流动的分类拉格朗日法和欧拉法质点导数迹线和流线、流

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（2）按空间变化特性可分一、二、三维流动 一维流动：通常流体速度只沿一个空间坐
标变化的流动称为一维流动。
二维流动：通常流体速度只沿二个空间坐 标变化的流动称为二维流动。录像1 录像2
三维流动：通常流体速度只沿三个空间坐 标变化的流动称为三维流动。
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说明一点：流动的维数与流体速度的分量数不是一
回事。如图（a） 、(b)所示。
y
(a)二维流动
Vx=0 x Vy=0 VzVz= Vz(x,y) Z
Vr=0 r Vθ=0 θ
Vz= Vz(r) z
(b)一维流动
思考题：如果对于图（a）中有
Vx=0， Vy=0， Vz= Vz(x,y,z)
则应该属于几维流动？其流动有何特点？
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（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）
1883年，著名的雷诺实验揭示出粘性流动有两种 性质不同的型态，层流和湍流。
流态的判断：雷诺准数Re=ρud /μ 对于管内流动，Re<2300为层流， Re>4000为湍流。
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2.2 描述流体运动的两种方法
2.2.1拉格朗日法（又称质点法） 通过研究流场中单个质点的运动规律，进
而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿 流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。
基本思想：将流体质点表示为空间坐标、 时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点， 指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物 理参数（比如速度，压强、密度、温度）。
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c）
表示不同的流体质点。
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对于任一流体质点，其速度可表示为：
v
r t
x t
i
y t
j
z t
k vx
i vy
j vz
k
其加速度可表示为：
a
v t
vx t
i
vy t
j
vz t
k
axiayj Nhomakorabeaaz
k
式中：
v x = vx(a,b,c,t) ax = ax(a,b,c,t)
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2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。
例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为：
v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
对于任一流体质点的任一物理参数B的变化率都可 以表示为：
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B B(a, b, c, t)
t
t
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物 理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下 使用，在本书中主要使用欧拉法。
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要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是： 以某一初始时刻t0质点的位置作为质点的标志。
流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：
(a,b,c,t0) r0
r
(x,y,z,t)
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
或用矢量表示为
r→=x→i+y→j+z→k =→r(a,b,c,t)
vy = vy(a,b,c,t) ay = ay(a,b,c,t)
vz = vz(a,b,c,t)
az = az(a,b,c,t)
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同样流体密度、压力和温度可表示为：
ρ=ρ（a,b,c,t） p= p （a,b,c,t） T= T（a,b,c,t）
对于流体任一物理参数B均可类似地表示为 B=B(a,b,c,t).
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a,b,c,t)
t
t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v(a,b, c,t)
a (a, b,
c, t )
t
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对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例 分析：
z
假设在直角坐标系中存在速度
p vΔt ṕ 场 v(x,y,z,t)。
x
y 设在时刻t和空间点p(x,y,z)处， 流体质点的速度为：
vp=v(x,y,z,t)
经过时间间隔Δt后，该流体质点运动到
p′(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt)点，质点移动的距离为vΔt 。
在p′点处流体质点的速度为：
考虑流体变形的因素。
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在数学上，流体的运动参数被表示为空间 和时间的函数。
vx = vx (x, y, z, t) vy = vy (x, y, z, t) vz = vz (x, y, z, t) 场：由于流体团所占据的空间每一点都是 研究对象，因此就将其看成一个“场”。
流场：充满流体的空间被称为“流场”。 相应地有“速度场”、“加速度场”、 “应力场”、“密度场”等。
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vp′=v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)
显然，经过时间间隔Δt后，流体质点的速度增量为：
Δv= vp′- vp= v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)-v(x,y,z,t)
对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上高阶无穷 小量得：
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2.1.2 流动的分类
（1）按随时间变化特性:稳态流动和非稳态流动
稳态流动：流体运动参数与时间无关，也叫 定常流动、恒定流动。
vx= vx(x,y,z) vy= vy(x,y,z) vz= vz(x,y,z)
非稳态流动：流体运动参数与时间有关，也 叫非定常流动、非恒定流。（例1.2.3.）
说明一点：流体流动稳态或非稳态流动与所选 定的参考系有关。
2 流体运动学基本概念
• 流动的分类* • 拉格朗日法和欧拉法* • 质点导数* • 迹线和流线*、流管 • 有旋流动、无旋流动*
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2.1概述
2.1.1 流体运动的特点
流体运动的复杂性: （1）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲线
运动理论来研究； （2）流体运动过程中，除了平动和转动外，还必须
ρ=ρ (x,y,z,t)
p=p (x,y,z,t)
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按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ（可以 是矢量，也可以是标量）均可表示为：
φ = φ（x,y,z,t）
若流场中任何一物理量φ都不随时间变化，这 个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态 流动或定常流动，或者说对于稳态流动有：
0
t 15