任意拉格朗日欧拉(ALE)理论基础
基于多物质ALE算法的TNT炸药爆炸数值模拟分析
基于多物质ALE算法的TNT炸药爆炸数值模拟分析作者：蔡晓虹来源：《建筑科技与经济》2017年第04期摘要：基于ANSYS/LS-DYNA动力非线性有限元程序，利用任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法，以及多物质流固耦合方法对土壤爆炸荷载作用下进行了数值模拟研究，最终得出以下结论：TNT炸药爆炸后，形成球形冲击波阵面，并向外扩散，冲击波压强逐渐降低。
由下至上土壤各点的速度是逐渐增加的。
关键词：多物质ALE算法；ANSYS/LS-DYNA程序；TNT炸药；数值模拟；Based on the ALE algorithm TNT explosive substance，Numerical simulation analysisCai Xiao-hong（ Xi'an Shenzhou Aerospace Architectural Design Institute， 710025 ）Abstract： Based on the ANSYS/LS-DYNA dynamic nonlinear finite element program， using arbitrary Lagrange Euler （ ALE ） method，As well as the substance of fluid-solid coupling method on soil under explosive loading are studied by numerical simulation， reached the following conclusions： TNT after the explosion， the formation of spherical shock front， and spread outwards， shock wave pressure is reduced gradually. From the bottom of the soil at various points in the speed is gradually increased.Key words： multiple substance ALE algorithm； ANSYS/LS-DYNA； TNT explosive；numerical simulation；1.引言爆炸是能量短期内急剧释放的过程，具有短时高速高压的特点，在矿山爆破、金属爆炸成型、水下爆破排淤等军事与民用领域有着极为广泛的应用，研究结构在爆炸荷载作用下的动力响应，对于我国防护工程、爆破工程的发展具有十分重要的意义[1]。
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究【摘要】本研究利用拉格朗日-欧拉描述，探究了薄平板大幅扭转振动的气动特性。
通过气动特性分析和实验方法与数据处理，揭示了振动特性的规律。
在数值模拟结果中发现，薄平板在气流中振动会产生复杂的气动力，进而影响其振动行为。
研究结果表明，振动幅度和频率受到气动力的显著影响。
结论部分总结了本研究的主要发现，并展望了未来进一步研究的方向。
本研究对于深入理解薄平板在气流中的振动特性具有一定的理论和实用价值。
【关键词】薄平板、大幅扭转振动、拉格朗日-欧拉描述、气动特性、实验方法、数据处理、振动特性、数值模拟、研究结论、研究展望1. 引言1.1 研究背景薄平板大幅扭转振动是一种在空气动力学和结构动力学领域中具有重要应用价值的现象。
在空气动力学研究中，薄平板大幅扭转振动现象对于飞机、桥梁等结构的稳定性和气动特性有着重要的影响。
而在结构动力学研究中，薄平板大幅扭转振动也被广泛应用于振动传感器和振动控制系统中。
随着科学技术的不断发展，人们对薄平板大幅扭转振动的研究越来越深入。
目前对于薄平板大幅扭转振动的拉格朗日-欧拉描述和气动特性分析还存在许多问题有待解决。
进一步深入研究薄平板大幅扭转振动的拉格朗日-欧拉描述和气动特性分析，对于提高飞机和其他结构系统的性能具有重要意义。
本研究旨在通过实验方法和数值模拟相结合的方式，深入探讨薄平板大幅扭转振动的气动特性，为相关领域的研究提供新的理论和实验基础。
1.2 研究目的研究目的是为了探究薄平板大幅扭转振动对气动特性的影响，以及寻求优化振动控制方案。
通过拉格朗日-欧拉描述，我们可以更准确地描述平板的振动情况，并深入分析振动与气动之间的相互作用。
这项研究旨在揭示薄平板大幅扭转振动对气动力的动态影响机制，为改进薄平板结构设计和振动控制提供科学依据。
