北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题17 图形的变化之解答题(14道题)(原卷版)
专题17 图形的变化之解答题（14道题）
一．解答题（共14小题）
1．（2019•门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．
（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．
2．（2019•东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
3．（2019•东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
4．（2019•平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．
（1）依据题意补全图形；
（2）当α＝20°时，∠ADC＝°；∠AEC＝°；
（3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；
（4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
5．（2019•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．
①求证：∠AED＝∠CED；
②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；
（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD 的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
6．（2019•石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不
与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．
（1）求证：AF＝BE；
（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．
7．（2019•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC．
（1）依题意补全图形；
（2）求满足条件的α的值；
（3）若AB＝2，求AD的长．
8．（2019•石景山区一模）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AG＝CD；
（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．
9．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°
得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：FB＝FD；
（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．
10．（2019•平谷区一模）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．
（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；
（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．
11．（2019•通州区一模）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD 的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；
（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．
12．（2019•门头沟区一模）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P 作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；
（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．
13．（2019•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．
（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；
（2）若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
14．（2019•北京模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°
①如图1，∠DCB＝60°
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，
补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）。
北京市2019年中考数学试题及答案【word解析版】
北京市2019年中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．2．（4分）（2018•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水3．（4分）（2018•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）B∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：=4．（4分）（2018•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（）考点：由三视图判断几何体．.分析：如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．解答：解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．故选C．点评：本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5考点：众数；加权平均数．.分析：根据众数及平均数的概念求解．解答：解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；平均数==19．故选A．点评：本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．6．（4分）（2018•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米考点：函数的图象．.分析：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，然后可得绿化速度．解答：解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）．故选：B．点评：此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．7．（4分）（2018•北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．.分析：根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于圆O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．解答：解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∴CE=，∴CD=2CE=48．（4分）（2018•北京）已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）By=二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2018•北京）分解因式：ax 4﹣9ay 2= a （x 2﹣3y ）（x 2+3y ） ．10．（4分）（2018•北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 15 m ．考点：相似三角形的应用．.分析：根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．解答：解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．11．（4分）（2018•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.专题：开放型．分析：先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．解答：解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．12．（4分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为（﹣3，1），点A2018的坐标为（0，4）；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为﹣1＜a＜1且0＜b＜2 ．考点：规律型：点的坐标．.分析：根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2018除以4，根据商和余数的情况确定点A2018的坐标即可；再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．解答：解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2018÷4=503余2，∴点A2018的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；∵点A1的坐标为（a，b），∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，∴，，解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．故答案为：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．点评：本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2018•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．考点：全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．解答：证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．14．（5分）（2018•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1﹣5﹣+=﹣4．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．15．（5分）（2018•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.分析：去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．解答：解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，移项，得：3x﹣4x≤6﹣3，合并同类项，得：﹣x≤3，系数化成1得：x≥﹣3．则解集在数轴上表示出来为：．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：16．（5分）（2018•北京）已知x﹣y=，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．，求得数值即可．）17．（5分）（2018•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．，然后利用整数的整除性确定正整数=18．（5分）（2018•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费 27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．=解得：x=0.18经检验x=0.18为原方程的解答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2018•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF 交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．考点：菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．.分析：（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．点评：本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．20．（5分）（2018•北京）根据某研究院公布的2009～2019年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制2009～2019年成年国民年人均阅读图书数量统计表年份年人均阅读图书数量（本）2009 3.882018 4.122018 4.352018 4.562018 4.78（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2019年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2019年成年国民年人均阅读图书的数量约为 5 本；（3）2019年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2019年与2019年成年国民的人数基本持平，估算2019年该小区成年国民阅读图书的总数量约为7500 本．考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表．.分析：（1）1直接减去个部分的百分数即可；（2）设从2009到2019年平均增长幅度为x，列方程求出x的值即可；（3）根据（2）的结果直接计算．解答：解：（1）m%=1﹣1.0%﹣15.6%﹣2.4%﹣15.0%=66%，∴m=66．（2）设从2009到2019年平均增长幅度为x，列方程得，3.88×（1+x）4=4.78，1+x≈1.05，x≈0.05，4.78×（1+0.05）≈5．（3）990÷0.66×5=7500，故2019年该小区成年国民阅读图书的总数量约为7500本．故答案为5，7500．点评：本题考查了扇形统计图，能从图表中找到相关信息并加以利用是解题的关键．21．（5分）（2018•北京）如图，AB是eO的直径，C是»AB的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB 的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．，由，∴AF=，=，∴BH==（5分）（2018•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，22．∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．请回答：∠ACE的度数为75°，AC的长为 3 ．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC 的长．根据相似的三角形的判定与性质，可得=2，根据等腰三角形的判定，可得AD=AC，根据正切∴△ABE∽△FDE，∴=2，，．∴AC=AD=2AB=2DF=2∴BC=．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．代入得：解得：坐标代入得：解得：k=，b=0，x，的范围为﹣4≤t≤．24．（7分）（2018•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE 交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．∴∠ADF=25．（8分）（2018•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？考点：二次函数综合题．.分析：（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；（2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范围：0≤m≤或≤m≤1．解答：解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1当x=b时，y=﹣b+1．则，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1）当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移m个单位，则（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，∴0≤m≤或≤m≤1．点评：本题考查了二次函数综合题型．掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．。
2002-2019年北京市中考数学试题分类解析汇编(4)图形的变换
一、选择题1. （2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】 A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】 （A ）24πcm2（B ）12πcm2（C ）12cm2（D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【】5. （2008年北京市4分）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥7. （2010年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2019年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】二、填空题1. （2002年北京市4分）如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是▲ cm2．2. （2002年北京市4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为▲ cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．3. （2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于▲ cm2。
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题09 函数之解答题(73道题)(解析版)
