Euler 方法
matlab中的向后euler方法
文章标题：深入理解Matlab中的向后Euler方法在数值计算中，求解常微分方程（ODE）是一个十分常见也是重要的任务。
其中，向后Euler方法是一种常用的数值求解方法之一。
在Matlab中，我们可以通过调用内置函数ode15s来使用向后Euler方法来求解ODE。
在本文中，我们将深入探讨Matlab中使用向后Euler方法求解ODE的原理和应用，并通过具体例子来展示其在实际工程中的价值。
1. 向后Euler方法的原理和特点向后Euler方法是一种隐式数值求解方法，其基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代的方式逼近实际解。
与前向Euler方法相比，向后Euler方法具有更好的稳定性和收敛性，特别在处理刚性ODE的时候表现更为突出。
在Matlab中，我们可以使用ode15s函数来调用向后Euler方法进行数值求解，其使用形式为[y, t] =ode15s(@(t,y)odefun,tspan,y0,options)。
2. 向后Euler方法在实际工程中的应用在实际工程中，ODE求解是一个非常重要的任务。
在控制系统设计中，经常需要求解系统的状态方程以完成系统设计和性能评估；在仿真和建模中，也需要对系统进行数值求解以获得系统的动态响应。
在这些应用中，向后Euler方法常常被用来求解刚性ODE，以获得更为准确和稳定的结果。
3. 使用Matlab进行向后Euler方法的数值求解在Matlab中，使用向后Euler方法进行数值求解非常方便。
通过调用ode15s函数，我们可以通过简单的参数设置来实现对ODE的求解。
下面通过一个简单的例子来展示如何使用Matlab中的向后Euler方法来求解ODE。
考虑一个一阶常微分方程dy/dt = -2y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用Matlab中的ode15s函数来对其进行数值求解。
具体代码如下：```matlabfunction yprime = odefun(t,y)yprime = -2*y;end[t, y] = ode15s(@odefun, [0 10], 1);plot(t, y, '-')xlabel('t');ylabel('y(t)');title('Solution of dy/dt = -2y using Backward Euler method');```通过运行以上代码，我们可以得到dy/dt = -2y的数值解。
euler 采样方法
euler 采样方法（原创实用版3篇）目录（篇1）1.Euler 采样方法的概述2.Euler 采样方法的原理3.Euler 采样方法的优缺点4.Euler 采样方法的应用实例5.Euler 采样方法的局限性和改进方向正文（篇1）一、Euler 采样方法的概述Euler 采样方法是一种在离散系统中广泛应用的时间步进方法，由数学家 Euler 首次提出，主要用于求解常微分方程的初值问题。
该方法通过对方程的解在每个时间步长上进行局部线性近似，从而获得离散系统中各个时刻的解。
二、Euler 采样方法的原理Euler 采样方法的基本思想是，将连续时间系统中的状态变量在每个时间步长上进行线性插值。
具体来说，设在某一特定时间步长 k，系统的状态变量为 x_k，对其进行局部线性近似，可得：x_{k+1} = x_k + h*f(x_k)其中，h 为时间步长，f(x_k) 为系统状态变量 x_k 的瞬时变化率，即系统的运动方程。
通过不断迭代上述公式，我们可以得到离散系统中各个时刻的状态变量。
三、Euler 采样方法的优缺点1.优点：Euler 采样方法简单易懂，实现起来较为方便，且具有一定的数值稳定性。
对于一些简单的系统，该方法可以得到较好的结果。
2.缺点：Euler 采样方法的数值稳定性较差，特别是在处理非线性系统或高阶系统时，可能会出现较大的误差。
此外，该方法对于系统的初始条件较为敏感，初始条件的微小变化可能导致结果的显著差异。
四、Euler 采样方法的应用实例Euler 采样方法在物理、工程和生物学等领域的数值模拟中都有广泛应用。
例如，在求解牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等方面，Euler 采样方法都可以发挥重要作用。
五、Euler 采样方法的局限性和改进方向虽然 Euler 采样方法在许多情况下可以得到合理的结果，但其数值稳定性和精度仍然有待提高。
为了克服这些问题，研究者们提出了许多改进的 Euler 方法，如改进的欧拉方法（Euler with improvement）、四阶龙格库塔法（4th order Runge-Kutta method）等。