通过实验方法和数据处理的深入探讨，我们将全面了解薄平板振动的特性及其对气动性能的影响规律，为未来的数值模拟和优化设计提供可靠的基础。
欧拉拉格朗日定理
欧拉拉格朗日定理欧拉拉格朗日定理，又称欧拉素性定理，是 18级德国数学家莱布尼兹于1736年提出的定理，它给出了任何满足欧拉素性的恒定正整数n的分解成素数乘积的具体方法。
欧拉拉格朗日定理的历史和解释，以及它的重要性，都被广泛认为是数学计算的一个重要基础。
欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）是一位著名的数学家和物理学家，也是现代数学的开创者之一。
欧拉拉格朗日定理的发现是欧拉在1736年提出的，当时他正在研究一种称为“欧拉素性”的数学属性。
欧拉素性是指一个正整数，被其本身和1以外所有质数整除，但不能被任何非质数整除。
也就是说，如果一个正整数满足欧拉素性，那么它可以分解成质数的乘积。
欧拉拉格朗日定理的一般形式是这样的：若n是一个正整数，且n满足欧拉素性，则n可以分解成一系列形如p1^k1*p2^k2*……*pn^kn (其中pi是素数，而ki是正整数)的乘积。
这个定理也可以表示为n=p1^k1*p2^k2*……*pn^kn，这表明任何满足欧拉素性的数都可以分解为可能的素数乘积。
由于欧拉拉格朗日定理完全描述了正整数的分解，因此它是解决数学问题和求解数学模型的基础。
比如，如果要解决欧拉函数的值，需要首先利用欧拉拉格朗日定理将欧拉函数的值分解成质数的乘积，然后再计算乘积的值，从而计算出欧拉函数的值。
此外，欧拉拉格朗日定理还可以用来解决一般多元函数求值问题，如多项式求值问题。
由于多项式求值是多元函数求值的特殊情况，可以利用欧拉拉格朗日定理将多项式展开成质因数乘积，然后利用质因数乘积的素数乘积定理来计算多项式结果。
欧拉拉格朗日定理也被应用于计算机科学，如加密技术和求解大数的算法，它也是计算机算法的基础。
当用欧拉拉格朗日定理计算欧拉函数时，需要使用数论算法。
欧拉拉格朗日定理需要用到多项式算法，最常用的是因式分解算法，它能够将欧拉函数分解为素数的乘积。
利用这种算法，可以得出欧拉函数的准确值。
总的来说，欧拉拉格朗日定理是一个非常重要的数学定理，它给出了一种分解满足欧拉素性的数字的有效方法，它也在许多不同的领域中发挥着重要的作。
任意拉格朗日欧拉算法 -回复
任意拉格朗日欧拉算法-回复拉格朗日欧拉算法（Lagrange-Euler algorithm）是一种经典的数学方法，常用于解决变分计算和极值问题。
它以18世纪的两位数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和伦纳德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名。
本文将逐步介绍拉格朗日欧拉算法的概念、应用及其算法步骤。
拉格朗日欧拉算法最早应用于力学领域，用于确定质点在给定时间下的最优轨迹。
它基于变分理论，研究函数的变化及其可能的极值。
为了理解拉格朗日欧拉算法，首先需要了解变分计算的基本概念。
在数学中，变分计算涉及找到能使某一泛函取得极值的函数。
我们首先考虑一个简单的例子。
假设我们要求一个函数使得其在给定区间上的积分反映了最大值。
我们可以定义这个问题的泛函为：\[ J(y) = \int_{a}^{b}F(x,y,y')dx \]其中，y(x)是我们要找的函数，y'是y(x)的导数。
F(x,y,y')是一个与y和y'有关的函数。
首先，我们需要定义一个测试函数v(x) ，使得在求解问题时将差异项加入到泛函中。
因此我们可以写出如下的变分问题：\[ J(y + \epsilon v) = \int_{a}^{b} F(x,y + \epsilon v, (y + \epsilon v)')dx \]其中，\epsilon 是一个无穷小的增量。
接下来，我们需要将这个泛函进行展开。
应用泰勒展开，我们有：\[ J(y + \epsilon v) = J(y) + \epsilon \frac{dJ}{d\epsilon} v +O(\epsilon^2) \]展开泛函后，我们可以将其作为一个函数来处理。
下一步是计算\frac{dJ}{d\epsilon}。
考虑到在\epsilon=0的点处，J(y + \epsilon v)是一个极值，那么\frac{dJ}{d\epsilon}必然为零。
任意拉格朗日—欧拉方法及其在二维数值计算中的初步应用