专题09 函数之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共73小题）̂与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB̂上一动点，连接PC交弦AB 1．（2019•北京）如图，P是AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：̂上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：（1）对于点C在AB位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4cm．【答案】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC ＝2PD ，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求， 即AD 的长度为2.3和4.0．【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．2．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx −1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P （12，−1a ），Q （2，2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】解：（1）A （0，−1a ）点A 向右平移2个单位长度，得到点B （2，−1a ）； （2）A 与B 关于对称轴x ＝1对称， ∴抛物线对称轴x ＝1； （3）∵对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∴y ＝ax 2﹣2ax −1a ， ①a ＞0时，当x ＝2时，y =−1a ＜2，当y =−1a时，x ＝0或x ＝2， ∴函数与AB 无交点； ②a ＜0时，当y ＝2时，ax 2﹣2ax −1a=2， x =a+|a+1|a 或x =a−|a+1|a 当a+|a+1|a≤2时，a ≤−12；∴当a ≤−12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx +1（k ≠0）与直线x ＝k ，直线y ＝﹣k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝﹣k 交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围． 【答案】解：（1）令x ＝0，y ＝1， ∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A （k ，k 2+1），B （−k−1k，﹣k ），C （k ，﹣k ），①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②直线AB 的解析式为y ＝kx +1， 当x ＝k +1时，y ＝﹣k +1，则有k 2+2k ＝0， ∴k ＝﹣2，当0＞k ≥﹣1时，W 内没有整数点，∴当0＞k ≥﹣1或k ＝﹣2时W 内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析W 区域内整数点的情况是解题的关键．4．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A 或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm1 1.52 2.53 3.54y/cm0 3.74 3.8 3.3 2.50（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为 1.1或3.7cm．【答案】解：（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0．故答案为4；0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，∴∠BMQ＝30°，∴BQ=12BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2019•怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题：（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是10到20分钟．（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第4分钟到第29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．【答案】解：（1）由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟时， 故答案为：10到20分钟．（2）当0≤x ≤10时，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2+bx +c ， ∵图象过点（0，20），（5，39），（10，48） ∴{c =2025a +5b +c =39100a +10b +c =48 解得a =−15，b =245，c ＝20 ∴y =−15x 2+245x +20，（0≤x ≤10）． 当20≤x ≤45，设其函数解析式为y ＝kx +b 将（20，48），（45，20）代入得 {48=20k +b 20=45k +b 解得{k =−1.12b =70.4∴y ＝﹣1.12x +70.4 令y ＝39得x =2812828128−5=23128∴老师最好在上课后大约第 4分钟到第 29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 故答案为4，29．【点睛】本题是一次函数，二次函数结合函数图象在实际问题中的应用，理论联系实际是解决此类问题的关键．6．（2019•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2，0）的直线l ：y ＝mx ﹣3与y 轴交于点B ．（1）求直线l 的表达式；（2）若点C 是直线l 与双曲线y =n x的一个公共点，AB ＝3AC ，求n 的值．【答案】解：（1）∵直线l ：y ＝mx ﹣3过点A （2，0）， ∴0＝2m ﹣3． ∴m =32．∴直线l 的表达式为y =32x ﹣3；（2）当x ＝0时，y ＝﹣3， ∴点B （0，﹣3），如图1，当点C 在BA 延长线上时，作CD ⊥y 轴于点D ，则△BAO ∽△BCD ， ∴BA BC=OA CD=BO BD，即34=2CD=33+OD，解得：CD =83，OD ＝1， ∴点C （83，1），则n =83×1=83；如图2，当点C 在线段AB 上时，作CE ⊥y 轴于点E ，则△BAO ∽△BCE ， ∴BC BA=CE AO=BE BO，即23=CE 2=BE 3，解得：CE =43，BE ＝2， ∴OE ＝BO ﹣BE ＝1， ∴点C 的坐标为（43，﹣1），则n =43×（﹣1）=−43， 综上，n =83或−43．【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2019•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y242.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t ，y ），并补全该函数的图象； （2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 1.41 微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 7.75 小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为 4.25 微克．【答案】解：（1）如图所示：（2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y＝0.5时，t=14或8，8−14=7.75，∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；故答案为：1.41，7.75；②第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.25＝4.25微克；故答案为：4.25．【点睛】本题主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息．8．（2019•海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y=18x2−1x的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y=18x2−1x的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：①画出函数y=14x2和y=−2x的图象；②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y=14x2和y=−2x的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y=18x2−1x在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．（3）结合函数y=18x2−1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；②该函数还具有的性质为：当x＞0时，y随x的增大而增大（一条即可）．【答案】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．故函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）画出该函数在y轴左侧的图象如图：（3）①点的横坐标约为﹣1.6；（在﹣1.9至﹣1.3之间即可）②该函数的其它性质：当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的图象、二次函数的图象以及函数的最值，解题的关键是：（1）根据分母不为0，找出x的取值范围；（2）连点，画出函数图象；（3）根据函数图象，寻找函数的性质．9．（2019•丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB=14∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时，①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是E，F；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．【答案】解：（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．∵D （﹣1，0），E （0，﹣2），F （2.5，0）， ∴OD ＝1，OE ＝2，OF ＝2.5， ∴1＜OE ＜3，1＜OF ＜3， ∴点E ，F 是⊙C 的依附点， 故答案为：E 、F ；②如图2中，当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于N ，易知N （√22，0），OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于M ，易知M （32√2，0）， ∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围：√22＜t ＜3√22． 当点T 在第二象限时，同法可得满足条件的t 的取值范围为−3√22＜t ＜−√22， 综上所述，满足条件的t 的值的范围为：√22＜t ＜3√22或−3√22＜t ＜−√22．（2）如图3﹣1中，当点C 在点M 的右侧时，由题意M（2，0），N（0，2）当CN＝6时，OC=√CN2−ON2=4√2，此时C（4√2，0），当CM＝2时，此时C（4，0），∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜4√2．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，易知C′（2﹣2√2，0），当CM＝6时，C（﹣4，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣4＜m＜2﹣2√2，综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜4√2或﹣4＜m＜2﹣2√2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，P为⊙C的依附点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．10．（2019•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B 为函数y =k x（x ＞0）的图象上的一点，直线AB 与y 轴交于点C ，当AC ＝2AB 时，求点C 的坐标．【答案】解：（1）∵直线y ＝2x ﹣2过点A （2，m ）， ∴m ＝2×2﹣2＝2 ∴A （2，2），∵y =kx （x ＞0）过点A （2，2）， ∴k ＝2×2＝4； （2）∵AC ＝2AB ， ∴B 点的横坐标为1或3，把x ＝1或3代入y =4x得，y ＝4或43，∴B （1，4），或（3，43），设直线AB 为y ＝ax +b ，把A 、B 的坐标代入求得解析式为y ＝﹣2x +6或y =−23x +103， 令x ＝0，则C （0，6）或C （0，103）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出B 点的坐标．11．（2019•通州区三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，函数y =kx （x ＜0）的图象经过点A ． （1）求k 的值；（2）若过点A 的直线l 平行于直线OB ，且交函数y =kx （x ＜0）的图象于点D ． ①求直线l 的表达式；②定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x （x ＜0）的图象在点A ，D 之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W．结合函数图象，直接写出区域W内（含边界）的整点个数．【答案】解：（1）∵B（3，﹣3），C（5，0），四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝5，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），∴k＝6；（2）①设直线OB的表达式为y＝mx，由B点坐标（3，﹣3），可求m＝﹣1，∵过点A的直线l平行于直线OB，∴设直线l的表达式为y＝﹣x+b，把点A的坐标（﹣2，﹣3）代入上式并解得：b＝﹣5，故：直线l的表达式为y＝﹣x﹣5；②将函数表达式：y=6x与直线表达式：y＝﹣x﹣5联立并整理得：x2+5x+6＝0，解得：x＝﹣2或﹣3，故点D的坐标为（﹣3，﹣2），而点A（﹣2，﹣3），由图象分析可见：在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W内，只有D、A两个整点．【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、平行四边形的知识，综合性强、难度适中．12．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）由函数解析式y＝x2﹣2mx+m2﹣2，可求顶点坐标为（m，﹣2）；（2）当m≤0时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝0，则m2﹣2≤2，∴﹣2≤m≤2，∴﹣2≤m≤0；当0＜m＜2时，抛物线F与线段AB有公共点时，m2﹣2＞2或m2﹣4m+2＞2，∴m＞2或m＜﹣2或m＞4或m＜0，∴m不存在；当m≥2时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝2，则m2﹣4m+2≤2，∴0≤m≤4，∴2≤m≤4；综上所述：﹣2≤m≤0，2≤m≤4；【点睛】本题考查二次函数图象及性质；分情况讨论函数图象与线段的交点的存在，并将问题转化为不等式求解是关键．13．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2+4﹣4a．∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）当a＞0时，临界位置如右图所示：将点（1，3）代入抛物线解析式得3＝a＝4a+4．a=1 3．当a＜0时，临界位置如右图所示：将点（﹣1，3）代入抛物线解析式得3＝a+4a+4．a =−15．∴a 的取值范围为a ＜−15或a ＞13．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y 轴的交点． 14．（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC ＝30°，则称P 为⊙C 的半角关联点． 当⊙O 的半径为1时，（1）在点D （12，−12），E （2，0），F （0，2√3）中，⊙O 的半角关联点是 D ，E ；（2）直线l ：y =−√33x −2交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围．【答案】解：（1）由题意可知在圆上存在点A 使∠ADO ＝30°和∠AEO ＝30°， ∴D ，E 是，⊙O 的半角关联点， 故答案为D ，E ；（2）由直线解析式可直接求得 M(−2√3，0)，N(0，2)，以O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ， 可得m ≤0，设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ， 连接OG ，HG ∵M （−2√3，0），N （0，2） ∴OM =2√3，ON ＝2， tan ∠OMN =√33∴∠OMN ＝30°，∠ONM ＝60° ∴△OGN 是等边三角形 ∴GH ⊥y 轴，∴点G 的纵坐标为﹣1，代入y =−√33x −2， 可得，横坐标为−√3， ∴m ≥−√3， ∴−√3≤m ≤0；【点睛】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；15．（2019•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为（﹣1，0）．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当3√2≤AB≤5√2时，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）；（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，∴b＝4a，∵x=−b2a=−2；②设B（m，m+1），AB=√2(m+1)2=√2|m+1|，∵m+1＝am2+4am+3a，m+1＝a（m+1）（m+3），∵m≠﹣1，∴m=1a−3，∴AB=√2|1a−2|，∵3√2≤AB≤5√2，∴3√2≤√2|1a−2|≤5√2，∴−1≤a≤−13或17≤a≤15；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．16．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x＞0)的图象G与直线l：y＝﹣x+7交于A（1，a），B两点．（1）求k的值；（2）记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．点P在区域W内，若点P的横纵坐标都为整数，直接写出点P的坐标．【答案】解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+7得，a＝﹣1+7＝6，∴A（1，6），把（1，6）代入y=kx中可得k＝6；（2）画出直线y＝﹣x+7和函数y=6x（x＞0）的图象如图：由图象可知：点P的坐标．（2，4），（3，3），（4，2）．【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，并利用数形结合的思想．17．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．【答案】解：（1）∵−b2a=1，∴b＝﹣2a．∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣2，当x ＝1时，y ＝a ﹣2a +a ﹣2＝﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．答：b ＝﹣2a ；抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）． （2）若a ＞0，抛物线与线段AB 没有公共点；若a ＜0，当抛物线经过点B （2，﹣3）时，它与线段Ab 恰有一个公共点， 此时﹣3＝4a ﹣4a +a ﹣2，解得a ＝﹣1． ∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，﹣1＜a ＜0或a ＞0．