Lagrange、Euler、ALE三种方法的简单介绍
Lagrange、Euler、ALE三种方法的简单介绍ALE、Lagrange、Euler是数值模拟中处理连续体的广泛应用的三种方法。
Lagrange方法多用于固体结构的应力应变分析，这种方法以物质坐标为基础，其所描述的网格单元将以类似“雕刻”的方式划分在用于分析的结构上，即是说采用Lagrange方法描述的网格和分析的结构是一体的，有限元节点即为物质点。
采用这种方法时，分析结构的形状的变化和有限单元网格的变化完全是一致的（因为有限元节点就为物质点），物质不会在单元与单元之间发生流动。
这种方法主要的优点是能够非常精确的描述结构边界的运动，但当处理大变形问题时，由于算法本身特点的限制，将会出现严重的网格畸变现象，因此不利于计算的进行。
Euler方法以空间坐标为基础，使用这种方法划分的网格和所分析的物质结构是相互独立的，网格在整个分析过程中始终保持最初的空间位置不动，有限元节点即为空间点，其所在空间的位置在整个分析过程始终是不变的。
很显然由于算法自身的特点，网格的大小形状和空间位置不变，因此在整个数值模拟过程中，各个迭代过程中计算数值的精度是不变的。
但这种方法在物质边界的捕捉上是困难的。
多用于流体的分析中。
使用这种方法时网格与网格之间物质是可以流动的。
ALE方法最初出现于数值模拟流体动力学问题的有限差分方法中。
这种方法兼具Lagrange方法和Euler方法二者的特长，即首先在结构边界运动的处理上它引进了Larange方法的特点，因此能够有效的跟踪物质结构边界的运动；其次在内部网格的划分上，它吸收了Euler 的长处，即是使内部网格单元独立于物质实体而存在，但它又不完全和Euler网格相同，网格可以根据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使得网格不致出现严重的畸变。
这种方法在分析大变形问题时是非常有利的。
使用这种方法时网格与网格之间物质也是可以流动的。
固体结构分析中一般都选用lagrange坐标，实际上lagrange euler法在有限元中体现的节点意义正如楼主所述，但是本质牵扯的是参考什么样的坐标来描述应力应变关系。
微分方程数值解法
微分方程数值解法微分方程数值解法微分方程数值解法【1】摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。
关键词:常微分方程数值解法 Euler方法改进Euler法1、Euler方法由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点的积分曲线，并且在该曲线上任一点处的切线斜率等于函数的值。
根据数值解法的基本思想，我们取等距节点，其中h为步长，在点处，以为斜率作直线交直线于点。
如果步长比较小，那么所作直线与曲线的偏差不会太大，所以可用的近似值，即：，再从点出发，以为斜率作直线，作为的近似值，即：重复上述步骤，就能逐步求出准确解在各节点处的近似值。
一般地，若为的近似值，则过点以为斜率的直线为：从而的近似值为：此公式就是Euler公式。
因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。
Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线。
举例说明：解： ,精确解为：1.2 -0.96 -1 0.041.4 -0.84 -0.933 0.9331.6 -0.64 -0.8 0.161.8 -0.36 -0.6 0.242.0 0 -0.333 0.332.2 0.44 0 0.44通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。
2、改进Euler法方法构造在常微分方程初值问题 ,对其从到进行定积分得:用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：用和来分别代替和得计算格式:这就是改进的Euler法。
解：解得：由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出问题的精确解是误差0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.021400.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.051830.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.094112.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。
