欧拉方法和拉格朗日方法
拉格朗日方法和欧拉方法转换公式
拉格朗日方法和欧拉方法转换公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!拉格朗日方法和欧拉方法是数学和物理学中常用的求解微分方程的工具。
流体力学欧拉法和拉格朗日法
流体力学欧拉法和拉格朗日法流体力学是研究流体运动规律的学科，它是物理学、数学和工程学的交叉学科。
在流体力学中，欧拉法和拉格朗日法是两种常用的描述流体运动的方法。
欧拉法是以欧拉方程为基础的一种描述流体运动的方法。
欧拉方程是描述流体运动的基本方程，它是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个基本方程组成的。
欧拉法的基本思想是将流体看作是一个连续的介质，通过对流体的宏观性质进行描述，如流体的密度、速度、压力等。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流体的流量、压力、速度等。
拉格朗日法是以拉格朗日方程为基础的一种描述流体运动的方法。
拉格朗日方程是描述流体运动的另一种基本方程，它是由质点的运动方程和流体的连续性方程组成的。
拉格朗日法的基本思想是将流体看作是由无数个质点组成的，通过对每个质点的运动进行描述，如质点的位置、速度、加速度等。
拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如流体的粘性、湍流等。
欧拉法和拉格朗日法各有优缺点，应用范围也不同。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，但对于流体的微观性质，如粘性、湍流等，欧拉法的描述能力较弱。
而拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如粘性、湍流等，但对于流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，拉格朗日法的描述能力较弱。
在实际应用中，欧拉法和拉格朗日法常常结合使用，以充分发挥它们各自的优势。
例如，在研究飞机的气动力学问题时，可以使用欧拉法来研究飞机的气动力学特性，如升力、阻力等；而在研究飞机的流场问题时，可以使用拉格朗日法来研究流体的微观性质，如湍流、涡旋等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种基本方法，它们各有优缺点，应用范围也不同。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的方法，以充分发挥它们的优势。
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿-欧拉法是两种常用的力学建模和分析方法。
它们都用于解决运动方程，并有各自的独特特点。
拉格朗日法是一种以能量为中心的分析方法。
它通过定义系统的拉格朗日函数来描述系统的动力学行为。
拉格朗日函数是系统动能和势能的差，这样只需考虑系统的总能量即可。
拉格朗日法中使用的变量是广义坐标，不需要引入惯性力。
拉格朗日法的特点是它能够描述复杂的运动系统，将系统自由度降低到最小，减少了问题的复杂性。
使用广义坐标描述运动使得计算更加简洁和直观。
拉格朗日法也具有较好的坐标变换性质，适用于非惯性系。
牛顿-欧拉法是一种以力和加速度为中心的分析方法。
它基于牛顿力学的基本原理，通过分析物体受到的外力和惯性力来推导运动方程。
牛顿-欧拉法中使用的变量是位置、速度和加速度等基本物理量。
牛顿-欧拉法的特点是它更适用于描述大尺度和低速度的运动系统。
由于牛顿-欧拉法依赖于速度和加速度，用于描述刚体和机械系统更为方便。
牛顿-欧拉法也更容易与实际问题的观测结果相结合，因为它更直接地涉及到已知的力和加速度。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是欧拉法和拉格朗日法。
欧拉法是一种以固定坐标系为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一个连续的介质，通过考虑流体中每个点的速度和压力来描述流体的运动。
欧拉法关注的是流体中不同位置的性质和特征的变化，如速度、压力和密度等。
通过欧拉法，可以得到流体运动的偏微分方程，如连续性方程、动量方程和能量方程等。
拉格朗日法是一种以流体质点为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一组流体质点，通过跟踪和描述每个质点的运动来描述整个流体的运动。
拉格朗日法关注的是流体中不同质点的性质和特征的变化，如位置、速度和加速度等。
通过拉格朗日法，可以得到流体质点的运动方程，如位置方程、速度方程和加速度方程等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种重要方法，各有其优势和适用范围。
欧拉法适用于研究大规模流体运动和宏观性质的变化，如流体的整体运动特性和力学过程；而拉格朗日法适用于研究小尺度流体运动和微观性质的变化，如流体颗粒的运动规律和相互作用。
流体力学拉格朗日法和欧拉法转换
流体力学拉格朗日法和欧拉法转换
流体力学是研究流体运动的学科，其中拉格朗日法和欧拉法是解决流体力学问题的两种不同的数学方法。
拉格朗日法是以流体上每个质点的运动为基础，建立质点运动方程，并通过求解质点的运动来得到整个流体的运动状态。
相比较欧拉法，拉格朗日法更加直观，可以清晰地描述流体中每个质点的运动轨迹，但是在计算流体整体的运动状态时效率较低。
