任意拉格朗日-欧拉描述法研究进展
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究【摘要】本研究利用拉格朗日-欧拉描述，建立了薄平板大幅扭转振动的气动特性模型。
通过对模型进行分析和参数研究，揭示了薄平板振动在空气中的复杂行为。
数值模拟和实验验证结果表明，振动幅度和频率对气动性能有重要影响。
研究结果对于了解薄平板在风力作用下的振动特性具有重要意义。
结论部分总结了本研究的主要成果，并提出了未来进一步研究的方向。
本研究为深入探究薄平板振动气动特性提供了一定参考，有助于设计更稳定和高效的平板结构。
【关键词】拉格朗日-欧拉描述、薄平板、大幅扭转振动、气动特性、理论基础、模型建立、参数研究、数值模拟、实验验证、研究结论、进一步研究展望1. 引言1.1 研究背景在工程实践中，薄平板大幅扭转振动是一种常见的现象，例如飞机机翼在飞行过程中的扭转振动。
这种振动会对结构的气动特性产生影响，进而影响飞行性能和安全。
对薄平板大幅扭转振动的气动特性进行研究具有重要的理论和应用价值。
较早前的研究主要基于传统的欧拉描述，即假设流体为连续介质，沿着固体表面流动速度与固体表面速度一致，采用固体力学的方法研究振动结构的气动特性。
这种描述方法存在一定局限性，特别是在描述非定常流动时的精度不足。
为了更准确地描述薄平板大幅扭转振动的气动特性，拉格朗日-欧拉描述成为研究的焦点。
该描述方法考虑了流体的粒子运动轨迹，更适用于复杂的非定常流动情况。
通过拉格朗日-欧拉描述的研究，可以更深入地理解薄平板大幅扭转振动的气动特性，为优化结构设计和提高飞行性能提供理论支持。
1.2 研究意义薄平板大幅扭转振动是一种常见的气动力学现象，对于机械工程、航空航天领域具有重要的研究意义。
研究这一现象可以帮助我们更深入地了解气动特性对结构振动的影响，有助于改善飞行器、桥梁等结构的设计和性能优化。
通过对薄平板大幅扭转振动进行研究，可以为降低结构振动噪音提供重要的理论基础，有助于改善机械设备的安全性和舒适性。
任意拉格朗日—欧拉方法及其在二维数值计算中的初步应用
应用ＨＥＰＡＬＥ程序对平面碰撞、铜棒碰撞刚性壁（Ｔａｙｌｏｒ杆问题）、爆轰波的 传播、炸药驱动金属平板和柱壳进行了数值模拟，并与有关理论解析结果或者实 验结果以及ＬＳ．ＤＹＮＡ程序、Ｌａｇｒａｎｇｅ程序的计算结果进行了比较，符合程度较 好。表明本文的计算方法和程序能够用于爆炸力学诸多有关问题的数值计算。与 纯Ｌａｇｒａｎｇｅ程序计算的结果相比较，ＡＬＥ方法在处理大变形问题时有较明显的 优势。
ｍａｉｎｔａｉｎｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｅｌｌｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍａｔｅｒｉａｌ．），ｔｈｅ ｌｉｎｅ ｌｏｏｐ ｉｎｔｅｇｒａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉＳ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｈｉｃｈ ｃａｒｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌａｓｔｉｃ—ｐｌａｓｔｉｃ ｆｌｏｗ．Ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｂｏｔｈ ｏｆ ＳＯ－ｃａｌｌｅｄ Ｌａｐｌａｃｅ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ ｒｅｚｏｎｅ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｄｏｎｅ．Ｔｈｅ ｒｅｍａｐ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｏｆ ｄｏｎｏｒ ｃｅｌｌ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．
ａｄｖａｎｔａｇｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｕｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
任意拉格朗日欧拉法 有限元法
任意拉格朗日欧拉法有限元法
