傅立叶讲义谱与反应谱
傅里叶光学讲义
傅⾥叶光学讲义傅⾥叶光学实验傅⾥叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提⾼显微镜的分辨本领所做的努⼒。
他提出⼀种新的相⼲成象的原理，以波动光学衍射和⼲涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提⾼成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）⽤实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相⼲光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四⼗年代起古⽼的光学进⼊了“现代光学”的阶段，⽽现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六⼗年代起开始。
由于阿贝理论的启发，⼈们开始考虑到光学成像系统与电⼦通讯系统都是⽤来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三⼗年代后期起电⼦信息论的结果被⼤量应⽤于光学系统分析中。
两者⼀个为时间信号，⼀个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以⽤傅⽴叶变换的⽅法。
将光学衍射现象和傅⽴叶变换频谱分析对应起来，进⽽应⽤于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，⽽且使近代光学技术得到了许多重⼤的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中⼀门技术性很强的分⽀学科—傅⾥叶光学。
实验原理：我们知道⼀个复变函数f(x,y)的傅⽴叶变换为：+-=?=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的傅⽴叶变换函数或频谱函数。
它⼀般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅⽴叶变换得到原函数f(x,y)：+=?=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π（2）在光学系统中处理的是平⾯图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可⽤空间两维复变函数（简称空间函数）来表⽰。
在这些情况下⼀般都可以进⾏傅⾥叶变换或⼴义的傅⾥叶变换。
反应谱和傅里叶谱+地震波选取
【拓展知识1-2】功率谱，反应谱和傅里叶谱，地震波选取，地震持续时间确定功率谱功率谱是功率谱密度函数的简称。
对于一般情况的随机振动，其时间历程具有明显的非周期性，具有连续的多种频率成分，每种频率有对应的功率或能量，用图像来表示这种关系，称为功率在频率域内的函数，简称功率谱密度。
加速度功率谱是对地震动加速度时程进行快速傅里叶变换（FFT）得到的[1]。
对于非平稳随机过程，功率谱密度的单位是G的平方/频率。
G指的是随机过程。
对于加速度功率谱，加速度的单位是m/s2，则功率谱密度的单位是（m/s2）2/Hz，Hz的单位是1/s，故加速度功率谱密度的单位为m2/s3。
加速度功率谱密度函数曲线下方的面积代表随机加速度的总方差，即加速度功率谱可以理解为“随机加速度方差的密度分度”。
参考文献[1] 庄表中. 随机振动入门.科学出版社，1981.反应谱和傅里叶谱反应谱（earthquake response spectrum），是单自由度弹性系统对于某个实际地震加速度的最大反应（可以是加速度、速度和位移）和体系的自振特征（自振周期或频率和阻尼比）之间的函数关系。
反应谱是地震工程中分析结构和设备在地震中的性能的非常有用的工具，因为许多主要表现为简单的振荡器(也称为单自由度系统)。
因此，如果能找出结构的固有频率，那么建筑的峰值响应可以通过从地面响应谱中读取相应频率的值来估计。
在地震区域的大多数建筑规范中，这个值构成了计算结构必须抵抗的力的基础(地震分析)。
如前所述，地面响应谱是在地球自由表面所做的响应图。
如果建筑物的响应与地面运动(共振)的组成部分“协调”，可能会发生重大的地震破坏，这些成分可以从响应谱中识别出来。
傅里叶谱，全称为傅里叶振幅谱。
