信号与系统第六章 应用
《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第六章-2
An-1n -1 a An-2 An-3 Bn-1 n -3 Cn-1n -5 Dn-1 -7 a a an … Bn-2 Bn-3 B2 0 0 Cn-2 Cn-3 0 0 0 Dn-2 … Dn-3 …
Ai −1 =
M
第(n-1)行 A2 第n行 第(n+1)行
An − 2 =
3
∴ H 3 ( s ) 系统不稳定
以上两个性质是判断系统稳定的必要条件
第六章 连续时间系统的系统函数
(二) 罗斯－霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据） 罗斯－霍维茨（ 准则（
内容： 若 内容： D(s) = an sn + an−1sn−1 +L+ a1s + a0 的根全部位于s左半平面的充要条件是 左半平面的充要条件是： 则 D(s) = 0 的根全部位于 左半平面的充要条件是： （ⅰ）D ( s ) 的全部系数 a i 为正，无缺项； 为正，无缺项； 罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( )符号相同 （ⅱ）罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( A i )符号相同 -6 R－H阵列： 1行 An an Bn an -2 Cnan -4 Dnan… … 阵列： － 阵列 第
第六章 连续时间系统的系统函数
例 4 反馈系统
F(s) + _ E(s) G(s)
H(s)
Y(s)
前向通道 , 反馈通道 H ( s ) = K 问当常数满足什么条件时，系统是稳定的？ 解： E ( s) = F ( s) − H ( s)Y ( s)
Y ( s ) = E ( s )G ( s ) = G ( s ) F ( s ) − G ( s ) H ( s )Y ( s )
信号与系统在生活中的应用
信号与系统在生活中的应用一、引言信号与系统是现代通信、控制、计算机等领域的重要基础知识，其应用广泛。
本文将从生活中的角度出发，介绍信号与系统在各个方面的应用。
二、通信领域1. 手机通讯手机通讯是当今社会不可或缺的一种通讯方式。
在手机通讯中，信号与系统起着至关重要的作用。
手机通过天线接收到来自基站发射的无线电波信号，并经过解调等处理后将信息传输给用户。
2. 互联网通讯互联网通讯是指通过互联网进行信息交流和传输的一种方式。
在互联网通讯中，数据以数字形式传输，需要经过编码和解码等处理才能正确地传输和接收。
三、音频领域1. 音乐播放器音乐播放器是人们日常生活中常用的一种设备。
在音乐播放器中，信号与系统起着至关重要的作用。
音乐以模拟信号形式存储在磁带或光盘上，在经过解码等处理后才能转换成声音输出。
2. 语音识别技术语音识别技术是指将人类语音转换成计算机可识别的数字信号的一种技术。
在语音识别技术中，信号与系统起着至关重要的作用。
语音信号需要经过滤波、降噪等处理后才能准确地识别。
四、视频领域1. 数字电视数字电视是指将模拟电视信号转换成数字信号进行传输和接收的一种技术。
在数字电视中，信号与系统起着至关重要的作用。
数字电视需要经过编码和解码等处理才能正确地传输和接收。
2. 视频监控视频监控是指通过摄像头等设备对特定区域进行监控和录像的一种技术。
在视频监控中，信号与系统起着至关重要的作用。
摄像头采集到的图像需要经过压缩、编码等处理后才能正确地传输和存储。
五、医疗领域1. 医学影像设备医学影像设备是指用于医学影像检查和诊断的一类设备，如X光机、CT机、MRI机等。
在医学影像设备中，信号与系统起着至关重要的作用。
医学影像需要经过滤波、增强等处理后才能清晰地显示。
2. 生命信号监测生命信号监测是指对人体各种生理信号进行实时监测的一种技术。
在生命信号监测中，信号与系统起着至关重要的作用。
生理信号需要经过滤波、放大等处理后才能准确地监测和记录。
信号与系统第六章习题答案
第六章 离散系统的Ｚ域分析 ６．１学习重点 1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。
2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。
3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。
4、z 域系统函数()z H 及其应用。
5、离散系统的稳定性。
6、离散时间系统的z 域模拟图。
7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。
６．２ 教材习题同步解析 6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。
（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式 【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。
