拉格朗日-欧拉方法二维数值模拟的研究
数值湍流学拉格朗日和欧拉网格有限体积和有限元分析等模拟方法
数值湍流学拉格朗日和欧拉网格有限体积和有限元分析等模拟方法湍流是指在流体中发生的无规则、无周期、无序的流动现象。
由于湍流的复杂性和不可预测性，对其进行数值模拟成为数值湍流学的研究重点之一。
在数值湍流学中，拉格朗日方法和欧拉网格有限体积和有限元分析等模拟方法被广泛应用于湍流模拟和分析。
拉格朗日方法是一种通过跟踪流体粒子运动来模拟流场的方法。
该方法假设流体是由一系列的粒子组成，每个粒子都有其自己的动力学行为。
通过数值求解流体粒子的运动方程，可以得到流体的速度、压力等相关信息。
相对于欧拉网格方法，拉格朗日方法在处理复杂流体流动时具有更大的优势。
它可以解决存在流体界面变化和追踪流体中微尺度结构的问题。
欧拉网格有限体积和有限元方法是基于对流体流动区域的网格划分和离散化，对流体连续性方程及其它运动方程进行求解的方法。
在欧拉网格方法中，流体区域被划分为离散的网格，然后在每个网格上进行有限差分或者有限元计算。
通过分析网格中不同位置的物理量，如速度、压力等，可以得到流体流动的全局性质。
欧拉网格方法适用于稳态流动和大尺度流体结构的模拟，尤其擅长处理高雷诺数湍流。
在数值湍流学研究中，拉格朗日方法和欧拉网格方法常常被结合使用，以充分发挥各自的优点。
拉格朗日方法可以捕捉湍流中的微观结构和尾迹，而欧拉网格方法则可用于模拟湍流的宏观流动特性。
通过将两种方法结合，可以得到更精确、准确的湍流模拟结果。
在拉格朗日和欧拉网格方法的基础上，有限体积和有限元分析等数值方法进一步提升了湍流模拟的精度和效果。
有限体积法是一种数值积分方法，其基本思想是在每个网格单元内对流动物理量进行积分，通过求解积分方程得到流动的宏观性质。
有限体积法可以更好地处理复杂边界条件和湍流现象。
有限元方法则是一种数学上的近似解法，通过将问题的局部区域离散为有限个单元，在每个单元内寻找逼近流动物理量的函数形式，通过解逼近方程组得到流动的整体性质。
综上所述，数值湍流学中的拉格朗日方法和欧拉网格有限体积和有限元分析等模拟方法在湍流模拟和分析中发挥着重要的作用。
欧拉法融合拉格朗日法高效模拟灌溉二维地表水运动规律
个畦田内的地表水流推进/消退全过程。为验证模型的模拟性能，选取一种高效的欧拉解法（非迭代型全隐式标量耗散有
限体积法）求解二维浅水方程组做为对比模型，基于 3 个典型畦灌试验的实测数据，从模拟精度、质量守恒性和计算效
率 3 个方面，对比分析了 2 种数值解法的性能。结果表明，2 种解法在模拟精度方面相差无几，且欧拉-拉格朗日混合解
波动并有效地保持质量守恒性；由于控制方程中不存在水运动的对流梯度项（或位置加速度项），仅通过拉格朗日迹线追
踪的形式获得未知与已知时间步之间的变量关系，故与广泛应用的欧拉解法相比，离散格式表达式极为简洁易用；在地
表水运动的干湿边界处，地表水位梯度项被做了修正，以严格地保证各物理量之间的数值平衡，进而能高精度的模拟整
的取值范围，但仍属于有条件稳定。为此，（迭代或非 迭代型）全隐式标量耗散型有限体积法应运而生[4,17-19]， 具有无条件稳定的显著特征，使得时间步长可依据具体 的实例选取，应用更具灵活性。这些已有解法都属于欧 拉解法范畴。地表浅水方程组中对流梯度项（或位置加 速度项）的存在导致了极为复杂的非线性特征[20-21]，无 论如何构造和发展数值解法，欧拉解法都无法绕开这个 非线性极强的对流梯度项[22-25]，这使得任何欧拉解法的 空间离散格式都比较复杂，而不易被使用者掌握。
（中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室，北京 100038）
摘 要：大规模现代化农业灌溉管理下，为实现快速高效地获知灌溉水运动及其分布的目的，该文基于二维浅水方程组
的欧拉-拉格朗日混合型表达形式，提出了一种高效简洁的欧拉-拉格朗日混合解法。该解法的基本物理变量被严格地定
义在欧拉型非结构化三角形有限体积单元格上，且变量在单元格之间呈现出阶梯分布状态，以精准地捕捉各类地表浅水
气泡流体力学特性的数值模拟研究
气泡流体力学特性的数值模拟研究气泡流体力学是一种研究气泡在流体中运动和相互作用的学科。
气泡可以在自由液面、气泡分散液体中和液面下运动。
气泡流体力学的研究不仅可以解释气泡在流体中的行为，并且可以为水下推进器、气泡塔和气泡浮力等应用提供理论、技术支持。
气泡流体力学的理论研究需要依赖于实验和计算。
