历年初三数学中考专题-阅读理解题
初三数学中考阅读理解题专题
1、（10一模崇文）正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE b =（a b 2<），且边AD 和AE 在同一直线上 ．小明发现：当b a =时，如图①，在BA 上选取中点G ，连结FG 和CG ,裁掉FAG ∆和CHD ∆的位置构成正方形FGCH ． （1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足=AEBG． 2．（10一模朝阳）请阅读下列材料 问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C =150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．3、(10一模房山)阅读下列材料：图3小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15； 然后取n=3，如图3，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25；…… 请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．4、(10一模海淀)阅读：如图1，在ABC ∆和DEF ∆中，M’N’EBAQ PN G H FED CBAM M’N’A BEH CPG DQ H M N FBEA 图图1 图3图4图5A图①A图②FE90ABC DEF ∠=∠=︒,,AB DE a ==BC EF b == ()b a <,B 、C 、D 、 E 四点都在直线m 上，点B 与点D 重合.连接AE 、FC ，我们可以借助于ACE S ∆和FCE S ∆的大小关系证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.证明过程如下:∵,,.BC b BE a EC b a ===- ∴11(),22ACE S EC AB b a a ∆=⋅=- 11().22FCES EC FE b a b ∆=⋅=- ∵0b a >>, ∴FCE S ACE S ∆∆>. 即a ab b a b )(21)(21->-. ∴22b ab ab a ->-.∴222a b ab +>. 解决下列问题：（1）现将△DEF 沿直线m 向右平移，设()BD k b a =-,且01k ≤≤.如图2,当BD EC=时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.（2）用四个与ABC ∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个．．示意图，并简要说明理由.5、(10一模密云)（1）观察与发现：在一次数学课堂上，老师把三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过A 点的直线折叠，使得图2AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．有同学说此时的AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．试问：图⑤中α∠的大小是多少？（直接回答，不用说明理由）．6、(10一模西城)在△ABC 中， BC ＝a ，BC 边上的高h ＝a 2，沿图中线段DE 、CF 将△ABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图1所示．请你解决如下问题：ED C FBA图③ED C AB F G ' D 'ADECB α图④图⑤已知：如图2，在△A ′B ′C ′中， B ′C ′＝a ，B ′C ′边上的高h ＝a 21．请你设计两种不同的分割方法，将△A ′B ′C ′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．7．(10二模东城)请阅读下面材料，完成下列问题：（1）如图1，在⊙O 中，AB 是直径，CD AB ⊥于点E ，AE a =，EB b =．计算CE 的长度（用a 、b 的代数式表示）；（2）如图2，请你在边长分别为a 、b （a b >）的矩形ABCD 的边AD 上找一点M ，使得线段CM =，保留作图痕迹；A ′B ′C ′图3A ′B ′C ′图4AB CDEOA BCD A B CD（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.（第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）8.(10二模海淀)阅读： D 为ΔABC 中BC 边上一点，连接AD ，E 为AD 上一点.如图1，当D 为BC 边的中点时，有E B D E C DS S ∆∆=，ABE ACE S S ∆∆=；当m DCBD=时，有E B D A B EE C D A C ES S m S S ∆∆∆∆==.BB图1 图2 图3解决问题：在ΔABC 中，D 为BC 边的中点，P 为AB 边上的任意一点，CP 交AD 于点E ．设EDC ∆的面积为1S ，APE ∆的面积为2S .（1）如图2，当1=AP BP 时，121SS =的值为__________;（2）如图3，当n AP BP =时，121SS =的值为__________; （3）若24=∆ABC S ，22=S ，则APBP的值为__________. 9．(10密云二模)阅读下列材料：在学习小组，小明接到这样一个任务：把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形．为完成任务，小明先学习了两种简单的“基本分割法”．基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．学习了上述两种“基本分割法”后，小明很从容的就完成了分割的任务：（1）把一个正方形分割成9个小正方形．方法一：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．方法二：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639+=（个）小正方形．（2）把一个正方形分割成10个小正方形．如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32⨯个小正方形，从而分割成43210+⨯=（个）小正方形．请你参照上述分割方法解决下列问题（只要求画图，不用说明分割方法）： （1）请你替小明同学把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形； （2）仿照基本分割法1：请把图a 中的正三角形分割成4个小正三角形； （3）仿照基本分割法2：请把图b 中的正三角形分割成6个小正三角形； （4）分别把图c 和图d 中的正三角形分割成9个和10个小正三角形．图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥ 图a 图b 图c 图d10．(10二模宣武)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，AB=c ． 操作示例如图1，当∠B =∠A =90°，我们可以取直角梯形ABCD 的非直角腰CD 的中点P ，过点P 作PE ∥AB ，裁掉△PEC ，并将△PEC 拼接到△PFD 的位置，构成新的图形（如图2）． 思考发现 小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC 绕点P 逆时针旋转180°到△PFD 的位置，易知PE 与PF 在同一条直线上．又因为在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C +∠ADP =180°，则∠FDP +∠ADP =180°，所以AD 和DF 在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF 是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形． 实践探究（1）矩形ABEF 的面积是 ；（用含a ，b ，c 的式子表示） （2）类比图2的剪拼方法，请在如图3的梯形ABCD 中画出剪拼成一个平行四边形的示意图；（3）在如图4的多边形ABCDG 中，AG=C D ，AG ∥C D ，按上面的剪切方法沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形，请画出拼成的平行四边形的示意图； 图1A BC PDE DC图3图4图2AEGDCBA。
人教版九年级数学中考阅读理解专项练习及参考答案
所以方程组的解为{
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组{
3-2 = 5,④
9-4 = 19.⑤
解将方程⑤变形,得 3(3x-2y)+2y=19,
⑥
把方程④代入⑥,得 3×5+2y=19,所以 y=2.
把 y=2 代入方程④,得 x=3.
= 3,
故方程组的解为{
= 2.
2
2 + 5 = 3,①
5.阅读材料:善于思考的小军在解方程组{
时,采用了一种“整体代换”的解法.
4 + 11 = 5②
解:将方程②变形,得 4x+10y+y=5,
即 2(2x+5y)+y=5.
③
把方程①代入③,得 2×3+y=5,∴y=-1.
把 y=-1 代入①,得 x=4.
1
= 4,
)
A.(1,2,1,2,2)
C.(1,1,2,2,3)
答案 D
B.(2,2,2,3,3)
D.(1,2,1,1,2)
( > 0),
4
4
2.定义新运算:ab={
例如:45=5,4(-5)=5,则函数
- ( < 0),
(
y=2x(x≠0)的图象大致是
)
答案 D
3.规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y,据此判断下列等
2
因为将函数 y=x +4x-1 的图象先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,
2
2
所以 y=(x+2-1) -5+1,即 y=x +2x-3.
