第7课 弹簧模型(动量守恒定律应用)

例：如图所示，A，B，C三个木块的质量 均为m。置于光滑的水平面上，B，C之间 有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而 不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细 线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于 B，C可视为一个整体，现A以初速v0沿B， C的连线方向朝B运动，与B相碰并黏合在 一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从 而使C与A，B分离，已知C离开弹簧后的速 度恰为v0，求弹簧释放的势能。
选修3－5 动量 近代物理初步
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第一讲 动量 动量守恒定律
第7课 弹簧模型
水平面光滑，弹簧开始时处于原长
（1）何时两物体相距最近，即弹簧最短
N
v
N
F弹
G G
F弹
两物体速度相等时弹簧最短，且损失的动能 转化为弹性势能 （2）何时两物体相距最远，即弹簧最长
v
两物体速度相等时弹簧最长，且损失的动能转 化为弹性势能 选修3－5 动量 近代物理初步
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解析
(i)从 A 压缩弹簧到 A 与 B 具有相同速度 v1
时，对 A、B 与弹簧组成的系统，由动量守恒定律 得 mv0＝2mv1① 此时 B 与 C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后它们 的瞬时速度为 v2，损失的机械能为 ΔE，对 B、C 组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得 1 1 2 2 mv1＝2mv2② m v ＝ Δ E ＋ × (2 m ) v 1 2 ③ 2 2 1 2 联立①②③式得 ΔE＝16mv0 ④
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[审题指导] 第一步：抓关键点
关键点 光滑的水平面
获取信息 A，B，C组成的系统动量守恒
B，C可视为一个整体
Fra Baidu bibliotek
A与B碰后，A，B，C三者速度相同
A与B相碰并黏合在一起 弹簧伸展以后，A，B的速度也相同
第二步：找突破口 要求弹簧释放的势能→A，B，C系统增加的机械能→利用 动量守恒定律确定A，B，C在弹簧伸展前的速度→利用动量守 恒定律确定A，B，C在弹簧伸展后的速度。
弹簧弹力联系的“两体模型”
注意：状态的把握
由于弹簧的弹力随形变量变化，所以弹簧
弹力联系的“两体模型”一般都是作加速度变
化的复杂运动，所以通常需要用“动量关系”
和“能量关系”分析求解。复杂的运动过程不
容易明确，特殊的状态必须把握：弹簧最长
（短）时两体的速度相同；弹簧自由时两体的
速度最大（小）。
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复习巩固 如图所示,木块A的质量mA=1kg,足够长的木板 B的质量mB=4kg,质量为mC=2kg的木块C置于木 板B上,水平面光滑,B、C之间有摩擦。现使A 以 v0=10m/s 的初速度向右匀速运动 , 与 B 碰撞 后将以vA′=2m/s的速度弹回。求: (1)B运动过程中的最大速度。 (2) 若 B 、 C 间的动摩擦因数为 0.6 ，则 C在B 上 滑动的距离。
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当堂检测 （10分）如图所示，质量为M、长为L的木 板放置于光滑水平地面上，其右端固定一轻 质弹簧。质量为m的物块从木板左端以速度 v0滑入木板，物块将弹簧压缩至最短后弹簧 又将物块弹回，最终物块恰好回到木板左 端，与木板保持相对静止共同运动。不计物 块尺寸和弹簧长度，求运动过程中弹簧的最 大弹性势能及物块与木板之间的动摩擦因 数。
1 1 2 （mA+mB）v0 +Ep= mBvB2 2 2
mA (mA mB ) 2mB
②
v02
③
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2.光滑水平面上放着质量mA=1 kg的物块 A与质量 mB=2 kg 的物块 B,A 与 B 均可视为质点 , A 靠在竖直 墙壁上, A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与 A 、 B 均不拴接 ） , 用手挡住 B 不动 , 此时弹 簧弹性势能Ep= 49 J. 在A、B间系一轻质细绳,细 绳长度大于弹簧的自然长度 , 如图所示 . 放手后 B 向右运动,绳在短暂时间内被拉 断,之后B冲上与水平面相切的 竖直半圆光滑轨道,其半径 R =0.5 m, B恰能到达最 高点C.取g=10 m/s2,求:（1）绳拉断后瞬间B的速 度vB的大小. （2）绳拉断过程绳对B的冲量I的大 小. （3）绳拉断过程绳对A所做的功W.