信号与系统 (11)
它在使用中有一些不便： 1） 不能解决信号动态范围与精度之间的矛盾； 2） 不能解决频率范围与精度之间的矛盾；
波特图采用对数坐标，解决上面的问题。而且它有利 于系统综合。
二、 对数频率特性
假设： H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω ) 。对其取对数：
G(ω) = 20log[H ( jω) ]
单位：分贝(Deci-Bel,dB)。 奈培与分贝的转换关系：1 Np = 8.686 dB
在理论分析中，一般使用 Np；在实际应用中，一般使 用 dB
用分贝表示增益，解决了信号动态范围与精度之间的 矛盾。如果在频率坐标中同样使用对数坐标，则同样可以 解决频率的范围与精度之间的矛盾。
这样一来就形成了波特图。
H ( jω)
80dB 10000
60dB 1000
40dB 100
20dB 10
01
0.001 0.01 0.1
1
-20dB
10 100 1000 10000
ω
波特图的横坐标可以用 logω ，也可以用 log f ;
在波特图的横坐标上，一般直接标注频率值；
波特图的横坐标上只能表示 ω > 0 或者 f > 0 频率下
函函
电流传输函数：
数
数
电流 I1(s) 电流 I2(s)
Ti21(s)
=
I2(s) I1(s)
电压传输函数：
电压U1(s) 电压U2 (s)
Tu
21(s)
=
U2(s) U1(s)
三、 H (s) 、 H ( p) 、 H ( jω ) 、 h(t) 之间关系
信号与系统第三版 第六章习题答案
2 t 2
cos
2 2
t ]u (t )
6.13 一个因果LTI系统的频率响应为：
5 jw 7 H ( jw) ( jw 4)[( jw) 2 jw 1]
(a) 求该系统的冲激响应
(b) 试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 (c)试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 解:(a) 5 jw 7 1 jw 2
I 2 (w) 2 jw H ( jw) E (w) 8 jw 3
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
2 jw 1 H ( jw) 8 jw 3 4
h(t ) F 1{H ( jw)}
3 32 3 jw 8 3t 1 3 8 (t ) e u (t ) 4 32
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
3 3 3( jw 3) 2 H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw 2) jw 4
3 2t h(t ) F {H ( jw)} (e e 4t )u (t ) 2 (c) 3( jw 3) 3 jw 9 Y ( w) H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw) 6 jw 8 X ( w)
1 X ( w) ( jw 2) 2
Y (w) H ( jw) X (w)
2 Y ( w) 3 ( jw 2) ( jw 4)
1 1 4 2 3 ( jw 2) ( jw 2) ( jw 2) ( jw 4) 1 4 1 2
1 2t 1 2t 1 2 2t 1 4t y (t ) F {Y ( w)} ( e te t e e )u (t ) 4 2 2 4 2 2 ( jw ) 2 (c) H ( jw) ( jw) 2 2 jw 1
信号与系统第6章拉氏变换
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
信号与系统 第六章
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
信号与系统-第6章信号与系统的时域和频域特性
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
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根据相乘性质，则有
Y ( j)
1 2π
X
( j)
UC
( j)
对于载波信号的复指数的傅里叶级数为：
UC ( j) 2π ( c )
因此有
Y ( j) X [ j( c )]
由此可见，已调信号的频谱即为基带信号频谱，只是在频率轴上 位移了一个等于载波频率 c 的量。其调制过程中频谱如 图6-5所示。
图6-5 复指数载波的幅度调制频谱关系
二 正弦载波的幅度调制 对于正弦载波的幅度调制，实现原理如图6-6所示。
U C ( j) π[ ( c ) ( c )]
根据相乘性质，则有
Y
(
j)
1 2
[
X
(
j(
c
))
X
(
j(
c
))]