实验虽然可以直观地观察气泡在液体中的运动，但由于实验的限制，往往无法得到全面、准确的数据。
而计算则可以方便地获取气泡在流体中的各种特性，提高研究的准确性和可靠性。
数值模拟是气泡流体力学中的一个重要方法。
数值模拟可以通过计算机对气泡运动的各种特性进行模拟，如气泡尺寸、速度、形态、破裂和聚合等，从而使气泡流体力学的理论研究更加深入和完整。
数值模拟气泡流体力学主要依赖于计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）技术。
CFD技术是一种将流体力学理论、数值计算方法和计算机技术结合起来的一种技术，主要用于对流动的数值模拟分析和计算。
CFD 技术的应用使得气泡流体力学的数值模拟成为可能。
气泡流体力学的数值模拟主要分为欧拉法和拉格朗日法。
欧拉法是一种基于控制体积的流体力学数值模拟方法，将物体分为以一定点为中心的一个体积，通过对这个体积的运动状态进行计算，来推求物体在宏观上的运动和力学特性。
欧拉法在气泡流体力学中应该用于大气泡的计算模拟。
拉格朗日法是一种基于对粒子移动轨迹的运动方程建模的数值模拟方法，这种方法的优点是可以准确地追踪气泡的运动轨迹，可以用于小气泡的模拟计算和气泡间作用。
此外，拉格朗日法还可以将气泡的形态变化考虑进去，使得模拟结果更加准确。
数值模拟气泡流体力学方法的应用范围很广。
例如，在水下推进器中，气泡的运动和破裂对推进器的性能有很大的影响。
通过数值模拟气泡流体力学，研究人员可以预测气泡的行为，为推进器的设计和优化提供指导。
同样地，数值模拟气泡流体力学在气泡塔中、气泡浮力中也有广泛的应用。
空气动力学中的非定常流动数值模拟研究
空气动力学中的非定常流动数值模拟研究空气动力学是研究物体在空气中运动的力学学科，非定常流动数值模拟是其中非常重要的研究领域之一。
在过去的几十年里，非定常流动数值模拟已经成为了空气动力学研究的重要手段之一，对于许多行业和领域都具有重要的应用价值。
一、非定常流动数值模拟的意义和价值非定常流动是指在空气动力学中存在着时间上不稳定、空间上不均匀的气流现象。
这些气流现象通常包括了飞行器、汽车、船舶等物体运动中产生的涡旋、尾流等气流现象。
非定常流动数值模拟是一种通过数值模拟方法来研究这些气流现象的研究手段。
它可以帮助研究者了解非定常流动产生的机制和规律，进而对于减小气流阻力、提高效率、改进气动设计等方面具有重要的应用价值。
二、数值模拟的方法和技术在非定常流动数值模拟研究中，有许多数值模拟的方法和技术可供选择。
一般而言，这些方法和技术可以分为三类：欧拉方法、拉格朗日方法和欧拉-拉格朗日混合方法。
欧拉方法是以空气粒子在运动过程中所受到的作用力来计算空气流场的运动状态，它适用于基本上没有物体与空气之间的相互作用的流动。
拉格朗日方法则是用来研究物体运动时所产生的流动现象，例如在飞行器飞行时产生的尾流。
欧拉-拉格朗日混合方法则是将欧拉方法和拉格朗日方法相结合，既可以对欧拉方法适用的流动进行数值模拟，又可以对拉格朗日方法适用的流动进行数值模拟。
在非定常流动数值模拟的研究中，还会用到诸如贪吃蛇法、分叉皮带法、埃拉纳法等一系列基于无网格的数值模拟方法和技术。
这些方法和技术更具有灵活性和适用性，能够更加准确地描述非定常流动。
三、数值模拟在气象、航空航天等领域的应用非定常流动数值模拟在许多领域都具有广泛的应用，特别是在气象、航空航天等领域。
在气象研究中，非定常流动数值模拟可以帮助研究者更好地预测气象条件，从而为天气预报提供更加准确的数据。
在航空航天领域，非定常流动数值模拟不仅可以用来优化飞行器的设计，还可以帮助研究者了解飞机在高空飞行时遇到的各种气流现象，从而增强飞行安全。
Lagrange、Euler、ALE三种方法的简单介绍
Lagrange、Euler、ALE三种方法的简单介绍ALE、Lagrange、Euler是数值模拟中处理连续体的广泛应用的三种方法。
Lagrange方法多用于固体结构的应力应变分析，这种方法以物质坐标为基础，其所描述的网格单元将以类似“雕刻”的方式划分在用于分析的结构上，即是说采用Lagrange方法描述的网格和分析的结构是一体的，有限元节点即为物质点。
采用这种方法时，分析结构的形状的变化和有限单元网格的变化完全是一致的（因为有限元节点就为物质点），物质不会在单元与单元之间发生流动。
这种方法主要的优点是能够非常精确的描述结构边界的运动，但当处理大变形问题时，由于算法本身特点的限制，将会出现严重的网格畸变现象，因此不利于计算的进行。
