得dr：
dt
m
d
v
dr
F
d
r
dt
由于 dr v，d于t 是有：
mvr
dvr
r F
drr
由于 mvr
dvr
d(1
mv2 ),
r F
drr
δW
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上力的元功
d(1 mv2 ) δW —— 质点动能定理的微分形式 2
3.机械效率
理论力学 CHAP12
dp dt
Fi e
px 0
dpx
dt
Fixe
dpy
dt
Fiye
py m1r1 m2r2
Yo Xo
w
m2g m1g
dLz
dt
M z (Fi e )
例题7: 均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P
带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物 下落的加速度。
角速度。已知： l 2L, m1, m2 , u(t)
B 解：取板和人为研究对象，系统
l
m1
u
O
m2 s
ve A
ve L2 ( L s )2
对O轴的动量矩守恒
Lo Lo1 Lo2
Lo 0
Lo1
2 3
m1L2
Lo2 m2uL m2ve L2 ( L s )2
质点系对该点的动量矩守恒
dLx
dt
M x (Fi e )
dLy
dt
M y (Fi e )
dLz
dt
M z (Fi e )
M x (Fi e )＝0
Lx C1
质点系对该轴的动量矩守恒
例8：均质方板可绕中心铅垂轴 O 转动，初始时系统静止， 若人以相对速度 u 沿板边自A向B行走，求图示瞬时板的
自学：P224
dLO dt
MO (F )
单位时间内质点轨迹半径扫过的面积为定常值 －面积速度定理
由质点的动量矩守恒：
质点在 r mv 平面上运动
1）轨迹为平面曲线；
2）面积速度定理；
dS lim S dt t0 t
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章
将n个方程两端分别相加
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
×
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
质点系质点相互作用的内 力总是大小相等、方向相 反地成对出现，相互抵消
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
n p mi vi i 1
n为质点数；mi为第i个质点的质量，vi 为质点的速度。 矢量和又称为主矢: 质点系的动量等于质点系动量的主矢。
×
例：三个物块用绳相连，它们都可视为质点，其质量分别为 m1 2 m 2 4 m 3 。绳质量和变形忽略不计，且 45 。求这三个 质点组成的质点系的动量 p.
第十二章 动量定理
沈阳建筑大学 侯祥林
第十二章 动量定理
第十二章引言
§12-1 动量与冲量
§ 12-2 动量定理
动量定理例题
§12-3
质心运动定理
质心运动定理例题
第十二章 动量定理
用质点动力学微分方程分析质点系动力学问题，可以逐个 质点列出动力学基本方程，联立求解困难。
用动力学普遍定理，即： 动量定理 动量矩定理 动能定理 从不同侧面提出质点和质点系的运动变化与其受力之间的 关系，尤其求解质点系动力学问题，很方便。
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
×
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
质点系质点相互作用的内 力总是大小相等、方向相 反地成对出现，相互抵消
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
n p mi vi i 1
n为质点数；mi为第i个质点的质量，vi 为质点的速度。 矢量和又称为主矢: 质点系的动量等于质点系动量的主矢。
×
例：三个物块用绳相连，它们都可视为质点，其质量分别为 m1 2 m 2 4 m 3 。绳质量和变形忽略不计，且 45 。求这三个 质点组成的质点系的动量 p.