中考数学总复习《阅读理解综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《阅读理解综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道|x|={x (x>0) 0 (x=0)−x (x<0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x−2|时，可令x+1=0和x−2=0，分别求得x=−1和x=2（称-1，2分别为|x+1|与|x−2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x=−1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①x<−1；②−1≤x<2；③x≥2．化简|x+1|+|x−2|时，对应三种情况为：①当x<−1时，原式=−(x+1)−(x−2)=−2x+1；②当−1≤x<2时，原式=(x+1)−(x−2)=3；③当x≥2时，原式=(x+1)+(x−2)=2x−1．通过以上阅读，请你解决问题：（1）|x−3|+|x+4|零点值是_________和__________；（2）化简代数式|x−3|+|x+4|；（3）解方程|x−3|+|x+4|=9；（4）|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|的最小值为_________，此时x的取值范围为____________．2．先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式x2−xy+4x−4y和a2−b2−c2+2bc．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：(1)x2−xy+4x−4y=(x2−xy)+(4x−4y)=x(x−y)+4(x−y)=(x−y)(x+4)(2)a2−b2−c2+2bc=a2−(b2+c2−2bc)=a2−(b−c)2=(a+b−c)(a−b+c)这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：（1）m3−2m2−3m+6（2）x2−2xy−9+y23．阅读下列材料：已知实数x y 满足(x 2+y 2+1)(x 2+y 2−1)=63 试求x 2+y 2的值．解：设x 2+y 2=a 则原方程变为(a +1)(a −1)=63 整理得a 2−1=63 a 2=64 根据平方根意义可得a =±8 由于x 2+y 2⩾0 所以可以求得x 2+y 2=8．这种方法称为“换元法” 用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式 可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容 解决下列问题：（1）已知实数x y 满足(2x +2y +3)(2x +2y −3)=27 求x +y 的值．（2）已知a b 满足方程组{3a 2−2ab +12b 2=472a 2+ab +8b 2=36；求1a +12b 的值； （3）填空：已知关于x y 的方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =9y =5 则关于x y 的方程组{a 1x 2−2a 1x +b 1y =c 1−a 1a 2x 2−2a 2x +b 2y =c 2−a 2的解是_______． 4．例：解不等式（x ﹣2）（x +3）＞0解：由实数的运算法则：“两数相乘 同号得正”得①{x −2>0x +3>0 或②{x −2<0x +3<0解不等式组①得 x ＞2解不等式组②得 x ＜﹣3所以原不等式的解集为x ＞2或x ＜﹣3．阅读例题 尝试解决下列问题：（1）平行运用：解不等式x 2﹣9＞0；（2）类比运用：若分式x+1x−2的值为负数 求x 的取值范围．5．定义：有一个内角为90° 且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1 准矩形ABCD 中 ∠ABC ＝90° 若AB ＝2 BC ＝3 则BD ＝_____；（2）如图2 正方形ABCD中点E F分别是边AD AB上的点且CF∠BE 求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知准矩形ABCD中∠ABC＝90° ∠BAC＝60° AB＝2 当△ADC为等腰三角形时求这个准矩形的面积．6．仔细阅读下面例题解答问题．【例题】已知：m2−2mn+2n2−8n+16=0求m n的值．解：∠m2−2mn+2n2−8n+16=0∠(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0∠(m−n)2+(n−4)2=0∠m−n=0n−4=0∠m=4n=4．∠m的值为4 n的值为4．【问题】仿照以上方法解答下面问题：（1）已知x2+2xy+2y2−6y+9=0求x y的值．（2）在Rt∠ABC中∠C=90°三边长a b c都是正整数且满足a2+b2−12a−16b+100=0求斜边长c的值．x+4与x轴y轴分别交于点A和点B．7．如图直线y＝43（1）求A B两点的坐标；（2）过B点作直线与x轴交于点P 若∠ABP的面积为8 试求点P的坐标．（3）点M是OB上的一点若将∠ABM沿AM折叠点B恰好落在x轴上的点B1处求出点M的坐标．（4）点C在y轴上连接AC 若∠ABC是以AB为腰的等腰三角形请直接写出点C的坐标．8．定义：把斜边重合且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．（1）概念理解：如图1 在△ABC和△DBC中∠A=90∘,AB=3,AC=4,BD=2,CD=√21说明△ABC 和△DBC是共边直角三角形．（2）问题探究：如图2 △ABC和△DBC是共边直角三角形E F分别是AD BC的中点连结EF求证EF⊥AD．（3）拓展延伸：如图3 △ABC和△DBC是共边直角三角形且BD=CD连结AD求证：AD平分∠BAC．9．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形那么这1条线段就称为这个三角形的“好线” 如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图① 在△ABC中∠A＝27° ∠C＝72° 请你在这个三角形中画出它的“好线” 并标出等腰三角形顶角的度数．如图② 已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形请你在这个三角形中画出它的“好好线” 并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中已知一个内角为24° 若它只有“好线” 请你写出这个三角形最大内角的所有可能值（按从小到大写）；（2）在△ABC中∠C＝27° AD和DE分别是△ABC的“好好线” 点D在BC边上点E在AB边上且AD ＝DC BE＝DE 根据题意写出∠B的度数的所有可能值．10．【阅读】如图1 若ΔABD∽ΔACE且点B,D,C在同一直线上则我们把ΔABD与ΔACE称为旋转相似三角形．【理解】（1）如图2 ΔABC和ΔADE是等边三角形点D在边BC上连接CE．求证：ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形．【应用】（2）如图3 ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形AD//CE．求证：AC=DE．【拓展】（3）如图4 AC是四边形ABCD的对角线∠D=90°∠B=∠ACD BC=25AC=20AD= 16．试在边BC上确定一点E使得四边形AECD是矩形并说明理由．11．定义：如果三角形上有两点其中一点为一边的中点且这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分我们就称这条线段为该三角形的“等分周线”．如图1 在△ABC中D是BC的中点点E在AB上若BD+BE=CD+AC+AE则DE为△ABC的一条“等分周线”．概念理解：（1）任意三角形的“等分周线”有______条若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点则这个三角形是______．规律探究：（2）如图1 在△ABC中DE为△ABC的一条“等分周线”．若AB>AC∠A=αAC=m求DE 的长．（用含mα的代数式表示）．拓展应用（3）如图2 在四边形ABCD中BC=2CD AC平分∠BCD BA⊥AC点E在线段AC上连接ED EB 且AB=√3EC=√3+1∠BEC=120°求ED的长．12．（1）如图① 四边形ABCD中AB=AD ∠B=∠ADC=90°．E F分别是BC CD上的点且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G 使DG=BE 连结AG．