第13节 欧拉方法

欧拉方法步长与收敛性
例： '(t ) = −15 y, t ≥ 0, y (0) = 1 y
步长h=1/10 步长h=1/10
2.5 2 1.5 1
步长h=1/7 步长h=1/7
真实值
0.5
0 1 -15 8 1 = > 1, 所以发散， -0.5 当h = ， + 7 7 7
当h =
Hale Waihona Puke 1 -15 1 -1.5 1 = < 1, 所以收敛， ，+ 10 10 2 -2
欧拉方法的误差
10 8 6 4 2 0 -2 -4 0
1
2
3
4
5
欧拉方法误差随着迭代次数的增加而增加。
欧拉方法的误差
局部误差：初始点y( n )为精确值条件下，
< x( n ) , y( n ) >
估计y( n +1)时产生的误差。 y ( x( n +1) ) - y( n +1) = y ( x( n +1) ) - y( n ) + hf ( x( n ) , y( n ) )
梯形公式
目标：求解一阶方程组：y ' = f ( x, y ), y ( x(0) ) = 0 根据牛顿 - 莱布尼兹公式，有： y ( x( n +1) ) - y ( x( n ) ) = ∫
x( n ) + h x( n+1) x( n )
y '( x)dx = ∫
x( n ) + h
x( n )
≈ f ( x( n +1) , y ( x( n +1) ))
又由于y ( x( n ) )未知，令y ( x( n ) ) ≈ $ ( x( n ) ) y
y ( x( n +1) ) ≈ y ( x( n ) ) + hf ( x( n +1) , y ( x( n +1) ))
将上述公式中的y ( x( n +1) )看作未知数， 则求解非线性方程组，得到后向欧拉方法的y(eu+1) n
前向欧拉方法具有一阶精度； 前向欧拉方法具有一阶精度； 同样可以证明，后向欧拉方法具有一阶精度。 同样可以证明，后向欧拉方法具有一阶精度。
欧拉方法的收敛性
欧拉方法收敛性分析迭代法与真实解变化趋势的差异。
问题： y '(t ) = f (t , y ), t ∈ [a, b], y (0) = y 0 , 已知 分析迭代过程的变化情况。 考虑简单情况，假设f (t , y ) = α y，则欧拉迭代公式为： y( n +1) = y( n ) + hα y( n ) y( n +1) = (1 + hα ) n y(0) y '(t ) = α y的解为y = eα t，当α < 0时收敛，当α > 0时发散。 观察迭代公式：y( n +1) = (1 + hα ) n y(0)，当α > 0时发散， 当α < 0时，如果步长较小，使得 1 + hα < 1 则收敛； ， 当α < 0时，如果步长较大，使得 1 + hα > 1 ，则发散。
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
步长选择不同导致数值方法的收敛性不同 注意：隐式欧拉方法收敛性与步长无关！！ 注意：隐式欧拉方法收敛性与步长无关！！
欧拉方法的稳定性
欧拉方法稳定性分析微小误差在迭代过程中积累的情况。
问题： y '(t ) = f (t , y ), t ∈ [a, b], y (0) = y 0 + e, 已知 其中e为初始值的误差，分析误差随迭代过程的变化情况。 讨论一：考虑简单情况，假设f (t , y ) = α y，则欧拉迭代公式为： y( n +1) = y( n ) + hα y( n ) y( n +1) = (1 + hα ) n ( y(0) + e) 如果 1 + hα > 1, 则误差越来越大；反之，如果 1 + hα < 1, 则误差越来越小。 讨论二：一般情况，如果对任意 1 + hf ( x, y ) < 1, 则误差收敛。
一阶微分方程的解
李普希兹( Lipschitz )条件 : 如果定义在区间D ⊂ f (t , y1 ) - f (t , y2 ) ≤ L y1 - y2 则称该函数满足李普希兹( Lipschitz )条件，L为Lipschitz常数。
2
的函数f (t , y )满足：
存在常数L > 0，对任意 < t , y1 >, < t , y2 >∈ D使得：
则微分方程组可表示为： x( n +1) − x( n ) 令 h = x( n +1) − x( n ) , 则有：
y ( x( n +1) ) − y ( x( n ) )
≈ f ( x( n ) , y ( x( n ) ))
又由于y ( x( n ) )未知，令y ( x( n ) ) ≈ $ ( x( n ) ) y 则得到前向欧拉方法的迭代公式：
课程回顾
• 插值型积分：
– – – – – 插值型积分的概念 梯形积分 Simpson积分 Newton-cote 积分 代数精度的概念、判定方法
• 高斯型积分：
– 高斯积分的概念 – 高斯积分的计算 – 加权高斯性积分
• 积分方程
第六章 微分方程的初值问题 第一节 欧拉方法
微分方程（组）
微分方程的一般形式： F ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, x) = 0 微分方程组： F1 ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, x) = 0 (n) ( n -1) F2 ( y , y ,..., y '', y ', y, x) = 0 ... Fm ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, x) = 0
( x( n+1) , y( n+1) )
y ( x( n +1) ) − y ( x( n ) ) x( n +1) − x( n )
则微分方程组可表示为： x( n +1) − x( n ) 令 h = x( n +1) − x ( n ) , 则有：
y ( x( n +1) ) − y ( x( n ) )
常系数线性微分方程解法： an y ( n ) +,..., + a2 y ''+ a1 y '+ a0 y = f ( x) 拉普拉斯变换： L[an y ( n ) +,..., + a2 y ''+ a1 y '+ a0 y ] = L[ f ( x)] ⇔ [an s n +,..., + a2 s 2 + a1s1 + a0 ]Y ( s ) = F ( s ) F ( s) Y ( s) = an s n +,..., + a2 s 2 + a1s1 + a0 则： y (t ) = ∫ Y ( s )ds
y( n +1) = y( n ) +
u y(eu+1) = y(en ) + hf ( x( n ) , y(eu) ) n n
$ ( x ) ≈ y ( x ) + hf ( x , y ( x )) y ( n +1) (n) (n) (n)
欧拉方法
后向欧拉方法： 也叫做：右矩形数值求积公式建立Euler法 也叫做：右矩形数值求积公式建立Euler Euler法 根据导数的定义，用差商代替微商(导数 )的方法 dy dx ≈
一阶微分方程组存在唯一性定理： 设D = {< t , y > t ∈ [a, b], y ∈ R}, 且f (t , y )在D上连续， 如果f 在D上相对变量y满足Lipschitz条件， 则微分方程初值问题： y '(t ) = f (t , y ), t ∈ [a, b], y (a ) = y0 存在唯一解。
线性微分方程的通解
线性微分方程： an ( x) y ( n ) +,..., + a2 ( x) y ''+ a1 ( x) y '+ a0 ( x) y = 0, (齐次方程) an ( x) y ( n ) +,..., + a2 ( x) y ''+ a1 ( x) y '+ a0 ( x) y = f ( x), (非齐次方程)
前向欧拉方法： 也叫做：左矩形数值求积公式建立Euler法 也叫做：左矩形数值求积公式建立Euler Euler法 根据导数的定义，用差商代替微商(导数 )的方法 dy dx ≈
( x( n ) , y( n ) )
y ( x( n +1) ) − y ( x( n ) ) x( n +1) − x( n )
齐次线性微分方程的通解： Y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x) 非齐次线性微分方程的通解： Y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x) + y p ( x)