第十二章 动量定理
沈阳建筑大学 侯祥林
第十二章 动量定理
第十二章引言
§12-1 动量与冲量
§ 12-2 动量定理
动量定理例题
§12-3
质心运动定理
质心运动定理例题
第十二章 动量定理
用质点动力学微分方程分析质点系动力学问题，可以逐个 质点列出动力学基本方程，联立求解困难。
用动力学普遍定理，即： 动量定理 动量矩定理 动能定理 从不同侧面提出质点和质点系的运动变化与其受力之间的 关系，尤其求解质点系动力学问题，很方便。
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第12章
Fi δri > 0
与假设矛盾，因此，质点系一定保待平衡。
解题步骤： 1. 选取研究对象，通常为系统； 2. 判断理想约束条件；
3. 列虚功方程； 4. 确定虚位移之间的关系；
5. 将n项求和按照虚位移之间的关系改写
为k项求和
n
Fi
δri
k
=
Q
j
δq
j
=0
，得到方程
i=1
j =1
组；
6. 求解。
δWN FNi δri 0
光滑接触面约束、光滑铰链约束、不可伸 长的柔性约束和刚体内力等都是理想约束。 常见的非理想约束有动滑动摩擦和弹簧。
拉格朗日 (1736‐1813)―意大利数学家， 研究变分法，第一位提出虚位移原理。
12.4 虚位移原理―静力学普遍方程 虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给
Q P cot φ 2
xB 2l cos φ δxB 2l sin φδφ
例12-3 螺旋压榨机在手柄上作用一个力偶， 其矩为2pl，螺杆的螺距为h，求平衡时对 被压物体的压力。
P 2l P
解：取手柄、螺杆和压板为研 P 2l
究对象，被压物体对压板的作 用力为N。
δφ
P
δr
设手柄虚转角为δφ，压板向下
曲柄连杆机构
y AxA, yA
Oφ
B xB , yB
x
约束方程：
xA2 yA2 r 2
xB xA 2 yB yA 2 l2
yB 0
2. 约束的分类
⑴ 几何约束：约束方程中只含坐标和时间。
f xi , yi ,zi ,t 0 只限制质点系的几何位置
⑵ 运动约束：约束方程中包含坐标对时间
理论力学12章
鼓轮动能 圆柱动能
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2 vC vC , 2 其中 1 2 R1 R2
整理，得
1
vC 2 T2 (2m1 3m2 ) 4
由动能定理，得
T2 T1 W12
因为 得
a b ab cos r 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r1
r2
即
k 2 W12 (1 2 2 ) 2
式中
1 r1 l0 ,
2 r2 l0
C1
2
主矢 + 主矩 （力） （力偶）
1
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代
数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
说明: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
C2
2
1
对于任何运动也适用
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2
相似性比较
（1）平移刚体的动能 平动 动能 转动
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
即
1 2 mv 2
1 J 2 2
再分析摆锤冲断试件后的上升过程。初始动能为T2（待求），末 动能为 0。重力做负功。由动能定理得
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2 vC vC , 2 其中 1 2 R1 R2
整理，得
1
vC 2 T2 (2m1 3m2 ) 4
由动能定理，得
T2 T1 W12
因为 得
a b ab cos r 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r1
r2
即
k 2 W12 (1 2 2 ) 2
式中
1 r1 l0 ,
2 r2 l0
C1
2
主矢 + 主矩 （力） （力偶）
1
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代
数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
说明: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
C2
2
1
对于任何运动也适用
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2
相似性比较
（1）平移刚体的动能 平动 动能 转动
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
即
1 2 mv 2
1 J 2 2
再分析摆锤冲断试件后的上升过程。初始动能为T2（待求），末 动能为 0。重力做负功。由动能定理得