应用ＨＥＰＡＬＥ程序对平面碰撞、铜棒碰撞刚性壁（Ｔａｙｌｏｒ杆问题）、爆轰波的 传播、炸药驱动金属平板和柱壳进行了数值模拟，并与有关理论解析结果或者实 验结果以及ＬＳ．ＤＹＮＡ程序、Ｌａｇｒａｎｇｅ程序的计算结果进行了比较，符合程度较 好。表明本文的计算方法和程序能够用于爆炸力学诸多有关问题的数值计算。与 纯Ｌａｇｒａｎｇｅ程序计算的结果相比较，ＡＬＥ方法在处理大变形问题时有较明显的 优势。
ｍａｉｎｔａｉｎｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｅｌｌｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍａｔｅｒｉａｌ．），ｔｈｅ ｌｉｎｅ ｌｏｏｐ ｉｎｔｅｇｒａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉＳ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｈｉｃｈ ｃａｒｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌａｓｔｉｃ—ｐｌａｓｔｉｃ ｆｌｏｗ．Ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｂｏｔｈ ｏｆ ＳＯ－ｃａｌｌｅｄ Ｌａｐｌａｃｅ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ ｒｅｚｏｎｅ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｄｏｎｅ．Ｔｈｅ ｒｅｍａｐ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｏｆ ｄｏｎｏｒ ｃｅｌｌ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．
ａｄｖａｎｔａｇｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｕｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
任意拉格朗日欧拉法 有限元法
任意拉格朗日欧拉法有限元法
拉格朗日欧拉法有限元法是数学中非常重要的两个方法，这种
方法在很多科学领域都有重要应用，比如正求解物理方程的有限元分
析中、分析根据拉格朗日原理和欧拉原理中相对部分的真空和介质光
速变化方案的光学方法中。
下面将进一步介绍它们的详细内容。
拉格朗日原理利用的是广义坐标和动力学方程来描述一个系统在
它运动过程中的方式。
当一个系统的作用力和位移满足拉格朗日原理时，我们可以用欧拉-拉格朗日方程求出系统运动规律。
它的一个重要
应用是在机械系统中，例如机械臂、摆杆等。
在这些系统中，我们可
以通过这个方法识别它们的运动方式，这个方法被广泛的应用于机械
工程中，可以在设计机械的过程中起到重要的作用。
欧拉原理描述的是在任意元素中的弹性材料应变变化的规律性。
通过欧拉原理和方程我们可以得出一个完整的材料应力和变化的方式。
欧拉原理的一个典型应用在于材料学和力学中，可以描述在极其高压
条件下的金属和塑料材料产生的应变和弹簧常数等。
另一方面，有限元法在物理学和工程技术中非常常用，主要用于
分析复杂问题中的边界问题，比如房间的隔音，桥梁的设计。
这种技
术以小组件为单位，实际模拟整个结构系统，通过计算每个小组件与
其他小组件的相互作用，最终得到整个结构的性能。
总的来说，拉格朗日欧拉法和有限元法是数学和物理领域两个非
常重要的方法，他们在不同科学领域都有非常广泛的应用，为设计和
研究提供了重要的方法和手段，他们都是建立在强大的数学原理之上的。
拉格朗日,欧拉,ALE网格解释
6 Y" @' w: g3 A
7 o1 N9 e, b0 RALE、Lagrange、Euler是数值模拟中处理连续体的广泛应用的三种方法。
0 n$ g% v) N! Z
* z% ^7 N, r$ GLagrange方法多用于固体结构的应力应变分析，这种方法以物质坐标为基础，其所描述的网格单元将以类似“雕刻”的方式划分在用于分析的结构上，即是说采用Lagrange方法描述的网格和分析的结构是一体的，有限元节点即为物质点。采用这种方法时，分析结构的形状的变化和有限单元网格的变化完全是一致的（因为有限元节点就为物质点），物质不会在单元与单元之间发生流动。这种方法主要的优点是能够非常精确的描述结构边界的运动，但当处理大变形问题时，由于算法本身特点的限制，将会出现严重的网格畸变现象，因此不利于计算的进行。
! e1 w# f& Z" r% J2 |( m6 D2 b4 V) P1 ^# u