先证明△ABE≌△ADG再证明△AEF≌△AGF从而得出∠EAF=∠GAF 最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②）其余条件不变上述数量关系是否成立成立请证明；不成立说明理由（3）如图③ 中俄两国海军在南海举行联合军事演习中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后指挥中心观测到两舰艇分别到达E F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．13．定义：如图1 点M N把线段AB分割成AM MN和BN若以AM MN BN为边的三角形是一个直角三角形则称点M N是线段AB的勾股点．已知点M N是线段AB的勾股点若AM＝1 MN＝2 则BN ＝．（1）【类比探究】如图2 DE是△ABC的中位线M N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB）连接CM CN 分别交DE于点G H．求证：G H是线段DE的勾股点．（2）【知识迁移】如图3 C D是线段AB的勾股点以CD为直径画∠O P在∠O上AC＝CP连结P A PB若∠A＝2∠B求∠B的度数．（x＞0）上的动点直线y=−x+2与坐标轴（3）【拓展应用】如图4 点P（a b）是反比例函数y=2x分别交于A B两点过点P分别向x y轴作垂线垂足为C D且交线段AB于E F．证明：E F是线段AB的勾股点．14．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图① 对余四边形ABCD中AB＝5 BC＝6 CD＝4 连接AC．若AC＝AB求sin∠CAD的值；（2）如图② 凸四边形ABCD中AD＝BD AD∠BD当2CD2+CB2＝CA2时判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中点A（﹣1 0）B（3 0）C（1 2）四边形ABCD是对余四边形点E＝u点D的纵坐标为t请直接写出u关于t 在对余线BD上且位于∠ABC内部∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE的函数解析式．15．定义：若四边形有一组对角互补一组邻边相等且相等邻边的夹角为直角像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形简称“直等补”四边形根据以上定义解决下列问题：（1）如图1 正方形ABCD中E是CD上的点将ΔBCE绕B点旋转使BC与BA重合此时点E的对应点F在DA的延长线上则四边形BEDF为“直等补”四边形为什么？（2）如图2 已知四边形ABCD是“直等补”四边形AB=BC=5CD=1AD>AB点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M N分别是AB AD边上的动点求ΔMNC周长的最小值．16．定义：在平行四边形中若有一条对角线是一边的两倍则称这个平行四边形为两倍四边形其中这条对角线叫做两倍对角线这条边叫做两倍边．如图1 四边形ABCD是平行四边形BE//AC延长DC交BE于点E连结AE交BC于点F AB=1AD=m．（1）若∠ABC=90°如图2．①当m=2时试说明四边形ABEC是两倍四边形；②是否存在值m使得四边形ABCD是两倍四边形若存在求出m的值若不存在请说明理由；（2）如图1 四边形ABCD与四边形ABEC都是两倍四边形其中BD与AE为两倍对角线AD与AC为两倍边求m的值．17．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．【问题理解】(1)如图1 点A B C在∠O上∠ABC的平分线交∠O于点D 连接AD CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；【拓展探究】(2)如图2 在等补四边形ABCD中AB＝AD 连接AC AC是否平分∠BCD？请说明理由；【升华运用】(3)如图3 在等补四边形ABCD中AB＝AD 其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD＝6 DF ＝2 求AF的长．18．我们把方程(x−m)2+(y−n)2=r2称为圆心为(m,n)半径长为r的圆的标准方程．例如圆心为(1,−2)半径长为3的圆的标准方程是(x−1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中⊙C与x轴交于点A B且点B的坐标为(8,0)与y轴相切于点D(0,4)过点A B D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）求抛物线的解析式；（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系并说明理由．19．定义：点P（a b）关于原点的对称点为P' 以PP'为边作等边∠PP'C则称点C为P的“等边对称点”；（1）若P（1 √3）求点P的“等边对称点”的坐标．（x＞0）上一动点当点P的“等边对称点”点C在第四象限时（2）若P点是双曲线y＝2x①如图（1）请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是请求出此函数的解析式；如果不是请说明理由．②如图（2）已知点A（1 2）B（2 1）点G是线段AB上的动点点F在y轴上若以A G F C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时求点C的纵坐标y c的取值范围．20．【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”两条弦所在直线．．的交点为等垂弦的分割点．如图① AB CD是∠O的弦AB＝CD AB∠CD垂足为E则AB CD是等垂弦E为等垂弦AB CD的分割点．【数学理解】（1）如图② AB是∠O的弦作OC∠O A OD∠OB分别交∠O于点C D连接CD．求证：AB CD是∠O的等垂弦．（2）在∠O中∠O的半径为5E为等垂弦AB CD的分割点BEAE =13．求AB的长度．【问题解决】（3）AB CD是∠O的两条弦CD＝12AB且CD∠AB垂足为F．①在图③中利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹不写作法）．②若∠O的半径为r AB＝mr（m为常数）垂足F与∠O的位置关系随m的值变化而变化直接写出点F 与∠O的位置关系及对应的m的取值范围．参考答案1．解：（1）令x−3=0和x+4=0解得：x=3和x=−4故答案为：3 ﹣4．（2）当x<−4时|x−3|+|x+4|=−(x−3)−(x+4)=−2x−1；当−4≤x<3时|x−3|+|x+4|=−(x−3)+(x+4)=7；当x≥4时|x−3|+|x+4|=x−3+x+4=2x+1综上所述|x−3|+|x+4|={−2x−1，x<−4 7，−4≤x<32x+1，x>3．（3）当x<−4时3−x−x−4=9解得x=−5；当−4≤x<3时3−x+x+4=9方程无解；当x≥3时x−3+x+4=9解得x=4；∠方程的解为x=−5或x=4．（4）|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|中的零点值分别为：x=3，x=−4，x=2，x=2020当x<−4时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=3−x−x−4−x+2−x+2020=−4x+2021；当−4≤x<2时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=3−x+x+4−x+2−x+2020=−2x+ 2029；当2≤x≤3时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=3−x+x+4+x−2−x+2020=2025；当3<x<2020时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=x−3+x+4+x−2−x+2020=2x+ 2019；当x≥2020时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=x−3+x+4+x−2+x−2020=4x−2021；显然当2≤x≤3时原式取得最小值最小值为2025故答案为：2025 2≤x≤3．2．解：（1）m3−2m2−3m+6=m2(m−2)−3(m−2)=(m−2)(m2−3)；（2）x2−2xy−9+y2=x2−2xy+y2−9=(x−y)2−32=(x−y+3)(x−y−3)．3．解：（1）设2x +2y =a 则原方程变为(a +3)(a −3)=27整理 得：a 2−9=27 即a 2=36解得：a =±6则2x +2y =±6∴x +y =±3；（2）令a 2+4b 2=x ab =y则原方程变为：{3x −2y =472x +y =36解之得：{x =17y =2 ∠a 2+4b 2=17 ab =2∠(a +2b )2=a 2+4ab +4b 2=17+8=25∠a +2b =±5∠1a +12b =2b+a2ab =±54； （3）由方程组{a 1x 2−2a 1x +b 1y =c 1−a 1a 2x 2−2a 2x +b 2y =c 2−a 2 得{a 1x 2−2a 1x +a 1+b 1y =c 1a 2x 2−2a 2x +a 2+b 2y =c 2整理 得：{a 1(x −1)2+b 1y =c 1a 2(x −1)2+b 2y =c 2∵方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =9y =5 ∴方程组{a 1(x −1)2+b 1y =c 1a 2(x −1)2+b 2y =c 2的解是：{(x −1)2=9y =5 ∴x −1=±3 且y =5解得：{x =4y =5 或{x =−2y =5． 