（3）抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），代入y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣2得 0＝9a ﹣6a +a ﹣2， ∴a =12，∴抛物线为y =12x 2﹣x −32，∵当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6， 令y ＝6得：6═12x 2﹣x −32，解得x ＝﹣3（舍）或x ＝5∴由自变量的最小值为m 与函数值的最小值也为m ，由{y =12x 2−x −32y =x得x 2﹣4x ﹣3＝0，∴x ＝2+√7或x ＝2−√7＞−2，此时顶点（1，﹣2）包含在范围内，不符合要求，故舍去； 故满足条件的m ，n 的值为：m ＝2+√7，n ＝5；或m ＝﹣2，n ＝5．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题．18．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数y=−34x+94（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线x=−−2a22a=a，∴点P的坐标是（a，0）；（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3），B（3，0）．当抛物线经过点A时，解得a=−32或a＝1；当抛物线经过点B时，解得a=3 2．……………………………………………………（3分）如图1，当a=−32时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．如图3，当a=32时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当a ≤−32或0＜a ＜1或a ＞32时，抛物线与图形M 恰有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键． 19．（2019•怀柔区二模）阅读材料：1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．镭的质量由m 0缩减到12m 0需1620年，由12m 0缩减到14m 0需1620年，由14m 0缩减到18m 0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量﹣﹣1620年，一般把1620年称为镭的半衰期．实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为4.5×109年，蜕变后的铀最后成为铅．科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄． 根据以上材料回答问题：（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m 0千克，经过n 个半衰期后，剩余的铀的质量为m 1千克，下表是m 1随n 的变化情况，请补充完整：半衰期n 0 1 2 3 45… 岩石中剩余 铀的质量m 1m 012m 014m 018m 0116m 0132m 0…（2）写出矿石中剩余的铀的质量m 1与半衰期n 之间的函数关系；（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m 2与半衰期n 的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m 1与半衰期n 的函数关系图象： （4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等．【答案】解：（1）剩余的铀的质量为：(12)4m0=116m0．故答案为：116m0；（2）根据题意可知：m1=m0⋅(12)n；（3）如图所示：；（4）大约经过个1.1半衰期，岩石中铀铅质量相等．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．（1）求点A、B的坐标；（2）设直线与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），与直线交于点P （x 3，y 3）．若x 1＜x 3＜x 2，结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线 y ＝mx 2+2mx ﹣3（m ＞0）的顶点D 的纵坐标是﹣4， ∴−12m−4m 24m=−4，解得m ＝1，∴y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则 x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0）B （1，0）；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x ＝﹣1，∵点C （0，﹣3）关于抛物线的对称轴的对称点坐标是E （﹣2，﹣3），点A （﹣3，0）关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是B （1，0）， 设直线的表达式为y ＝kx +b ，∵点E （﹣2，﹣3）和点B （1，0）在直线上 ∴{−2k +b =−3k +b =0，解得{k =1b =−1， ∴直线的表达式为y ＝x ﹣1； （3）由对称性可知 x 1+x 22=−1，∴x 1+x 2＝﹣2， ∵x 1＜x 3＜x 2，∴﹣2＜x3＜1，∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．【点睛】本题考查了抛物线和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（2019•朝阳区二模）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，√2)，A4（2，2）中，线段MN的可视点为A1，A3；（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．【答案】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径， ∴∠MA 1N ＝90°，∵M （﹣1，−12），N （1，−12） ∴MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2 ∴EM ＝EF =√2，∴∠MFN =12∠MEN ＝45°， ∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部 ∴线段MN 的可视点为A 1，A 3； 故答案为A 1，A 3；（2）如图，以（0，−12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，√2为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线y =x +12分别交于点E ，F ． 过点F 作FH ⊥x 轴，过点E 作EH ⊥FH 于点H ， ∵FH ⊥x 轴， ∴FH ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°， ∵∠EHF ＝90°，EF =√2， ∴EH ＝FH ＝1，∴E （0，12），F （1，32）．只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1．（3）如图，⊙G 与x 轴交于H ，与y 轴交于E ，连接GH ，OG =12，GH ＝1， ∴OH =√GH 2−OG 2=√12−(12)2=√32， ∴H （√32，0）．E （0，12） 当直线y ＝x +b （b ≠0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，①直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 负半轴上 将H （√32，0）代入y ＝x +b 得√32+b ＝0，解得b 1=−√32，将N （1，−12）代入y ＝x +b 得1+b =−12，解得b 2=−32 ∴−32＜b ≤−√32②直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 正半轴上 将 E （0，12）代入得b =12，当直线y ＝x +b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM =√2，∴EQ =√ET 2+TQ 2=√(√2)2+(√2)2=2 ∴OQ ＝OE +EQ =12+2=52 ∴12≤b ≤52综上所述：12≤b ≤52或−32＜b ≤−√32．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题．22．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x=−−2a2a=1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＜3，点B在抛物线C2下方，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a=2 3，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＝2，点B在抛物线C2上，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB有一个交点，∴a 的取值范围是23＜x ≤1；同理可得，当抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+2ax +3a 过点A （0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a ＝﹣1或a =−23， ∴a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23或23＜x ≤1．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +2与双曲线y =6x的一个交点是A （m ，3）． （1）求m 和k 的值；（2）设点P 是双曲线y =6x上一点，直线AP 与x 轴交于点B ．若AB ＝3PB ，结合图象，直接写出点P 的坐标．【答案】解：（1）把点A （m ，3）的再把代入y =6x得到m ＝2， 再把A （2，3）的再把代入y ＝kx +2，3＝2k +2，解得k =12， 所以m ＝2，k =12．（2）①当点P 在第三象限时，如图1，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ， ∴AE PF =AB PB=3，∴3PF=3，∴PF ＝1， ∴P （﹣6，﹣1）．②当点P 在第一象限时，如图2，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ， ∴AE PF =AB PB=3，∴3PF=3，∴PF ＝1， ∴P （6，1），综上所述，满足条件的点P 坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．24．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =kx的图象经过点P （3，4）． （1）求k 的值； （2）求OP 的长；（3）直线y ＝mx （m ≠0）与反比例函数的图象有两个交点A ，B ，若AB ＞10，直接写出m 的取值范围． 【答案】解：（1）∵反比例函数y =kx 的图象经过点P （3，4）， ∴k ＝12，（2）过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵点P （3，4）， ∴OE ＝3，PE ＝4．∴在Rt △EOP 中，由勾股定理可求OP ＝5；（3）由（2）可知，当A （﹣3，﹣4），B （3，4）或A （﹣4，﹣3），B （4，3）时，AB ＝10，m =43或m =34若AB ＞10，则m ＞43或0＜m ＜34．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用．25．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1与y 轴交于点C ． （1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1沿直线y ＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y 轴交于点D ．若m ＞0，CD ＝8，求m 的值；（3）已知A （2k ，0），B （0，k ），在（2）的条件下，当线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．【答案】解：（1）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）；（2）由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4， ∴OC ＝3， ∴m 2﹣1＝3， ∵m ＞0， ∴m ＝2； （3）∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x +3，当抛物线经过点A （2k ，0）时，k =12或k =32； 当抛物线经过点B （0，k ）时，k ＝3；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点， ∴12≤k ＜32或k ＞3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．26．（2019•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．【答案】（1）证明：∵△＝[﹣（k﹣5）2]﹣4（3k+6）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x=(k+5)±√(k−1)22，∴x1＝k+2，x2＝3．由题意可知﹣2＜k+2＜0，即﹣4＜k＜﹣2．∵k为整数．∴k＝﹣3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．27．（2019•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+k与双曲线y=4x（x＞0）交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线y＝kx+k，点P（m，n）（m＞3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y=4x（x＞0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．。
2018-2019年北京中考数学真题分类解析【04】图形的变换(原卷版)
1.（2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【 】5. （2008年北京市4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【 】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥7. （2019年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2019年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱9.（2019年北京市3分）下图是几何体的三视图，该几何体是【】A.圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥1.（2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于 ▲ cm 2。
2.（2007年北京市4分）下图是对称中心为点O 的正六边形。
如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 ▲ 。
2019年全国中考数学真题汇编——专题17规律探索题
专题17规律探索题1．(2019•毕节)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是A．上方B．右方C．下方D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504……3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方，故选C．【名师点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，观察出图形的变化规律是解题的关键．2．(2019•娄底)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为A．-2B．-1C．0D．1【答案】B【解析】点运动一个用时为秒．如图，作于D，与交于点E．在中，∵，，∴，∴，∴，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为-1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；……，∴点P的纵坐标以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，∵，∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1．故选B．【名师点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，–1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．3．(2019•广元)如图，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作直线l的垂线，交y轴于点，过点作y轴的垂线交直线l于点，…，这样依次下去，得到，，，…，其面积分别记为，，，…，则A．B．C．D．【答案】D【解析】∵点的坐标是，∴，∵点在直线上，∴，，∴，∴，∴，得出，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴，故选D．【名师点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．4．(2019•雅安)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，…，按此规律，则点的纵坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】联立直线与直线的表达式并解得：，，故；则点，则直线的表达式为，将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为；同理可得的纵坐标为，…，按此规律，则点的纵坐标为，故选A．【名师点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．5．(2019•百色)观察一列数：，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是__________．【答案】57【解析】由题意知，这列数的第个数为，当时，，故答案为：57．【名师点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出数列的变化规律：每次增加3．6．(2019•铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是__________．(n为正整数)【答案】【解析】第1个数为；第2个数为；第3个数为；第4个数为；…，所以这列数中的第n个数是．故答案为：．【名师点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律．7．(2019•河池)，…，是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数的值是__________．