正弦载波幅度调制过程的频谱关系如图6-7所示
k
这F（就j是）说的，叠Fp加（所j组）成是，频但率在幅的度周上期有函数的T1，变它化由，一如组图移6位-3的所示。
图6-3 时域采样在频域中的效果
三 零阶保持采样
通过冲激串采样可以知道一个限带信号唯一 地可以用它的样本来代表。而实际上，产生 和传输窄而幅度大的脉冲是相当困难的。因 此采用零阶保持采样更为常见些。零阶保持
UC (ej ) 2π ( c 2kπ) k
Fs(j)=
1 Ts
F ( j(ω ns ))
n
零阶保持采样信号 ƒs0(t)可认为是ƒs(t)通过 系统h0(t)=u(t)-u(t-Ts)产生的波形， 即ƒs0(t)= ƒs(t) h0(t）
一般情况下，在通信系统中，只要求幅频特性尽可能满足补偿要求， 而相频特性可以不用满足。我们需要有样本值重建原始信号，这个 过程称为内插，内插可以是近似的也可以是精确的。
y [n]= x[n] uc[n]
分别用X(ejω), Y(ejω)和UC(ejω)来代表x[n]，y [n]， uc[n]的傅里叶变换，则
Y(jω)=
1
2π
x(e
2π
j
)U
C
(e
j(
)
)d
先考虑载波信号为复指数的正弦信号，由于载波信号uc[n]的傅
里叶变换是一个周期冲激串，即
函数相乘以后就将冲激发生的这一点的信号值采样出来
由时域相乘性质知道
Fp（j）=
1 2π [F（j）P（j）]
而P（j）=
2π
(ω ks )
T k
1
T因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有
Fp（）=
1
T
X [ j(ω ks )]
三 脉冲串载波调制
在前面讨论的幅度调制是用正弦载波，另一类重要的幅 度调制技术利用的载波信号是一个脉冲串，如图6-8所示。 这种类型的幅度调制相应于等间隔地传输时隙样本。一般 来说，不能期望任何一个信号都能从这样一组时隙样本中
得到恢复。从上一节采样概念的讨论中得知，如果x(t)
是带限的，并且脉冲重复频率足够高，是可能得到恢复的。
图6-8 脉冲串幅度调制
由图6-8得
y(t)= x(t) uc（t）
由相乘性质可得
Y
(
j)
1 2π
X
(
j)
UC
(
j)
是
UC ( j) 2π k ( kc )
k
Y ( j是) X ( j的) 加权和移位的各部分之和，即
Y ( j) k X[j( kc )] k
采样是在一个给定的瞬间对ƒ(t)采样，并保
持这一样值到下一个样本被采到为止，因此 得到的输出波形具有阶梯形状。如图6-4所示。
图6-4 作为冲激串采样，再紧跟一个具有短形单位冲激响应 的LTI系统的零阶保持
冲激序列抽样信号
ƒs(t)=ƒ(t) (t nTs) n
傅里叶变换为
四 欠采样的效果: 混叠现象
在前面的讨论中，都假定采样频率足够高，因而满足采样
定理的条件。当不满足采样定理，即s≤2M时，x(t)的 频谱不再在抽样信号的频谱中重复，因此利用低通滤波器 也不能把x(t)从采样信号中恢复出来。这时频谱中的某些 项发生重叠，这一现象称为混叠。
2 调制
一般而言，在所有通信系统中，源信息都要首先被某一发射 装置或调制器所处理，以便将它变化到在通信信道上最适合 传输的形式，而在接收端又通过适当的处理将信号给予恢复， 这一过程即为调制与解调。将某一个载有信息的信号嵌入另 一个信号的过程一般称之为调制;而将这个载有信息的信号提 取出来的过程称为解调。 两种重要的调制方法
对于y(t)的频谱类似于周期冲激串采样所得的频谱，唯一的区别在
脉冲串的傅里叶系数值上。脉冲串载波调制频谱如图6-9所示。
四 离散时间调制
一个离散时间幅度调制系统如图6-10所示，其中uc[n]为载波， x[n]为调制信号，y [n]为已调信号。分析连续时间幅度调制
的基础是傅里叶变换的相乘性质，这就是时域内相乘相当频域 内的卷积。由图可得
★弦载波幅度调制 ★脉冲串载波调制。
一 正弦载波幅度调制
以复指数信号或正弦信号uc（t）的振幅被载有信息的信号 x(t)相乘即为调制。信号x(t)为基带信号，uc（t）为载波信 号，已调信号用y(t)表示，则
y(t)= x(t) uc（t）
1.复指数载波的幅度调制 载波信号为复指数形式：
uc (t) e j(ct c )
1 采样 一 采样定理 采样定理：对连续时间信号进行数字处理，必须首先对信号
进行抽样。所谓“抽样”就是利用抽样脉冲序列P(t)从连续信号 ƒ(t)中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“抽样
信号”，如图6-1所示。
图6-1 采样过程
二 冲激串采样
为了对连续时间信号在均匀间隔上 采样，一种有用的办法是通过用一 个周期冲激串去乘待采样的连续时
间信号ƒ(t) 。这一方法称为冲激串
采样如图6-2所示。该周期冲激串
P(t) 称为采样函数，周期T称为采 样周期，而P(t) 的基波频率 s=2/T称为采样频率。
图6-2 冲激串采样
在时域中有
ƒp(t) =ƒ(t)p(t)
其中
P(t)= (t nT )
n
由单位冲激函数的采样性质可知，ƒ(t)被一个单位冲