创新设计_高考一轮总复习-数学
《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第九篇 第8讲 曲线与方程
第8讲曲线与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P(x，y)满足5(x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝(x－1)2＋(y－2)2，点P到直线l的距离d＝|3x＋4y－11|5.由已知得|PF|d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案 D2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案 D3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1. 答案 D4．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰州月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ， ∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0且y ≠0)6. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0，则点N 的轨迹方程为________．解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连接QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax三、解答题(共25分)7．(12分)已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP→＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.8．(13分)设椭圆方程为x 2＋y24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O为坐标原点，点P 满足OP→＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP→|的最大值，最小值．解 (1)直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2.P (x ，y )是AB 的中点，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(x 1＋x 2)＝－k 4＋k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1)＝44＋k 2；消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，∴－14≤x ≤14而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP→|取得最大值216， 当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2019·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．16B ．14C ．12D ．10解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足：xAB →＋yAD →＋P A →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为( )．A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD ＝2.据题意，得AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP→＝(m ，n )，则由xAB →＋yAD →＋P A →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →，∴⎩⎨⎧m ＝x ＋y ，n ＝3y .据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________．解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.答案 y 2＝23x －194．(2013·南京模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝－x 2，－y 2，即P 点坐标为－x 2，－y2.又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1. 答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设随圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线P A 1，P A 2分别与椭圆E 交于点M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值． 解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，可解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1.(2)由(1)知A 1(0,2)，A 2(0，－2)，P (x 0，4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线P A 1方程为y ＝2x 0x ＋2，直线P A 2方程为y ＝6x 0x －2，点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x 03＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x 027＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20.由于椭圆关于y 轴对称，当动点P 在直线y ＝4上运动时，直线MN 通过的定点必在y 轴上，当x 0＝1时，直线MN 的方程为y ＋1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，令x ＝0，得y ＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B .则直线BM 的斜率k BM ＝y 1－1x 1＝2x 20－63＋x 20－1－6x 03＋x 20＝9－x 206x 0，直线BN 的斜率k BN ＝y 2－1x 2＝－2x 20＋5427＋x 20－118x 027＋x 20＝9－x 206x 0，∴k BM ＝k BN ，即M ，B ，N 三点共线，故直线MN 通过一个定点B (0，1)，又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 周长为|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8，为定值．6．(13分)(2013·玉林模拟)已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．(1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0.化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(i)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ii)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1. 综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).。
《创新设计》2021版高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：第7章 不等式 第1讲 Word版含答案
基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2022·贵阳检测)下列命题中，正确的是( ) A.若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B.若ac ＞bc ，则a ＞b C.若a c 2＜bc 2，则a ＜bD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2＜bc 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确； D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 答案 C2.若a ＜b ＜0，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a －b＞1bB.a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D.a n ＞b n解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |⇔|b |＜|a |， ∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4} D.{a |0≤a ≤4} 解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 D4.(2022·江西重点中学盟校联考)已知a ＞0且a ≠1，则a b ＞1是(a －1)b ＞0的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由a b＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0，所以(a －1)b ＞0；由(a －1)b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b ＜0，又a ＞0且a ≠1，所以a b ＞1.即a b ＞1是(a －1)b ＞0的充要条件. 答案 C5.(2022·皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5]解析 由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 A 二、填空题6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0. 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)7.(2021·宝鸡模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.由于方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 力量提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2022·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x，要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12，故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 C12.(2021·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(0，2)C.(1，3)D.(0，3)解析由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0，2).故选B. 答案 B13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 由于方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。
《创新设计·高考一轮总复习》数学(理)第八篇 立体几何 第7讲
【2014年高考浙江会这样考】
1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．
2．利用空间向量解决直线、平面的平行与垂直问题． 3．利用空间向量求空间距
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考点梳理 1．用向量证明空间中的平行和垂直关系 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意 → → 两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意
是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
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[审题视点]
这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证
→ 明：一是证明 MN 与平面A1BD的法向量垂直；二是在平面 → → A1BD内找一向量与 MN 共线；三是证明 MN 可以利用平面 A1BD中的两不共线向量线性表示．
量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结
果的几何意义来解释相关问题．
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两个结论 x1＋x2 y1＋y2 (1)P1(x1， y1， z1 ) ， P2(x2， y2 ， z2)， P1P2 的中点坐标为 2 ， 2 ， z1＋z2 2 . (2)已知△ABC 的三个顶点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3， x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 y3，z3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为（ ， ， 3 3 z1＋z2＋z3 ）. 3
设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则
x＋z＝0， → → n· DA1＝0且n· DB＝0，得 x＋y＝0.
创新设计高考总复习数学人教A版理科
[常用结论与微点提醒] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
A.{1，3}
B.{5，6}
C.{4，5，6} D.{4，5，6，7}
解析 A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}＝{1，2，3}，又U＝{1，2，3， 4，5，6，7}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，∁UB＝{4，5，6，7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4， 5，6}.