【答案】6【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：，，，…，可以推出：，，，所以，则，解得，∵，因此．故答案为：6．【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．8．(2019•大庆)归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为__________．【答案】3n+2【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：(2n+1)+(n+1)=3n+2，故答案为：3n+2．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．9．(2019•淄博)如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点(不与点，重合)处，折痕是．如图，当时，；如图，当时，；如图，当时，；……依此类推，当(为正整数)时，__________．【答案】【解析】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．∴．故答案为：．【名师点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律．10．(2019•聊城)数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，那么线段的长度为__________(，是整数)．【答案】【解析】由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的()2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为()n×4=，故线段A n A的长度为4–(n≥3，n是整数)．故答案为：4–．【名师点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．11．(2019•枣庄)观察下列各式：，，，…请利用你发现的规律，计算：，其结果为__________．【答案】【解析】，故答案为：．【名师点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．12．(2019•本溪)如图，点在直线上，点的横坐标为，过作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形延长交轴于点；…，按照这个规律进行下去，点的横坐标为__________(结果用含正整数的代数式表示)【答案】【解析】如图，过点分别作轴，轴，轴，轴，轴，…，垂足分别为∵点在直线上，点的横坐标为，∴点的纵坐标为，即：，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是，，∴点的横坐标为：，点的横坐标为：，点C3的横坐标为：，点的横坐标为：，…，点的横坐标为：，故答案为：．【名师点睛】本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．13．(2019•绥化)在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是__________．【答案】【解析】如图，作A1H⊥x轴，∵△OA1A2是等边三角形，∴∠A1OH=60°，OH=OA2=，∴A1H=A1O·sin60°=1×=，∴，，同理可得，，，，，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每个点依次为：这样循环，2019÷6=336……3，∴，故答案为：．【名师点睛】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键．14．(2019•辽阳)如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点，都在轴上，点与原点重合，点都在直线上，点在轴上，轴，轴，若点的横坐标为-1，则点的纵坐标是__________．【答案】【解析】由题意，可得，设，则，解得，∴，设，则，解得，∴，设，则，解得，∴，同法可得，…，的纵坐标为，故答案为：．【名师点睛】此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出、、，再发现规律即可求解．15．(2019•衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依次进行下去，则点的坐标为__________．【答案】【解析】∵点坐标为，∴直线为，，∵，∴直线为，解得或，∴，∴，∵，∴直线为，解得或，∴，∴，…，∴，故答案为．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．16．(2019•齐齐哈尔)如图，直线分别交轴、轴于点和点，过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点，依此规律…，若图中阴影的面积为，阴影的面积为，阴影的面积为，…，则__________．【答案】【解析】直线，当时，；当时，，∴，，∴，又，∴，在中，，∴；同理可求出：，，∴；依次可求出：；；，…，因此：，故答案为：．【名师点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律．17．(2019•东营)如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为__________．【答案】【解析】由题意可得，，，，，，，…，可得的横坐标为，∵，∴点的横坐标为：，故答案为：．【名师点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为．18．(2019•泰安)在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线上，点，，，，…在轴正半轴上，则前个正方形对角线的和是__________．【答案】【解析】根据根据题意可得，，，…，，所以可得正方形的对角线为，正方形的对角线为，正方形的对角线为，正方形的对角线为，…，正方形的对角线为，所以前个正方形对角线的和为=，故答案为：．【名师点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律．。
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题11 图形的性质之填空题(78道题)(解析题)(1
专题 11 图形的性质之填空题（78 题）参考答案与试题解析一．填空题（共 78 小题）1．（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB +∠PBA ＝ 45 °（点 A ，B ，P 是网格线交点）．【答案】解：延长 AP 交格点于 D ，连接 BD ，则 PD ＝BD ＝1+2 ＝5，PB ＝1 +3 ＝10， ∴PD +DB ＝PB ，∴∠PDB ＝90°，∴∠DPB ＝∠PAB +∠PBA ＝45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2019•北京）在矩形 ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边 AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合），对 于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是 ①②③ ．【答案】解：①如图，∵四边形 ABCD 是矩形，连接 AC ，BD 交于 O ，过点 O 直线 MP 和 QN ，分别交 AB ，BC ，CD ，AD 于 M ，N ，P ，Q ，则四边形 MNPQ 是平行四边形，故当 MQ ∥PN ，PQ ∥MN ，四边形 MNPQ 是平行四边形，2 2 2 2 2 22 2 2故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．3．（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12．【答案】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC ＝2OA ＝6，BD ＝2OB ＝4，∴菱形 ABCD 的面积故答案为：12．AC ×BD 6×4＝12；【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性 质，由题意列出方程组是解题的关键．4．（2019•北京）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为 1.9 cm ．（结果保留一位小数）【答案】解：过点 C 作 CD ⊥AB 的延长线于点 D ，如图所示． 经过测量，AB ＝2.2cm ，CD ＝1.7cm ，∴S△ABCAB •CD2.2×1.7≈1.9（cm ）．故答案为：1.9．【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．5．（2019•丰台区二模）如图所示的网格是正方形网格 △，ABC 的面积 ＝ △DEF 的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．22【答案】解：∵△ABC的面积2×3＝3，△DEF的面积2×3＝3，∴△ABC的面积＝△DEF的面积．故答案为：＝．【点睛】考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式．6．（2019•昌平区二模）今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：（单位：票）投票点候选人废票合计甲乙丙一二三20028697211854114724420512157570630350四250三名候选人甲或丙有机会当选村长（填甲、乙、丙），并写出你的推断理由∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；乙得票数为：211+85+41＝337；丙得票数为：147+244+205＝596：∴596﹣583＝13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596﹣337＝259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，．【答案】解：∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；乙得票数为：211+85+41＝337；丙得票数为：147+244+205＝596：∴596﹣583＝13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596﹣337＝259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，故答案为：甲或丙，∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；乙得票数为：211+85+41＝337；丙得票数为：147+244+205＝596：∴596﹣583＝13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596﹣337＝259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长．【点睛】此题主要考查了推理与论证，正确利用表格中数据分析得票情况是解题关键．7．（2019•海淀区二模）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为40°．【答案】解：∵∠A＝60°，∠ABC＝20°，∴∠ODC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40°故答案为：40°【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．8．（2019•通州区三模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD的交点为E，AC∥OD．若∠BEC＝72°，则∠B＝42°．【答案】解：连接OC，∵AC∥OD∴∠ACD＝∠CDO，∵OD＝OC，∴∠CDO＝∠DCO，∴ACD＝∠DCO，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝2∠ACD，∵∠BEC＝∠A+∠ACD＝72°，∴3∠ACD＝72°，∴∠ACD＝24°，∴∠A＝48°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°．故答案为：42．【点睛】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质．正确运用所学的性质是解题的关键．9．（2019•通州区三模）如图，平行四边形A BCD的对角线AC，BD的交点为O，AC⊥AB，CD边的中点为E．若OA＝2，AB＝3，则OE＝ 2.5．【答案】解：∵平行四边形ABCD，OA＝2，∴AC＝2OA＝4，∵AC⊥AB，AB＝3，∴BC，∴AD＝5，∵CD边的中点为E，平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，∴OE AD＝2.5，故答案为：2.5【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．10．（2019•东城区二模）用一组k，b的值说明命题“若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k＝答案不唯一，如2，b＝﹣3．【答案】解：若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，故b＞0，则说明此命题错误时，b≤0即可．则这组值可以是k＝2，b＝﹣3（答案不唯一）．故答案为：2，﹣3（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握一次函数的性质是解题关键．沿直线AC翻折，若翻折后的图11．（2019•朝阳区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将形恰好经过点O，则∠CAB＝30°．【答案】解：作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，由折叠的性质可知，EF＝OE OF，∴OE OA，在△R t AOE中，OEOA，∴∠CAB＝30°，故答案为：30．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．12．（2019•东城区二模）如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE＝5，∠BAC+∠DAE＝180°，则圆心A到弦BC的距离为．【答案】解：延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠DAE，∴，∴BF＝DE＝5，∵AH⊥BC，∴CH＝HB，又CA＝AF，，∴AH BF故答案为：．【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．13．（2019•东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD ＝90°．【答案】解：在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．，AC＝3，则AB的14．（2019•海淀区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，若AD长为4．，【答案】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，若AD∴BC＝2AD＝5，∵AC＝3，∴AB，故答案为：4．【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出B C的长．2215．（2019•顺义区二模）用一组a，b的值说明命题“若a＞b，则a＞b”是错误的，这组值可以是a＝﹣3，b＝﹣1．22【答案】解：当a＝﹣3，b＝﹣1时，满足a＞b，但a＜b．故答案为﹣3，﹣1．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．16．（2019•门头沟区二模）用一组a，b，c（c≠0）的值说明命题“如果a＜b，那么”是错误的，这组值可以是a＝1，b＝2，c＝﹣1．【答案】解：当a＝1，b＝2，c＝﹣1时，1＜2，而，∴命题“如果a＜b，那么”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．17．（2019•朝阳区二模）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝45°．【答案】解：360°÷8＝45°，故答案为：45．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．18．（2019•平谷区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是6．【答案】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，∵AB＝10，AE＝1，∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，在△R t COE中，CE3，∴CD＝2CE＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．19．（2019•顺义区二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E是BC的中点，连结DE，且AB＝6，AC＝10，则DE＝2．【答案】解：延长BD交AC于F，在△ADB和△ADF中，，∴△ADB≌△ADF（ASA）∴AF＝AB＝6，BD＝DF，∴FC＝AC﹣AF＝4，∵BD＝DF，BE＝EC，∴DE FC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．20．（2019•怀柔区二模）已知每个正方形网格中正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是以格点为圆心，半径为1的圆弧围成的，则阴影部分的面积是．【答案】解：观察图形可知，阴影部分的面积＝1×22，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．21．（2019•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，），B（﹣1，0），菱形ABCD 的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为2．【答案】解：∵点A（0，），B（﹣1，0），∴OA，OB＝1，∴AB2，∴OB AB，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBE∠OBA＝30°，连接BD，作DE⊥BC于E，如图所示：，则∠DEB＝90°，DE＝OA∵∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠OBA＝60°是解题的关键．的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，22．（2019•西城区二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是则∠ABC的度数为100°．【答案】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB∠COD（180°﹣2∠ODC）（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【点睛】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．23．（2019•丰台区二模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，OE＝CE，则∠CAD＝45°．