Euler方法以空间坐标为基础，使用这种方法划分的网格和所分析的物质结构是相互独立的，网格在整个分析过程中始终保持最初的空间位置不动，有限元节点即为空间点，其所在空间的位置在整个分析过程始终是不变的。
很显然由于算法自身的特点，网格的大小形状和空间位置不变，因此在整个数值模拟过程中，各个迭代过程中计算数值的精度是不变的。
但这种方法在物质边界的捕捉上是困难的。
多用于流体的分析中。
使用这种方法时网格与网格之间物质是可以流动的。
ALE方法最初出现于数值模拟流体动力学问题的有限差分方法中。
这种方法兼具Lagrange方法和Euler方法二者的特长，即首先在结构边界运动的处理上它引进了Larange方法的特点，因此能够有效的跟踪物质结构边界的运动；其次在内部网格的划分上，它吸收了Euler 的长处，即是使内部网格单元独立于物质实体而存在，但它又不完全和Euler网格相同，网格可以根据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使得网格不致出现严重的畸变。
这种方法在分析大变形问题时是非常有利的。
使用这种方法时网格与网格之间物质也是可以流动的。
固体结构分析中一般都选用lagrange坐标，实际上lagrange euler法在有限元中体现的节点意义正如楼主所述，但是本质牵扯的是参考什么样的坐标来描述应力应变关系。
基于欧拉-拉格朗日方法的携病毒飞沫扩散过程的数值模拟
1.1 模型简化
为了实现模拟过程，主要做了如下简化： ①忽略传染源的吸入过程，主要考察其呼出的飞 沫在周围环境中的扩散；②以人嘴为飞沫液滴 喷射出口，由于相对模拟环境来说人嘴的面积
†通信作者，长江学者，研究方向：多相流传热传质、稠密气固两相流体动力学和先进功能热流体能量转换与 输运等。E-mail: rong@_
我国《新型冠状病毒肺炎诊疗方案(试行第 七版)》指出，呼吸道飞沫传播和密切接触传播 是COVID-19病毒传播的主要途径，此外，在相 对封闭环境中长时间暴露于高浓度气溶胶情况下 也存在气溶胶传播的可能[7]。不论是飞沫传播、
接触传播还是气溶胶传播，COVID-19病毒传播 的一个重要载体为人体呼出的飞沫。传染源通
1.2 基本模型
模拟过程采用ANSYS@Fluent商业软件，气 相流动采用连续性模型，湍流模型选择RNG κ-ε 湍流模型，飞沫扩散采用离散颗粒模型(discrete phase model)，同时考虑组分间的输运模型，进 行离散的颗粒相在连续的气相中的扩散和流动计 算，曳力模型选择球形曳力模型。基于欧拉方法 进行连续相的计算，基于拉格朗日方法进行离 散相的计算，并充分考虑气体流动对颗粒扩散 的影响。颗粒模型选择多组分颗粒模型，其中蒸 发相为水，质量分数为96.464%。假定剩余可能 包含病毒的非蒸发相为氯化钠盐，质量分数为 3.536%[11]。
1.4 模型验证 飞沫液滴的蒸发过程对粒径的减小、粒径
变化速率和颗粒运动特性等都具有重要影响， 并最终决定携病毒飞沫的传播和扩散。因此， 首先模拟单个飞沫液滴的蒸发过程，并与相关 文献[14-15]进行了对比。模拟中只考虑自由下落 的单个液滴，在一定温度下静止湿空气中的蒸 发扩散机制。单个液滴在长×宽×高=4 m×2 m×3 m的矩形空间中，从左侧2 m高位置处喷 射至计算区域中。图1为液滴颗粒的粒径随时间 的变化曲线，与Wei等人[14]和Redrow等人[15]的计 算结果进行对比分析，结果吻合良好，验证了 本文使用的蒸发模型的准确性。从图1中可以看 出：飞沫粒径越大，携病毒飞沫液滴的蒸发时 间越长；空气相对湿度越大，携病毒飞沫液滴 的蒸发时间也越长。
任意拉格朗日—欧拉方法及其在二维数值计算中的初步应用
应用ＨＥＰＡＬＥ程序对平面碰撞、铜棒碰撞刚性壁（Ｔａｙｌｏｒ杆问题）、爆轰波的 传播、炸药驱动金属平板和柱壳进行了数值模拟，并与有关理论解析结果或者实 验结果以及ＬＳ．ＤＹＮＡ程序、Ｌａｇｒａｎｇｅ程序的计算结果进行了比较，符合程度较 好。表明本文的计算方法和程序能够用于爆炸力学诸多有关问题的数值计算。与 纯Ｌａｇｒａｎｇｅ程序计算的结果相比较，ＡＬＥ方法在处理大变形问题时有较明显的 优势。
ｍａｉｎｔａｉｎｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｅｌｌｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍａｔｅｒｉａｌ．），ｔｈｅ ｌｉｎｅ ｌｏｏｐ ｉｎｔｅｇｒａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉＳ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｈｉｃｈ ｃａｒｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌａｓｔｉｃ—ｐｌａｓｔｉｃ ｆｌｏｗ．Ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｂｏｔｈ ｏｆ ＳＯ－ｃａｌｌｅｄ Ｌａｐｌａｃｅ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ ｒｅｚｏｎｅ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｄｏｎｅ．Ｔｈｅ ｒｅｍａｐ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｏｆ ｄｏｎｏｒ ｃｅｌｌ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．
ａｄｖａｎｔａｇｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｕｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
单相和多相流体的模型选择欧拉方法拉格朗日方法和VOF方法等
单相和多相流体的模型选择欧拉方法拉格朗日方法和VOF方法等单相和多相流体的模型选择：欧拉方法、拉格朗日方法和VOF方法等在流体力学领域，为了模拟和预测流体的运动行为，研究人员开发了多种数值模型和方法。
对于单相和多相流体问题，欧拉方法、拉格朗日方法和VOF方法被广泛应用。
本文将介绍这三种方法的原理和适用场景。
一、欧拉方法欧拉方法是最常用的流体力学模型之一，它将流体视为连续介质，通过在空间和时间上离散流体的物理性质和运动方程来描述。
欧拉方程组包括质量守恒、动量守恒和能量守恒方程。
这些方程经过数值格式离散化后，可以通过迭代求解来得到流场的数值解。
欧拉方法的主要优点是计算效率高，尤其适用于模拟流体流动的整体行为。
然而，由于欧拉方法忽略了流体微观粒子的运动信息，对于液滴破裂、合并等多相流动问题的模拟效果较差。
此外，在存在严重的界面变形和涡旋等现象时，欧拉方法也会遇到一些困难。
二、拉格朗日方法拉格朗日方法是基于流体微观粒子的运动状态来描述流动行为的方法。
拉格朗日方法追踪流体微观粒子的运动轨迹，并通过插值等技术来获得流场的数值近似解。
相对于欧拉方法，拉格朗日方法更适用于模拟流体中存在颗粒、气泡等多相物质的运动行为。
例如，在石油工程中模拟油气井中的颗粒悬浮、混合和输送过程时，拉格朗日方法常常被应用。
然而，拉格朗日方法的计算复杂度较高，尤其在涉及大量流体微观粒子时，计算资源消耗巨大。
此外，在界面形态变化较大的情况下，拉格朗日方法的数值不稳定性也是一个问题。
三、VOF方法VOF（Volume of Fluid）方法是一种将流体运动和界面跟踪相结合的方法，广泛应用于多相流与界面问题的模拟。
VOF方法利用函数场变量记录流体相的存在情况，通过对其进行插值和计算，得到流体相的分布和界面形态。
相对于拉格朗日方法，VOF方法在模拟界面形态变化和相互作用方面效果更好，且不需要追踪每个微观粒子。
因此，VOF方法在模拟液滴破裂、界面变形和泡沫形成等问题时具有优势。
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数值方法
ALE 方法的坐标系实际上是拉格朗日坐标系和欧拉坐标系的组合。Euler 方法着重于在
2.1 ALE 方法的描述
参考坐标系固定的情况下考察流场的变场的变化,而 Lagrange 方法着重研究质团的位置、速 度和其他物理量的变化，两种方法各有其优缺点,如 Euler 方法网格固定,可计算多维空间中 流体具有较大畸变的流动问题,但流体的界面不能清晰地确定； 而 Lagrange 方法是把坐标系
2.4 边界条件
a) Lagrange 自由面： V Vl b) 水平和垂直的自由滑移面： u 0或v 0 c) 一般的自由曲面和斜面：
' uc u n sin u c cos 2 v c sin cos ' vc u n cos u c cos sin v c sin 2