答案 C
5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x， y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________. 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆 x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 答案 2
【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示配套课件 理 新人教A版
【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一 函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实 数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x， 则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在 元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是 同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关， 可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换 元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求 解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
《创新设计·高考一轮总复习》数学 立体几何 第1讲
B．棱锥 D．都不对
从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一
样，可以判断是棱台． 答案 A
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3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则 这个几何体一定是 ( )．
A．圆柱
C．球体 解析
B．圆锥
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩
正前 方、 正左 方、 正上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它 们的组成方式，特别是它们的交线位置．
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3．直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′
体是直四棱柱．
答案 是
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考向一 空间几何体的结构特征 【例1】►给出下列四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连 线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱 是正棱柱； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何 体都是圆锥；
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误 的，只要举出一个反例即可．
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【训练1】 给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． 其中不正确的命题的个数是________个．
形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 答案 C
【创新设计】高考数学总复习 1
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件A 级 课时对点练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：若p 则q 的逆否命题为若綈q 则綈p ，又a ＝b ＝0实质为a ＝0且b ＝0，故其否定 为a ≠0或b ≠0. 答案：D2．(·上海卷)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：x ＝2k π＋π4⇒tan x ＝tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，而tan x ＝1⇒x ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝2n ＋1时⇒/ x ＝2k π＋π4.答案：A3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数，显然此命 题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假．故选C. 答案：C4．(·浙江)已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：对于“a ＞0且b ＞0”，可以推出“a ＋b ＞0且ab ＞0”，反之也是成立的． 答案：C5．ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是 ( ) A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析：(排除法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方 程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案：C二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 6．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为________． 答案：若a ≤b ，则有2a ≤2b－17．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；(2)“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题． 其中真命题的个数为________．解析：(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题 的否命题假． 答案：18．“ω＝2”是“函数y ＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为π”的______条件(填“充分非必要”、 “必要非充分”、“充要”)．解析：当ω＝2⇒函数y ＝sin(2x ＋φ)的最小正周期为π，但函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周 期为π，则ω＝±2，故应填充分非必要条件． 答案：充分非必要三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解：(1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )， 则a ＋b ≥0为真命题．用反证法证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a . ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )， 则a ＋b ＜0为真命题．因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a ＋b ≥0, ∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 所以逆否命题为真．10．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1和点A (3,0)，B (0,3)，求证抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤103.证明：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋mx －1，y ＝－x ＋30≤x ≤3，(*)有两个不同的实数解，消元得：x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)． 设f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m ＋12－4×4＞0，f 0＝4≥0，f 3＝9－3m ＋1＋4≥0，0＜m ＋12＜3，解之得3＜m ≤103.②充分性： 当3＜m ≤103时，x 1＝m ＋1－m ＋12－162＞m ＋1－m ＋122＞0，x 2＝m ＋1＋m ＋12－162≤103＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫103＋12－162＝3.∴方程x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个不等的实根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2≤3，方程组(*)有两 组不同的实数解．因此，抛物线y ＝－x 2＋mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条 件是3＜m ≤103.B 级 素能提升练(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：据基本不等式当x ＞0时，2x ＋ax≥22x ×a x ＝22a ，故若对任意x ＞0恒有2x ＋a x≥1，只需22a ≥1⇒a ≥18，因此a ＝18是2x ＋ax ≥1的充分但不必要条件．答案：A2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 ( ) A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x－b (a ＞0，且a ≠1)的图象不过第二象限 C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析：由于a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ，而a ＋c ＞b ＋d 却不一定推出a ＞b ，c ＞d .故A 中p 是q 的必要不充分条件．B 中，当a ＞1，b ＞1时，函数f (x )＝a x －b 不过第二象限，当 f (x )＝a x －b 不过第二象限时，有a ＞1，b ≥1.故B 中p 是q 的充分不必要条件．C 中，因为x ＝1时有x 2＝x ，但x 2＝x 时不一定有x ＝1，故C 中p 是q 的充分不必要条件．D 中p 是q 的充要条件．答案：A二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．(·广州模拟)设p ：|4x －3|≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，易知p 是q 的真子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.∴0≤a ≤12.答案：[0，12]4．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理， 正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l 垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂 直，错误；命题④中直线l 与α垂直可推出l 与α内两条直线垂直，但l 与α内的两条直 线垂直推不出直线l 与α垂直，所以直线l 与α垂直的必要不充分条件是l 与α内两条直 线垂直． 答案：①②三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m ＞0， ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒/ p .∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10∴m ≥9.6．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求 实数m 的取值范围．解：由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x ＜1或x ＞5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤x ≤4.。
【创新设计】高考数学一轮总复习 第八篇 第6讲 空间中向量的概念和运算课件 理 湘教版
【助学·微博】 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．
两个理解
(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：
①a＝λb(b≠0)⇒a∥b；
②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在 λ，μ∈R 使 λa＝μb.
(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有O→M
＝14(O→A＋O→B＋O→C＋O→D)．
[审题视点] 对于(1)只要证出E→G＝E→F＋E→H即可；对于(2)只 要证出向量B→D与E→H共线即可；对于(3)，易知四边形 EFGH 为平行四边形，则点 M 为线段 EG 与 FH 的中点，于是向量 O→M可由向量O→G和O→E表示，再将O→G与O→E分别用向量O→C， O→D和向量O→A，O→B表示．
考向三 空间向量数量积的应用
【例3】►已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为 AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝ OC，求证：PM⊥QN.
[审题视点] 欲证 PM⊥QN，只要证明P→M·Q→N＝0 即可．
证明 如图所示，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. ∵O→M＝12(O→B＋O→C)＝12(b＋c)， O→N＝12(O→A＋O→C)＝12(a＋c)，
( )．
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 a＝λb⇒a∥b，但ba＝ ≠00， ， 则 a∥b，a≠λb.
答案 A
5．在四面体 O-ABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则O→E＝________(用 a，b，c 表示)． 解析 如图，O→E＝12O→A＋12O→D ＝12O→A＋14O→B＋14O→C＝12a＋14b＋14c. 答案 12a＋14b＋14c