拉格朗日欧拉法有限元法是数学中非常重要的两个方法，这种
方法在很多科学领域都有重要应用，比如正求解物理方程的有限元分
析中、分析根据拉格朗日原理和欧拉原理中相对部分的真空和介质光
速变化方案的光学方法中。
下面将进一步介绍它们的详细内容。
拉格朗日原理利用的是广义坐标和动力学方程来描述一个系统在
它运动过程中的方式。
当一个系统的作用力和位移满足拉格朗日原理时，我们可以用欧拉-拉格朗日方程求出系统运动规律。
它的一个重要
应用是在机械系统中，例如机械臂、摆杆等。
在这些系统中，我们可
以通过这个方法识别它们的运动方式，这个方法被广泛的应用于机械
工程中，可以在设计机械的过程中起到重要的作用。
欧拉原理描述的是在任意元素中的弹性材料应变变化的规律性。
通过欧拉原理和方程我们可以得出一个完整的材料应力和变化的方式。
欧拉原理的一个典型应用在于材料学和力学中，可以描述在极其高压
条件下的金属和塑料材料产生的应变和弹簧常数等。
另一方面，有限元法在物理学和工程技术中非常常用，主要用于
分析复杂问题中的边界问题，比如房间的隔音，桥梁的设计。
这种技
术以小组件为单位，实际模拟整个结构系统，通过计算每个小组件与
其他小组件的相互作用，最终得到整个结构的性能。
总的来说，拉格朗日欧拉法和有限元法是数学和物理领域两个非
常重要的方法，他们在不同科学领域都有非常广泛的应用，为设计和
研究提供了重要的方法和手段，他们都是建立在强大的数学原理之上的。
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究薄平板是一种在气动力学中常见的结构，它在空气中运动时会受到气动力的影响。
当薄平板发生大幅度扭转振动时，其气动特性会发生明显变化，这一现象在许多工程领域中都具有重要的理论和实际意义。
本文将使用拉格朗日-欧拉描述来研究薄平板大幅扭转振动的气动特性。
1. 引言薄平板是一种常见的结构，在飞行器、建筑结构等领域都有着广泛的应用。
当薄平板受到外部扰动时，会产生振动响应，而这种振动会受到空气的影响，产生气动力。
特别是在飞行器等高速运动的系统中，薄平板的气动特性对系统的稳定性和性能有着重要的影响。
研究薄平板大幅度扭转振动的气动特性具有重要的科学和工程意义。
2. 拉格朗日-欧拉描述拉格朗日-欧拉描述是描述流体运动的常用方法之一，它可以描述流体中各个质点的运动状态，包括位移、速度和加速度。
在研究薄平板的大幅度扭转振动时，可以使用拉格朗日-欧拉描述来建立动力学方程，从而分析平板受到的气动力和振动响应。
通过建立合适的数学模型，可以研究薄平板在不同气动参数和振动幅度下的气动特性，为工程设计和实际应用提供理论依据。
3. 薄平板大幅扭转振动的数学模型在研究薄平板大幅扭转振动的气动特性时，首先需要建立数学模型来描述平板的动力学特性。
考虑到薄平板的扭转振动，可以将平板分割成许多小片，每一小片都受到空气的作用力，根据牛顿第二定律建立小片的动力学方程。
还需要考虑平板的扭转刚度和气动力矩之间的关系，建立整体的动力学方程。
通过对平板受力的分析，可以得到平板的振动特性和气动特性，为后续的研究和分析提供基础。
4. 薄平板大幅扭转振动的气动特性分析在建立了数学模型之后，可以对薄平板大幅扭转振动的气动特性进行分析。
通过数值计算和理论分析，可以得到平板在不同气动参数和振动幅度下的气动力和振动响应。
特别是在平板发生气动失稳时，可以研究失稳机理和临界条件，为避免失稳提供理论支持。
还可以分析气动参数对振动响应的影响，为工程设计提供指导，优化平板的结构和运动参数。
应用欧拉-拉格朗日方法分析动脉粥样硬化性颈动脉血流的流-固相互作用
应用欧拉-拉格朗日方法分析动脉粥样硬化性颈动脉血流的流-固相互作用Majid SIAVASHI;Ava BINA;Mojtaba SAYADNEJAD;Borhan BEIGZADEH【期刊名称】《Journal of Central South University》【年(卷),期】2024(31)1【摘要】本研究旨在模拟不同狭窄程度和脉搏率的颈动脉搏动血流。
采用流-固耦合(FSI)和任意拉格朗日-欧拉(ALE)方法研究了不同狭窄程度、脉搏率和动脉壁性质对周围流体的影响。
分别应用Carreau-Yasuda非牛顿超弹性模型和修正Mooney-Rivin超弹性模型于具有非牛顿行为的血液和超弹性血管壁。
结果得到血液的壁面径向位移、压力分布、轴向速度分布和壁面剪切应力。
通过增加狭窄的严重程度,轴向速度、血压变化、最大壁面剪切应力和壁面径向位移均呈增长趋势。
