导数的加法与减法法则
导数四则运算法则口诀
导数四则运算法则口诀1. 导数加减别犯愁，各自求导一起凑，就像把菜分着炒，最后装盘乐悠悠。
2. 乘的导数不简单，前导后不导加后导前不导，好似两人抬杠把活干，分工明确才不乱。
3. 导数除法有妙法，下导上不导减上导下不导，分母平方别忘掉，就像分蛋糕要公道。
4. 求导相加像组队，各自本事都得会，如同超级英雄汇，力量相加不喊累。
5. 相减求导也不难，各自发挥别偷懒，好像两只小蚂蚁，分开干活有成绩。
6. 乘式求导似拼图，前块后块都得顾，缺了哪块都不行，就像搭乐高要稳固。
7. 导数除法像分金，分子分母都操心，稍有差错就不行，好似走钢丝要小心。
8. 加法求导很直白，两个导数加起来，仿佛两个朋友手拉手，一起向前走啊走。
9. 减法求导别混淆，导数相减就拉倒，就像两个对手在赛跑，拉开差距见分晓。
10. 乘积求导规则妙，前导后不导加后导前不导，如同双人舞配合好，动作协调分数高。
11. 除法求导要记牢，下导上不导减上导下不导，就像分糖果有技巧，分得不均要挨吵。
12. 求导相加心莫慌，各自导数来帮忙，像一群小鸟聚一堂，叽叽喳喳把路闯。
13. 相减求导不复杂，导数相减就好啦，好似两个大力士拔河，力量差来定结果。
14. 乘式求导像造车，前部件后部件都要测，少个螺丝都出错，规则遵守才合格。
15. 导数除法像分粮，计算仔细不能忘，差之毫厘谬千里，如同走迷宫要明亮。
16. 加法求导像拼图块，各自导数往上盖，拼好之后真愉快，简单直接不奇怪。
17. 减法求导如减体重，该减的数别放纵，就像减肥要自控，不多不少才有用。
18. 乘积求导似合作，前导后不导和后导前不导结合，就像合唱团一起和，美妙声音震山河。
导数的加减法法则
分析： 本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在 x 1处的导数，即
可写出切线方程。
解答
解： 设 f (x) x3和 g(x) 1 ，
x
由函数差的求导法则 f (x) g(x) f (x) g(x)
6
x 2y
3 0
6
2. 若曲线 f (x) x4 x 在 P 处的切线平行于直
线 y 3x ，求 P 点坐标。 (1,0)
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。 a 10
3
小结
＊ 求导的加减法法则： 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
( x x2 ) x (x2 )
所以 f (x) g(x) f (x) g(x) 同理 f (x) g(x) f (x) g(x)
概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
分析
例2 求曲线 y x3 1 过点(1,0) 的切线方程。 x
分析
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
(1) y 3 x2 2x (2) y 4x log3 x (3) y sin x ex
（4） (cos x) sin x
（5） (a x ) a x ln a (a 0, a 1)
3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)
一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知曲线y=x6在点P处的切线与直线y= 1 x +3垂直，则此切线
6
的方程为(
)
(A)x+6y+5=0
(C)x-6y+5=0
(B)6x+y+5=0
(D)6x-y+5=0
【解析】选B.设切点坐标为（x0,x06），则切线的斜率 k=6x05=-6,∴x0=-1,∴切点为(-1,1)，∴切线方程为y-1= -6(x+1)即6x+y+5=0.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程，
∴ x0ex =ex , x 0 =1,
0 0
∴切点为（1，e），斜率为e. 答案：(1,e) e
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数：
xm + n x （1）y=cotx-cosx;(2)y=ex+log3x;(3)y= (n≠0). x
【解析】∵f′(x)=cosx+ 1 ,∴f′(1)=cos1+1. x 答案：1+cos1
5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ______，切线 的斜率为 ______.
【解析】设切点坐标为 (x 0 ,ex ), 则过该切点的直线的斜率为
0
x x ex0 , ∴切线方程为 y-e 0 =e 0 (x-x0 ).
)
2.（5分）曲线y=x3-x与直线y=2x+b相切，则实数b= ______.
