41欧拉方法和拉格朗日方法
拉格朗日方法和欧拉方法转换公式
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欧拉法融合拉格朗日法高效模拟灌溉二维地表水运动规律
个畦田内的地表水流推进/消退全过程。为验证模型的模拟性能，选取一种高效的欧拉解法（非迭代型全隐式标量耗散有
限体积法）求解二维浅水方程组做为对比模型，基于 3 个典型畦灌试验的实测数据，从模拟精度、质量守恒性和计算效
率 3 个方面，对比分析了 2 种数值解法的性能。结果表明，2 种解法在模拟精度方面相差无几，且欧拉-拉格朗日混合解
波动并有效地保持质量守恒性；由于控制方程中不存在水运动的对流梯度项（或位置加速度项），仅通过拉格朗日迹线追
踪的形式获得未知与已知时间步之间的变量关系，故与广泛应用的欧拉解法相比，离散格式表达式极为简洁易用；在地
表水运动的干湿边界处，地表水位梯度项被做了修正，以严格地保证各物理量之间的数值平衡，进而能高精度的模拟整
的取值范围，但仍属于有条件稳定。为此，（迭代或非 迭代型）全隐式标量耗散型有限体积法应运而生[4,17-19]， 具有无条件稳定的显著特征，使得时间步长可依据具体 的实例选取，应用更具灵活性。这些已有解法都属于欧 拉解法范畴。地表浅水方程组中对流梯度项（或位置加 速度项）的存在导致了极为复杂的非线性特征[20-21]，无 论如何构造和发展数值解法，欧拉解法都无法绕开这个 非线性极强的对流梯度项[22-25]，这使得任何欧拉解法的 空间离散格式都比较复杂，而不易被使用者掌握。
（中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室，北京 100038）
摘 要：大规模现代化农业灌溉管理下，为实现快速高效地获知灌溉水运动及其分布的目的，该文基于二维浅水方程组
的欧拉-拉格朗日混合型表达形式，提出了一种高效简洁的欧拉-拉格朗日混合解法。该解法的基本物理变量被严格地定
义在欧拉型非结构化三角形有限体积单元格上，且变量在单元格之间呈现出阶梯分布状态，以精准地捕捉各类地表浅水
欧拉－拉格朗日方法and欧拉－欧拉方法
欧拉－拉格朗⽇⽅法and欧拉－欧拉⽅法
欧拉－拉格朗⽇⽅法
在Fluent中的拉格朗⽇离散相模型遵循欧拉－拉格朗⽇⽅法。
流体相被处理为连续相，直接求解时均纳维-斯托克斯⽅程，⽽离散相是通过计算流场中⼤量的粒⼦，⽓泡或是液滴的运动得到的。
离散相和流体相之间可以有动量、质量和能量的交换。
该模型的⼀个基本假设是，作为离散的第⼆相的体积⽐率应很低，即便如此，较⼤的质量加载率仍能满⾜。
粒⼦或液滴运⾏轨迹的计算是独⽴的，它们被安排在流相计算的指定的间隙完成。
这样的处理能较好的符合喷雾⼲燥，煤和液体燃料燃烧，和⼀些粒⼦负载流动，但是不适⽤于流-流混合物，流化床和其他第⼆相体积率不容忽略的情形。
欧拉－欧拉⽅法
在欧拉－欧拉⽅法中，不同的相被处理成互相贯穿的连续介质。
由于⼀种相所占的体积⽆法再被其他相占有，故此引⼊相体积率（phasic volume fraction）的概念。
体积率是时间和空间的连续函数，各相的体积率之和等于1。
从各相的守恒⽅程可以推导出⼀组⽅程，这些⽅程对于所有的相都具有类似的形式。
从实验得到的数据可以建⽴⼀些特定的关系，从⽽能使上述⽅程封闭，另外，对于⼩颗粒流（granular flows）,则可以通过应⽤分⼦运动论的理论使⽅程封闭。
在FLUENT中, 共有三种欧拉-欧拉多相流模型，分别为：流体体积模型（VOF），混合物模型，以及欧拉模型。
流体力学实验装置的流体流动颗粒动力学分析方法
流体力学实验装置的流体流动颗粒动力学分析方法流体力学实验是研究流体运动规律和性质的一个重要研究领域。
而流体流动颗粒动力学分析方法，作为对实验结果进行深入研究和分析的关键工具之一，具有重要的理论和应用价值。
本文将重点讨论流体力学实验装置中流体流动颗粒动力学分析方法的应用及意义。
一、拉格朗日方法拉格朗日方法是流体力学中一种重要的分析方法，它以追踪流体中的每一个颗粒为基本出发点，通过对颗粒运动状态的描述来研究流体流动的物理过程。
在实验装置中，通过粒子显微成像技术或追踪颗粒示踪剂等手段，可以获取颗粒的运动轨迹和速度信息，从而实现对流体流动的详细描述和分析。