Euler方法以空间坐标为基础，使用这种方法划分的网格和所分析的物质结构是相互独立的，网格在整个分析过程中始终程始终是不变的。很显然由于算法自身的特点，网格的大小形状和空间位置不变，因此在整个数值模拟过程中，各个迭代过程中计算数值的精度是不变的。但这种方法在物质边界的捕捉上是困难的。多用于流体的分析中。使用这种方法时网格与网格之间物质是可以流动的。
/ q# @ }) Y0 {) s/ M6 kALE方法最初出现于数值模拟流体动力学问题的有限差分方法中。这种方法兼具Lagrange方法和Euler方法二者的特长，即首先在结构边界运动的处理上它引进了Larange方法的特点，因此能够有效的跟踪物质结构边界的运动；其次在内部网格的划分上，它吸收了Euler的长处，即是使内部网格单元独立于物质实体而存在，但它又不完全和Euler网格相同，网格可以根据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使得网格不致出现严重的畸变。这种方法在分析大变形问题时是非常有利的。使用这种方法时网格与网格之间物质也是可以流动的。
abaqus的ALE使用方法
abaqus的ALE使用方法ALE是指ArbitraryLagrangian-Eulerian（任意拉格朗日-欧拉）方法，是一种用于模拟流体-结构相互作用（FSI）问题的数值方法。
ABAQUS是一种常用的有限元分析软件，它提供了ALE方法的实现。
以下是ABAQUS的ALE使用方法：1.选择适当的元素类型在ABAQUS中，有限元的元素类型与所研究的问题有关。
在使用ALE方法时，需要选择适当的元素类型。
通常，ABAQUS中的C3D10M元素和C3D8M元素是最常用的元素类型。
2.定义ALE区域定义一个ALE区域，使得在这个区域内的物体可以随着时间移动。
在ABAQUS中，可以使用“ALE mesh”来定义一个ALE区域。
ALE网格是一种特殊的有限元网格，它可以随着时间变化而变形。
3.定义初始和边界条件在使用ALE方法时，需要定义物体的初始和边界条件。
这些条件可以包括物体的初速度、初位置以及受力情况等。
在ABAQUS中，可以使用“Initial conditions”和“Boundary conditions”来定义这些条件。
4.选择适当的求解器在ABAQUS中，有许多求解器可供选择。
对于ALE问题，一般使用“implicit”或“explicit”求解器。
在选择求解器时，需要考虑到模拟的时间尺度、模拟的物理过程以及计算机性能等因素。
5.运行模拟在定义好ALE区域、初始和边界条件，并选择好求解器后，就可以运行模拟了。
在模拟过程中，需要监控物体的变形和运动情况，并根据需要调整模拟参数，以获得合适的模拟结果。
综上所述，以上是ABAQUS的ALE使用方法。
对于复杂的流体-结构相互作用问题，ALE方法具有一定的优势，可提供更加准确的模拟结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日-欧拉描述的有限元分析孙江龙1杨文玉2 杨侠3（1 华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2 华中科技大学机械科学与工程学院，武汉 430074；3 武汉工程大学机电工程学院，武汉 430073）摘要：对拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日–欧拉三种描述方法进行了分析，为了便于理解给出了三种描述的参考构形和参考坐标系，在参考坐标系下根据物质导数的定义分别得到相应的速度和加速度，并进行比较，将三种描述方法的区别列于表中，清晰地阐述了三种描述之间的相互关系，并进行了有限元分析。
关键词：拉格朗日;欧拉;任意拉格朗日–欧拉;有限元法1 引言自由液面大晃动引起的强非线性往往给问题的求解造成很大困难，对大晃动问题进行数值模拟，要先解决描述方法的选择问题。
过去通常采用欧拉法[1-3]和拉格朗日法[4-5]来描述非定常自由面流体流动，它们有着各自的优势和局限性。
采用固定网格的欧拉描述，整个计算过程中计算网格始终保持初始状态，从而可以描述流体质点运动的急剧变化，如碎波等现象。
欧拉描述虽然可以有效地分析整个流场内部的运动，但很难精确跟踪流体的自由液面，即很难给出准确的自由面形状和位置。
在拉格朗日描述中，网格结点与流体质点在整个运动过程中始终保持重合，流体质点与网格结点之间不存在相对运动，因此很容易跟踪自由液面，适用于线性小晃动问题。
这不仅大大地简化了控制方程地求解，而且还能有效地跟踪流体质点的运动轨迹，准确地描述波动的自由液面。