地震波是在时间上连续的随机过程，地震动记录仪是按照一定的采样频率得到该连续曲线上离散的点，想要还原这个曲线，可以通过解N 元1次方程组，更简洁有效的方式是采用有限傅里叶级数来近似原始的时间历程。
地震工程学地震动特性
8
3.3 地震动特性 3.3.2 地震动频谱特性
• 地基状况相同，震级与震中距不同
• 震级越大，地震动记 录中长周期（低频） 分量越显著；
• 震中距越远，地震动 记录中的长周期（低 频）分量越显著；
9
3.3 地震动特性 3.3.2 地震动频谱特性
F
m
xg
x max
✓ 意义：数学上 当 x xm时ax
Fourier变换： F( )
xg(t)e i tdt
F( )
T
0 xg(
)e i
d
T
0 xg( )cos d
T
i 0 xg( )sin d
F( )
T
2
0 xg( )cos d
T
2
0 xg( )sin d
无阻尼的相对速度反应谱： Sv( )
t
0 xg ( ) cos[ (t
T
2
0 xg( )cos d
傅里 叶变 换对 复数 表达
x(t)
C ei(2 kt/T ) k
k
k
1 T
df ,Tk
f
x(t)
TCk ei2 (k/T )t
1 T
F f ei2 ftdf
1
2
F w ei tdw
连续傅里 叶变换对
F f TCk
x t e i(2 ft)dt
x t e i tdt
傅里叶谱
Ff
TCk
T 2
Ak2
Bk2
✓ 初始条件： x(0) 0 x(0) 0
✓ 运动方程的解： 令 D 1 2
地震工程学-傅里叶变换-反应谱计算
一、得到地震波数据 (1)二、地震波分析 (2)时程曲线绘制 (2)傅里叶谱的绘制 (3)反应谱结果分析 (8)[参考文献] (18)附件说明 (18)一、得到地震波数据访问网站，下载相应的附录说明文件，在这些文件中可以找到相关地震的信息，便于有效的规划检索词，可以看到题目需要的地震波RSN 编号为6,；图查询相应的编号根据所查到的RSN编号直接检索，如图所示输入RSN号即可检索图检索条件得到检索结果下载即可得到所需的地震波，如图所示图检索结果具体地震波数据见附件1.二、地震波分析时程曲线绘制根据得到的地震波数据，进行MATLAB程序编制，绘制的到相应的竖向地震、180度地震程曲线，270度地震的加速度时程曲线，分别为图，图竖向地震加速度时程曲线图 180度地震加速度时程曲线傅里叶谱的绘制根据离散傅里叶的变换准则可以得到A k （k=0,1，…,N/2）、B k (k=1,….N/2-1)，进而计算得到相应的参数； 式 ; 式式式式中N=1024，T=;在具体计算时采用了MATLAB 中的FFT 函数，并且对参考文献中[1]中的例题波进行了试算得到了理想的结果；故可证明程序中所使用的算法是没有问题的；得到的结果见下。
图竖向地震波的傅里叶幅值曲线图 180度地震波的傅里叶幅值曲线图 270度地震波的傅里叶幅值曲线图竖向地震波的傅里叶相位曲线图 180度地震波的傅里叶相位曲线图 270度地震波的傅里叶相位曲线图竖向地震波的功率谱曲线图 180度地震波的功率谱曲线图 270度地震波的功率谱曲线反应谱结果分析根据地震波是可以求得相应的不同周期的单自由度体系的各种反应谱的，这包括：位移反应谱，速度反应谱，准速度反应谱，加速度反应谱，绝对加速度反应谱，具体的原理是根据杜哈梅积分对单自由度进行积分获得，相应的公式如下[2]式式其中，,式中ε为阻尼比，在本题中分别取为0和。
此处对MATLAB计算程序的相应算法进行说明，在实际计算反应谱时使用的是复合的辛普森积分公式[3]式因此在计算中是根据△t=进行数值积分运算的，这样选择的理由有二，1.辛普森公式具有高阶的精度，2由于时间间隔较小是可以捕捉到最大值的，不至于引起太大误差又可以减小计算量，大大较少程序运行时间。
地震动高频衰减参数(kappa)模型及汶川M_S8.0地震地震动模拟
第1期中国地震局地球物理研究所2016届博士论文摘要（I )47块体和小江断裂带这两个低速异常区之间，即四川盆地西南部至攀枝花地区的地壳速度表现为相对高速特征；滇西地区的地壳速度整体偏低，但不均匀连续。
地壳厚度自北向南逐渐变 薄，川滇块体的地壳厚度由北部的60 km减薄至南部的40 km，且川滇块体的地壳厚度比两侧块体厚，北部的川西北块体在东边界厚度变化剧烈，南部的滇中块体在东西边界厚度变化比较平缓。
推测四川盆地西南部至攀枝花地区的高速特征与峨眉山玄武岩的分布有关，该高速物质对川西北次级块体的低速体的运移具有阻挡作用，导致地壳增厚和地形隆升；小江断裂带北部的低速带范围减小可能是由于峨眉山火成岩区的高速物质侵入导致。