euler 采样方法
euler 采样方法【原创版4篇】目录（篇1）1.欧拉采样方法的概念和原理2.欧拉采样方法的适用范围和特点3.欧拉采样方法的具体应用实例4.欧拉采样方法的优缺点分析5.欧拉采样方法在我国的发展现状和前景正文（篇1）欧拉采样方法是一种在数字信号处理领域广泛应用的采样方法。
它是以瑞士数学家欧拉的名字命名的，因为他首次提出了这种采样方法。
欧拉采样方法的概念和原理是，在一个离散的信号中，如果在一个采样周期内，信号的值变化不超过一个特定的值，那么这个信号就可以被认为是一个常数信号，只需要在一个采样点上进行采样即可。
欧拉采样方法的适用范围和特点主要体现在其能有效降低采样频率，从而节省存储空间和计算资源。
同时，欧拉采样方法适用于信号变化较为平缓的场景，如音频、视频信号的采样等。
欧拉采样方法的具体应用实例包括音频信号的采样、图像信号的采样等。
例如，在音频信号的采样中，如果音频信号的变化在一个采样周期内不超过一定的值，那么这个音频信号就可以被认为是一个常数信号，只需要在一个采样点上进行采样即可。
欧拉采样方法的优缺点分析，优点是能有效降低采样频率，节省存储空间和计算资源，适用于信号变化较为平缓的场景。
缺点是如果信号变化过于剧烈，可能会出现混叠现象，导致信号失真。
欧拉采样方法在我国的发展现状和前景看好。
随着数字信号处理技术的发展，欧拉采样方法在我国的应用也越来越广泛。
目录（篇2）1.Euler 采样方法的概念2.Euler 采样方法的原理3.Euler 采样方法的优缺点4.Euler 采样方法的应用实例正文（篇2）1.Euler 采样方法的概念Euler 采样方法是一种在数字信号处理中广泛应用的采样方法，主要用于音频信号、图像信号等数字信号的采样过程。
Euler 采样方法的名称来源于瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler），他在数学和物理学领域有着重要的贡献。
2.Euler 采样方法的原理Euler 采样方法基于欧拉公式，即 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式
Comparison with exact results
Temperature, θ(K)
1500
1000
500
0 0
-500
-1000
-1500
Exact solution
h=120 h=240
100
200
300
400
500
Tim e, t (sec)
h=480
Figure 4. Comparison of Euler’s method with exact solution for different step sizes 5
考虑形如
k
ynk ynk 1 h i fni i0
的 k步法，称为阿当姆斯（Adams)方法. k为显0式方法， 为隐k 式0方法，通常称为阿
当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adam -Monlton公式.
22
阿当姆斯显式公式
kp
公式
c p1
1 1 yn1 yn h fn
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn )
d dx
f
( xn ,
yn )
0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))]
=hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y'(xn) [fy’]n+
O局 故(h部修y3n)截正+1断 的= 误Eyun差l+er:h法yy(’具xddyn(x有y+(x1x)20n–))阶+fy精0n(+.xy15度0,=hy。2y)y(,”xxn)(–xnxy)n0+=OO((hh33))
Lagrange、Euler、ALE三种方法的简单介绍
Lagrange、Euler、ALE三种方法的简单介绍ALE、Lagrange、Euler是数值模拟中处理连续体的广泛应用的三种方法。
Lagrange方法多用于固体结构的应力应变分析，这种方法以物质坐标为基础，其所描述的网格单元将以类似“雕刻”的方式划分在用于分析的结构上，即是说采用Lagrange方法描述的网格和分析的结构是一体的，有限元节点即为物质点。
采用这种方法时，分析结构的形状的变化和有限单元网格的变化完全是一致的（因为有限元节点就为物质点），物质不会在单元与单元之间发生流动。