拉格朗日方法不仅可以定量地描述颗粒的运动状态，还可以对颗粒之间的相互作用和碰撞进行动力学分析，揭示流体流动过程中的微观特征和行为规律。
通过对颗粒在不同流动条件下的运动特性进行对比和研究，可以有效地揭示流体流动的机理和规律，为流体力学理论的发展和实验数据的解释提供重要参考。
二、欧拉方法欧拉方法是流体力学中另一种常用的分析方法，它是以流体质点的物理性质和运动规律为研究对象，通过对流体场的宏观描述和动力学方程的推导来分析流体流动过程。
在实验装置中，通过流场测量技术和数值模拟方法，可以获得流体的速度场、压力场等基本信息，从而实现对流体流动的整体描述和分析。
欧拉方法适用于研究流体流动的宏观性质和整体运动规律，能够揭示流体流动的宏观特征和运动规律。
通过对流场数据的采集和处理，可以获得流体流动的动态特性和空间分布，为实验结果的解释和流体力学模型的建立提供重要支持。
三、综合分析在实际研究中，拉格朗日方法和欧拉方法往往是结合使用的，通过综合分析的方式来揭示流体力学实验装置中流体流动颗粒动力学的特征和规律。
拉格朗日方法主要用于研究流体流动的微观动力学过程，欧拉方法主要用于研究流体流动的宏观特性和整体规律，二者相辅相成，共同构建了对流体流动的全面理解和描述。
综合分析不仅可以深入揭示流体流动颗粒动力学的微观和宏观特征，还可以对流体流动的各种现象和规律进行综合解释和理解。
欧拉-拉格朗日方法
序号1 概述欧拉-拉格朗日方法是一种数学优化方法，用来在多元函数求极值问题中求解最优解。
欧拉-拉格朗日方法是利用数学分析方法定义的，其基本思想是将一个优化问题转化为求极值问题，可以寻找到函数的最大值或最小值。
这种方法能够在给定的范围内得到精确解，通常用来求解最小值函数的极值问题。
2 历史背景欧拉-拉格朗日方法的名称来自古希腊数学家杰拉尔德·欧拉和法国数学家埃勒·拉格朗日，他们在19世纪末初期首先提出了这种方法。
欧拉-拉格朗日方法还受到了美国数学家阿尔伯特和德国数学家威廉·威拉姆的发展，他们增强了该方法的有效性和可行性。
3 多元函数和函数的极值求解多元函数是将一个或多个未知变量结合一同参与函数讨论的函数，可以用其它地内积求解。
极值是一种特殊的解，它是描述一个点位置和函数值之间关系的有效方法，它可以把这种关系表示为函数的极小值和极大值。
欧拉-拉格朗日方法能够用来求解多元函数的极小值问题，其运行思路是依据所给的变量和函数，先建立一个拉格朗日函数，然后用其求解给定的函数的极小值。
4 求解过程欧拉-拉格朗日方法的求解过程分两个步骤：(1)确定问题的拉格朗日函数：将极值问题转换为拉格朗日函数的极值问题，即用原函数的多元变量代替原函数和拉格朗日函数及其多元变量相等;(2)求解拉格朗日函数的极值：对拉格朗日函数求导，使导数等于0，即可得到拉格朗日函数的极值点，从而解出原函数的极值点和极值值。
5 优缺点欧拉-拉格朗日方法好处在于它能够求解多元函数问题，而且精度高，能够获得精确的结果；另外它还支持高维变量计算，能够处理复杂的问题。
缺点在于，该方法的计算复杂度也很高，耗费了大量的计算资源；此外还存在一定的过拟合能力，可以使函数收敛到局部极小值。
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿-欧拉法是两种常用的力学建模和分析方法。
它们都用于解决运动方程，并有各自的独特特点。
拉格朗日法是一种以能量为中心的分析方法。
它通过定义系统的拉格朗日函数来描述系统的动力学行为。
拉格朗日函数是系统动能和势能的差，这样只需考虑系统的总能量即可。
拉格朗日法中使用的变量是广义坐标，不需要引入惯性力。
拉格朗日法的特点是它能够描述复杂的运动系统，将系统自由度降低到最小，减少了问题的复杂性。
使用广义坐标描述运动使得计算更加简洁和直观。
拉格朗日法也具有较好的坐标变换性质，适用于非惯性系。
牛顿-欧拉法是一种以力和加速度为中心的分析方法。
它基于牛顿力学的基本原理，通过分析物体受到的外力和惯性力来推导运动方程。
牛顿-欧拉法中使用的变量是位置、速度和加速度等基本物理量。
牛顿-欧拉法的特点是它更适用于描述大尺度和低速度的运动系统。
由于牛顿-欧拉法依赖于速度和加速度，用于描述刚体和机械系统更为方便。