第十二章 动量定理理论力学
→
→
说明：平面运动中的速度、角速度都是绝 对速度和绝对角速度。
第十二章 动量定理
2. 质点系的动量定理
21
如图所示质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi ，速度为 e i ， 作 用 于 该 质点上的 外 力 记 为 ， 内 力 记 为 vi Fi Fi 。 由牛顿第二定律
r r dvi mi = ΣFi 可表示为 dt r d
实例现象的解释实例现象的解释第十二章动量定理31深圳实施中国第一爆05年第十二章动量定理深圳实施中国第一爆05年第十二章动量定理深圳实施中国第一爆05年第十二章动量定理广州造纸厂100米高烟囱定向爆破成功05年起爆05秒起爆1秒第十二章动量定理起爆2秒爆破成功广州造纸厂100米高烟囱定向爆破成功05年第十二章动量定理合肥成功定向爆破58米高层建筑05年第十二章动量定理成都10层三电大厦成功定向爆破07年第十二章动量定理宜宾一楼定向爆破不成炸楼炸成比萨斜塔第十二章动量定理质系的内力不影响质心的运动只有外力才能改变质心的运动
第十二章 动量定理
3
§12-2 质点的动量定理 1.质点的动量 度量质点机械运动的一个物理量。质点的动量等于其质 量与速度的乘积，即
v r P = mv
Px = mvx Pz = mvz
Py = mv y
动量是矢量，动量的方向与速度方向相同。 在国际单位制中，动量的单位为kg·m/s。 动量的量纲是
24
则:
r P = C,
即:
r r P2 = P 1
P2 x = P 1x P2 y = P 1y P2 z = P 1z
vr
C2
mv C 1
A B
mvC 2
ωr = ω
牵连运动：定轴转动 牵连点：x’y’系上C2’点
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理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
第12章 虚位移原理及其应用
第12章 虚位移原理及其应用
静力学研究物体或物体系统处于平衡状态时，作用在物 体或物体系统上的所有外力（包括全部约束力）之间的相互 关系，即仅仅研究平衡的充分与必要条件，并不涉及平衡的 性质。 虚位移原理则是应用功的概念，研究受力物体或物体系 统平衡的普遍规律，不仅可以得到物体或物体系统的平衡条 件和平衡方程，而且还能判别平衡的性质－稳定性或不稳定 性。 虽然都是研究平衡问题，但是虚位移原理的分析方法不 同与静力学方法。
f (ri ) 0
i 1, 2,
, n
1, 2,
,s
f ( xi , yi , zi ) 0
ri ( xi , yi , zi )
s －为约束数。
－质点系中第i个质点的位矢；
基本概念
约 束
约束定义的扩展
y
刚性杆长为l的单摆，摆锤A的运动
所受的限制条件为
dT δ W
δ W＝－Fδ d
1
1
F2δ d2
dT 0
F1δ d1 F2δ d2
δd1 l1 δd 2 l2
Fl 1 1 F2l2
引 言
dT δ W
δW＝－F δd
1
1
F2δd2
dT 0
δd1 l1 δd 2 l2
F1δd1 F2δd2
Fl 1 1 F2l2
C R 0 x
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
C R 0 x
C 为轮心速度在轴x上的投影； x
R为轮半径；
为圆轮的角速度。
这一约束方程可以积分为不含速度项的约束方程
xC R 0
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
基本概念
约 束
基本概念
约 束
静力学中曾经从对运动的限制和受力两个方面对 约束作了定义和描述。现在需要对约束的定义加以 扩展。
基本概念
约 束
约束定义的扩展
为了用分析的方法研究物体的平衡规律，必须将约束分析化， 也就是用数学表达式描述约束。这时，约束对物体运动预加的限 制条件，将被表示为
对于完整约束系统，广义坐标个数称为该系统的自由度 （degree of freedom）。 如果完整约束系统由1，2，…,n个质点组成，加有s个 完整约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为
N 3n s
基本概念
广义坐标与自由度
如果完整约束系统由1，2，…,n个质点组成，加有s个完整 约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为
约束方程中无论包含质点速度，还是不包含质点速度，即
i 0 f ri 0 , f ri , r
i 1, , n
1, , s
只要约束方程可以积分成有限形式，这种约束便称为完整约束 （holonomic constraint）。 约束方程中包含质点速度，即
i 0 f ri , r
i 1, , n
1, , s
而且约束方程不可积分成有限形式，这种约束则称为非完整 约束（non -holonomic constraint）。
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