4．解:（1）解不等式x 2﹣9＞0 即为解(x +3)(x −3)>0根据“两数相乘 同号得正”得①{x −3>0x +3>0 或②{x −3<0x +3<0解不等式组①得 x ＞3解不等式组②得 x ＜﹣3∠原不等式的解集为x ＞3或x ＜﹣3；（2）由题得不等式x+1x−2<0根据“两数相除 同号得正 异号得负”得①{x +1>0x −2<0 或②{x +1<0x −2>0解不等式组①得−1<x<2不等式组②无解∠原不等式的解集为−1<x<2．5．解：（1）∠∠ABC=90∠BD=√AB2+BC2=√4+9=√13故答案为√13（2）∠四边形ABCD是正方形∠AB=BC,∠A=∠ABC=90°∠∠EBF+∠EBC=90°∠BE∠CF∠∠EBC+∠BCF=90°∠∠EBF=∠BCF∠∠ABE∠∠BCF（AAS）∠BE=CF 且∠CBF=90°∠四边形BCEF是准矩形；（3）∠∠ABC=90° ∠BAC=60°∠∠ACB=30°∠AB=2∠AC=4 BC=2√3准矩形ABCD中BD=AC=4①当AC=AD时则AD=AC=BD 如图1 作DE∠AB∠AE=BE=12AB=1∠DE=√AD−2AE2=√16−1=√15∠S准矩形ABCD =S△ADE+S梯形BCDE=12DE×AE+12（BC+DE ）×BE=12×√15×1+12（2√3+√15）×1=√15+√3；②当CA=CD 时 则CD=CA=BD 如图2 作DF∠BC 垂足为F∠BD=CD∠BF=CF=12BC=√3∠DF=√CD 2−CF 2=√16−3=√13∠S 准矩形ABCD =S △DCF +S 梯形ABFD=12FC×DF+12（AB+DF ）×BF=12×√3×√13+12（2+√13）×√3=√39+√3；③当DA=DC 如图3 取AC 中点G 连DG 则DG∠AC ． 连接BG过B 作BH∠DG 垂足为H ．在Rt △ABC 中 ∠ABC ＝90° ∠BAC ＝60° AB ＝2 G 为AC 中点∠AG=BG=12AC=AB=2∠∠ABG 为等边三角形 ∠∠BGC=120° ∠BGH=30°又BD=AC=4在Rt △BHG 中 BG=2 ∠BGH=30°∠BH=1 HG=√3在Rt △DHB 中 BH=1 BD=4∠DH=√15∠DG=DH ﹣HG=√15﹣√3∠S 准矩形ABCD =S △ABC +S △ACD=12AB×BC+12AC×DG=12×2√3×2+12×4×（√15﹣√3） =2√15；故答案为√15+√3；√39+√3；2√15．6．解:（1）∠x 2+2xy +2y 2−6y +9=0∠(x 2+2xy +y 2)+(y 2−6y +9)=0∠(x +y)2+(y −3)=20∠x +y =0，y −3=0∠x =−3，y =3（2）∠a 2+b 2−12a −16b +100=0∠(a 2−12a +36)+(b 2−16b +64)=0∠(a −6)2+(b −8)2=0∠a −6=0 b −8=0∠a =6 b =8 在Rt ∠ABC 中 ∠C =90°∠c =√a 2+b 2=√62+82=10．7．解：（1）对于y ＝43x +4 令y ＝0 即y ＝43x +4＝0 解得x ＝﹣3 令x ＝0 则y ＝4 故点A B 的坐标分别为（﹣3 0） （0 4）；（2）设点P （x 0）则∠ABP 的面积＝12×AP ×OB ＝12×4×|x +3|＝8 解得x ＝1或﹣7故点P 的坐标为（1 0）或（﹣7 0）；（3）由点A B 的坐标知 OA ＝3 BO ＝4 则AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AB 1 故点B 1的坐标为（2 0）设点M 的坐标为（0 m ）由题意得：MB ＝MB 1 即m 2+4＝（m ﹣4）2 解得m ＝1.5故点M 的坐标为（0 1.5）；（4）设点C （0 t ）则AB ＝5 AC ＝√32+t 2当AB ＝BC 时 则5＝|t ﹣4| 解得t ＝9或﹣1当AB ＝AC 时 即25＝9+t 2 解得t ＝4（舍去）或﹣4故点C 的坐标为（0 9）或（0 ﹣1）或（0 ﹣4）．8．解:（1）∠在△ABC 中∠BC=√32+42=5∠BD =2,CD =√21∠BD 2+CD 2=25=BC 2∠∠BCD 是直角三角形∠△ABC 和△DBC 是共边直角三角形．（2）如图 连接AE,DE∠E 点是BC 中点∠AE,DE 分别是Rt∠ABC 和Rt∠DBC 斜边上的中线∠AE=12BC DE=12BC ∠AE=DE∠∠ADE 是等腰三角形∠F 点是AD 中点∠EF∠AD ；（3）作DN∠AB DM∠AC 的延长线于M 点∠∠BAC=90°∠四边形ANDM 是矩形∠∠NDM=90°∠∠NDC+∠CDM=90°又∠BDC=90°∠∠NDC+∠BDN=90°∠∠BDN= CDM∠∠BND=∠CMD=90° BD=CD∠∠BDN∠∠CDM∠DN=DM∠AD平分∠BAC．9．解:(理解)如图① 如图②所示（应用）（1）①如图③当∠B＝24° AD为“好线”则A C＝AD＝BD这个三角形最大内角是∠BAC＝106°；②如图④当∠B＝24° AD为“好线”则AB＝AD AD＝CD 这个三角形最大内角是∠BAC＝144°；③如图⑤当∠ABC＝24°时BD为“好线”则AD＝BD CD＝BC 故这个三角形最大内角是∠C＝148°④如图⑥ 当∠B＝24°时CD为“好线”则AD＝CD＝BC 故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°⑤如图⑦ 当∠B＝24°时CD为“好线”则AD＝AC CD＝BD 故这个三角形最大内角是∠ACB＝70°⑥如图⑧ 当∠B＝24°时AD为“好线”则AB＝BD AD＝CD 故这个三角形最大内角是∠BAC＝117°上所述这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°故答案为70°或106°或117或144°或148°；（2）设∠B＝x°①当AD＝DE时如图1(a)∠AD＝CD∠∠C＝∠CAD＝27°∠DE＝EB∠∠B＝∠EDB＝x°∠∠AED＝∠DAE＝2x°∠27×2+2x+x＝180∠x＝42∠∠B＝42°；②当AD＝AE时如图1(b)∠AD＝CD∠∠C＝∠CAD＝27°∠DE＝EB∠∠B＝∠EDB＝x°∠∠AED＝∠ADE＝2x°∠2x+x＝27+27∠x＝18∠∠B＝18°．③当EA＝DE时∠90﹣x+27+27+x＝180∠x不存在应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．10．（1）证明：ΔABC和ΔADE是等边三角形∠AB=AC AD=AE∠BAC=∠DAE=60°∠AB AD =ACAE∠BAD=∠CAE∠ΔABD∽ΔACE又∠点B,D,C在同一直线∠ΔABD和ΔACE是旋转相似三角形．（2）证明：∠ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形∠ΔABD∽ΔACE∠AB AC =ADAE∠BAD=∠CAE∠B=∠ACE∠∠BAC=∠DAE∠ΔABC∽Δ∠ADE∠∠B=∠ADE∠AED=∠ACB ∠ ∠ADE=∠ACE．∠AD//CE∠∠ADE=∠DEC∠ ∠ACE=∠DEC．∠∠AED=∠ACB∠∠AEC=∠DCE．又∠CE=CE∠ΔAEC≌ΔDCE(ASA)∠AC=DE．（3）解：如图过点A作AE⊥BC垂足为E连接DE．∠∠AEB=∠ADC=90°∠B=∠ACD∠ ΔABE∽ΔACD∠AB AC =AEAD∠BAE=∠CAD∠∠BAC=∠EAD ∠ΔABC∽ΔAED∠BC DE =ACAD∠ 25DE =2016∠DE=20．∠ΔABE∽ΔACD∠AE AD =BECD∠AE BE =√202−162=43．设AE=4k则BE=3k CE=25−3k在ΔACE中(4k)2+(25−3k)2=202解得k=3∠AE=12．又AD=16DE=20∠ΔADE是直角三角形∠DAE=90°．又∠AEC=∠ADC=90°∠四边形AECD是矩形．11．解：（1）∠任意三角形有三条边∠任意三角形有三条“等分周线”∠某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点而另一点为一边的中点且将三角形的周长分为相等的两部分∠这个三角形是等腰三角形故答案为：3 等腰三角形；（2）延长BA 使AF=AC 连接CF 过点A 作AG∠CF 于G则∠ACF 为等腰三角形∠CG=GF=12CF ∠AGC=90° ∠ACF=∠AFC∠∠A =α 即∠BAC =α又∠BAC=∠ACF+∠AFC∠∠ACF=∠AFC=12∠BAC=12α∠ED 为∠ABC 的“等分周线”∠EB+BD=CD+CA+AE 又BD=CD∠EB=CA+AE=AF+AE=EF∠点E 为BF 的中点∠DE=12CF=CG在Rt∠AGC 中 ∠ACF=12α AC=m∠CG=m·cos 12α∠DE= m·cos 12α；（3）取BC 的中点F 连接EF 则BF=FC∠∠BEC=120°∠∠BEA=60°∠BA∠AC∠在Rt∠ABE 中 ∠ABE=30°∠AE=AB tan60∘=√3√3=1 BE=2AE=2∠EC =√3+1∠AB +AE =√3+1=EC∠BF=FC∠AB+AE+BF=CE+CF∠EF是∠ABC的一条“等分周线”由（2）知EF=AB·cos12∠BAC=√3cos45∘=√62∠BC=2CD∠CD=CF又∠AC平分∠BCD∠∠FCE=∠DCE 又CE=CE∠∠FCE∠∠DCE（SAS）,∠ED=EF=√62．