这种方法主要的优点是能够非常精确的描述结构边界的运动，但当处理大变形问题时，由于算法本身特点的限制，将会出现严重的网格畸变现象，因此不利于计算的进行。
Euler方法以空间坐标为基础，使用这种方法划分的网格和所分析的物质结构是相互独立的，网格在整个分析过程中始终保持最初的空间位置不动，有限元节点即为空间点，其所在空间的位置在整个分析过程始终是不变的。
很显然由于算法自身的特点，网格的大小形状和空间位置不变，因此在整个数值模拟过程中，各个迭代过程中计算数值的精度是不变的。
但这种方法在物质边界的捕捉上是困难的。
多用于流体的分析中。
使用这种方法时网格与网格之间物质是可以流动的。
ALE方法最初出现于数值模拟流体动力学问题的有限差分方法中。
这种方法兼具Lagrange方法和Euler方法二者的特长，即首先在结构边界运动的处理上它引进了Larange方法的特点，因此能够有效的跟踪物质结构边界的运动；其次在内部网格的划分上，它吸收了Euler 的长处，即是使内部网格单元独立于物质实体而存在，但它又不完全和Euler网格相同，网格可以根据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使得网格不致出现严重的畸变。
这种方法在分析大变形问题时是非常有利的。
使用这种方法时网格与网格之间物质也是可以流动的。
固体结构分析中一般都选用lagrange坐标，实际上lagrange euler法在有限元中体现的节点意义正如楼主所述，但是本质牵扯的是参考什么样的坐标来描述应力应变关系。
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| y( x ) y( xm ) | dx
Kh / 2 L
| y( xm ( x xm )) | ( x xm ) dx
( K LM )h2 / 2
其中： 0 1, M max | y( x ) | max | f ( x, y( x )) | 。
(*)
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注意:对于Euler方法
h2 将 R M1代入()式得： 若 0 y0 y x0 0， 2
m 1
hM 1 L( b a ) e 1 2L
这里M 1 =( K LM ), 可记为 m O h ,
说明Euler方法的整体截断误差与h同阶。
欧拉方法的几何意义：
y X
y x2
yn
y0
y x1
y1
y2
x0
x1
x2
X
h步长
Euler方法的几何意义
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xn
二、误差分析
Rm 称为局部截断误差，它表示当 ym y( xm )为
精确值时， 计算时 y( xm h) 的误差。
m y( xm ) ym , 记：
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从而有：
| m 1 || m | hL | m | R,
对任一 m 0,1,
, N 1, 有：
| m | (1 hL) | m 1 | R
(1 hL)2 | m 2 | (1 hL) R R
(1 hL)m | 0 | R (1 hL) j
Euler公式的误差
整体截断误差：
m y( xm ) ym ,
由：
y( xm h) y( xm ) hf ( xm , y( xm )) Rm ,
ym 1 ym hf ( xm , ym ),
m1 m h[ f ( xm , y( xm )) f ( xm , ym )] Rm。
j 0
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m 1
R (1 hL) | 0 | [(1 hL)m 1] hL
m
e
L( ba )
R L( ba ) | 0 | (e 1) hL
于是便得Euler方法的整体截断误差界
| m | e
L ( b a )
h K L ( b a ) | 0 | ( M )(e 1) 2 L
y0 y(a ),
则 Euler方法一致收敛于真解 y( xm ), 并且有估 估计式。
| m | e
L( ba )
h K L( ba ) | 0 | ( M )( e 1) 2 L
(*)
成立。
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隐式Euler方法 微分方程：
y f ( x , y ), a x b,| y | , y0 R , y ( a ) y0 ,
1 hL
m 1
0
e L( ba ) 0 .