当脉率在狭窄程度为75%时,最大流量矩、壁面径向位移、压力、轴向速度和壁面剪应力的最大值均增大。
此外,与弹性和刚性模型相比,将动脉壁视为超弹性模型,将其周围流体视为非牛顿和非定常,可以使模拟更加真实。
在严重程度高达50%的狭窄中,红细胞受到轻微损害,而在严重程度为75%的狭窄中观察到溶血。
通过改善动脉粥样硬化,弹性模量从500 k Pa提高到2 MPa,在60 bpm脉率和狭窄程度75%下,剪切应力最大值增长65%。
与刚性和弹性动脉壁相比,动脉壁的超弹性模型导致较低的轴向速度、较低的血压、较低的剪切应力和较高的径向位移。
【总页数】18页(P151-168)【作者】Majid SIAVASHI;Ava BINA;Mojtaba SAYADNEJAD;Borhan BEIGZADEH【作者单位】Applied Multi-Phase Fluid Dynamics Lab. of Mechanical Engineering University of Science and Technology;Biomechatronics and Cognitive Engineering Research Lab. of Mechanical Engineering University of Science and Technology【正文语种】中文【中图分类】R54【相关文献】1.基于欧拉—拉格朗日方法的囊式贮箱流固耦合晃动问题的有限元仿真研究2.稠密气固两相流欧拉-拉格朗日法的研究现状3.阵性泥石流运动与堆积的欧拉-拉格朗日模型──Ⅱ.应用4.采用拉格朗日法与欧拉法模拟旋风筒内气固两相流的对比研究5.基于任意拉格朗日-欧拉流固耦合方法的标枪飞行仿真因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
41欧拉方法和拉格朗日方法
推
地（相当于空间点）设立星罗棋布的气象
进 系
站。根据统一时间各气象站把同一时间观
测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，
----
流
然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气
体
象图，据此做出天气预报。
力
学
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 某时刻位于一个空间点上的流体质点的密
推
度、压力、温度就是流场对应点、对应时
进 系
Vz
4.1.2随体导数
宇 航
r
其中: Dir Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
z
r )ir
V r
r i
推 进 系
r Di Dt
( t
Vr
r V
r
Vz
r z )i
V r
r ir
----
流
所以: ar
DVr Dt
Dt t0
t
L M’
M
4.1.2随体导数
宇 航 推 进
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
L
----
系
速度的变化有两方面的原因:
M’
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时,
流 体
时间过去了t,由于场的时间非定常性引
M
力
起速度的变化
学
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 r
Vy
Vz y
Vz
Vz z
4.1.2随体导数
宇
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
航 推
拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日-欧拉描述的有限元分析
暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日-欧拉描述的有限元分析孙江龙1杨文玉2 杨侠3（1 华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2 华中科技大学机械科学与工程学院，武汉 430074；3 武汉工程大学机电工程学院，武汉 430073）摘要：对拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日–欧拉三种描述方法进行了分析，为了便于理解给出了三种描述的参考构形和参考坐标系，在参考坐标系下根据物质导数的定义分别得到相应的速度和加速度，并进行比较，将三种描述方法的区别列于表中，清晰地阐述了三种描述之间的相互关系，并进行了有限元分析。