12．解：(1)如图① 延长FD到G 使DG=BE 连结AG．在∠ABE和∠ADG中AB=AD BE=DG ∠B=∠ADG=90°∠∠ABE∠∠ADG ∠AE=AG在∠AEF和∠AGF中AE=AG AF=AF EF=BE+FD=DG+FD=GF ∠∠AEF∠∠AGF ∠∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF∠∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF∠∠EAF=12∠BAD(2)∠EAF=12∠BAD仍然成立．证明：如图② 延长FD到G 使DG=BE 连接AG．∠∠B+∠ADC=180° ∠ADC+∠ADG=180° ∠∠B=∠ADG∠∠ABE∠∠ADG（SAS）．∠AE=AG ∠BAE=∠DAG．又∠EF=BE+DF DG=BE ∠EF=DG+DF=GF．∠∠AEF∠∠AGF（SSS）．∠∠EAF=∠GAF．又∠∠GAF=∠DAG+∠DAF ∠∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD∠∠EAF=1∠BAD2(3)如图③ 连接EF 延长AE BF相交于点C．∠2小时后舰艇甲行驶了120海里舰艇乙行驶了160海里即AE=120 BF=160．而EF=280 ∠在四边形AOBC中有EF=AE+BF又∠OA=OB 且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°∠符合(2)中的条件．∠AOB =70°．又∠∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140° ∠∠EOF=12答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．13．解:定义：∠点M N是线段AB的勾股点∠BN=√AM2+MN2=√5或BN=√MN2−AM2=√3∠BN=√3或√5．（1）如图∠CD ＝DA CE ＝EB∠DE ∠AB∠CG ＝GM CH ＝HN∠DG ＝12AM GH ＝12MN EH ＝12BN ∠BN 2＝MN 2+AM 2∠14BN 2＝14MN 2+14AM 2 ∠（12BN ）2＝（12MN ）2+（12AM ）2∠EH 2＝GH 2+DG 2∠G H 是线段DE 的勾股点．(2)如图所示 连接PD∠AC ＝PC∠∠A ＝∠APC∠∠PCD ＝2∠A∠C D 是线段AB 的勾股点∠AC 2+BD 2＝CD 2∠PC 2+BD 2＝CD 2∠CD 是∠O 的直径∠∠CPD ＝90°∠PC 2+PD 2＝CD 2∠PD＝BD∠∠PDC＝2∠B∠∠A＝2∠B∠∠PDC＝∠A在Rt∠PCD中∠∠PCD+∠PDC＝90°∠2∠A+∠A＝90°解得∠A＝30°则∠B＝12∠A＝15°．（3）∠点P（a b）是反比例函数y＝2x（x＞0）上的动点∠b＝2a．∠直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A B两点∠点B的坐标为（0 2）点A的坐标为（2 0）；当x＝a时y＝﹣x+2＝2﹣a∠点E的坐标为（a2﹣a）；当y＝2a 时有﹣x+2＝2a解得：x＝2﹣2a∠点F的坐标为（2﹣2a 2a ）．∠BF＝√(2−2a −0)2+(2a−2)2＝√2（2﹣2a）EF＝√(2−2a −a)2+[2a−(2−a)]2,＝√2|2﹣a﹣2a| AE＝√(2−a)2+[0−(2−a)]2＝√2（2﹣a）．∠BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+8a2﹣16a＝EF2∠以BF AE EF为边的三角形是一个直角三角形∠E F是线段AB的勾股点．14．解：（1）过点A作AE∠BC于E 过点C作CF∠AD于F．∠AC＝AB∠BE＝CE＝3在Rt∠AEB中AE＝√AB2−BE2=√52−32=4∠CF∠AD∠∠D+∠FCD＝90°∠∠B+∠D＝90°∠∠B＝∠DCF∠∠AEB＝∠CFD＝90°∠∠AEB∠∠DFC∠EB CF =ABCD∠3 CF =54∠CF＝125∠sin∠CAD＝CFAC =1255=1225．（2）如图②中结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM∠DC 使得DM＝DC 连接CM．∠四边形ABCD中AD＝BD AD∠BD∠∠DAB＝∠DBA＝45°∠∠DCM＝∠DMC＝45°∠∠CDM＝∠ADB＝90°∠∠ADC＝∠BDM∠AD＝DB CD＝DM∠∠ADC∠∠BDM（SAS）∠AC＝BM∠2CD2+CB2＝CA2CM2＝DM2+CD2＝2CD2∠CM2+CB2＝BM2∠∠BCM＝90°∠∠DCB＝45°∠∠DAB+∠DCB＝90°∠四边形ABCD是对余四边形．（3）如图③中过点D作DH∠x轴于H．∠A（﹣1 0）B（3 0）C（1 2）∠OA＝1 OB＝3 AB＝4 AC＝BC＝2√2∠AC2+BC2＝AB2∠∠ACB＝90°∠∠CBA＝∠CAB＝45°∠四边形ABCD是对余四边形∠∠ADC+∠ABC＝90°∠∠ADC＝45°∠∠AEC＝90°+∠ABC＝135°∠∠ADC+∠AEC＝180°∠A D C E四点共圆∠∠ACE＝∠ADE∠∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°∠∠EAB＝∠ACE∠∠EAB＝∠ADB∠∠ABE＝∠DBA∠∠ABE∠∠DBA∠BE AB =AEAD∠AE BE =ADAB∠u＝AD4设D（x t）由（2）可知BD2＝2CD2+AD2∠（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2整理得（x+1）2＝4t﹣t2在Rt∠ADH中AD＝√AH2+AD2=√(x+1)2+t2=2√t∠u＝AD4＝√t2（0＜t＜4）即u＝√t2（0＜t＜4）．15．解:（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC ∠ABF=∠CBE BF=BE ∠∠BEC+∠BED=180° ∠CBE+∠ABE=90°∠∠F+∠BED=180°∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°故满足“直等补”四边形的定义∠四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）∠四边形ABCD是“直等补”四边形AB=BC∠∠A+∠BCD=180° ∠ABC=∠D=90°如图2 将∠ABE绕点B顺时针旋转90°得到∠CBF则∠F=∠AEB=90° ∠BCF+∠BCD=180° BF=BE∠D C F共线∠四边形EBFD是正方形∠BE=FD设BE=x 则CF=x-1在Rt∠BFC中BC=5由勾股定理得：x2+(x−1)2=25即x2−x−12=0解得：x=4或x=﹣3(舍去)∠BE=4（3）如图3 延长CD到P 使DP=CD=1 延长CB到T 使TB=BC=5,则NP=NC MT=MC,∠∠MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT当T M N P共线时∠MNC的周长取得最小值PT过P作PH∠BC 交BC延长线于H∠∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,∠∠BCF∠∠PCH,∠BC PC =BFPH=CFCH,即52=4PH=3CH解得：CH=65,PH=85,在Rt∠PHT中TH=5+5+65=565,PT =√PH 2+HT 2=8√2,∠ΔMNC 周长的最小值为8√2．16．（1）①证明：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AB∠CD BC=AD=2∠BE//AC AB∠CE∠四边形ABEC 是平行四边形 BC =2AB∴四边形ABEC 是两倍四边形；②存在 理由如下：当AC=2AB 时 则AC=2∠∠ABC =90° ∠BC =√AC 2−AB 2=√22−12=√3,∠m=AD=BC=√3；当AC=2AD 时 则AC=2m∠m 2+12=(2m)2解得m=√33或m=-√33（舍去）∠m 的值为√3或√33时 四边形ABCD 是两倍四边形；（2）∠四边形ABCD 是两倍四边形 BD 为两倍对角线 AD 为两倍边∠AD=DG∠∠DAG=∠AGD∠四边形ABEC 是两倍四边形 AE 为两倍对角线 AC 为两倍边∠AC=AF∠∠ACF=∠AFC又∠∠DAG=∠ACF∠∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC ∠∠ADG=∠CAF又∠ADBD =12ACAE=12∠AD BD =ACAE∠∠ADB∠∠ACE又∠AB=CE∠相似比为1∠∠ADB∠∠ACE∠AC=AD作DM∠AC于M 如图1设AM=x 则AC=AD=4x在Rt∠ADM中由勾股定理得：DM=√15x在Rt∠DMC中由勾股定理得：CD=2√6x∠CD=AB=1∠ 2√6x=1∠x=√612∠AD=4x=√63即m=√63．