但是，在涉及求解带自由面流体大幅运动时，此时的晃动已经具有很强的非线性特征，如果还采用拉格朗日描述，由于流体质点运动的急剧变化，将导致计算网格的扭曲，会面临网格奇异问题，从而使计算无法继续进行。
拉格朗日描述和欧拉描述虽有各自的优点，但也存在较大的缺陷，如果将它们有机地结合在一起，充分利用各自的优点并克服其缺点，则可以解决各自都难于解决的问题，任意拉格朗日–欧拉描述[6－7]（ALE）方法就是基于该思路提出的。
在任意拉格朗日–欧拉描述中，网格结点的运动方式比较灵活，网格结点可以跟随流体质点一起运动，也可以固定不变，甚至可以采用网格结点在一个方向上固定而在其他方向上随流体质点一起运动等方式。
为了更加清晰地理解这三种描述方法，本研究从以下几个方面进行阐述和比较。
- 164 -暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集- 165 -2 坐标系如图1所示，将连续介质在初始t 0时刻的形状称为初始构形，记为XΩv ，并引入拉格朗日坐标系（运动坐标系）123OX X X ，则在该参考系下物质点P 的位置矢量可表示为123(),,X X X X =v，坐标(123),,i X i =称为物质坐标，表示物质点P 在物质坐标系中的初始位置。
将连续介质在现时t 时刻的形状称为现时构形，记为x Ωv ，并引入欧拉坐标系（空间坐标系）ox x x 123，则在该参考系下，物质点P 位于p 处，其位置矢量可表示为),,(321x x x x =ϖ，坐标)3,2,1(=i x i 称为空间坐标，表示物质点P 在空间坐标系中的现时位置。
最后任意选择一个独立于初始构形和现时构形的任意构形，记为χΩv ，并引入任意拉格朗日-欧拉坐标系（任意坐标系）o χχχ123，则在该参考系下，物质点P 位于q 处，其位置矢量可表示为),,(321χχχχ=ϖ，坐标123(),,i i χ=称为任意坐标，表示物质点P 在任意坐标系中的现时位置。
图1 参考坐标系拉格朗日描述（简称为L 描述）是在初始构形XΩv 的基础上来研究物质点X v在空间坐标系中的运动规律，其数学表达为(),X t x x =v v v ，描述了同一物质点X v 在空间坐标系中的位置矢量随时间的变化情况。
欧拉描述（简称为E 描述）是在现时构形x Ωv 的基础上来研究空间点x ϖ处物质点的运动规律，其数学表达为(),X X x t =v v v ，描述了同一空间点x ϖ处物质点的各物理量随时间的变化情况。
任意拉格朗日-欧拉描述（简称为ALE 描述）则是在任意构形χΩv 的基础上来研究任意点χϖ在暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集- 166 -空间坐标系中的运动规律，其数学表达为()t x x ,χϖϖϖ=，描述了同一任意点χϖ在空间坐标系中的位置矢量随时间的变化情况。
而另一数学表达式为(),X t χχ=v v v ，描述了同一物质点X v 在任意坐标系中的位置矢量随时间的变化情况。
3 物质导数：速度和加速度某一物质点X ϖ在空间坐标系中的运动速度u ϖ等于该物质点在空间坐标系中的位置矢量),(t X x x ϖϖϖ=对时间t 的导数X t t X x u ϖϖϖϖ∂∂=/),(，式中的X ϖ表示物质点坐标X ϖ固定时的值。
某一物质点X ϖ在任意坐标系中的运动速度v ϖ等于该物质点在任意坐标系中的位置矢量),(t X ϖϖϖχχ=对时间t 的导数X t t X v ϖϖϖϖ∂∂=/),(χ，式中的Xϖ表示物质点坐标X ϖ固定时的值。
某一任意点χϖ在空间坐标系中的运动速度w ϖ等于该任意点在空间坐标系中的位置矢量),(t x x χϖϖϖ=对时间t 的导数χχϖϖϖϖt t x w ∂∂=/),(，式中的χϖ表示任意点坐标χϖ固定时的值。
在物质点描述（L 描述）方法中，有限单元剖分是对整个运动流域进行剖分的，其网格点是随同流体质点一起运动的，网格点就是物质点。
在空间点描述（E 描述）方法中，有限单元剖分是对整个固定流域进行剖分的，其网格点是固定在空间中不动的，网格点就是空间点。
在任意点描述（ALE 描述）方法中，有限单元剖分是对整个任意流域进行剖分的，其网格点是独立于流体质点和空间点任意运动的，可以根据需要自由选择运动方式，网格点就是任意点。
在ALE 描述中，由于网格点的运动规律可以是任意给定的，那么指定网格点特殊的运动规律就可以将ALE 描述退化为L 描述和E 描述。
u w ϖϖ=，即网格点是随同物质点一起运动，此时退化为L 描述。