欧拉法是以流体某一固定区域的物理量变化为基础，通过掌握区域内的物理量随时间的变化规律，来推导出整个流体的运动状态。
欧拉法在计算流体的整体运动状态时效率更高，但是对于描述单个质点的运动轨迹不够直观。
在实际的流体力学问题中，拉格朗日法和欧拉法都有其适用的范围和优势。
因此，它们之间的转换也成为了重要的研究内容。
常见的转换方法包括拉格朗日到欧拉转换和欧拉到拉格朗日转换。
这些方法的应用可以使得我们在解决流体力学问题时更加灵活和高效。
- 1 -。
41欧拉方法和拉格朗日方法
推
地（相当于空间点）设立星罗棋布的气象
进 系
站。根据统一时间各气象站把同一时间观
测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，
----
流
然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气
体
象图，据此做出天气预报。
力
学
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 某时刻位于一个空间点上的流体质点的密
推
度、压力、温度就是流场对应点、对应时
进 系
Vz
4.1.2随体导数
宇 航
r
其中: Dir Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
z
r )ir
V r
r i
推 进 系
r Di Dt
( t
Vr
r V
r
Vz
r z )i
V r
r ir
----
流
所以: ar
DVr Dt
Dt t0
t
L M’
M
4.1.2随体导数
宇 航 推 进
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
L
----
系
速度的变化有两方面的原因:
M’
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时,
流 体
时间过去了t,由于场的时间非定常性引
M
力
起速度的变化
学
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 r
Vy
Vz y
Vz
Vz z
4.1.2随体导数
宇
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
航 推
欧拉方法和拉格朗日方法
欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法是一种简单的近似方法，用于求解常微分方程的初值问题。
它基于一个重要的数值近似原理，即在一个小区间上，如果函数的导数变化不太大，那么可以将函数的变化等同于导数的变化。
具体来说，欧拉方法将原始的微分方程转化为离散的差分方程，并根据初始条件逐步逼近问题的解。
对于一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，欧拉方法将自变量x和因变量y分成若干个小区间，每个小区间的长度为h。
利用微分方程的性质，我们可以将函数在每个小区间上进行线性近似。
具体来说，我们从初始点(x0, y0)出发，根据微分方程的定义，计算出斜率k1=f(x0, y0)，然后根据该斜率近似得到在下个小区间上的函数值y1=y0 + k1 * h。
以此类推，我们可以得到在每个小区间上的近似函数值。
欧拉方法的一个明显局限是误差较大，特别是在相对大的步长h下。
这是因为欧拉方法只考虑了导数在小区间上的线性变化，忽略了更高阶的项，导致近似解与真实解的误差随着步长的增加而累积。
拉格朗日方法是一种改进的近似方法，用于求解微分方程的数值解。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过将微分方程中的函数y(x)近似为一个多项式函数来逼近实际解。
具体而言，拉格朗日方法通过利用初始点(x0,y0)的函数值和导数值，在每个小区间上构造一个插值多项式L(x)，该多项式是一个关于x的n次多项式，其中n是方程的阶数。
在拉格朗日方法中，我们首先确定每个小区间的节点，例如选取三个节点x0,x1,x2，并计算出这些节点上的函数值y0,y1,y2、然后我们利用这些节点构造一个三次拉格朗日插值多项式L(x)，具体形式为：L(x)=L0(x)*y0+L1(x)*y1+L2(x)*y2，其中L0(x),L1(x),L2(x)是三个插值基函数。
通过这个多项式L(x)，我们可以逐步计算出每个小区间上的函数值，并不断迭代得到近似解。
与欧拉方法相比，拉格朗日方法考虑了更高阶的项，在相对大的步长下，其近似解与真实解的误差更小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Dt t0
t
t0 t
MM '0
MM '
第一项当t 0时M M '
r
r
r
lim V (M ',t t) V (M ',t) V (M ,t)
t 0
t
t
这一项表示场的非定常性引起速度的变化, 称为局部导数或当地导数.
r
r
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
V r
r ir
所以: ar
DVr Dt
r ir
VrV r
r i
DV Dt
r i
V2 r
r ir
DVz Dt
r iz
( DVr Dt
V2 r
r )ir
( DV Dt
VrV r
r )i
DVz Dt
r iz
向心加速度 : ar
DVr Dt
V2 r
rr r xi yj zk
t
A x2 y2 z2 1 2t2
说明 D 0; 0; 0的物理意义
Dt t
D 0 表示流体质点在运动过程中密度不变.