牛顿-欧拉法也更容易与实际问题的观测结果相结合，因为它更直接地涉及到已知的力和加速度。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
拉格朗日运动学法和欧拉法
拉格朗日运动学法和欧拉法是力学中描述物体运动的两种不同方法，它们在处理问题时各有特点和优势。
拉格朗日运动学法，又称为拉格朗日方程，是一种基于能量的方法来描述物体的运动。
它主要关注系统的总能量，包括动能和势能，通过最小化作用量原理或最大化哈密顿作用量来得到物体的运动方程。
这种方法在处理约束问题时尤为方便，因为它可以自动考虑约束条件，而无需显式地引入约束方程。
此外，拉格朗日运动学法还适用于多体系统，因为它可以方便地处理多个物体之间的相互作用。
然而，拉格朗日法在处理非完整约束时可能会遇到困难，因为它依赖于作用量原理，这在某些情况下可能不适用。
欧拉法，又称为牛顿-欧拉法，是一种基于力的方法来描述物体的运动。
它直接从牛顿第二定律出发，通过列出物体的受力方程和约束方程来求解物体的运动。
这种方法在处理简单问题时直观且易于理解，因为它直接反映了物体受力与运动之间的关系。
然而，在处理复杂的多体系统时，欧拉法可能会变得繁琐，因为需要为每个物体分别列出受力方程和约束方程。
此外，欧拉法在处理约束问题时可能需要引入额外的处理步骤，如引入拉格朗日乘子或惩罚函数等。
总的来说，拉格朗日运动学法和欧拉法各有优缺点，适用于不同的问题和场景。
在选择使用哪种方法时，需要根据具体问题的特点和需求进行权衡。
对于简单的力学问题，欧拉法可能更加直观和易于理解；而对于复杂的多体系统或涉及约束的问题，拉格朗日运动学法可能更加适用。
在实际应用中，可以根据需要灵活选择这两种方法。
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推
地（相当于空间点）设立星罗棋布的气象
进 系
站。根据统一时间各气象站把同一时间观
测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，
----
流
然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气
体
象图，据此做出天气预报。
力
学
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 某时刻位于一个空间点上的流体质点的密
推
度、压力、温度就是流场对应点、对应时
进 系
Vz
4.1.2随体导数
宇 航
r
其中: Dir Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
z
r )ir
V r
r i
推 进 系
r Di Dt
( t
Vr
r V
r
Vz
r z )i
V r
r ir
----
流
所以: ar
DVr Dt
Dt t0
t
L M’
M
4.1.2随体导数
宇 航 推 进
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
L
----
系
速度的变化有两方面的原因:
M’
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时,
流 体
时间过去了t,由于场的时间非定常性引
M
力
起速度的变化
学
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 r
Vy
Vz y
Vz
Vz z
4.1.2随体导数
宇
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
航 推
方向是变化的,全导数的展开式比直角坐系下要复杂
r
进 系
单位矢量表示为转角的函数:
r ir
r ir
(
)，ir
r
i ( )
i r ir
r
----
流 体 力 学
存在导数关系:
流 体 力
ay
V&y
2 y(a,b, c,t) t 2
学
az
V&z
2z(a,b, c,t) t 2
4.1.1拉格朗日方法
宇 航
❖ 拉格朗日方法虽然很自然,也很直观,但实
推
现起来却非常困难:无法对成千上万的流
进 系
体质点进行跟踪.