青藏高原东南缘地壳整体表现为大范围的低速弱强度区，但低速异常区并非预想的那么均匀，呈现出侧向不均匀性。
如果青藏高原物质是以地壳流模式运移，那么地壳流在青藏高原东南缘会受到高速异常体的影响，从而不能连贯地发生。
关键词青藏高原东南缘；接收函数；各向异性；S波速度结构；联合反演(作者电子信箱，蔡妍：caiyan@)地震动高频衰减参数（kappa)模型及汶川Ms8. 0地震地震动模拟傅幕(中国地震局地球物理研究所，北京100081)中图分类号：P315.8; 文献标识码：A; doi：10. 3969/j. issn. 0235-4975. 2017. 01. Oil在地震动记录稀疏或缺乏的地区，模拟地震动的随机性方法在建立地震动预测方程和估计设定地震的地震动场中得到了广泛且成功的应用，证明了该方法具有很高的可信度和发展前景。
在地震动模拟中，高频衰减参数O c)是一个重要的参数，它控制了地震动的傅里叶振幅谱和反应谱的高频部分（>1Hz)，对地震动时程的峰值有显著的影响。
但是，/C的物理起源、计算方法和经验模型的建立，至今存在较多的争议。
在对2008年5月12日汶川Ms8.0地震和2013年4月20日芦山Ms7.0地震的强震动记录进行预处理之后，我们选取龙门山地区69个强震动观测台站记录到的震中距小于300 km、面波震级在3.3〜8.0之间的500多个主余震的3分量强震动记录共1700多组，对该地区的高频衰减特性及高频衰减参数(/c)模型进行了研究，取得以下进展：(1)对强地面运动的模拟方法以及国内外的研究现状进行了系统的总结，并详细介绍了 傅里叶振幅谱高频衰减特性的研究现状和面临的问题。
傅立叶变换及幅值谱
对于零均值化的信号，第一项为零。而在满足采样定理的情 况下最后一项为零：
mn mn jm jm x(n) X (m) e exp( j 2 ) X (m) e exp( j 2 ) N N m 1
N 1 2
x ( n)
N 1 2
N 1 2 m 1
N 1
（ n N-1） N 1 n X (N-1) x(n) exp( j 2 )= x( n) exp( j 2 n j 2 ) N N n0 n0 N 1 n x(n) exp( j 2 ) N n0
N 1
K=1与N-1的X(k)是共轭对，与k=2与N-2也是,….. 。再看
x(nt ) X (k f ) exp( j 2 k fnt )f
k 0
N 1
1 1 f T N t
N 1
X (k )
X (k f ) ts
kn 1 x(n) X (k ) exp( j 2 ) N N k 0
在Matlab中，假设有时域信号 x(n) （n=0,1,…N-1），对应的 时间是0,dt,2dt,….(N-1)dt。对x(n)进行DFT，即 fft(x) 得到
mn mn X (m) exp( j 2 +m + exp( j -2 -m N N
mn = 2 X (m) cos 2 + m N m 1
可见与第m个频率分量对应的幅值是
2 X (m)
X (m) x(n) exp( j 2
kn 1 x(n) X (k ) exp( j 2 ) N N k 0
K=1与N-1的
kn exp( j 2 ) N n exp( j 2 ) N n( N 1) n) kn exp( j 2 ) exp( j 2 n j 2 ) exp( j 2 ) N N N
傅里叶谱的简单概述
傅⾥叶谱的简单概述
【转载问题】地震波经过傅⾥叶变换，得到的频谱，主要有哪些应⽤？
先来介绍⼀下Fourier谱：基本思想是把⼀个复杂的地震动过程按傅⽒级数展开⼀系列具有不同频率的周期函数，包括傅⽒幅值谱和傅⽒相位谱（详地震⼯程相关书籍）。
幅值谱与相位谱从两个不同⾓度描述了地震动的频谱特性，与反应谱、功率谱相⽐，傅⽒谱对地震动的描述描述更加全⾯，包括了各频率分量的相位分布信息（更接近于实际，规范利⽤反应谱来进⾏设计存在⼀定的弊端，但便于操作），即频率间的相互影响也考虑了。
幅值谱与相对速度反应谱存在⼀定联系，幅值谱是相对速度反应在地震动终⽌时的值，⽆阻尼相对速度反应谱是整个地震动过程中相对速度反应的最⼤值（反应谱是绝对值概念），即⼀般来讲，傅⽒幅值谱⼩于等于相对速度反应谱值，两者⼤体相当。
楼主图中给出的是地震动傅⽒幅值谱，该谱透露的信息类似于反应谱，但较反应谱更加真实，因为其考虑了频率间的相互影响，由幅值谱可以⼤概判断处地震动的卓越周期（频率），反应幅值谱可以判断结构反应的峰值周期（频率）。