Lagrangian-Eulerian method for the research of two-dimensional numerical simulation
Abstract: A finite difference method was presented based on the Simplified Arbitrary
1 引言
在现实生活中，带有自由液面的流体流动问题的非常常见，在航天,化工,贮运等领域,已 有大量用有限元法求解自由面流动时,运动的流体与有限元网格之间的关系即运动学描述是 极为重要的。 由于拉格朗日方法和欧拉方法这两种经典的描述方法各有优缺点， 这就促使人 们把这两种方法结合起来使用。ALE(Arditrary Lagrange Euler)方法正是由此而逐渐发展完善 起来的。ALE 描述的流体方程求解自由边界问题常采用拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日一 欧拉三种方法进行描述．为了便于模拟自由液面、流体和结构相互作川边界的复杂运动，流 体的控制方程建立在任意拉格朗日一欧拉参考坐标系。用 ALE 方法解决二维的可压缩或不 可压缩流体的流动问题具有很大的优越性。
对上和下边界 对左和右边界
e) 连续输出边界： V V邻界 此边界条件仅在边界网格流量全部为贡献单元时使用。 f) 特殊的输入或输出流边界：
V Vinput input I I input
g) 压力边界： p p ( , I ) 通过输入参数 WB,WL,WR,WT 来控制边界底、左、右和上的边界条件，他们的取值 范围为 0～6。
ALE 方法采用交错网格离散方程定义除速度外所有的热力学参量位于常规网格单元中 心，定义速度位于常规网格单元的角点上，并以此角点为中心构成动量网格单元。凡需计算 通量的项，如扩散项与对流项，近似为沿单元 4 个表面求和；其他依赖体积的项，可以直接 对单元积分。 ALE 方法结合了 Lagrange 方法和 Euler 方法的优点产生的，因此计算步骤刻也含有这 两种方法，计算分为三步进行。 第一步 显示 Lagrange 计算，即只考虑压力梯度分布对速度和能量改变的影响，在动量 方程中压力取前一时刻的量,因此是显式格式。 这步是直接利用前一时步各参数和终了值来计算本阶段的速度、 密度和内能。这样计算 工作量较小， 但时间步长却受到较严的限制。 因此程序中通过一个可调的参数来控制差分格 式的显隐程度，在实际计算中可按需要进行调节。 第二步 用隐式格式进行 Newton-Raphon 迭代，而把第 1 步求得的速度分量作为迭代求 解的初始值。 ALE 方法是通过联立求解以面中心速度为自变量的动量方程、体积变化方程和经过线 性化处理的状态方程来确定压力。这部分要求降低 Courant 数的时间步长限制， 这样可以保 证在低速或不可压缩流的计算稳定性 第三步 重新划分网格和网格之间输运量的计算。 把所有的网格节点从当前移回到第 1 步开始前的位置， 并计算流体相对于网格运动的对
4 结论
根据算例的计算模拟图可以清晰地分辨出，在不同时刻，容器在水的作用下的动态的变 形情况，从而验证了 ALE 方法是可以解决并处理大变形问题。 参考文献
［1］A.A.Amsden,H.M.Ruppel,and C.W.Hirt. A Simplified ALE Computer Program for Fluid Flow at all speeds,LA-8095,June 1980. ［2］李德元，徐国荣，水鸿寿等，二维非定常流体力学数值模拟，科学出版社，1987. ［3］Careth S.Collins and H.Jay Melosh ,A multi-material extension to the SALE hydrocode with improved equation of state and constitutive model. August 5,2002. ［4］Thomas JR, Lagrangian-Eulerian finite element formulation for incompressible viscous puter Methods in Applied Mechanica And Engineering,1981. ［5］朱自强,吴子牛,李 津等, 应用计算流体力学[Ｍ],北京:北京航空航天大学出版社,1998. ［6］RAMASUWAMY B and KAWAHARA M, Arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element method for unsteady convective incompressible viscous free surface fluid flow［J］.Int.J. Numer.Methods Fluids,1987,7