【解析】设切点为（x0,x03-x0），则f′(x0)=3x02-1=2, ∴x0=〒1,当x0=1时，切点为（1，0）代入y=2x+b得b=-2, 当x0=-1时，切点为（-1，0），代入y=2x+b得b=2. 答案：〒2
4.1导数的加法与减法法则
§4.1导数的加法与减法法则 姓名一、学习目标：1. 了解两个函数的和、差的求导公式；2. 会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3. 能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、学习过程（一）复习【自主及时完成】:1.设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个 （这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的 。
在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的 ，通常用符号)(0x f '或 0x x y =' 表示，记作0()f x '= 。
2. 导数（函数的瞬时变化率）的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点（ ， ）处的切线的斜率k ，即0()f x '= 。
3．函数y ＝f (x )在点x 0处切线的方程是________________ _ . （1）求曲线在P 点处的切线方程的基本步骤: ①求出确定P 点的坐标00(,())x f x ;②求出函数在点0x 处的变化率（函数在x= x 0处的导数）0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 4. 导函数【自主完成】一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为 ：f ′(x )＝lim Δx →0，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 5. 求导公式常数函数的导数：①若f (x )＝C ，则f ′(x )＝ ；幂函数的导数： ②若f (x )＝x n (x ∈N ＋)，则f ′(x )＝ ；三角函数的导数：③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝ ；④若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝ ；指数函数的导数：⑤若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝ (a >0)；⑥若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝ ； 对数函数的导数：⑦若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝ (a >0，且a ≠1)； ⑧若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ .（二）自主解答课本42页“实例分析”：求函数y=f(x)=x+2x 导函数。
导数的加减法法则
求 f (x) x x2 的导函数。
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
所以
同理
第五页，课件共有16页
概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
及求导公式可得：
将x 1 代入上式得：
故所求切线方程为：
即 k切线 4
即 4x y 4 0 巩固练习
第十六页，课件共有16页
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。
第九页，课件共有16页
小结
＊ 求导的加减法法则：
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
第六页，课件共有16页
例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
例2 求曲线 y x3 1 过点 x
分析 的切线方程。
分析
第七页，课件共有16页
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
y
1 2x
1 cos2
x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x值有几
个？
两个，±1
例2
第八页，课件共有16页
动手做一做
1. 求曲线 y cosx在 x 处的切线斜率和方
程。
导数的加减法法则
由函数和的求导法则
x
它们的导数分别 依据是？ 是？依据是？
g′( x ) = 2 ln 2
导数公式
[ f (x) + g(x)]
可得： 可得：
′
= f ′( x) + g′( x)
( x 2 + 2 x )′ = 2 x + 2 x ln 2
（2）由函数差的求导法则 ）
3
分析
动手做一做
1. 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
y′ =
2 3 x
x
3
+2
(1) y = 3 x 2 + 2 x ( 2) y = 4 + log 3 x
x
1 y′ = 4 ln 4 + x ln 3
( 3) y = sin x − exBiblioteka y′ = cos x − ex
y′ = 1 − 2 2 x cos x 1
1 ( a > 0, a ≠ 1) （6） (log a x )′ = ） x ln a 1 ′= (ln x ) x
(e x )′ = e x
返回
(4) y = x 0.5 − tan x
2. 使得函数 y 个？
3
的导数等于0的 = 2 x − 6 x 的导数等于 的 x 值有几 两个， 两个，±1 例2
动手做一做
1. 求曲线 程。
y = cosx 在 x =
1 k =− 2
π
处的切线斜率和方
x + 2y − 3 −
6
π
6
=0
2. 若曲线 f ( x ) = x 4 − x 在 P 处的切线平行于直 线 y = 3 x ，求 P 点坐标。 (1,0) 点坐标。 提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。 提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。 3. 已知 y = ax 3 + 3 x 2 + 2，它在 线斜率是 4 ，求 a 值。
2.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修2-2)
答案：〒2
3.（5分）若曲线y=x3-x+1上动点P处切线的倾斜角为α ，则角
α 的取值范围是_________.
【解析】∵y=x3-x+1, ∴y′=3x2-1, 设切点为P(x0,y0), 则k=tanα=3x02-1≥-1,
又∵α∈［0,π),
∴0≤α< 或 3 ≤α<π, 2 4 答案：{α|0≤α< 或 3 ≤α<π} 2 4
2.已知三次函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=0,
f′(2)=3,f′(3)=12,则f(x)-f(0)=__________.
【例3】已知曲线方程为y=x3+1，试求该曲线在点（1，2）处
的切线与坐标轴所围成的三角形的面积.
思路点拨：解答本题时可先利用导数求切线方程，进而确定 切线与坐标轴围成的三角形的特点，最后求其面积.
(B)-cosx-sinx
(D)cosx-sinx
2.曲线运动方程为S= 1-t +t 2 , 则t=2时的速度为（ t2 （A）4 （B）8 （C）10 （D）12
）
【例2】设y=f(x)是二次函数，方程f(x）=0有两个相等的实
根，且f′（x)=2x+1.求y=f(x）的函数表达式.