补充：频谱分析⼀般设计到功率谱、反应谱及傅⽒谱，后者与前两者的最⼤区别在于傅⽒谱考虑了相位因素（让我想到前不久的⼀个问题，关于楼板应⼒设计时采⽤振型反应谱法的弊端，即反应谱法未考虑反应的相位因素，⽽楼板主拉应⼒是有相位因素的），三者之间存在着⼀定的联系，功率谱是⼀簇样本样本函数（可以是地震动、外荷载或结构反应）的傅⽒幅值谱的平⽅的平均值，反应谱与功率谱的联系稍复杂，⼆者通过反应谱的超越概率建⽴关系。
傅里叶谱和反应谱之间的关系及其对经验地震动预测方程(GMPE)调整的影响研究(Ⅰ)
傅里叶谱和反应谱之间的关系及其对经验地震动预测方程(GMPE)调整的影响研究(Ⅰ)Sanjay Singh Bora;Frank Scherbaum;Nicolas Kuehn;Peter Stafford【摘要】经验反应谱地震动预测方程(GMPEs)的函数形式通常由地震动傅里叶谱模拟的概念导出, 随后这些GMPEs由经验观测数据校准, 所以, 对特定地震场景的地震动预测不会构成重大问题. 然而, 当调整反应谱GMPEs来计算未被原始经验数据集覆盖的条件时, 傅里叶谱模拟导出反应谱的假设可能会产生意想不到的结果. 因此, 几个问题出现了. 例如, 地震动傅里叶谱和反应谱的区别和相似之处是什么? 如果它们是不同的, 什么机制可以解释这样的差异? 对傅里叶振幅谱(FAS)所做的调整在反应谱中怎么表示? 本文利用随机振动理论(RVT)探讨了地震动傅里叶谱和反应谱之间的关系. 借助简单的Brune震源模型[1-2], 在固定震级和距离的情况下, 用RVT生成了加速度谱. RVT分析表明, 反应谱低频谱值标定可以视为与相应傅里叶谱标度值等同. 然而, 反应谱高频谱值受到了带宽很大的傅里叶谱的控制. 实际上, 地震动峰值加速度不能反映高频地震动特征, 它受到了整个地震动傅里叶谱的控制. 此外, 本文说明了对FAS做的调整如何相似或区别于对反应谱坐标所做的相同的调整. 为此, 我们研究了调整应力参数(Δσ) (震源项)和调整反应场地响应的属性(VS-κ0)这两种情况.【期刊名称】《国际地震动态》【年(卷),期】2017(000)003【总页数】8页(P25-32)【作者】Sanjay Singh Bora;Frank Scherbaum;Nicolas Kuehn;Peter Stafford【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】P315.9在当前概率地震危险性分析(PSHA)中，最常用的地震动强度指标/参数(GMIM)是用特定阻尼水平的(如，临界阻尼的5%)单自由度(SDOF)结构反应谱坐标进行的。
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kx
k
c
cx
y(t)
此时结构加速度为 (xy)
x
m
m(xy)
kx
k
c
cx
y(t)
绝对位移：x+y，相对位移：x
m ( x y ) c x k 0 x
此地解震称反为应杜振哈动梅方积分程。
m x c x k x m y
x(t)0 tm f( )e0 (t )si n (t)d
埃森特罗地震记录南北分量时程（上）与傅立叶 振幅谱（左下）和相位谱（右下）
加速度/Gal
400 300 200 100
0 -100 -200 -300
0
10
20
30
40
50
时间/sec 160
傅立叶幅值谱/cm/sec
140
120
/2
Hale Waihona Puke /4 100相位/弧 度
0 80
/4
60 / 2
40
0
5
tk k t,a k a tk ,n n ,
可得
1 N1
i2N k n
F ae n
k
Nk0
N1 i2kn
ak Fne N n0
k0,1,2,,N1 k0,1,2,,N1
2
N t
N
2
N
2 t
解释：
1）t 称为采样间隔，时间步距；f 1 1 为频率间
隔，或频率的分辨率。
Nt T
反应谱表征了地震动加速度时间过程作用于单 自由度弹性体系的最大反应（加速度、速度和 位移）随体系的自振特性（周期、阻尼比）变 化的函数关系。
表示地震反应的物理量不同，反应谱的形 式也不同，如加速度、速度、位移等
位移反应谱； 速度反应谱； 加速度反应谱（绝对）
反应谱计算公式：
ut 1
t
ug e0t sin t d
3、频谱分析的结果可以方便地在结构抗震、基础 隔震等工程问题中应用。
二、反应谱（地震工程的灵魂）