沿直线轨道作纯滚动的圆轮，C* 点为轮上一点，即速度瞬心。圆轮的 约束为 yC R v C * 0 其中，第一式为完整约束，第二式是包含质点速度的矢量形 式约束方程，但是根据 “刚体平面运动”一章介绍的基点法， 可以得到约束方程
基本概念
广义坐标与自由度
曲柄－滑块机构近似看成质 点集中在A、B二处的两质点组 成的系统。该系统s=3，因为是 平面系统，其自由度N=2×2－3 ＝1。选广义坐标q= ，不独立 的直角坐标(xA,yA,xB)可用表示为
y A R sin 2 2 2 x B R cos l R sin x A R cos
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
放置于二维固定斜面上质点P
δ r (δ r1 ,δ r2 )
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
简化成二质点系统的曲柄－滑块机构 可有两组虚位移
δrA1 , δrB1
第12章 虚位移原理及其应用
引 言 基本概念 虚位移原理 结论与讨论 参考性例题
第12章 虚位移原理及其应用
引
言
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引 言
工程静力学研究了物体或物体系统处于平衡状态 下，作用于其上的所有外力必须满足的条件。但是， 工程静力学的研究范围、研究方法以及所得到的结论 都有一定的局限性。例如： 1 ．刚体平衡的充要条件对变形体是必要的，但 不是充分的。刚体平衡的充要条件不是一般质点系 （含变形体）平衡的普遍规律。
x
x2 y2 l 2
基本概念
约 束
约束定义的扩展
与弹簧相连的小球A的运动虽然受 弹簧约束，但是却写不出类似的约束 方程，因为它是平面内的自由质点。
基本概念
约 束
约束定义的扩展
曲柄－滑块机构，曲柄长OA=R，连杆长AB=l，该系 统有三个约束方程 2 2 xA yA R2 yB 0 2 ( xB x A ) 2 y A l2
M C (F ) 0
Fl 1 1 F2l2
引 言
M C (F ) 0
Fl 1 1 F2l2
上述结论也可以从力作功得 到。杠杆工作的过程中，其初始 角速度与最终角速度一般均为零。 如果令 δd1 和 δd2 分别表示 A 点和 B 点满足约束的任意上升和下降的 距离，不考虑C铰的摩擦力，则据 动能定理可以写出
f (ri , t ) 0 i 1,, n
n－质点系中的质点总数； s －为约束的总数。
1, , s
ri ( xi , yi , zi )
－质点系中第i个质点的位矢；
基本概念
约 束
约束的分类－定常约束与非定常约束
安装在弹性基础上的电动机。若 已知转子以等角速旋转，这就给系统 施加了约束，约束方程用转子的转角 表示为yB 0Fra bibliotek 基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
用刚性杆悬挂的单摆为双面 约束
x2 y2 l 2
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
用细绳悬挂的单摆则为单面 约束，其约束方程为
x y l
2 2
2
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
引 言
2．刚体平衡的充要条件不能判别物体系 统平衡是稳定的还是不稳定的，即平衡稳定 性（stability of equilibrium）。以放置于不 同光滑约束面上的刚性圆球为例: 放置在凹面上圆球的平衡是稳定的 （stable equilibrium）； 放置在凸面上圆球的平衡则是不稳 定的（unstable equilibrium）； 放置在平面上圆球的平衡是随遇的 （indifferent equilibrium）。 但是，根据刚体静力学，只知道它们都是二 力平衡，却无法区分这三种平衡的类型。
δrA2 , δrB 2
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
放置于三维固定曲面上质点P
δ r (δ r1 ,δ r2 ,,δ rn )
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
三种系统如果在一定的主动力作用下，对于一定的起 始条件，在时间dt 间隔内，只可能产生一组真实位移dri， 当约束为定常约束时，它是各组虚位移中的一组。但是， 若为非定常约束，例如斜面上的质点，如果二维斜面也有 运动，则点P的dr 将不再是两组虚位移中的任何一组。
t
式中t 为时间。弹性基础对电动机的约束就是非定常约束。
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
约束方程可以写成等式的约束，称为双侧约束（bilateral constraint ），即
f (ri ) 0
i 1, , n
1, , s
约束方程不能写成等式、只能写成不等式的约束，称为单 侧约束（un-bilateral constraint），即
这是由功能概念和理论得到的结果，它与应用刚体静 力学方法所得到的结果完全相同。由此可见，根据作用在 系统上的有功力在其平衡位置附近的位移上做功的关系， 也可以建立系统的平衡条件。 这是虚位移原理的最简单的例子。