【答案】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴∠CEO＝90°，，∵OE＝CE，∴∠COB＝45°，∴∠CAD＝45°，故答案为：45．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．24．（2019•怀柔区二模）如图，在⊙O中，直径AB⊥GH于点M，N为直径上一点，且OM＝ON，过N作弦CD，EF．则弦AB，CD，EF，GH中最短的是GH ．【答案】解：如图连接OG，OE，过点O作OH⊥EF于H，显然，ON＞OH∵OM＝ON，∴OM＞OH，EH，∴EF＝2EH＝2，GM，∴GH＝2GM＝2，∵OG＝OE，OM＞OH，∴GH＜EF，同理，GH＜CD，∵AB为直径，∴CD＜AB，∴弦AB，CD，EF，GH中最短的是GH，故答案为GH．【点睛】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理是解题的关键．25．（2019•丰台区二模）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC 边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为 4.5．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°，10，∴AC∵DE⊥AC，∴∠CFE＝90°，∵∠DCF＝∠ACD，∴△CDF∽△CAD，∴，∴CF∵∠ECF＝∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴，∴CE 3.6，4.5；故答案为：4.5．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．26．（2019•平谷区二模）用一组a，b的值说明命题“若2，b＝﹣1．1，则a＞b”是错误的，这组值可以是a＝﹣【答案】答案不唯一，如解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足1，但a＜b．故答案为﹣2，﹣1．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．27．（2019•平谷区二模）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2＝40°．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∠1+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣110°＝70°，由折叠可得，∠4＝∠5＝70°，∴∠3＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠2＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．28．（2019•石景山区二模）圆心角为80°，半径为3的扇形的面积为2π．【答案】解：扇形的面积2π．故答案为：2π．2πR 【点睛】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形或SlR（其中l为扇形的弧长）．扇形，CF⊥BE于F，则BF 29．（2019•石景山区二模）如图，正方形ABCD，E是AD上一点，AE的长为．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠ABC＝90°，∵AE，∴AB＝BC＝AD＝3，∴BE，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，∴△ABE∽△FCB，∴，∴，∴BF，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．30．（2019•石景山区二模）请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形，则此条件可以为AC＝BD或∠ABC＝90°．【答案】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°；故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°．故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．【点睛】本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用、正方形的判定，解答时熟悉正方形的判定方法是关键．31．（2019•大兴区一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠ABC的大小为135°．【答案】解：取点 D ，连接 AD 、BD ，则 AD ＝BD ， ∵∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝45°，∴∠ABC ＝135°，故答案为：135°．【点睛】本题考查网格型三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．32．（2019•朝阳区一模）如图所示的网格是正方形网格 △，ABC 是 锐角 三角形．（填“锐角”“直角” 或“钝角”）【答案】解：∵AB ＝3 +1 ＝10，AC ＝1 +4 ＝17，BC ＝3 +4 ＝25，∴AB +AC ＞BC ，∴△ABC 为锐角三角形，故答案为：锐角．【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a 、b 、c ， ①当 a +b ＞c 时，△ABC 为锐角三角形；②当 a +b ＜c 时 △，ABC 为钝角三角形；③当 a +b ＝c 时，△ABC 为直角三角形．33．（2019•大兴区一模）如图，在菱形 ABCD 中，点 E ，F 分别在 AD ，BD 上，EF ∥AB ，DE ：EA ＝2：3， 若 EF ＝4，则 BC 的长为 10 ．2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2【答案】解：由DE：EA＝2：3，得∵EF∥AB，∴△EFD∽△ABD，，∴，∵EF＝4，∴，解得AB＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．34．（2019•朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，过点B作对角线AC的垂线，交AD于点E，若AB＝2，BC＝4，则AE＝1．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，∴AC2设AC与BE交于F，∵BE⊥AC，∴AB＝AF•AC，，2∴AF，，∴CF＝AC﹣AF∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∴，∴AE＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．35．（2019•怀柔区一模）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km，北京生存岛实践基地A处的坐标是（2，0），A处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，且A在B南偏西45°方向上，则雁栖湖国际会展中心B处的坐标是（2，2）．【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，过点 B 作 BC ⊥x 轴于 C ，作 BD ⊥y 轴于 D ， 则 BD ＝OC ．∵A 处到雁栖湖国际会展中心 B 处相距 4km ，A 在 B 南偏西 45°方向上，∴AB ＝4km ，∠BAC ＝∠ABC ＝45°．∴AC ＝BC ．∵AC +BC ＝AB ＝16，∴AC ＝BC ＝2 ．∴OC ＝OA +AC ＝2 ∴B （2，2故答案是：（2）．，22．）．【点睛】考查了勾股定理的应用，坐标确定位置，方向角，根据题意建立平面直角坐标系是确定点B 坐 标的关键所在．36．（2019•大兴区一模）用一个 m 的值说明命题“代数式 2m ﹣3 的值一定大于代数式 m +1 的值．”是错 误的，这个 m 的值可以是 m ＝0（答案不唯一） ﹣．【答案】解：当 m ＝0 时，2m ﹣3＝﹣3，m +1＝1， 此时 2m ﹣3＜m +1，故答案为：m ＝0（答案不唯一）【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据题意举出反例，难度不大．37．（2019•大兴区一模）将一块含 30°角的三角板如图放置，三角板的一个顶点 C 落在以 AB 为直径的半圆上，斜边恰好经过点 B ，一条直角边与半圆交于点 D ，若 AB ＝2，则的长为 （结果保留 π）．2 2 22 22 2 2 2【答案】解：连接OD，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝60°，∴的长，故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．38．（2019•丰台区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2，那么AD＝4．【答案】解：连接OB，OC，∵OB＝OA，OC＝OD，∴∠OBA＝∠A＝70°，∠OCD＝∠D＝50°，∴∠AOB＝40°，∠COD＝80°，∴∠COB＝60°，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OA＝2∴AB＝2OA＝4故答案为：4，．．【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．39．（2019•丰台区一模）如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点A，B均在格点上．在网格中建立平面直角坐标系，且A（﹣1，1），B（1，2）．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，△且ABC是等腰三角形，那么当△ABC的面积最大时，点C的坐标为（0，﹣1）或（2，0）．【答案】解：如图：AB＝AC＝BC′＝AC′′，△ABC的面积4×1＝2，△ABC′的面积＝2×31×2×21×3，△ABC′′的面积＝2×31×2×21×3，则当△ABC的面积最大时，点C的坐标为（0，﹣1）或（2，0），故答案为：（0，﹣1）或（2，0）．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为 c ，那么 a +b＝c ．40．（2019•丰台区一模）如图，等腰直角三角板的顶点 A ，C 分别在直线 a ，b 上．若 a ∥b ，∠1＝35°， 则∠2 的度数为 10° ．【答案】解：如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴∠1+∠BAC ＝35°+90°＝125°，∵a ∥b ，∴∠ACD ＝180°﹣125°＝55°，∴∠2＝∠ACD ﹣∠ACB ＝55°﹣45°＝10°； 故答案为：10°【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行 线的性质求出∠ACD 的度数是解决问题的关键．41．（2019•朝阳区一模）如图，某人从点 A 出发，前进 5m 后向右转 60°，再前进 5m 后又向右转 60°， 这样一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了 30 m ．2 22【答案】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，则60n＝360，解得n＝6，∴他第一次回到出发点A时一共走了：5×6＝30（m），故答案为：30．【点睛】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数．42．（2019•朝阳区一模）用一组a，b，c的值说明命题“若ac＝bc，则a＝b”是错误的，这组值可以是a ＝﹣1（答案不唯一）．【答案】解：当c＝0，a＝﹣1，b＝﹣2，所以ac＝bc，但a≠b，故答案为：﹣1（答案不唯一）【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．43．（2019•朝阳区一模）如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝50°．【答案】解：连接OA，∵过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，∴∠C AOB＝50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，能求出∠AOB的度数和根据圆周角定理得出∠C AOB是解此题的关键．44．（2019•北京一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则AE＝．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，在△R t ADC中，AC5，∵DE•AC AD•CD，∴DE，在△R t ADE中，AE．故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．45．（2019•马尾区模拟）如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m＞n．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】解：设 OP 经过格点 C ，∵点 C 到 OA 的距离为为 ，点 C 到 OB 的距离为 1，过 P 作 PG ⊥OA 于 G ，过 P 作 PH ⊥OB 于 H ， ∴CE ∥PG ，CF ∥PH ，∴，∴∴m ＞n ，故答案为：＞．，【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理解答．46．（2019•海淀区一模）用一组 a 、b 的值说明命题“若 a ＞b ，则 a ＞b ”是错误的，这组值可以是 a ＝ ﹣ 1 ，b ＝ ﹣2 ．【答案】解：当 a ＝﹣1，b ＝﹣2 时，满足 a ＞b ，但是 a ＜b ， ∴命题“若 a ＞b ，则 a ＞b ”是错误的．故答案为：﹣1、﹣2．（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 47．（2019•海淀区一模）如图为某几何体的展开图，该几何体的名称是 圆柱 ．2 22 22 2【答案】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，∴展开图可得此几何体为圆柱．故答案为：圆柱．【点睛】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．48．（2019•顺义区一模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D 在⊙O上，∠ABD＝25°，则∠BAD＝95°．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACD＝∠ABD＝25°，∴∠BCD＝60°+25°＝85°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣85°＝95°．故答案为95．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等边三角形的性质．49．（2019•东城区一模）能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是0（答案不唯一）．【答案】解：若a＞b，当c＝0时ac＝bc＝0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．50．（2019•海淀区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若∠CAB＝20°，则∠D＝110°．【答案】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，在圆内接四边形ABCD中，∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故答案是：110．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．51．（2019•东城区一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．（1）S：S＝5：1；BDC BAC△△（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为．【答案】解：（1）由题意得：AC ＝1，AD ＝6，CD ＝5， ∴S ：S ＝6：1，△△∴S ：S ＝5：1； △ △故答案为：5：1；（2）如图所示：∵点 P 为 BD 的中点，直线 l ∥BC ，∴PE 是△BCD 的中位线，CE ＝DE ∵四边形 BCNM 是矩形，∴∠BCN ＝∠CNE ＝90°，∴∠ACB +∠ECN ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，CD，∴∠ACB +∠ABC ＝90°，BC∴∠ECN ＝∠ABC ，∴△CNE ∽△BAC ，，∴，即，解得：CN，ABD BACBDC BAC；∴矩形BCNM的面积＝BC×CN故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．52．（2019•张店区二模）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段AF．【答案】解：∵AF⊥BC于F，∴AF是△ABC的高线，故答案为：AF．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．53．（2019•长丰县模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D 分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为2．【答案】解：∵C，D分别是AB，BP的中点∴CD AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，∴AP＝4∴CD长的最大值为2故答案为2【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是本题的关键．”是错误的，54．（2019•西城区一模）用一组a、b的值说明命题“对于非零实数a，b，若a＜b，则这组值可以是a＝﹣1，b＝1．【答案】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但．故答案为﹣1，1．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．55．（2019•北京一模）如图，边长为1的正方形网格中，AB＜3．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】解：AB2，23，∴AB ＜3，故答案为：＜．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为 c ，那么 a +b＝c ．56．（2019•北京一模）用一组整数 a ，b ，c 的值说明命题“若 a ＞b ＞c ，则 a +b ＞c ”是错误的，这组值可以 是 a ＝ ﹣2 ，b ＝ ﹣3 ，c ＝ ﹣4 ．【答案】解：当 a ＝﹣2，b ＝﹣3，c ＝﹣4 时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4）， ∴命题若 a ＞b ＞c ，则 a +b ＞c ”是错误的；故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是 假命题，只需举出一个反例即可．57．（2019•北京一模）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 为⊙O 上的点， CEB ＝ 60 °．，∠ABD ＝60°，则∠【答案】解：连接 OC ，OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∠ABD ＝60°， ∴∠AOD ＝120°，∴∠BOD ＝60°，∵，∴∠DOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴∠CEB∠BOC ＝60°，故答案为：60．2 22【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．58．（2019•房山区一模）如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，顶点G 在边CD上，连接DE交GF 于点H，若FH＝1，GH＝2，则DE的长为．【答案】解：∵在正方形ABCD和正方形GCEF中，∴∠DGH＝∠EFH＝90°，∵∠DHG＝∠EHF，∴△DHG∽△EHF，∴，∵FH＝1，GH＝2，∴GF＝EF＝3，∴，得DG＝6，∴DC＝9，∴DE3，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．59．（2019•门头沟区一模）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：。