回顾单自由度的地震反应分析，这是结构 地震反应分析最简单，最本质的分析模型。
m
k
c
x
m
k
c
y(t)
此时没有外力作用，结构随地面一起
运动，位移是（x+y），x，y分别为
相对位移和牵连位移。
x
m
m(xy)
2）频率的分辨率取决于时间步距，间隔越小，或时 间步距固定，则采样点（可以补零）越多，频率分 辨率越高。
T
f T
f T
时程 x(t)
傅立叶幅值谱 F(f)
3）时间分割和频率分割精度互相矛盾，是测不准 原理的体现。
4）由于 FnFNn（共轭），故 N 为对称点，称 2
为折叠频率，
可得
N
2
N
2 t
如何估计结构地震反应？
基于两个简化： 1）结构体系模型用单质点模型，计算简单 2）用一个不变的（静）力表示，便于设计 应用
方法：解单质点对地震动的反应 只选取加速度最大值 加速度乘以质量就是惯性力
与重力之比称为地震系数 F*W
反应谱就是以不同单质点自振频率（或周期） 为横坐标，反应最大值为纵坐标画出的曲线， 因为与频率（周期）对应，亦是谱的一种。
2）主要分量在0—10Hz之间
3）因为是离散计算，曲线毛刺多，可以平 滑化，如红线示意。
分解对研究地震动特性具有重要的意义
1、它定量揭示地震动的动力特性。以不同频率 分量的表现来研究地震动及其对结构的作用， 是动力分析的特点； 2、用严格的数理方法求解结构地震反应时，简 谐振动反应容易求解。对线性体系，先求解每个 简谐振动的反应，再叠加求得总体反应的方法， 比直接求解便利得多；
此处加标题
傅立叶谱与反应谱
眼镜小生制作
什么是频谱？
频谱是针对以时间为自变量的物理量变化 函数而言，例如将任意复杂的振动分解为不同 频率的简谐分量。
一般情况，变化非常复杂的物理量难以直接 定量分析，将复杂的现象分解为许多简单现象的 合成，化繁为简，化难为易。
如同白光能分解为各种频率的彩色光一样， 任何复杂的地震动也都可以分解为许多简谐振动， 这些简谐振动的振幅、初相位随频率变化。
fN/2 1/2t
若给定时间序列的采样间隔 t 则从采样后的离散信号中所能分辨出的最高频 率就是折叠频率：
fc 1(2t)
称为采样定理，折叠频率亦称奈奎斯特频率 （Nyquist frequency）
fR
例如加速度时程的时间步距为0.01sec，则离 散傅里叶谱的有效高频为50Hz。
加速度振幅谱特点： 1）开始（频率小)很小，迅速增大，然后 减小，高频和低频都小，意味某个频段幅 值大，这些振动分量强
10
15
20
25
30
频率/Hz
20
0
0
5
10
15
20
25
30
傅里叶谱是复数，由实部和虚部组成，它的模称 为幅值谱，幅角为相位谱
C () A () iB () C ()e i( )
C() A2()B2()
( ) a rc ta n [A ( )/B ( )]
实际上地震动时程无法用解析函数表示，因此要 用离散方法做数值计算
(-1)
将振动信号（或任意变化的函数）分解为 简谐振动（三角函数）的过程称为傅立叶 （Fourier）分解。得到振幅和相位随频率变化 的关系称为傅里叶谱，包括振幅谱和相位谱， 统称(大多指振幅谱)为频谱，完成分解的运算 称为傅立叶变换。
振动时程各不相同，傅里叶谱也互相各异， 有各自的特点，即频谱特性。振动信号的频谱 有重要的物理意义和应用。
一、傅里叶谱
在数学上可将任意变化的周期函数分解为正弦或 余弦变化的三角函数（称为简谐函数）之和，分解 是通过傅立叶展开或傅立叶变换完成的。
对随时间任意变化的物理量，分解具有物理意义： 例如对振动信号来说，时间变量的三角函数表示简 谐振动，这种分解就是将复杂的地震动化为无数简 谐振动之和。法国数学家傅立叶（J. Fourier）首 先研究将任意函数分解为三角级数之和的方法和条 件，并建立数学基础，后人发展并以其名字命名， 称为傅立叶级数。
0
ut 0
t
ug e0t cos t
0
d
ut
ug
t
02
t
ug e0t sin t 2d
0
对反应谱的注释：
反应谱是单自由度体系对地震动输入的地震 反应的最大值；
反应谱反映的是地震动的频谱特性； 反应谱还与体系的阻尼比有关。在反应谱计
时域和频域：时程和频谱
不同频率信号的时域图和频域图
复杂周期信号波形
从一般信号分析（数学化）的观点来看： 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号 周期信号：
ftTf(t) t
连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4