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【规律总结】
含有弹簧的碰撞问题，在碰撞过程 中系统的机械能也不一定守恒，如本例 中，弹簧压缩之前，B 与 C 碰撞的过程 为完全非弹性碰撞，但在碰撞结束后， 弹簧压缩的过程中，系统的动量和机械 能均守恒。
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（1）(5分）（填正确答案标号。选对1个得 2 分，选对 2 个得 4 分，选对 3 个得 5 分；每选 错1个扣3分，最低得分为0分）。 A.原子核的结合能越大，该原子核越稳定 B.原子核的核子数越多，该原子核的比结 合能越大 C.光电效应现象说明了光具有粒子性 D.玻尔理论的局限性在于过多地保留了经 典电磁理论 E.爱因斯坦为解释光电效应现象，提出了 光的光子说
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例：如图所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑 水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自 由端 C 到滑板左端的距离 L=0.5m ，这段滑板与木 块 A 之间的动摩擦因数＝ 0.2 ，而弹簧自由端 C 到 弹簧固定端 D 所对应的滑板上表面光滑．可视为 质点的小木块 A 以速度 v0=10m/s ，由滑板 B 左端开 始沿滑板B表面向右运动．已知A的质量m =lkg， g 取10m/s2 。 求：（ 1 ）弹簧被压缩到最短时木块 A 的速度； （ 2 ）木块 A 压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势 能．
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解析 设弹簧第一次恢复自然长度时B 的速度为vB ,以A、B及弹簧组成的系统为研 究对象 , 系统在水平方向上所受合外力为零 （ 弹 簧 对 A 、 B 的 相 互 作 用力 为 系统 的 内 力）,故系统动量守恒,机械能守恒,有 （mA+mB）v0=mBvB ①
由①②解出Ep=
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解析 （ 1 ）设 B 在绳被拉断后瞬间的速度为 vB, vc 2 到达C点时的速度为vC,有mBg=mB R 1 1 mBvB2= 2 mBvC2+2mBgR 代入数据得vB=5 m/s 2 （ 2 ）设弹簧恢复到自然长度时 B 的速度为 v1, 取 1 水平向右为正方向,有Ep= 2 mBv12 I=mBvB-mBv1 代入数据得I=-4 N·s,其大小为4 N·s （ 3 ）设绳断后 A 的速度为 vA, 取水平向右为正方 1 向,有mBv1=mBvB+mAvA W= 2 mAvA2 代入数据得W=8 J 答案 （1）5 m/s （2）4 N·s （2）8 J
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[解析] 设碰后 A、B 和 C 的共同速度大小为 v，由动量守 恒有 mv0＝3mv ①
设 C 离开弹簧时，A、B 的速度大小为 v1，由动量守恒有 3mv＝2mv1＋mv0 ②
设弹簧的弹性势能为 Ep，从细线断开到 C 与弹簧分开的过 程中机械能守恒，有 1 1 1 2 2 (3m )v ＋Ep＝ (2m )v1 ＋ mv0 2 2 2 2 ③
1 由①②③式得弹簧所释放的势能为 Ep＝ mv0 2 3
[答案]
1 mv0 2 3
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1.如图所示,光滑轨道上,小车A、B用轻弹簧 连接 , 将弹簧压缩后用细绳系在 A 、 B 上 , 然 后使A、B以速度v0沿轨道向右运动,运动中 细绳突然断开, 当弹簧第一次恢复到自然长 度时, A的速度刚好为0 ,已知A、B的质量分 别为mA、mB,且mA<mB ,求:被压缩的弹簧 具有的弹性势能Ep.
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(ii)由②式可知 v2＜v1， A 将继续压缩弹簧， 直至 A、 B、 C 三者速度相同， 设此速度为 v3， 此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为 Ep， 由动量守恒定律和能量守恒定律得 mv0＝3mv3⑤ 1 1 2 2 mv0 －ΔE＝ ×(3m)v3 ＋Ep⑥ 2 2 13 2 联立④⑤⑥式得 Ep＝ mv0 48
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12. (2013· 新课标Ⅱ· 35(2))如图，光滑水平 直轨道上有三个质量均为 m的物块A、 B、 C.B 的左侧固定一轻弹簧 ( 弹簧左侧的挡板 质量不计 ). 设 A 以速度 v0 朝 B 运动，压缩弹 簧；当 A 、 B 速度相等时， B 与 C 恰好相碰 并粘接在一起，然后继续运动.假设B和C碰 撞过程时间极短 . 求从 A 开始压缩弹簧直至 与弹簧分离的过程中， (i)整个系统损失的 机械能； (ii) 弹簧被压缩到最短时的弹性 势能.