第12章 虚位移原理及其应用
基本概念
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基本概念
约 束 广义坐标与自由度 虚位移与虚功 理想约束
f ri 0 , f ri 0
i 1, , n
1, , s
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
被约束在双面滑道中的滑 块(B)运动的约束方程为
yB 0
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
被约束在单面滑道的滑块(B) 运动的约束方程为
C R 0 x
xC R 0
因此，纯滚动这种约束是 完整约束，而不是非完整约束。
需要注意的是，实际约束往往是上述定义的几种约束的 组合。本课程主要研究完整、定常和双侧约束。
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
第12章 虚位移原理及其应用
第12章 虚位移原理及其应用
静力学研究物体或物体系统处于平衡状态时，作用在物 体或物体系统上的所有外力（包括全部约束力）之间的相互 关系，即仅仅研究平衡的充分与必要条件，并不涉及平衡的 性质。 虚位移原理则是应用功的概念，研究受力物体或物体系 统平衡的普遍规律，不仅可以得到物体或物体系统的平衡条 件和平衡方程，而且还能判别平衡的性质－稳定性或不稳定 性。 虽然都是研究平衡问题，但是虚位移原理的分析方法不 同与静力学方法。
f (ri ) 0
i 1, 2,
, n
1, 2,
,s
f ( xi , yi , zi ) 0
ri ( xi , yi , zi )
s －为约束数。
－质点系中第i个质点的位矢；
基本概念
约 束
约束定义的扩展
y
刚性杆长为l的单摆，摆锤A的运动
所受的限制条件为
dT δ W
δ W＝－Fδ d
1
1
F2δ d2
dT 0
F1δ d1 F2δ d2
δd1 l1 δd 2 l2
Fl 1 1 F2l2
引 言
dT δ W
δW＝－F δd
1
1
F2δd2
dT 0
δd1 l1 δd 2 l2
F1δd1 F2δd2
Fl 1 1 F2l2
C R 0 x
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
C R 0 x
C 为轮心速度在轴x上的投影； x
R为轮半径；
为圆轮的角速度。
这一约束方程可以积分为不含速度项的约束方程
xC R 0
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
基本概念
约 束
基本概念
约 束
静力学中曾经从对运动的限制和受力两个方面对 约束作了定义和描述。现在需要对约束的定义加以 扩展。
基本概念
约 束
约束定义的扩展
为了用分析的方法研究物体的平衡规律，必须将约束分析化， 也就是用数学表达式描述约束。这时，约束对物体运动预加的限 制条件，将被表示为
对于完整约束系统，广义坐标个数称为该系统的自由度 （degree of freedom）。 如果完整约束系统由1，2，…,n个质点组成，加有s个 完整约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为
N 3n s
基本概念
广义坐标与自由度
如果完整约束系统由1，2，…,n个质点组成，加有s个完整 约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为
约束方程中无论包含质点速度，还是不包含质点速度，即
i 0 f ri 0 , f ri , r
i 1, , n
1, , s
只要约束方程可以积分成有限形式，这种约束便称为完整约束 （holonomic constraint）。 约束方程中包含质点速度，即
i 0 f ri , r
i 1, , n
1, , s
而且约束方程不可积分成有限形式，这种约束则称为非完整 约束（non -holonomic constraint）。
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
沿直线轨道作纯滚动的圆轮，C* 点为轮上一点，即速度瞬心。圆轮的 约束为 yC R v C * 0 其中，第一式为完整约束，第二式是包含质点速度的矢量形 式约束方程，但是根据 “刚体平面运动”一章介绍的基点法， 可以得到约束方程
基本概念
广义坐标与自由度
曲柄－滑块机构近似看成质 点集中在A、B二处的两质点组 成的系统。该系统s=3，因为是 平面系统，其自由度N=2×2－3 ＝1。选广义坐标q= ，不独立 的直角坐标(xA,yA,xB)可用表示为
y A R sin 2 2 2 x B R cos l R sin x A R cos
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
放置于二维固定斜面上质点P
δ r (δ r1 ,δ r2 )
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
简化成二质点系统的曲柄－滑块机构 可有两组虚位移