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题13 图形的性质之解答题(2)(50道题)(原卷版)(1)
专题13 图形的性质之解答题（2）（50道题）一．解答题（共50小题）1．（2019•怀柔区二模）如图，E为AB中点，CE⊥AB于点E，AD＝5，CD＝4，BC＝3，求证：∠ACD＝90°．2．（2019•西城区二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE＝，∴四边形EACD是平行四边形（）（填推理的依据）．∴AM＝MD（）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．3．（2019•怀柔区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于点E，作EF∥AB，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接CF，CF＝EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝4，tan∠FBC，求EC的长．4．（2019•门头沟区二模）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝DEC，连接CF，DE．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB，求CF的长．5．（2019•怀柔区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若MF，求⊙O的半径．6．（2019•西城区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE，DF，EF．FH平分∠EFB交BD于点H．（1）求证：DE⊥DF；（2）求证：DH＝DF：（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明．7．（2019•门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N 上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为d max，P，Q两点间距离的最小值为d min，我们把d max+d min 的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）．（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）．①点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）＝；②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）＝7，求点P的坐标．（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6d（M，线段AC）＜6+3，直接写出M点横坐标t取值范围．8．（2019•丰台区二模）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．9．（2019•丰台区二模）如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）如果AB＝6，sin∠CBD，求PD的长．10．（2019•丰台区二模）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB＝45°，G为DC边上一点，且DG＝BE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：∠DAG＝∠MAB；（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明．11．（2019•平谷区二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图1，直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P，作法：如图2，（1）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；（4）作直线PH，交直线l于点H．所以直线PH就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵PH平分∠APB，∴∠APH＝．∵P A＝，∴PH⊥直线l于H．（）（填推理的依据）12．（2019•平谷区二模）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．（1）求证：BC＝CD；（2）若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．13．（2019•平谷区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若cos∠BAE，AB＝5，求OE的长．14．（2019•石景山区二模）如图，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN．已知AB＝6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm．小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整；（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为cm．15．（2019•石景山区二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠APC，使得∠APC＝2∠AOB．作法：如图，①在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线，交OA于点P，交OB于点D；③连接PC；所以∠APC即为所求作的角．根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，∴OP＝（）∴∠O＝∠PCO．∵∠APC＝∠O+∠PCO（）∴∠APC＝2∠AOB．16．（2019•石景山区二模）如图，AB平分∠CAD，∠ACB+∠ADB＝180°，（1）求证：BC＝BD（2）若BD＝10，cos∠ADB，求AD﹣AC的值．17．（2019•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直角距离．（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）＝；（2）已知：B是直线y x+3上的一个动点．①如图1，求d（O，B）的最小值；②如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值．18．（2019•怀柔区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G上任意一点M，给出如下定义：图形G关于原点O的中心对称图形为G′，点M在G′上的对应点为M′，若∠MPM′＝90°，则称点P 为图形G，G′的“直角点”，记作Rt（G，P，G′）．已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）．（1）如图1，在点P1（1，1），P2（0，3），P3（0，﹣2）这三个点中，Rt（OA，P，OA′）是；（2）如图2，⊙D的圆心为D（1，1），半径为1，在直线y x+b上存在点P，满足Rt（⊙D，P，⊙D′），求b的取值范围；（3）⊙T的半径为，圆心（t，t），若⊙T上存在点P，满足Rt（△ABC，P，△ABC′），直接写出⊙T的横坐标的取值范围．19．（2019•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是，最大值是；②在P1（），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK 上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．20．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，如果等边三角形的一边与x轴平行或在x轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形．（1）已知A（1，0），B（﹣1，0），若△ABC是水平正三角形，则点C坐标的是（只填序号）；①（1，2），②（0，），③（0，﹣1），④（0，）（2）已知点O（0，0），E（1，），F（0，﹣2），以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是，并求出此时点P的坐标；（3）已知⊙O的半径为，点M是⊙O上一点，点N是直线y上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为M，N，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．21．（2019•大兴区一模）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，连接AC，点P是AC上一个动点，连接BP，作PD⊥BP交AB于点D，交半圆于点E．已知：AC＝5cm，设PC的长度为xcm，PD的长度为y1cm，PE的长度为y2cm（当点P与点C重合时，y1＝5，y2＝0，当点P与点A重合时，y1＝0，y2＝0）．小青同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PD，PE的长都大于1cm时，PC长度的取值范围约是；②点C，D，E能否在以P为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）22．（2019•怀柔区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点．连接AC，过点C作⊙O的切线EF交射线AD于点E．（1）求证：AE⊥EF；（2）连接BC．若AE，AB＝5，求BC的长．23．（2019•大兴区一模）如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D．（1）求证：∠DBC＝∠DAB；（2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD，求AF的长．24．（2019•怀柔区一模）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边．作法：如图，①过A任意作一条射线l；②在射线l上任取两点D，E；③分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线BP交射线l于点C．所以△ABC就是所求作的直角三角形．思考：（1）按上述方法，以线段AB为斜边还可以作个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是，理由是．25．（2019•大兴区一模）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：等边三角形△ABC．作法：如图，①以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A；②以点B为圆心，以AB的长为半径作⊙B，交于⊙A于C，D两点；③连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点B，C在⊙A上，∴AB＝AC（）（填推理的依据）．同理∵点A，C在⊙B上，∴AB＝BC．∴══．∴△ABC是等边三角形．（）（填推理的依据）．26．（2019•丰台区一模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点A．求作：直线AB，使得AB⊥l．作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；③作直线AB．所以直线AB就是所求作的垂线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AC＝，BC＝，∴AB⊥l（）．（填推理的依据）27．（2019•大兴区一模）如图，矩形ABCD，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BD．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若tan∠DBC，CD＝6，求▱ABDE的面积．28．（2019•怀柔区一模）在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝4，求OE的长．29．（2019•朝阳区一模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图．①在直线l上取两点A，B；②以点P为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AP为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；③作直线PQ．根据小东设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：P A＝，AB＝，∴四边形P ABQ是平行四边形∴PQ∥l（）．（填写推理的依据）30．（2019•怀柔区一模）如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC 于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD＝ME．31．（2019•大兴区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝DA．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．32．（2019•怀柔区一模）如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF．设BE＝x（当点E与点B重合时，x的值为0），DF＝y1，CF＝y2．小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为cm．33．（2019•丰台区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．（1）求证：四边形ODEC为菱形；（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．34．（2019•丰台区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF＝CE；（2）若CE＝AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．35．（2019•丰台区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB，OD，求AE的长．36．（2019•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED 并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．（1）求证：四边形BFCE是菱形；（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．37．（2019•朝阳区一模）小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？小超猜想当DE⊥AB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是；（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm．38．（2019•朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若cos∠DAB，BE＝1，求AD的长．39．（2019•顺义区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AC＝FC；（3）用等式直接表示线段BF与DC的数量关系．40．（2019•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．41．（2019•北京一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．（1）当⊙O的半径为2时，①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是；②如图2，点D在直线y x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．42．（2019•东城区一模）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．43．（2019•西城区一模）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC＝BD，连接CD交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．（1）求证：∠MED＝∠MDE．（2）连接BE，若ME＝3，MB＝2．求BE的长．44．（2019•西城区一模）如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为cm．45．（2019•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，4），①直接写出d（点E）的值；②直线y＝kx+4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1．若d（⊙T）＜6，直接写出t的取值范围．46．（2019•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”．（1）已知A（1，0），B（3，2），在点C（1，3）、D（2，1）、E（4，﹣2）、F（3，0）中，线段AB的“似中点”是点；（2）直线y与x轴交于点M，与y轴交于点N．①若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；②若⊙P的半径为2，圆心P为（t，0），若⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围．47．（2019•平谷区一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）．已知点A（4，0），B（0，4），连接AB．（1）d（点O，AB）＝．（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）＝0，求r的取值范围；（3）点C（﹣3，﹣2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0＜d ＜2，求t的取值范围．48．（2019•东城区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．49．（2019•石景山区一模）如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P 作PD∥CQ交于点D，连接AD，CD．已知AB＝8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm．50．（2019•东城区一模）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．。