----
❖ 实际所关心的往往是空间固定区域内的物
----
r
r
r
r
L M’
流 体
M lim V (M ',t t) V (M ',t) lim V (M ',t) V (M ,t)
t 0
t
t 0
t
力
场的非定常性
场的不均匀性
学
r
r
r
r
lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
4.1.1拉格朗日方法
宇 航
❖ 在直角坐标中展开
推 进
rr rr (a,b,c,t)
----
系
x x(a,b, c,t)
流 体
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
力
学
4.1.1拉格朗日方法
宇 航
流体质点的速度
r V
rr (a,b, c,t)
推
',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
t t0
MM '0
MM '
推
进 系
第二项当M M '时
r
r
r
----
lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t) V V (M , t)
流
t t 0
MM 0
MM '
s
体
力
M
力
学
4.1.2随体导数
宇
航
设此质点在场内运动,其
推 进
运动轨迹为L,在t时刻位于M点,
系
速度为V M ,t ,过了t后,该质
----
点运动到M '点, 速度为
流 体
V M ',t t ,根据定义,加速
力
度的表达式为
学
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)
航
Dt t
推 进
随体加速度=当地加速度+迁移加速度
系
在直角坐标系中展开为:
----
流
DVx Dt
Vx t
Vx
Vx x
Vy
Vx y
Vz
Vx z
体
力 学
DVy Dt
Vy t
Vx
Vy x
Vy
Vy y
Vz
Vy z
DVz Dt
Vz t
Vx
Vz x
r ir
'(
)
r ir
ir，ir
'(
)
r i r
r ir
r
加速度 : ar
DV Dt
DVr Dt
r ir
D Dt
(Vr r
Dir Dt
rr ir V i
Vr
DV Dt
Vz r i
r iz )
r Di
Dt
V
DVz Dt
r iz
r Diz Dt
刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。
----
❖ 在流场中，一点上流体质点的性质与该点
流
的流场性质是相同的。
体
力
学
4.1.2随体导数
宇
航
通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数.
推 进 系
定义流速场V V rr,t中的加速度:
L
M’
----
流 体
如图M点的加速度就是此时过M点
的流体质点的加速度.
)ar
?
dar
ar
r V
( ar )
dt t
dt t
d
r V
()
?
d
r (V
)
dt t
dt t
例题
宇
已知密度场 A
x2 y2 z2
r t, 速度场为V
r xti
r ytj
r ztk
航 推
求流体质点的密度变化率, 其中A为常数.
t
进
系
Vx
x(a,b, c,t) t
----
流 体
Vy
y(a,b, c,t) t
力
学
z(a,b, c,t)
Vz
t
4.1.1拉格朗日方法
宇
航 推 进
流体质点的加速度
ar
Vr&
2rr
(a,b, c,t) t 2
系
ax
V&x
2x(a,b, c,t) t 2
----
进
点
----
系
➢ t=t0时流体质点的坐标是 ( a,b,c)
流 体
➢ a,b,c可以是直角坐标的(x0,y0,z0),也可以是曲 线坐标（q1,q2,q3）
力
➢ 不同的a,b,c代表不同的质点
学
❖ 二、流体质点的运动规律数学上可表为下
式： rr rr (a,b,c,t)
(a,b, c,t)称为拉格朗日变数
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量
推
速度 vr vr (rr ,t)
进
系
在直角坐标系中: Vx Vx (x, y, z,t)
----
流
Vy Vy (x, y, z,t)
体
Vz Vz (x, y, z,t)
力 学
压强 p p(x, y, z,t)
密度 (x, y, z,t)
t 0
t
t t0
MM '0
MM '
4.1.2随体导数
r
r
r
r
r
宇 航
DV Dt
lim V (M t 0
',t t) V (M t
',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
t t0
MM '0
MM '
推
进
系
第一项当t 0时M M '
进ห้องสมุดไป่ตู้
求质点的密度变化率.
系
----
D
r V
流
Dt t
体 力 学
A
x2 y2 z2 t
t
rr r xti ytj ztk
A
x2 y2 z2
t
A
x2 y2 z2
流
体与流体的作用.
体 力
❖ 实验测量的也往往是空间固定点的参数.