A—3(4-8)函数单调性与最值

x ,1 －1 (-1,1) 1 1,
y － 0 + 0 －
y ↘ -2 ↗ 2 ↘
函数单调区间的分界点 x = -1, 1. 对在 x = - 1 附近的点 x，有 f (x) > f (-1)= - 2 对在 x = 1 附近的点 x, 有 f (x) < f (1) = 2
例2：(1) 求 y 3x x3 的单调区间 。 解：D : (, ), y 3 3 x2 3(1 x2 )
由 y 0 x 1 . ( 无 y 不存在的点 )
y 3(1 x2 ) 令 y 0, x 1. x ,1 － 1 (-1,1) 1 1,
时，f 时，f
( (
) )

0 0

f (x)
f ( x0 ) 0
f ( x) f ( x0 ) , 即 f (x0) 为极大值。 (2) 同理可证明。
求函数极值点，极值的步骤：
1 求 f x ;
2 求 f x 0的点驻点与 f x不存在
则 f (x) 在 x0 处取到 极大值；
2 当 x x0 时，f x 0,
当 x x0 时，f x 0,
则 f (x) 在 x0 处取到 极小值；
3当 x x0 到 x x0 时，f x不变号,
则 f (x) 在 x0 处 不取极值；
先直观地说明
6x2 15x2 1,
f 0 6 0. f 0 1 1 0为极小值. f 1 0 ∴不能判定，
只能利用第一充分条件判定。
f x 6x x2 1 2,令 f x 0 x 0, 1,
x ， 1 -1 (-1,0) 0 (0,1)

0
f x 在 (0 , π ) 单调减少，
又 lim sin x 1 ,
f
π (
)

2
2
. 当
0

x

π
时,
x x0
2π
2
f ( ) f ( x) f (0 0) , 2 sin x 1 .
2
x
例2：证明 0 x π 时, 有 tan x x x sin x .
y － 不存在 +
y
0
x
二. 函数单调性的一些应用
1. 证明一类不等式
例1： 证明
0x π 2
时,
有
2 sin x 1 .
x
证： 作 f x sin x 则当 0 x π 时，
x
2

f
x
x cos x sin x x2

cos x x2
(x
tan x)
x
x
0
x从左向右变动
f x由正变到负
x
x
0
x
x
0
x从左向右变动 x从左向右变动
f x由负变到正 f x不 变 号

f f
( (
x0 x0

0) 0)

0 0
f ( x)先升后降

f f
( (
x0 x0

0) 0)

0 0
f ( x)先降后升
f ( x)单 调 上 升
或 单 调 下 降
x0为极大值。 x0为极小值。 x0处不取极值。
证：∵在 x0 的邻域内，f (x) 满足 L —定理，
在 x 与 x0 之间，使 f ( x) f ( x0 ) f ( ) ( x x0 )
(1)
x x
x0 x0
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内至少有一根; 再证明根的唯一性：
f x 5x4 5 0, f x在 1，0 单增，
§4. 函数单调性的判定法
一. 函数的单调性 直观定义： x1, x2 I , 设 x1 x2 ,
当 f (x1) < f (x2) , 则 f (x) 单调增加↗； 当 f (x1) > f (x2) , 则 f (x) 单调减少↘。 现在用导数来研究函数的单调性。
y
(上升) y
（下降）
则 f (x) 从负到正只穿过 x 轴一次，即 f (x) 至 多有一根，∴ f (x) 在 (-1,0) 内只有唯一实根。
课外作业
习题 4 -3 （A） 1, 3（2, 4), 4, 5
习题 4-3 （B）
2, 4(1, 3, 5), 6
§ 5. 函数的极值及其求法 一. 极值的概念。
前节例2 : 求 y 3x x3 的单调区间。
而 f 021 1 2 0 f ( x) 0
f x 在 (0 , π ) 单调增加，即 f ( x) f (0)
2
又 f (0) 0 f ( x) 0 , tan x x x sin x .
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
（证略）
说明：若 f ( x0 ) 0,
则本定理失效。用第一充分条件判定。
例2：求 f x x2
f x 6xx2 12, 令 f x 0 x 0, 1,
f x 6 x2 1 2 12 x x2 1 2x
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件） 设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，
则必有 f ( x0 ) 0 .
说明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
0a
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b 连续, 在 a,b 可导,
2. 驻点与导数不存在的点是函数的极值点 的可疑点。
考察这些可疑点后求得函数的极值点。
定理 2. ( 第一充分条件 )
设 f x 在 x0 的某邻域内可导, 且 f x0 0. 1 当 x x0 时，x x0 , x0 有 f x 0,
当 x x0 时，x x0 , x0 有 f x 0,
2. 当 f ( x) 在 (a,b) 的个别点处
（这些点不组成一个区间）为 0 时
定理仍成立。
y
如： y x3 , (, ) y 3x2 0,
在 x 0 处，y 0,
0
x
但曲线仍单增，只在 x = 0 处有一条水平切线。
例1：(1) 讨论 y arctan x x 的单调性。
由L — 定理， ( x1, x2 ), 使
f x2 f x1 f x2 x1 ,
1 当 f x 0, 则有 f 0, 又 x2 x1 0， f x2 f x1 0.
即 f x2 f x1 ，由x1, x2的任意性, f (x) ↗;
2 当 f x 0, 则有 f 0, 又 x2 x1 0, f x2 f x1 0. 即 f x2 f x1 ，由x1, x2的任意性, f (x) ↘.
说明：
1. 此判定法的结论可推广到其他
各种区间，包括无穷区间。
解：
y

1
1 x2

1
0,
x ,
∴y
y
(2) 讨论 y x2 的单调性。
解： y 2x x 0 时，y 0, y x 0 时，y 0, y
0
x
∴ y 在(-∞,+∞) 不单调。
有必要讨论函数在各个区间上的单调性。 用使得 f ( x) 0 的点及 f ( x) 不存在的 点 (尖点) 来划分函数的定义区间，讨论 各区间上 f ( x) 的符号，来确定 f (x) 在各 区间上的单调性。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U( xˆ0, ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一个 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一个
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
当 f x0 0 时，
可利用驻点处二阶导数的符号判定极值， 有第二充分条件。
定理 3. ( 第二充分条件 )
设 f x 在点 x0 处二阶可导 , 且 f x0 0, f x0 0, 则
1 f x0 0 时，f (x) 在 x0 处取到极大值； 2 f x0 0时，f (x) 在 x0 处取到极小值。
的点。
3 考察 f x 在这些点处的符号变化，
确定极值点。
4 求出各极值点处的函数 值, 即为极值。
例1： 讨论 y x 1 3 x2 的极值。
解： D : ,
1