3 计算实例
计算实例为一球形容器，在水的冲击下产生的变形情况的分析。图中采用的压力方 程为 Tillotson 方程。球形容器在重力的作用下，流体是自由的流过外表面。在纯的拉格 朗日形式下，网格是允许运动的，上边界和右边界可作为拉格郎日自由表面处理，左边 界为无滑移面，底边界为水平底自由滑移面。计算运行是隐式的，不可压缩限制的。计 算底网格单元数为 200，节点数为 231 个，图 1、2、3 显示的是在不同时刻容器的网格、 速度、压力的变化情况。从而说明 ALE 方法计算冲击问题的可行性。由此说明 SALE
Lagrangian-Eulerian(SALE) description for two-dimensional fluid flow with a free surface.2-D Navier-Stokes (NS) equation and the continuity equation were employed for fluid flow. The fluid do main was divided by quadrilateral elements ; By using power factorial calculated advection Flux. By using pressure and velocity as primary variables, this paper presents an ALE factional step procedure .The characteristics and calculation process of SALE method are introduced in the article .To confirm the electiveness of the method, two-dimensional liquid sloshing is simulated. The present numerical results had substantiated the veracity and reliability of the SALE methods.
-3-http:Βιβλιοθήκη /程序的正确性。图1
t=1.00000E-05s 时的网格图、运动状况图及压力图
图2
t=3.00001E+01s 时的网格图、运动状况图及压力图
图3
t=5.00003E+01s 时的网格图、运动状况图及压力图
-4-
其中下标 n 表示为边界上正法向方向速度，下标 c 为边界上切向速度，
y ilorJ 1 lorJ xi 1 tan j 1 y lorJ x j 1 lorJ
d) 无滑移表面： V 0
y ilorJ 1 xilorJ 1
j 1 y lorJ j 1 x lorJ
拉格朗日－欧拉方法二维数值模拟的研究
崔冰艳
内蒙古工业大学机械学院，呼和浩特 （010062） Email: yanbingll@
摘要：从 Navier-Stoles 方程和连续方程出发，在 ALE 描述下，用有限差分的方法对计算区 域进行四边形单元的网格划分； 利用权因子对平流通量进行计算。 以速度和压力为基本变量， 在时间域上采用分步求解格式。文中介绍了 ALE 方法的特点和计算步骤。最后，利用 ALE 的有限差分方法对二维的不可压缩粘性液体的流动问题进行了算例数值模拟， 数值计算结果 验证了 ALE 方法的准确性和可靠性。 关键词：ALE 方法；数值模拟；Navier-Stokes 方程
-1-
2.2 控制方程
在 ALE 方法中应用的控制方程为 Navier-Stokes 方程、质量方程和内能方程：
u 1 ru 2 uv ( p q ) 1 r xx xy g x t y x y r x r x r v 1 ruv v 2 ( p q ) 1 r xy yy g y t y y y r x r x 1 ru v 0 t r x y I 1 rIu Iv u u u v v ( p q ) D xx xy xy yy t r x y x y r x y 1 ru v D r x y