关键词：拉格朗日;欧拉;任意拉格朗日–欧拉;有限元法1 引言自由液面大晃动引起的强非线性往往给问题的求解造成很大困难，对大晃动问题进行数值模拟，要先解决描述方法的选择问题。
过去通常采用欧拉法[1-3]和拉格朗日法[4-5]来描述非定常自由面流体流动，它们有着各自的优势和局限性。
采用固定网格的欧拉描述，整个计算过程中计算网格始终保持初始状态，从而可以描述流体质点运动的急剧变化，如碎波等现象。
欧拉描述虽然可以有效地分析整个流场内部的运动，但很难精确跟踪流体的自由液面，即很难给出准确的自由面形状和位置。
在拉格朗日描述中，网格结点与流体质点在整个运动过程中始终保持重合，流体质点与网格结点之间不存在相对运动，因此很容易跟踪自由液面，适用于线性小晃动问题。
这不仅大大地简化了控制方程地求解，而且还能有效地跟踪流体质点的运动轨迹，准确地描述波动的自由液面。
但是，在涉及求解带自由面流体大幅运动时，此时的晃动已经具有很强的非线性特征，如果还采用拉格朗日描述，由于流体质点运动的急剧变化，将导致计算网格的扭曲，会面临网格奇异问题，从而使计算无法继续进行。
拉格朗日描述和欧拉描述虽有各自的优点，但也存在较大的缺陷，如果将它们有机地结合在一起，充分利用各自的优点并克服其缺点，则可以解决各自都难于解决的问题，任意拉格朗日–欧拉描述[6－7]（ALE）方法就是基于该思路提出的。
任意拉格朗日欧拉方法
任意拉格朗日欧拉方法拉格朗日欧拉方法（Lagrange-Euler method）是数学中的一种重要的微积分方法。
它被广泛应用于物理学、工程学、控制论、经济学等学科中，用于求解一类特殊的微分方程。
任意拉格朗日欧拉方法（Arbitrary Lagrange-Euler method）是拉格朗日欧拉方法的一种扩展，它可以用于求解更为复杂的微分方程，也可以处理更为复杂的分析问题。
在本文中，我们将介绍这种方法的基本原理，并通过一个实例来展示它的应用。
第一步：构建能量函数任意拉格朗日欧拉方法的第一步是构建能量函数（Energy function）。
能量函数是一个与系统状态变量相关的函数，通常用于描述系统中的物理特性。
根据能量守恒定律，能量函数在系统运动中保持不变，因此我们可以将它作为分析系统的基础。
以一个自由落体为例，我们可以用如下的公式来表示它的能量函数：$E = mgz + \frac{1}{2}mv^2$其中，m代表物体的质量，g代表重力加速度，z表示物体的高度，v表示物体的速度。
这个式子的意义是，物体在不受任何力作用的情况下，它的能量等于动能加势能。
在这个例子中，势能是由物体在高度z 处所受的重力引起的，动能则是由物体的速度所贡献的。
第二步：构建拉格朗日方程任意拉格朗日欧拉方法的第二步是构建拉格朗日方程（Lagrange equation）。
拉格朗日方程是用于描述系统运动的方程，它可以从能量函数中推导出来。
在我们的例子中，拉格朗日方程可以表示为：$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} -\frac{\partial L}{\partial z} = 0$其中，L表示拉格朗日函数（Lagrangian function），它可以从能量函数中通过如下方式推导得到：$L = \frac{1}{2}mv^2 - mgz$这个式子的意义是，拉格朗日函数代表着系统的运动状态，它是由动能与势能之间的差值所确定的。
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非线性连续介质力学的有限元分析方法已取得了很多令人瞩目的进展"其中在大变形问 题中绝大多数研究工作都采用拉格朗日!主要用在固体力学中' 或欧拉!主要用在流体力学 中' 描述方法∀
在拉格朗日描述!即物质描述或 Λ 描述' 中"计算网格固定在物体上随物体一起运动"即 网格点与物质点在物体的变形过程中始终保持重合"因此物质点与网格点之间不存在相对运 动!即迁移运动"也称对流运动'∀这大大地简化了控制方程的求解过程"而且能准确描述物体 的移动界面"并可跟踪质点的运动轨迹∀但在涉及到特大变形的问题中"物质的扭曲将导致计 算网格的畸形而使得计算失败∀