思路点拨：解答本题先根据f′(x)设出f(x)的表达式，再利 用根的判别式为0求常数项.
课程目标设置
主题探究导学
2.利用导数的和（差）公式进行导数运算的前提条件是什么？ 提示：应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式； ②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出.
典型例题精析
【练一练】1.若y=sinx-cosx，则y′=（
4.1导数的加法与减法法则
即曲线y x 在1 点（1,0）处的切线斜率为2， x
从而其切线方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0
【提升总结】 运用导数的运算法则解决曲线切线问题的方法 求曲线在某点处的切线方程，则切线的斜率就是 该点处的导数值。利用求导公式和导数运算法则 求出该点处的导数值，即得切线的斜率，再切线 方程.
2x 2x ln 2.
（2）函数 y x是函ln 数x 与f x x gx ln x
的差，由导数公式表分别得出
f x 1 , gx 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则可得
x ln x f x gx
1 1. 2x x
则此函数解析式为（ B ）
A. f (x) x4 B. f (x) x4 2 C. f (x) x4 1 D. f (x) x4 2
解析： f x知 4x3 f (x) x将4 x=c1,代入得c=-2，
故f(x)=x4-2.
3. y ax ex (a 0,a 1) 的导数为__a_x__ln__a____e_x_.
函数 y x是3 函1数 x
f x的 差x，3与gx 1
x
由导数公式表分别得
f
x
3x
2
,
g
xຫໍສະໝຸດ 1 x2.
根据函数差的求导法则可得
(x3
1 x
)
f
x
gx
3x 2
(
1 x2
)
3x 2
1 x2
.
将x=1代入导函数得y′= 3×1+1=4 .
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1
1
(4)(loga x)' __x__ln__a_; (5)(sin x)' ___c_o_s__x_; (6)(cos x)' ___s_i_n_ x_ .
(ln x)' _____x______;
2021/3/10
讲解：XX
3
情境导入
如果已知两个函数的导数,如何求 这两个函数的和,差的导数呢?
(3) y 1 ln x. x
2、课本72页练习第1、2题
2021/3/10
讲解：XX
10
课堂小结
导数的加法与减法法则是什么? 几个常用的函数的导数是什么?
y c(c是常数), y x (为实数),
y a x (a 0, a 1), y loga x(a 0, a 1), y sin x, y cos x, y tan x, y cot x.
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
2021/3/10
讲解：XX
2
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
(1)(C)' ____0_______;(C为常数)
(2)(x )' _____x___1__;(为常数)
(3)(ax )' ___a_x__ln__a__; (ex )' ___e__x______;
2021/3/10
讲解：XX
14
布置作业
课本 P75 习题3-4 A组 第1、2题
2021/3/10
讲解：XX
15
感谢您的阅读收藏，谢谢！
教学重点：函数和、差导数公式的应用
教学难点：灵活应用导数公式
2021/3/10
讲解：XX
6
合作探究
按照求函数导数的步骤 :
首先给定自变量x一个改变量x, 则函数值y的改变量为
y f (x x) f (x)
(x x) (x x)2 (x x2 ) x 2xx x2.
相应的平均变化率为
2021/3/10
讲解：XX
8
典例精讲
例1、求下列函数的导数 : (1) y x2 2; (2) y x ln x.
提示: 对于常用的几个函数的导数,可以熟 记,以便以后使用.
2021/3/10
讲解：XX
9
当堂检测
1、求下列函数的导数。 （1）y x3 2x; (2) f (x) x2 sin x;
北师大版选修 1-1
第三章《变化率与导数》
§4.1 导数的加法与减法法则
石泉中学：张艳琴
2021/3/10
讲解：XX
1
知识回顾
一、求函数的导数 f '(x) 的步骤是怎样的?
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
给出函数f (x) x x2 , 如何来求这个函数的导函数 ?
2021/3/10
讲解：XX
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学习目标
教学目标：
（1）了解两个函数的和、差的求导公式，能根据导数 公式和运算法则，求简单函数加法与减法的导数
（2）经历由两个函数和、差运算法则的求导过程，培 养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维方式；
（3）通过对简单函数求导数，培养学生的运算能力。
y x 2xx x2 1 2x x.
x
x
当x趋于0时,得到导数 : f (x) 1 2x.
可以看出: (x x2 ) x7
点拨精讲
两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即:
f (x) g(x) f (x) g(x), f (x) g(x) f (x) g(x).