17．(1)证明：∠四边形ABCD为圆内接四边形∠∠A+∠C＝180° ∠ABC+∠ADC＝180°.∠BD平分∠ABC∠∠ABD＝∠CBD∠弧AD＝弧CD∠AD＝CD∠四边形ABCD是等补四边形(2)AC平分∠BCD 理由如下：过点A作AE∠BC于E AF∠CD于F则∠AEB＝∠AFD＝90°∠四边形ABCD是等补四边形∠∠ADC+∠B＝180°又∠∠ADC+∠ADF＝180°∠∠B＝∠ADF在∠AFD与∠AEB中{∠ADF=∠B ∠AEB=∠AFD AB=AD∠ΔAFD∠ΔAEB∠AE=AF∠点A一定在∠BCD的平分线上即AC平分∠BCD.(3)连接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝12∠BCD同理∠FAD＝12∠EAD∠∠FCA＝∠FAD.又∠∠F＝∠F∠∠FAD∠∠FCA∠AF DF =CFAF即AF2=DF⋅CF=DF(DF+CF)=2×(2+6)=16∠AF＝418．解：（1）如图连接CD CB 过点C作CM∠AB于M 设∠C的半径为r．∠与y轴相切于点D（0 4）∠CD∠OD∠∠CDO=∠CMO=∠DOM=90°∠四边形ODCM是矩形∠CM=OD=4 CD=OM=r∠B（8 0）∠OB=8 ∠BM=8-r在Rt∠CMB中∠BC2=BM2+CM2∠ r2=42+(8−r)2解得r=5 ∠C （5 4）∠∠C 的标准方程为(x −5)2+(y −4)2=25．（2）连接AC CE ．∠CM∠AB ∠AM=BM=3 ∠A （2 0） B （8 0）∠可设抛物线的解析式为y=a （x -2）（x -8）把D （0 4）代入y=a （x -2）（x -8） 可得a=14 ∠抛物线的解析式为y=14（x -2）（x -8）=14x 2−52x +4=14(x −5)2−94；（3）结论：AE 是∠C 的切线．理由：由（2）可得抛物线的顶点E （5 −94） ∠AE=√(5−2)2+(−94)2=154 CE= 4−(−94)=4+94=254 AC=5∠CE 2=AC 2+AE 2 ∠∠CAE=90° ∠CA∠AE∠AE 是∠C 的切线．19．解：（1）∠P （1 √3）∠P '（﹣1 ﹣√3）∠PP '＝4设C （m n ）∠等边∠PP ′C∠PC ＝P 'C ＝4∠√(m −1)2+(n −√3)2=√(m +1)2+(n +√3)2=4∠m ＝﹣√3n∠（﹣√3n ﹣1）2+（n ﹣√3）2＝16．解得n ＝√3或﹣√3∠m ＝﹣3或m ＝3．如图1 观察点C 位于第四象限 则C （﹣3 √3）．即点P 的“等边对称点”的坐标是（3 √3）．（2）①设P （c 2c ）∠P '（﹣c ﹣2c ）∠PP'＝2√c2+4c2设C（s t）PC＝P'C＝2√c2+4c2∠√(s−c)2+(t−2c )2=√(s+c)2+(t+2c)2=2√c2+4c2∠s＝﹣2tc2∠t2＝3c2∠t＝±√3c∠C（﹣2√3c √3c）或C（2√3c﹣√3c）∠点C在第四象限c＞0∠C（2√3c﹣√3c）令{x=2√3cy=−√3c∠xy＝﹣6 即y＝﹣6x（x＞0）；②当AG为平行四边形的边时G与B重合时为一临界点通过平移可求得C（1 ﹣6）∠y c≤﹣6；当AG为平行四边形的对角线时G与B重合时求得C（3 ﹣2）G与A重合时C（2 ﹣3）此时﹣3＜y c≤﹣2综上所述：y c≤﹣6或﹣3＜y c≤﹣2．20．解:（1）如图① 连接BC∠OC∠O A OD∠OB∠∠AOC＝∠BOD＝90°∠∠AOB＝∠COD∠AB＝CD∠AC＝AC∠∠ABC＝1∠AOC＝45°．2∠BOD＝45°同理∠∠BCD＝12∠∠AEC＝∠ABC＋∠BCD＝90°即AB∠CD∠AB＝CD AB∠CD∠ AB CD是∠O的等垂弦．（2）如图② 若点E在∠O内作OH∠AB垂足为H作OG∠CD垂足为G∠AB CD是∠O的等垂弦∠AB＝CD AB∠CDAB OA＝OD∠AHO＝∠DGO∠AH＝DG＝12∠∠AHO∠∠DGO∠OH＝OG∠矩形OHEG为正方形∠OH＝HE ．∠BE AE ＝13又AH＝BH∠AH＝2BE＝2OH在Rt∠AOH中AO2＝AH2＋OH2．即(2OH)2＋OH2＝AO2＝25解得OH＝√5则AB＝4HE＝4√5；若点E在∠O外同理AH＝√5则AB＝2AH＝2√5．（3）①如图所示弦CD即为所求；②∠AB是∠O的弦∠AB≤2r 即m≤2当点F在圆上时如图所示此时AB=mr CD=mr2AD=2r由勾股定理得(mr)2+(mr2)2=(2r)2解得m=45√5因此当0＜m＜45√5时点F在∠O外；当m＝45√5时点F在∠O上；当45√5＜m≤2时点F在∠O内.。
中考数学备考专题复习： 阅读理解问题(含解析)
中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。
(完整版)中考数学阅读理解题试题练习题
中考数学阅读理解题试题练习题1. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．己知某种加密规则为：明文a 、b 对应的密文为a －2b 、2a ＋b ．例如，明文1、2对应的密文是－3、4．当接收方收到密文是1、7时，解密得到的明文是（ ）．A ．－1，1B ．1，3C ． 3，1D ．1，1 2. 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x =__________．3. 阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个⋅．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即．问题：（1）计算以下各对数的值： ===64log 16log 4log 222 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（2分）()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N M a a 且（4）根据幂的运算法则：m n mna a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论．4. 先阅读下列材料，然后解答问题： 从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)C (1)321nm m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例：从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．5. 式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）.6. 定义：如果一个数的平方等于-1，记为i 2=-1,这个数i 叫做虚数单位。
2025年广西中考数学二轮复习课件：专题9阅读理解题
解得EG＝16. ∵AC∥EG，AB∥CD， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG＝16， ∴AD＝ 22AC＝ 22×16＝8 2，即正方形 ABCD 的边长为 8 2.
【针对训练】
1．(2021·北部湾)【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积 相等吗？为什么？
② 【 解 题 思 路 】 先 计 算 ∠EAF ＝ 90° ， 再 利 用 等 量 代 换 得 出 ∠ABO ＝ 2∠AEF，最后分四种情形分别求解即可．
【解答】∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF， ∴∠EAF＝∠EAO＋∠OAF＝90°， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°. 又 ∵OE平 分 ∠BOQ， ∴∠EOQ＝ ∠AEF＋ ∠EAO＝ 45°① ，∠BOQ＝ ∠ABO＋∠BAO＝90° ②， ①×2－②，得∠ABO＝2∠AEF. ∵△AEF为3倍角三角形，∴分四种情况：
③ 【解题思路】分别延长EF，DC相交于点G，证明△EDF∽△EGD，可求 出EG的长，再证明四边形AEGC为平行四边形，可得到AC＝EG，根据正 方形的性质即可求解．
【解答】如答图，分别延长EF，DC相交于点G. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，AC＝ 2 AD，AB∥CD. ∵EF∥AC，∴∠EGD＝∠ACD＝45°. ∵∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠EGD. ∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD， ∴EEDF＝EEDG，即192＝E1G2 ，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
③
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中， AB＝AC，
∠BAD＝∠CAE， AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE.