空间坐标系运动∀这样通过规定合适的网格运动形式可以准确地描述物体的移动界面"并维持 单元的合理形状∀ 类似于 Ε 描述"在 ( )∞ 描述下的控制方程中也将出现对流项"因此也可能 得到振荡解"需要进行相应的数值处理∀ 纯拉格朗日和纯欧拉描述实际上是 ( )∞ 描述的两个 特例"即当网格的运动速度等于物体的运动速度时就退化为拉格朗日描述"而当网格固定于空 间不动时就退化为欧拉描述∀
!%'
3&
计算力学学报
#& 卷
利用式!:' 可将任意物理量 Φ!Ν"τ' 的物质导数表示为Y
5Φ 5τ
"
Ξ
Z
5Φ!5Ντ"τ'" Ν ]
χι
5Φ 5ξ ι
!3'
式!3'是 ( )∞ 描述中很重要的关系式"利用它可将控制方程转化到参考坐标系下求解∀ ( )∞ 描述的重要特征是可以根据需要给定合适的网格运动速度 ϖδι"以维持计算网格的合
Ξ 核工业科学基金资助∀ 本文于 #334 年 . 月 /: 日收到∀
但对运动界面需要引入非常复杂的数学映射"
3/
τ
计 算 力 而学 学 报
#& 卷
水平方向上固定不动∀ 这样可很容易描述液体表面的运动"而且网格不会发生扭曲∀ 在 ( )∞ 描述中计算网格可以在空间中以任意的形式运动"即可以独立于物质坐标系和
网格运动规律可以将 ( )∞ 描述退化为 Λ 描述和 Ε 描述∀ # ϖδ Z $"即计算网格在空间中固定不动"退化为欧拉描述∀ # ϖδ Z ϖ"即计算网格随同物体一起运动"退化为拉格朗日描述∀ # ϖδ Ξ ϖΞ $"即计算网格在空间中独立运动"对应于一般的 ( )∞ 描述∀
在 ( )∞ 描述中参考构形是已知的"各物理量用参考坐标 Ν描述比较方便"即 Φ Z Φ!Ν"O'∀
中的位置矢量 Ν确定"因此
ΝZ Ν!Ξ "τ'
描述了物质点 Ξ 在参考坐标系中的运动规律"
!#1χ'
#期
张 雄等Y任意拉格朗日2欧拉描述法研究进展
3-
ξ Z ξ !Ν"τ'
!#1δ '
则描述参考点 Ν在空间中的运动规律∀
在物质描述方法中的有限单元剖分是对物体进行剖分的"网格点就是物质点"即网格是随
第 #& 卷第 # 期 #33: 年 / 月
计算力学学报
≤ < =0∞≥∞ ?, @ A 0( ) , ƒ ≤ , C °@ × ( × ), 0( ) C ∞≤ < ( 0=≤ ≥
∂ 189#& 019# ƒ FGH∏JHK #33:
任意拉格朗日2欧拉描述法研究进展Ξ
张 雄 陆明万 王建军
!清华大学工程力学系"北京"#$$$%&'
5Θδω 5Νι
ι
Z
$
在 8 Ν 域中
!#-1J'
类似于修正拉格朗日!@ )'方法"有时在空间域 8 ¬ 中求解控制方程是比较方便的∀利用式
!#/'! 式!##1 G'和式!3'可以把质量守恒方程写成Y
55Θτ" Ν ]
χι
5Θ 5ξ ι
]
Θ
5ϖι 5ξ ι
Z
$
在 8 ξ 域中
!#-1G'
312 动量守恒方程!平衡方程'
8Ν
8ξ
!#$'
Θ 5Γ
5τ
"
Ξ
Z
8 Ν!55γτ" Ν ]
5ω ιγ 5Νι
'_ς Ν
!##1J'
Θ 5Η
5τ
"
Ξ
Z
8 ξ !55ητ" ξ ]
5ϖιη 5ξ ι
'_ς
ξ
!##1G'
311 质量守恒方程!连续性方程'
考察一连续体"用 58 Ξ !58 ξ 和 58 Ν 分别表示物质域 8 Ξ !空间域 8 ξ 和参考域 8 Ν的边界"而用 Θ$!Θ和 Θδ 分别表示连续体各构形的密度∀在不同构形中该连续体的质量 Μ 可以写为Y
动量守恒定律表明"在 τ 时刻占据参考域 8 Ν 的物体的总动量的整体变化率等于施加在物
体上的外力之和"即Y
Θ Θ Θ 5
5τ
"
Ξ
Θδϖι_ςΝ Z
8Ν
τδι_Σ Ν ]
58 Ν
Θδφ ι_ςΝ
8 Ν
!#&'
式中 τδι 是作用在参考域 8 Ν 的边界 58 Ν 的单位表面上的力"φ ι 是作用于物体中单位质量的体力∀
拉格朗日描述以初始构形为参考构形研究物质点 Ξ 在空间中的运动规律"即Y
ξ Z ξ !Ξ "τ'
!#1α'
而欧拉描述则是以现时构形为参考构形来研究空间点 ξ 上物质点的运动规律"即研究Y
Ξ Z Ξ !ξ "τ'
!#1β'
式!#1α'描述了同一质点 Ξ 在不同时刻的空间位置"而式!#1β'则描述了同一空间点 ξ 在
利用散度定理以及式!##1J'!式!#-1J' 可将上式写成Y
Θδ 55ϖτι" Ν ]
Θδω
ϕ
5ϖι 5Νϕ
Z
5Τδϕι 5Νϕ
]
Θδφ ι
在 8 Ν 域中
!#.1J'
#期
张 雄等Y任意拉格朗日2欧拉描述法研究进展
3.