0=w ϖ，即网格点是固定在空间中不动，此时退化为E 描述。
0≠≠u w ϖϖ，即网格点是独立于流体质点和空间点随同任意点一起运动，此时对应于一般的ALE 描述。
各物理量的实质导数等于物理量的网格导数与物理量的迁移导数之和，实质导数为某一固定物质点X ϖ的物理量对时间的变化率；网格导数为某一固定物质点X ϖ在网格点处的物理量对时间的变化率；迁移导数为某一固定物质点X ϖ相对于网格点的速度（对流速度）和物理量对空间的变化率（迁移加速度）的乘积。
在ALE 描述中任意构形是已知的，所以各物理量用物质点在任意坐标系中的位置矢量),(t X ϖϖϖχχ=来表示会比较方便，即用)),,((t t X f f ϖϖχ=表示各物理量。
则f 对t 的全导数（物暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集- 167 -质导数）为/////X Df Dt f tf t f t χ∂∂∂∂∂∂χ∂χ∂==+v v v vg ，X ϖ表示物质点坐标X ϖ固定时的值，χϖ表示任意点坐标χϖ固定时的值。
为了研究方便，下面引入求和法则，各物理量可用)),,((t t X f f j ϖχ=来表示，则可得/////j j j X Df Dt f t f t f t χ∂∂∂∂∂∂χ∂χ∂==+v g 。
那么对空间坐标系中的位置矢量)),,((t t X x j i ϖχ求全导数后(即为物质点X ϖ在空间坐标系中的运动速度i u )可得()(,),////ji i j i i j j X u x X t t t x t x t χχχχ=∂∂=∂∂+∂∂∂∂v v g ，整理后得//i i i j j u w x t χχ−=∂∂∂∂g 。
令i i ic w u =−，则/i i j j c x v χ=∂∂g ，i c 为物质点相对于网格点的运动速度，称为对流速度。
由式/i i j j c x v χ=∂∂g 可得//j i j i t c x χχ∂∂=∂∂g ，通过整理后可得物质点Xϖ的任意物理量的物质导数///j i i X f t f t c f x χ∂∂=∂∂+∂∂v g 。
那么物质点X ϖ在空间坐标系中运动速度)),,((t t X u j i ϖχ的全导数（即为物质点X ϖ在空间坐标系中的加速度）为//j i i k i k a u t c u x χ=∂∂+∂∂g ，其中j t u i χ∂∂/为网格导数，等于空间坐标系下物质点的运动速度i u 在网格点坐标j χ固定时对时间的偏导数；k c 为对流速度，等于空间坐标系下物质点的运动速度k u 与网格点的运动速度k w 之差。
在L 描述下（以运动坐标系为参考的，网格点就是物质点），网格导数j t u i χ∂∂/就变为X i t u ϖ∂∂/，等于空间坐标系下物质点的运动速度i u 对时间的全导数；对流速度kc 就为0，网格点的运动速度k k u w =，有Xi i t u a ϖ∂∂=/。
在E 描述下（以空间坐标系为参考的，网格点就是空间点），网格导数j t u i χ∂∂/就变为j x i tu ∂∂/，等于空间坐标系下物质点的运动速度i u 对时间的偏导数；对流速度k c 就为k u ，网格点的运动速度0=k w ，有//j i i k i k x a u t u u x =∂∂+∂∂g 。
4 有限元分析在进行流体的有限元分析时，如何对流体的不可压条件进行处理是非常关键的问题。
处理的方法有很多种，目前主要有泊松方程法[8]和分步法[9-10] 。
前者的缺点是只能采用速度和压力的不等阶插值，大大增加了计算量。
而后者则利用不可压条件对NS 方程采用分步求解，将压力和速度变量分开后再进行方程的有限元离散，对速度和压力采用等阶插值，这样不仅实现方便，而且计算精度高。
采用有限元法来建立粘性流体运动问题的有限元方程组的步骤如下：1）选择描述方法，导出在该描述下的流体运动控制方程，包括连续性方程和运动方程。
2）采用直接法（直接从运动方程获得压力-泊松方程）或中间速度法[11]（其中中间速度法又暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集可分为两种：在NS方程中改变压力项来获得压力-泊松方程或在NS方程中略去压力项来获得压力-泊松方程）对运动方程进行时域上的差分离散和空间域上的有限元离散，建立不可压黏性流体运动问题的有限元方程组。
3）针对建立的有限元方程组，对边界条件（包括本质边界条件和自然边界条件）进行适当处理。
用ALE有限元法求解带自由面流动问题时，无需直接求解自由面运动方程，只要通过自由面上网格结点的运动来描述自由面变化。