中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷(附带参考答案)
中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷（附带参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．请阅读下列材料 并完成相应的任务：斯库顿定理：如图1．在ABC 中 AD 为BAC ∠的平分线 则2··AD BD DC AB AC +=．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2O 是ABC 的外接圆 延长AD 交O 于点E 连接BE ．∵AD 为BAC ∠的平分线 ∵BAE DAC ∠=∠．∵E C ∠=∠ （依据∵__________________________） ABE ADC ∴△∽△．（依据∵_________________________） AB ADAE AC∴= AD AE AB AC ∴⋅=⋅又AE AD DE =+()AD AD DE AB AC ∴⋅+=⋅．2AD AD DE AB AC ∴+⋅=⋅．……任务：（1）证明过程中的依据是：∵__________________________________． ∵__________________________________． （2）将证明过程补充完整：（3）如图3．在圆内接四边形ACEB 中 对角线AE BC 相交于点D ．若BE CE = 4AC =6AB=2BD=请利用斯库顿定理直接写出线段AE的长．CD=32．如图1 正五边形ABCDE内接于∵O阅读以下作图过程并回答下列问题作法：如图2 ∵作直径AF∵以F为圆心FO为半径作圆弧与∵O交于点M N∵连接AM MN NA．,,∠的度数．(1)求ABC(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始以DN长为半径在∵O上依次截取点再依次连接这些分点得到正n边形求n的值．3．阅读与应用请阅读下列材料完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者著名的天文学家地理学家占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1 四边形ABCD 内接于O ．求证：AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．证明：如图2 作BAE CAD ∠=∠交BD 于点E ．∵AD AD = ∵ABE ACD ∠=∠．（依据） ∵ABE ACD ∽△△．∵AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …∵ABC AED ∽△△． ∵AC BCAD ED=．∵AD BC AC ED ⋅=⋅． ∵AB DC AC BE ⋅=⋅∵()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ∵AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______ (2)补全证明过程(3)如图3 O的内接五边形ABCDE的边长都为2 求对角线BD的长．4．阅读与思考请阅读下列材料,并按要求完成相应的任务．阿基米德是伟大的古希腊数学家哲学家物理学家他与牛顿高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理其中第三个引⊥于点C点D在弦AB上且理是：如图1 AB是O的弦点P在O上PC AB=．小明思考后给出如=在PB上取一点Q使PQ PAAC CD=连接BQ则BQ BD下证明：任务：(1)写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________(2)请你将小明的证明过程补充完整(3)小亮想到了不同的证明方法：如图3 连接AP PD PQ DQ ．请你按照小亮的证明思路 写出证明过程．5．阅读资料：我们把顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 如图1中CBD ∠即为弦切角．同学们研究发现：A 为圆上任意一点 当弦AB 经过圆心O 且DB 切O 于点B 时 易证：弦切角CBD A ∠=∠．问题拓展：如图2 点A 是优弧BC 上任意一点 DB 切O 于点B 求证：CBD A ∠=∠． 证明：连接BO 并延长交O 于点A ' 连接A C ' 如图2所示． ∵DB 与O 相切于点B ∵A BD ∠'=________ ∵90A BC CBD ∠'+∠=︒． ∵A B '是直径∵90ACB ∠'=︒_____________（依据）． ∵90A A BC ∠'+∠'=︒．∵CBD A ∠=∠'________________（依据）．又∵A A ∠'=∠________________（依据） ∵CBD A ∠=∠．(1)将上述证明过程及依据补充完整．(2)如图3 ABC 的顶点C 在O 上 AC 和O 相交于点D 且AB 是O 的切线 切点为B 连接BD ．若2,6,3AD CD BD === 求BC 的长．6．阅读：如图1所示 四边形ABCD 是∵O 的内接四边形 连接AC BD ．BC 是∵O 的直径 AB ＝AC ．请说明线段AD BD CD 之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程 请补充完整：+CD ＝BD ．理由如下：∵BC 是∵O 的直径 ∵∵BAC ＝90°． ∵AB ＝AC ∵∵ABC ＝∵ACB ＝45°．如图2所示 过点A 作AM ∵AD 交BD 于点M …(1)补全王林的解答过程(2)如图3所示 四边形ABCD 中∵ABC ＝30° 连接AC BD ．若∵BAC ＝∵BDC ＝90° 直接写出线段AD BD CD 之间的关系式是 ． 7．阅读下列材料 并按要求完成相应的任务． 黄金三角形与五角星当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时 我们把这样的三角形叫做黄金三角形． 按下面的步骤画一个五角星（如图）：∵作一个以AB 为直径的圆 圆心为O ∵过圆心O 作半径OC ∵AB ∵取OC 的中点D 连接AD∵以D 为圆心OD 为半径画弧交AD 于点E ∵从点A 开始以AE 为半径顺时针依次画弧正好把∵O 十等分（其中点F G B H I 为五等分点） ∵以点F G B H I 为顶点画出五角星． 任务： (1)求出AEOA的值为 (2)如图 GH 与BF BI 分别交于点M N 求证：△BMN 是黄金三角形． 8．阅读下面材料 并按要求完成相应的任务．阿基米德是古希腊的数学家 物理学家．在《阿基米德全集》里 他关于圆的引理的论证如下：命题：设AB 是一个半圆的直径 并且过点B 的切线与过该半圆上的任意一点D 的切线交于点T 如果作DE 垂直AB 于点E 且与AT 交于点F 则DF EF =． 证明：如图1 延长AD 与BT 交于点H 连接OD OT ． ∵DT BT 与半圆O 相切 ∵……∵ ∵BT DT =． ∵AB 是半圆O 的直径 ∵90ADB ︒∠=．∵在BDH △中 由BT DT = 可得TDB TBD ∠=∠ ∵H TDH ∠=∠．∵BT DT HT ==． 又∵//DE BH ∵DF AFHT AT = EF AF BT AT=∵EF DFBT HT=． 又∵BT HT = ∵DF EF =任务：(1)请将∵处的证明过程补充完整． (2)证明过程中∵的证明依据是 ．(3)如图2 AB 为∵O 的直径 ∵BED 是等边三角形 BE 是∵O 的切线 切点是B 点D 在∵O 上 CD ∵AB 垂足为C 连接AE 交CD 于点F ．若∵O 的半径为2 求CF 的长． 9．阅读材料 某个学习小组成员发现：在等腰ABC 中 AD 平分BAC ∠ ∵AB AC =BD CD = ∵AB BDAC CD= 他们猜想：在任意ABC 中 一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示 在ABC 中 AD 平分BAC ∠ 求证：AB BDAC CD=． 丹丹认为 可以通过构造相似三角形的方法来证明△和ACD面积的角度来证明．思思认为可以通过比较ABD(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图2O是Rt ABC的外接圆点E是O上一点（与B不重合且=连结AE并延长AE BC交于点D H为AE的中点连结BH交AC于点G求AB AEHG的值．GB(3)【拓展提高】如图3在（2）的条件下延长BH交O于点F若BE EF=求=GH xO的直径（用x的代数式表示）．10．请阅读下面材料并完成相应的任务阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes 公元前287—公元前212年古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1 AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）>M是ABC的中点则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点即BC ABCD AB BD=+．=+的部分证明过程．这个定理有很多证明方法下面是运用“垂线法”证明CD AB BD证明：如图2 过点M作MH⊥射线AB垂足为点H连接MA MB MC．∵M 是ABC 的中点 ∵MA MC =． … 任务：（1）请按照上面的证明思路 写出该证明的剩余部分（2）如图3 已知等边三角形ABC 内接于O D 为AC 上一点 15ABD ∠=︒ CE BD ⊥于点E 2CE = 连接AD 则DAB 的周长是______．11．阅读与思考请阅读下列材料 并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2 正五边形ABCDE 内接于∵O AB ＝2 求对角线BD 的长．12．阅读下列材料 完成相应任务：如图∵ ABC 是∵O 的内接三角形 AB 是∵O 的直径AD 平分BAC ∠交∵O 于点D 连接BD 过点D 作∵O 的切线 交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图∵ 连接DO AB 是∵O 的直径 90ADB ∴∠=︒ODA ∴∠+∵________90=︒．（1） DE 为∵O 的切线 90ODE ∴∠=︒90ODB BDE ∴∠+∠=︒ （2）由（1）（2）得 ∵________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠CAD ∴∠=∵________CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路 补全证明过程：∵________ ∵________ ∵________ （2）若5,2OA BE == 求DE 的长．13．阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1 y 1） P 2（x 2 y 2）之间的距离表示为()()22121212PP x x y y =-+- 称为平面内两点间的距离公式 根据该公式 如图 设P （x y ）是圆心坐标为C （a b ）半径为r 的圆上任意一点 则点P ()()22x a y b r -+-= 变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2 我们称其为圆心为C （a b ） 半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1 2） 半径为5．根据上述材料 结合你所学的知识 完成下列各题．（1）圆心为C （3 4） 半径为2的圆的标准方程为：（2）若已知∵C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22 圆心为C 请判断点A （3 ﹣1）与∵C的位置关系．14．阅读以下材料 并按要求完成相应的任务：几何定论 是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长 定角 定比 定积等） 或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点 定线 定方向等）如图∵ 点A 为O 外一点 过点A 为O 作直线与O 相交于点B C 点B '为点B 关于OA 的对称点 连接B C '交OA 于点M 设O 的半径为R ．如图∵ 当过点A 的直线与O 相切时 点B C 重合 可得2R OA OM =⋅．如图∵ 当过点A 的直线与O 相交时 证明2R OA OM =⋅．证明：如图∵ 连接OC CD ．∵B ' B 关于OA 对称∵BD BD '=．∵∵1＝∵2 .（依据）…任务：（1）上述证明过程中的依据是____________________（2）根据以上的证明提示 完成上述证明过程（3）如图∵ 若5OA = 1OM = 求O 的半径．15．阅读下列相关材料 并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家 天文学家他编著了《婆罗摩修正体系》 他曾经提出了“婆罗摩笈多定理” 也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直 则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证 并完成这个定理的证明过程已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2） 在O 中 弦AB CD ⊥于M 连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点 EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H 当M 是AB 中点时 直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．参考答案：1．解：（1）∵同弧或等弧所对的圆周角相等∵E ∠和C ∠所对的弧是同一条弧∵∵应填：同弧或等弧所对的圆周角相等∵两角分别相等的两个三角形相似∵题目中的结论是两个三角形相似 用的方式是三角形的两个角分别相等∵∵应填两角分别相等的两个三角形相似（2）∵BDE ADC ∠=∠ E C ∠=∠.BDE ADC ∽△∴△.BD DE AD DC∴= AD DE BD DC ∴⋅=⋅2AD BD DC AB AC ∴+⋅=⋅（3）42AE =∵BE CE =.∵弧BE =弧CE∵BAE CAE ∠=∠∵AE 平分BAC ∠.由斯库顿定理 得2AD BD DC AB AC +⋅=⋅又∵4AC = 6AB = 2CD = 3BD =∵23264AD +⨯=⨯.解得=AD AD =-。
中考数学阅读题训练精选(2)