式中 Τδϕι 是定义在参考构形下的第一类皮奥拉 2 克希荷夫应力张量!即拉格朗日应力张量'∀它 与真实应力!即柯西应力' 张量 Ριϕ 之间的关系为Y
ϑZ"5ξ来自5Ξι"ϕ
Ξ
$"
ϑδ Z " 55ξΝϕι" Ξ $
!/'
根据定义 τ时刻某质点 Ξ 在空间中的运动速度 ϖ等于质点 Ξ 在空间的位置矢量 ξ !Ξ "τ' 对
时间的导数"即Y
ϖZ 5ξ !5Ξτ"τ'" Ξ
!-'
参考构形中某点 Ν在空间中的运动速度!也就是网格点的运动速度'ϖδ则等于参考点!即网
( )∞ 描述中"参考构形是已知的"而初始构形和现时构形都是待求解的∀ 因此 ( )∞ 法尤 其适合于在初始构形和现时构形都未知的问题中使用"如接触问题等∀
目前"( )∞ 法已被应用于固体力学领域中求解大变形问题"如碰撞≈-46≈..6! 接触和弹性断 裂力学≈-#∗ -&6!路径相关材料!如弹塑性材料等'≈-.∗ -36!加工成型≈&$∗ &:6等∀ 另外对网格的运动以 及控制方程的求解策略等问题也进行了多方面的研究≈.-∗ .%6∀
不同时刻被物质点占据的情况∀
不同于拉格朗日和欧拉描述"( )∞ 描述另外引入了一个可以独立于初始构形和现时构形
运动的参考构形"记为 8 Ν∀在物体的变形过程中"观察者始终跟随参考构形运动"因而对观察
者而言参考构形是固定不动的"而初始构形和现时构形则都相对于参考构形运动∀为了确定参
考构形中各参考点的位置"引入参考坐标系 οΝ#Ν/Ν-"参考构形中各点的位置由其在参考坐标系
式中Y
Θ Θ Θ Μ Z
Θδ_ςΝ Z
Θ_ςξ Z
Θ$_ς Ξ
8Ν
8ξ
8Ξ
Θδ!Ν"τ' Z ϑδΘ!ξ "τ'" Θ$!Ξ "τ' Z ϑΘ!ξ "τ'
!#/'
质量守恒定律表明"质量的整体变化率!即物质导数'应等于零∀利用式!#/'和式!##1J'可
以得到在参考坐标系下的质量守恒方程为Y
55Θτδ" Ν ]
摘 要 任意拉格朗日2欧拉!( )∞'描述综合了纯拉格朗日和纯欧拉描述的优点"克服了各 自的缺点"成为非线性连续介质力学中大变形分析的非常有效的方法∀ 本文论述了 ( )∞ 法 的研究进 展及其在流 体动力学! 流体2结构 相互作用! 加工成型! 碰撞! 接触 等大变形 问 题 中 的 应用∀
关键词 非线性连续介质力学+任意拉格朗日2欧拉描述+非线性有限元 分类号 , --+, -.+, /&/1/#
本文论述了 ( )∞ 法的基本理论和研究进展及其在流体动力学!流体2结构相互作用!加工 成型!碰撞!接触等大变形问题中的应用∀