最新北京中考数学真题模拟题汇编专题17：图形的变化之解答题
最新北京中考数学真题模拟题汇编专题17 图形的变化之解答题（14道题）参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2019•门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°﹣α，∵∠AFG＝∠EFD＝60°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）CG＝2BD，理由是：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．（2019•东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴，∴EF EC．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【答案】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为1【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（2019•平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．（1）依据题意补全图形；（2）当α＝20°时，∠ADC＝40°；∠AEC＝60°；（3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图，补全图形：（2）连接AD，∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，由对称可知，AD＝AB，∴AD＝AC，∵∠BAP＝α＝20°，∴∠DAB＝40°，∴∠DAC＝40°+60°＝100°，∴∠ADC＝∠ACD，∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝40°+20°＝60°，故答案为40，60；（3）由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α，∵AD＝AB＝AC，∴∠ADC，∠AEC＝60°，∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BCE＝α，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE，证明：在CD上截取BG＝BE，∵∠BEC＝60°，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGC＝∠AED＝120°，∵∠BCE＝∠DAE＝α，∴△BCG≌△DAE（AAS），∴AE＝CG，∵EG＝BE＝DE，∴CD＝2DE+CG，即CD＝2DE+AE．【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键．5．（2019•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．【答案】证明：（1）①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15°∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4＝15°∴∠6＝∠7＝30°∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°∵∠AED＝∠3+∠1＝60°∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE（2）补全图形如图，2CE﹣AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°∴∠ABD＝∠ADB＝75°∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°∵∠EAF＝60°又∵∠EAF＝60°，∴∠F＝60°∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，∴△CAE≌△DAF（SAS）．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS）．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE﹣EF＝BD，∴2CE﹣AE＝BD【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．（2019•石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图，连接CF．∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝45°，∵点E、F关于直线BC对称，∴CE＝CF，∠FCB＝∠BCE＝45°，∴∠FCA＝45°，在△FCA与△ECB中，∴△FCA≌△ECB（SAS），∴AF＝BE；（2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF2＝2CE2，证明：∵△FCA≌△ECB，∴∠AFC＝∠BEC，∵∠AFC+∠CFG＝180°，∴∠CFG+∠CEG＝180°，∴∠ECF+∠EGF＝180°，∵∠ECF＝45°+45°＝90°，∴∠EGF＝90°，连接EF，∴GE2+GF2＝EF2，∵CE＝CF，∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2，∴GE2+GF2＝2CE2．【点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键．7．（2019•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB＝2，求AD的长．【答案】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示．（2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形．∴AF＝DE，∠DEB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴AF BC，∵BC＝BD，AF＝DE，∴DE BD，∴∠DBE＝30°，∴∠D′BC＝120°+30°＝150°，∴满足条件的α的值为30°或150°．（3）由题意AB＝AC＝2，∴BC＝2，∴AF＝BF＝DE，∴BE DE，∴AD，AD′＝2（）．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．8．（2019•石景山区一模）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG＝CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．【答案】解：（1）补全的图形如图1所示．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．由平移可知ED∥BC，ED＝BC．∴∠ADE＝∠ACB＝60°．∵∠GMD＝90°，如图1，∴DG＝2DM＝DE．∵DE＝BC＝AC，∴DG＝AC．∴AG＝CD．（3）线段AH与CG的数量关系：AH＝CG．证明：如图2，连接BE，EF．∵ED＝BC，ED∥BC，∴四边形BEDC是平行四边形．∴BE＝CD，∠CBE＝∠ADE＝∠ABC．∵GM垂直平分ED，∴EF＝DF．∴∠DEF＝∠EDF．∵ED∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∠BFH＝∠EDF．∴∠BFE＝∠BFH．∵BF＝BF，∴△BEF≌△BHF（ASA）．∴BE＝BH＝CD＝AG．∵AB＝AC，∴AH＝CG．【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB＝FD；（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．【答案】（1）证明：如图1中，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，∴∠BAD＝90°，BA＝AD，∴∠FAD＝∠FAB＝45°，∵AF＝AF，∴△FAD≌△FAB（SAS），∴BF＝DF．（2）①解：结论：AH⊥BF．理由：如图2中，连接CD．∵∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∵AD＝AB＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCE，BH＝CE，∴△ABH≌△DCE（SAS），∴∠BAH＝∠CDE，∵∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，CD＝CB，∴△CFD≌△CFB（SAS），∴∠CDF＝∠CBF，∴∠BAH＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAH+∠ABF＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AH⊥BF．②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．∵∠ANB＝90°，AO＝OB，∴ON AB＝1，在Rt△OBC中，OC，∵CN≥OC﹣ON，∴CN1，∴CN的最小值为1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．10．（2019•平谷区一模）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．【答案】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAC+∠BCA＝60°，∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α，即∠BCD＝120°﹣α．（2）BD＝AB+BC．如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD＝CD．∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DCB＝∠DAE．∴△ADE≌△CDB（SAS）．∴BD＝BE．∴BD＝AB+BC．（3）如图2，AC，BD的数量关系是：；位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，∴，∴．【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．11．（2019•通州区一模）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）连接AE．∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，∴[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．（2）结论：AF＝EF+CF．证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，∴∠ABC＝∠AFC＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF＝FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ACG＝∠BCF＝α，在△ACG和△BCF中，，∴△ACG≌△BCF．∴AG＝BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF＝EF，∴AF﹣AG＝GF，∴AF＝EF+CF．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2019•门头沟区一模）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P 作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．【答案】解：（1）补全图形（如图1）；理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠OPQ＝∠EPF＝90°∴∠EPO＝∠FPQ，又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠EOP＝∠POB＝45°，又∵∠POQ+∠OQP＝90°，∴∠PQO＝45°，∴∠POE＝∠PQF＝∠POQ，∴PO＝PQ．∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE＝PF，（2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE OP．理由：如图1中，∵△EPO≌△FPQ，∴OE＝FQ．又∵OQ＝OF+FQ＝OF+OE，又∵OQ OP，∴OF+OE OP．（3）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF﹣OE OP．理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠OPQ＝∠EPF＝90°∴∠EPO＝∠FPQ，又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠POB＝45°，又∵∠POQ+∠OQP＝90°，∴∠PQO＝45°，∴∠POA＝∠PQO＝∠POQ＝45°，∴PO＝PQ，∠POE＝∠PQE＝135°，∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE＝PF，OE＝FQ．又∵OQ＝OF﹣FQ＝OF﹣OE，又∵OQ OP，∴OF﹣OE OP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．13．（2019•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，∴点A的坐标为（2，0）．∵将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（2+3，0+2），即（5，2）．（2）分a＞0和a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，如图1所示．∴25a﹣20a+3a﹣2≥2，∴a；②当a＜0时，如图2所示．∵y＝ax2﹣4ax+3a﹣2＝a（x﹣2）2﹣a﹣2，∴，∴a≤﹣2．综上所述：a的取值范围为a或a≤﹣2．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移：掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点A的坐标；（2）分a＞0和a＜0两种情况，利用数形结合找出关于a的一元一次不等式（或一元一次不等式组）．14．（2019•北京模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②补全图形如图2，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：如图3，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，而CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE，∴CE＝DE tanα，∴BC＝2CE＝2DE tanα，即BF﹣BP＝2DE tanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．。
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题12 图形的性质之解答题(1)(50道题)(原卷版)(1)
专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一．解答题（共50小题）1．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．2．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．3．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．4．（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G，求AO的长．5．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B（0，3）．（1）①点B到⊙O的最大值，最小值；②在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是；（2）在直线y x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是⊙O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围．6．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．7．（2019•朝阳区二模）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A 的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P 在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．8．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得△ABC是以BC为斜边且BC＝2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系φ（M，N）．（1）若图形X为一个点，图形Y为直线y＝x，图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，﹣2）中可以是图形X的是；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X．①当图形Y为直线y＝x时，判断图形X与图形Y是否既具有关系φ（X，Y）又具有关系φ（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的⊙T时，若图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），求t的取值范围．9．（2019•丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（﹣3，），N（3，）．①在点C（﹣2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是；②点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围．10．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠B＝2∠BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明．11．（2019•通州区三模）如图，已知线段AB＝6cm，过点B做射线BF且满足∠ABF＝40°，点C为线段AB中点，点P为射线BF上的动点，连接P A，过点B作P A的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm．（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x（0≤x≤6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当△PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为cm；（4）当x＞6时，是否存在x的值使得△PDB为等腰三角形（填“是”或者“否”）．12．（2019•石景山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，⊙O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DP∥BC交AB于点P．（1）求证：PD＝PE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC＝2：1，CP＝13，求⊙O的半径．13．（2019•丰台区二模）如图1，M是圆中上一定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC．已知AB＝5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C 两点的距离为y2cm．小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为cm．14．（2019•西城区二模）对于平面内的∠MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”．在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点．①若点P的坐标为（1，5），则点P关于∠MON的“偏率”为；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）．若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T为圆心，半径为1的圆．若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于，直接写出t 的取值范围．15．（2019•平谷区二模）如图，点P是半圆O中上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）．小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．16．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．（1）若m＝0，①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为；②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．17．（2019•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D 是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E 两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为cm．18．（2019•昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP＝＝．∴四边形ABQP是菱形（）（填推理的依据）．∴PQ∥l．19．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4.5cm．D是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E．设AD＝xcm，CE＝ycm．（当点D与点A或点B重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝2AD时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．20．（2019•房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，∠MON，点A在射线OM上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a．点P到A，B两点的距离相等；b．点P到∠MON的两边的距离相等．小明的作法是：①连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；②作∠MON的平分线交EF于点P．所以点P即为所求．根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴P A＝．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等（填推理的依据）．所以点P即为所求．21．（2019•昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．（1）点C在原点O时，①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝；②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝；③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t的值．22．（2019•通州区三模）已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图，①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；④分别连接BC，DC．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝；AD＝；∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠MAN＝90°；∴四边形ABCD是矩形（填依据）．23．（2019•西城区二模）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A 作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝4，求MN的长．24．（2019•昌平区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．25．（2019•通州区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线．AE的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2，tan B，求⊙O的半径r的值．26．（2019•房山区二模）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD．（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值．27．（2019•昌平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ＝AC，AD＝2时，求BP的长．28．（2019•通州区三模）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，过点D作DF∥AE，交BC的延长线于点F，连接AF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AD＝8，tan B，CF，求AF的长．29．（2019•门头沟区二模）如图1，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD 平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE．如果AB＝6cm，AC＝2.5cm，设A，E两点间的距离为xcm，C，E两点间的距离为y1cm，D，E两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请将它补充完整：（1）按表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：问题：上表中的m＝cm；（2）在同一平面直角坐标系xOy中（见图2），描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；（3）结合函数的图象，解决问题：当△ACE为等腰三角形时，AE的长度约为cm（结果精确到0.01）．30．（2019•昌平区二模）在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图1，①依题意补全图1；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．31．（2019•东城区二模）如图，点B是所对弦DE上一动点，点A在ED的延长线上，过点B作BC⊥DE交于点C，连接AC，已知AD＝3cm，DE＝6cm，设A，B两点间的距离为xcm，△ABC的面积为ycm2．（当点B与点D，E重合时，y的值为0．）小亮根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为cm．32．（2019•顺义区二模）如图，在半圆弧中，直径AB＝6cm，点M是AB上一点，MB＝2cm，P为AB 上一动点，PC⊥AB交于点C，连接AC和CM，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，C、M两点间的距离为y2cm．小东根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当AC＞CM时，线段AP的取值范围是；②当△AMC是等腰三角形时，线段AP的长约为．33．（2019•朝阳区二模）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交于点M，作射线PN交于点N，使得∠NPB＝45°，连接MN．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN＝2AP时，AP的长度约为cm．34．（2019•顺义区二模）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点M（﹣1，1），点N（2，﹣2），则点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）＝|﹣1﹣2|+|1﹣（﹣2）|＝3+3＝6．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点P（3，﹣2）．①若点A（﹣2，﹣1），则d（P，A）＝；②若点B（b，2），且d（P，B）＝5，则b＝；③已知点C（m，n）是直线y＝﹣x上的一个动点，且d（P，C）＜3，求m的取值范围．（2）⊙F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），若⊙F上存在点E，使d（E，O）＝2，直接写出t的取值范围．35．（2019•平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A（1，0），B （0，2），C（3，3）（1）当⊙O的半径为1时，①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；②已知点M在直线y x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；（2）已知点D，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T（t，﹣1），半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．36．（2019•顺义区二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E 为的中点．（1）求证：∠ACD＝∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．37．（2019•朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BP，∵＝＝＝AP，∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．∴∠APQ＝90°（）．（填写推理的依据）即PQ⊥l．38．（2019•门头沟区二模）如图，点C在⊙O上，AB为直径，BD与过点C的切线垂直于D，BD与⊙O交于点E．（1）求证：BC平分∠DBA；（2）如果cos∠ABD，OA＝2，求DE的长．39．（2019•东城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC交BC的延长线于点D，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAB，⊙O的半径为，求AB的长．40．（2019•顺义区二模）下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高线．作法：如图2，①分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E；②作直线DE，与AB交于点F，以点F为圆心，F A长为半径画圆，交CB的延长线于点G；③连接AG．所以线段AG就是所求作的BC边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明．证明：连接DA，DB，EA，EB，∵DA＝DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∵＝，∴点E在线段AB的垂直平分线上．∴DE是线段AB的垂直平分线．∴F A＝FB．∴AB是⊙F的直径．∴∠AGB＝90°（）（填推理的依据）．∴AG⊥BC即AG就是BC边上的高线．41．（2019•朝阳区二模）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．42．（2019•门头沟区二模）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取BC＝a；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；③以D为圆心，b为半径作圆，交PQ于A；④连接AB和AC．则△ABC就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC＝a，AD＝b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB＝AC（）（填依据）．又∵AD在线段BC的垂直平分线PQ上，∴AD⊥BC．∴AD为BC边上的高，且AD＝b．43．（2019•东城区二模）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．44．（2019•海淀区二模）下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，∠C＝90°．求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．作法：如图，①分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．所以线段DE就是所求作的中位线．根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接P A，PC，QA，QC，DC，∵P A＝PC，QA＝，∴PQ是AC的垂直平分线（）（填推理的依据）．∴E为AC中点，AD＝DC．∴∠DAC＝∠DCA，又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．∴∠ABC＝∠DCB（）（填推理的依据）．∴DB＝DC．∴AD＝BD＝DC．∴D为AB中点．∴DE是△ABC的中位线．45．（2019•朝阳区二模）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，sin B，求EF的长．46．（2019•丰台区二模）下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图，①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①），（填推理的依据）连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②），（填推理的依据）47．（2019•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，P A，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC与OP相交于点D．（1）求证：∠B+∠CPO＝90°；（2）连结BP，若AC，sin∠CPO，求BP的长．48．（2019•石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．（1）已知点A（4，0）；①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为；（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．49．（2019•海淀区二模）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接P A，PQ，记BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如图1，当Q为BC中点时，求∠P AC的度数；②直接写出P A、PQ的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．50．（2019•海淀区二模）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．（1）求证：DA＝DF；（2）若∠ADE＝∠CDE＝30°，DE＝2，求▱ABCD的面积．。
北京市2019年中考数学试题（解析版）
北京市2019年中考数学试题（解析版）2019年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只．有．⼀个。
1. 如图所⽰，⽤量⾓器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（A） 45°（B） 55°（C） 125°（D） 135°答案：B考点：⽤量⾓器度量⾓。
解析：由⽣活知识可知这个⾓⼩于90度，排除C、D，⼜OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。
2. 神⾈⼗号飞船是我国“神⾈”系列飞船之⼀，每⼩时飞⾏约28 000公⾥。
将28 000⽤科学计数法表⽰应为（A）（B） 28（C）（D）答案：C考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表⽰形式为10na?形式，其中1||10≤<，n为整数，28000＝。
故选C。
a3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所⽰，则正确的结论是（A）a（B）（C）（D）答案：D考点：数轴，由数轴⽐较数的⼤⼩。
解析：由数轴可知，－3＜a＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，。
4. 内⾓和为540的多边形是答案：ｃ考点：多边形的内⾓和。
n-??，当n＝5时，内⾓和为540°，所以，选C。
解析：多边形的内⾓和为(2)1805. 右图是某个⼏何体的三视图，该⼏何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱答案：D考点：三视图，由三视图还原⼏何体。
解析：该三视图的俯视为三⾓形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个⼏何体是三棱柱。
6. 如果,那么代数2()b aaa a b--g的值是（A） 2 （B）-2 （C）（D）答案：A考点：分式的运算，平⽅差公式。
解析：2()b aaa a b--g＝22a b aa a b--g＝()()a b a b aa a b-+-+＝2。
7. 甲⾻⽂是我国的⼀种古代⽂字，是汉字的早期形式，下列甲⾻⽂中，不是轴对称的是答案：D考点：轴对称图形的辨别。