中考数学阅读题训练精选（2）1．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6（1）直接写出：线段AB的长度，线段AB的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+2|+|x﹣6|有最小值是，|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（3）点C在数轴上对应的数为10，动点P从原点出发在数轴上运动，若存在某个位置，使得P A+PB＝PC，则称点P是关于点A，B，C的“石室幸运点”，请问在数轴上是否存在“石室幸运点”？若存在，请直接写出所有“石室幸运点”．2．北师大版初中数学教科书七年级下册第126页告诉我们利用尺规作已知角的平分线的方法．请根据提供的材料完成以下问题：例2利用尺规，作∠AOB的平分线（图5﹣18）．已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．做法：1．在OA和OB上分别截取OD，OE使OD＝OE．2．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．3．作射线OC．OC就是∠AOB的平分线（图5﹣19）（1）连接EC，DC，可以说明△OCE≌△OCD的依据是（填序号）．①ASA；②AAS；③SSS；④SAS．（2）求证：OC平分∠BOA．3．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE 满足的数量关系为．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为．4．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ＝2；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段MN的长．5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．【问题情境】数轴上三点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中A在原点左侧，距原点4个单位，b是最大的负整数，C在原点右侧，且AC＝9．如图②，动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，与此同时，过点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，一只电子狗Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时向为t秒（t＞0）．【问题探究】（1）a＝，b＝，c＝；（2）在运动过程中，4MN+aMQ的值不随t的变化而变化，请求出a的值；（3）如果在C处竖立一块挡板，当电子狗Q到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动．问：当t为何值时，电子狗Q到M，N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置．6．阅读理解：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m、k为常数），则x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，其中m＝1，k＝2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m、k的值；（2）已知在初中数学学习中，一个数的平方总是非负数，请问﹣x2+8x﹣17有最小值或者最大值吗？有的话，请说明是最小值还是最大值，并求出这个值，以及此时x的取值．7．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．8．综合探究【背景知识】数轴是初中数学的一个重要⼯具，利⼯数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b （b＞a），则线段AB的⼯（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．请⼯上⼯材料中的知识解答下⼯的问题：【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位⼯度到达点A，再向右移动3个单位⼯度到达点B，然后再向右移动5个单位⼯度到达点C．（1）【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置；（2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位⼯度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位⼯度、每秒3个单位⼯度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）．①A，B两点间的距离AB＝，AC＝；②若点D、E分别是线段AB，BC的中点，求线段DE的长；③⼯含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为．9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；（2）当t为何值时，？（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式﹣x3+8x2+ax2+24x ﹣2bx+3不含x2项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M 的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）直接写出OA＝；OB＝；（2）①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为；点N表示的数为．②当t为何值时，恰好有AN＝2AM？（3）若点P为线段AM的中点，Q为线段BN的中点，M、N在运动的过程中，PQ+MN 的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，PQ+MN有最小值，最小值是多少？11．图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．（1）轴对称：将正方形纸片ABCD折叠，使边AD、AB都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1，求∠EAF的大小；（2）旋转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点H、G，连接GH，如图2，则线段BH、GH．DG之间存在的数量关系为，并证明你的结论；（3）计算：在图2中，连接正方形对角线BD，若∠GAH的两边AH、AG分别交对角线BD于点M、点N．如图3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面积．12．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可化简为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数；（2）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（3）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．13．阅读下列材料：材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x+2＝t，则x＝t﹣2．∴原式＝＝t﹣7+∴＝x﹣5+材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵+＝（）2+（）2＝（﹣）2+2∴当＝，即a＝b时，+有最小值2．根据以上阅读材料回答下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为；（2）已知分式的值为整数，求整数x的值；（3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．14．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：已知：如图，∠4，∠5，∠6是△ABC的三个外角．求证：∠4+∠5+∠6＝360°．（1）该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整：证法1：∵∠4是△ABC的一个外角，∴．同理，∠5＝∠1+∠3．∠6＝∠1+∠2．∴∠4+∠5+∠6＝2（∠1+∠2+∠3）．∵．∴∠4+∠5+∠6＝2×180°＝360°（2）事实上，还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来．15．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是；（2）一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是；（3）数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为；（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．（4）若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示的点重合；（5）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为；（6）在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点折叠后重合，折痕与数轴交于M点；将点P与点M折叠后重合，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为．。
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中考专题阅读理解题
1．（8分）阅读以下材料并填空．
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
⑴分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线；……
⑵归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数
n
S，发现：
⑶推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B 有（n－l）种取法，所以一共可连成n（n－1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故
应除以2，即
()
2
1
-
=
n
n
S
n。
⑷结论：
()
2
1
-
=
n
n
S
n
．
试探究以下问题：
平面上有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
⑴分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形；……
⑵归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数
n
S，发现：
⑶推理：
；
⑷结论：；
2（广西）（本题满分11分）阅读下列材料：
十六大提出全面建设小康社会．国际上常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：%100
⨯=消费支出总额
食品消费支出总额n
根据上述材料，解答下列问题：
某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元．1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．
（1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？
（2）设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （m 为正整数）．请用m 的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数m n ，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数（百分号前保留整数）．
（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进人小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进人小康社会的目标？
3（茂名）王老师要求学生进行编题。
解题训练，其中小聪同学编的练习题是：
设k ＝3，方程032=+-k x x 的两个实数根是1x ,2x ，求
2
112x x x x +的值． 小明同学对这道题的解答过程是：
解：∵ k ＝3 ∴ 已知方程是0332=+-x x ，
又∵ 1x +2x =3，1x •2x =3，
∴ 2112x x x x +=()13693323222121221212122=-=⨯-=⋅-+=⋅+x x x x x x x x x x
即 2112x x x x +=1。
（1）请你针对以上的练习题和解答的正误作出判断，再简述理由；（4分）
（2）请你只对小聪同学所编的练习题中的k 另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求
2
121x x x x ⋅+的值（5分） 解：
4（青岛）在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全．腾飞中学初三（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高．如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n 与通电话次数s 间的关系用下列模型来表示：
⑴ 若把n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；
⑵ 根据日中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式；
⑶ 根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电
话．
5（烟台）阅读下面材料，再回答问题：
一般地，如果函数y ＝f （x ）对于自变量取值范围内的任意x ，都有f （－x ）＝－f （x ），那么y ＝f （x ）就叫做奇函数；如果函数y ＝f （x ）对于自变量取值范围内的任意x ，都有f （－x ）＝f （x ），那么y ＝f （x ）就叫做偶函数．
例如：x x x f +=3)(
当x 取任意实数时，)()()()(333x x x x x x x f +-=--=-+-=
即f （－x ）＝－f （x ）
所以)()(x f x f -=-为奇函数
又如f （x ）＝x 当x 取任意实数时，)()(x f x x x f ==-=-
即f （－x ）＝f （x ）
所以f （x ）＝x 是偶函数
问题（1）：下列函数中
①4x y = ②12+=x y ③3
1x y = ④1+=x y ⑤x x y 1+= 所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序号）． 问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．
6（随州）课本上有这样一题：已知，如图（1），O 点在△ABC 内部，连AO 、BO 、CO ，A ’、
B ’、
C ’分别在AO 、BO 、CO 上，且AB ∥A ’B ’、BC ∥B ’C ’．
求证：△OAC ∽△OA ’C ’．若将这题图中的O 点移至△ABC 外，如图（2），其它条件不变，题中要求证的结论成立吗？
（1）在图（2）基础上画出相应的图形，观察并回答： （填成立或不成立）．
（2）证明你（1）中观察到的结论．
图1 图2。