Dt
0 表示该点密度不随时间变，各点的密度可以不同.
t
0
均质流体.在任何时侯，流场内的密度是均一 的，但并不意味着任何时侯密度保持不变，而 是整个流场密度同步变化.
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)
Dt t0
t
L M’
M
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)LDt t0t Nhomakorabear
r
r
r
M’
lim V (M ',t t) V (M ',t) lim V (M ',t) V (M ,t)
流体力学 欧拉方法和拉格朗日方法
莱昂哈德·欧拉 约瑟夫·拉格朗日
拉格朗日方法， 微元
AB C
D
t 2 时刻
A D
BC
t 1 时刻
t0时的位置标识不同的质点。
rr rr (a,b,c,t)
(a,b, c,t)称为拉格朗日变数
x x(a,b, c,t)
rr rr (a,b,c,t)
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
流体质点的速度
r V
rr (a,b, c,t)
t
x(a, b, c, t)
Vx
t
y(a, b, c, t)
Vy
t
Vz
z(a, b, c, t) t
流体质点的加速度
ar
Vr&
2rr
(a,b, c,t) t 2
总的加速度即为局部导数与迁移导数之和,称为随体导数.
或称为随流导数、物质导数（substantial derivative）、质点 导数（particle derivative），也称全导数。
rr
r
DV Dt
V t
V
V sr
其中sr是L上单位切矢量.
r
V sr
(sr
r )V
所以V
ir ir ( )，i i ( )
存在导数关系:
r
ir '( )
r ir
ir，ir
'( )
r i r
r ir
r i
r ir
r
r
加速度 : ar
DV Dt
D Dt
r (Vr ir
r V i
r Vziz )
r
r
r
DVr Dt
r ir
D
r V
Dt t
A
x2 y2 z2 t
t
rr r xti ytj ztk
A
x2 y2 z2
t
A
x2 y2 z2
rr r xti ytj ztk
2A
DVy Dt
Vy t
Vx
Vy x
Vy
Vy y
Vz
Vy z
DVz Dt
Vz t
Vx
Vz x
Vy
Vz y
Vz
Vz z
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
方向是变化的,全导数的展开式比直角坐系下要复杂
单位矢量表示为转角的函数: rr rr
附加加速度 : a
DV Dt
VrV r
r i
r ir
r
对速度求导,分为局部导数和迁移导数之和的做法,
也适用于对其它量求导.
Dar
ar
r (V
)ar
Dt t
D
r V
()
Dt t
今后在不至引起混淆的时侯,用 d 表示全导数. dt
dar
ar
r (V
Dir Dt
Vr
DV Dt
r i
Di Dt
V
DVz Dt
r iz
Diz Dt
Vz
r 其中: Dir
Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
r z )ir
V r
r i
r Di Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
r z )i
Dt t0
t
t t0
MM '0
MM '
第二项当M M '时
r
r
r
lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t) V V (M , t)
t t 0
MM 0
MM '
s
它代表场的不均匀性引起的速度变化,称为迁移导数或对流导数. r
其中 V 代表沿S方向移动单位长度引起的速度变化. s
r V sr
V
(sr
r )V
r (V
r )V
r DV
r V
rr (V )V
Dt t
r DV
r V
r (V
r )V
Dt t
随体加速度=当地加速度+迁移加速度
在直角坐标系中展开为:
DVx Dt
Vx t
Vx
Vx x
Vy
Vx y
Vz
Vx z
Dt t0
t
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时, 时间过去了t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
)ar
?
dar
ar
r V
( ar )
dt t
dt t
d
r V
()
?
d
r (V
)
dt t
dt t
r rrr
已知密度场 A x2 y2 z2 t, 速度场为V xti ytj ztk
求流体质点的密度变化率, 其中A为常数. 求质点的密度变化率.
ax
V&x
2x(a,b, c,t) t 2
ay
V&y
2 y(a,b,c,t) t 2
az
V&z
2z(a,b, c,t) t 2
空间点
位置坐标 空间点
速度向量
空间坐标 时间变量
速度 vr vr(rr,t)
在直角坐标系中:
Vx Vx (x, y, z,t) Vy Vy (x, y, z,t) Vz Vz (x, y, z,t)
t 0
t
t 0
t
M
场的非定常性
场的不均匀性
r
r
r
r
lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
t 0
t
t0 t
MM '0
MM '
r
r
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
L
如图M点的加速度就是此时过M点
M’
的流体质点的加速度.
M
设此质点在场内运动,其 运动轨迹为L,在t时刻位于M点,
速度为V M ,t ,过了t后,该质
点运动到M '点, 速度为