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计算问题：
ym 1 ym h[ f ( xm , ym ) f ( xm 1 , ym 1 )]/ 2,
隐式计算格式由迭代法去完成。 将上式变形为
h h ym 1 f ( x m 1 , ym 1 ) y m f ( x m , y m ) 0 2 2 h h 记 ( y m 1 ) ym 1 f ( x m 1 , ym 1 ) y m f ( x m , y m ) 2 2
估计 m。 假设 f ( x , y ) 关于 x 满足Lipschitz条件：
| f ( x1 , y ) f ( x2 , y ) | K | x1 x2 |,
有：
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| Rm ||
xm 1 xm xm 1
[ f ( x , y( x )) f ( xm , y( xm ))]dx |
求ym 1 即求隐式方程 ( y m 1 ) 0 的根。
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总
结
通过对Euler方法的讨论可以看到,微分 方程数值方法的研究应包括以下方面:
1.数值计算公式的构造；
2.方法稳定性,收敛性的研究； 3.方法的误差估计； 4.方法的实现等。
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x[ a ,b ] << 第6页/共26页 >> x[ a ,b ]
记R ( K LM )h2 / 2，则有
| Rm | R
几何分析：
y y x
yi 1 yi hf x i , yi
yi xi
y xi 1
yi 1
xi 1
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则： 设 ym 为 y( xm )的近似值，
ym 1 ym h[ f ( xm , ym ) f ( xm 1 , ym 1 )]/ 2,
称为改进的Euler方法。
Rm 称为改进的Euler方法的局部截断误差。
误差分析： 仍记 m y( xm ) ym ,
Rm
xm 1 xm
h f ( x , y( x ))dx [ f ( xm , y( xm )) f ( xm 1 , y( xm 1 ))], 2
截去 Rm , 有：
y( xm 1 ) y( xm ) h[ f ( xm , ym ) f ( xm1 , ym1 )] / 2
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注意:对于Euler方法
1）一般来说，整体误差比局部误差低一阶。
2）方法的精度由整体误差决定, 但局部误差容易估计。
3）实际上， y x M的估计式中的M是不知道的。
因此难以使用上述结果。
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定理5
设f (x,y)属于F且关于x满足Lipschitz条件， 其Lipschitz常数为K， 且当 h 0 时，
§2
Euler方法
一、 Euler方法 二、 误差分析
三、 Euler方法的收敛性和稳定性
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>>
一、 Euler方法
: a x0 x1 x2
记：
ba h xi 1 xi N
xN b
(等距剖分)
因为：
y( x h) y( x )
m
f ( , y( ))d
y( xm ) hf ( xm1 , y( xm1 )) Rm
Rm
xm 1 xm
f ( x , y( x ))dx hf ( xm 1 , y( xm 1 ))
截去 Rm , 有：
y( xm 1 ) y( xm ) hf ( xm1 , y( xm1 ))
注意：
xm 1 xm
h h3 y( x )dx [ y( xm 1 ) y( xm )] y( xm h), 2 12 0 1。
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于是：
Rm h3 y( xm h) / 12.
若记 M max | y( x ) |, 则有 x[ a ,b ]
定义
c , h0 , 使对任给的初值u0 , v0 , 它们 的解um , vm 满足： 当0 h h0 , mh b a时 um vm c u0 v0 , m 1, 2,
则称Euler方法是稳定的。
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结论: 若f x , y 满 足Lipschiz 条件，
1 m n
则称差分方程是收敛的,也称此数值方法是收敛的。
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结论:
Euler方法是收敛的， 且阶为O h 。
注意:
当h 0时离散点增多。 舍入 误差的积累可能扩大了 对解的影响。 所以实际上对h不能无限缩小。
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稳定性：
稳定性描述初值的改变导致公式的差分方 程解的变化情况。
则Euler方 法 是 稳 定 的 。
证明： 记 m um vm
um 1 um hf xm , um
vm 1 vm hf xm , vm
m1 m h f xm , um f xm , vm
1 hL m
截去 Rm 有：
y( xm 1 ) y( xm ) hf ( xm , y( xm )),
由于： y( x0 ) y0 (已知), 可得递推关系：
ym 1 ym hf ( xm , ym ),
m 0,1,
,N 1
——Euler方法
又称Euler折线法。
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设 ym 为 y( xm ) 的近似值， 则：
ym 1 ym hf ( xm1 , ym1 ),