δrA1 , δrB1
第12章 虚位移原理及其应用
引 言 基本概念 虚位移原理 结论与讨论 参考性例题
第12章 虚位移原理及其应用
引
言
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引 言
工程静力学研究了物体或物体系统处于平衡状态 下，作用于其上的所有外力必须满足的条件。但是， 工程静力学的研究范围、研究方法以及所得到的结论 都有一定的局限性。例如： 1 ．刚体平衡的充要条件对变形体是必要的，但 不是充分的。刚体平衡的充要条件不是一般质点系 （含变形体）平衡的普遍规律。
x
x2 y2 l 2
基本概念
约 束
约束定义的扩展
与弹簧相连的小球A的运动虽然受 弹簧约束，但是却写不出类似的约束 方程，因为它是平面内的自由质点。
基本概念
约 束
约束定义的扩展
曲柄－滑块机构，曲柄长OA=R，连杆长AB=l，该系 统有三个约束方程 2 2 xA yA R2 yB 0 2 ( xB x A ) 2 y A l2
M C (F ) 0
Fl 1 1 F2l2
引 言
M C (F ) 0
Fl 1 1 F2l2
上述结论也可以从力作功得 到。杠杆工作的过程中，其初始 角速度与最终角速度一般均为零。 如果令 δd1 和 δd2 分别表示 A 点和 B 点满足约束的任意上升和下降的 距离，不考虑C铰的摩擦力，则据 动能定理可以写出
f (ri , t ) 0 i 1,, n
n－质点系中的质点总数； s －为约束的总数。
1, , s
ri ( xi , yi , zi )
－质点系中第i个质点的位矢；
基本概念
约 束
约束的分类－定常约束与非定常约束
安装在弹性基础上的电动机。若 已知转子以等角速旋转，这就给系统 施加了约束，约束方程用转子的转角 表示为yB 0Fra bibliotek 基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
用刚性杆悬挂的单摆为双面 约束
x2 y2 l 2
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
用细绳悬挂的单摆则为单面 约束，其约束方程为
x y l
2 2
2
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
引 言
2．刚体平衡的充要条件不能判别物体系 统平衡是稳定的还是不稳定的，即平衡稳定 性（stability of equilibrium）。以放置于不 同光滑约束面上的刚性圆球为例: 放置在凹面上圆球的平衡是稳定的 （stable equilibrium）； 放置在凸面上圆球的平衡则是不稳 定的（unstable equilibrium）； 放置在平面上圆球的平衡是随遇的 （indifferent equilibrium）。 但是，根据刚体静力学，只知道它们都是二 力平衡，却无法区分这三种平衡的类型。
δrA2 , δrB 2
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
放置于三维固定曲面上质点P
δ r (δ r1 ,δ r2 ,,δ rn )
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
三种系统如果在一定的主动力作用下，对于一定的起 始条件，在时间dt 间隔内，只可能产生一组真实位移dri， 当约束为定常约束时，它是各组虚位移中的一组。但是， 若为非定常约束，例如斜面上的质点，如果二维斜面也有 运动，则点P的dr 将不再是两组虚位移中的任何一组。
t
式中t 为时间。弹性基础对电动机的约束就是非定常约束。
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
约束方程可以写成等式的约束，称为双侧约束（bilateral constraint ），即
f (ri ) 0
i 1, , n
1, , s
约束方程不能写成等式、只能写成不等式的约束，称为单 侧约束（un-bilateral constraint），即
这是由功能概念和理论得到的结果，它与应用刚体静 力学方法所得到的结果完全相同。由此可见，根据作用在 系统上的有功力在其平衡位置附近的位移上做功的关系， 也可以建立系统的平衡条件。 这是虚位移原理的最简单的例子。
第12章 虚位移原理及其应用
基本概念
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基本概念
约 束 广义坐标与自由度 虚位移与虚功 理想约束
f ri 0 , f ri 0
i 1, , n
1, , s
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
被约束在双面滑道中的滑 块(B)运动的约束方程为
yB 0
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
被约束在单面滑道的滑块(B) 运动的约束方程为
C R 0 x
xC R 0
因此，纯滚动这种约束是 完整约束，而不是非完整约束。
需要注意的是，实际约束往往是上述定义的几种约束的 组合。本课程主要研究完整、定常和双侧约束。