最新-高中数学《函数的表示法》同步练习1 北师大版必

函数的表示方法一、选择题1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线y ＝f(x)(实线表示),另一种是平均价格曲线y ＝g(x)(虚线表示)〔如f(2)＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g(2)＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是( )解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为C. 答案:C2.定义运算⎩⎨⎧⊗⊗ b.>a b,b,≤a a,=b a : 设F(x)＝f(x)⊗g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R ,则F(x)的值域为( ) A.［-1,1］ B.]1,22[-C.]22,1[-D. ]22,1[-- 解析:由已知得⎩⎨⎧>≤=⊗=,cos sin ,cos ,cos sin ,sin cos sin )(x x x x x x x x x F即F(x)＝Z k k k x x k k x x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++∈++-∈],245,24[,cos ],24,243[,sin ππππππππ F(x)＝sinx, 当]24,243[ππππk k x ++-∈,k ∈Z 时,F(x)∈［-1,22］; F(x)＝cosx,当)245,24(ππππk k x ++∈,k∈Z 时,F(x)∈(-1,22),故选C. 答案:C3.已知⎩⎨⎧>+-≤=,0,1)1(,0,cos )(x x f x x x f π则)34()34(-+f f 的值为( )A.-2B.-1C.1D.2 解析:∵⎩⎨⎧>+-≤=,0,1)1(,0,cos )(x x f x x x f π∴11)131(1)134()34(++-=+-=f f f 2)32(+-=f,232212)32cos(=+-=+-=π21)34cos()34(-=-=-πf ,∴1)34()34(=-+f f .故选C. 答案:C4.函数f(x+1)为偶函数,且x ＜1时,f(x)＝x 2+1,则x ＞1时,f(x)的解析式为( )A.f(x)＝x 2-4x+4B.f(x)＝x 2-4x+5C.f(x)＝x 2-4x-5D.f(x)＝x 2+4x+5 解析:因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)＝f(x+1),即f(x)＝f(2-x).当x ＞1时,2-x ＜1,此时,f(2-x)＝(2-x)2+1,即f(x)＝x 2-4x+5. 答案:B 5.函数)1(·||)(>=a a x x x f x的图象的大致形状是( )解析:该函数为一个分段函数,即为⎪⎩⎪⎨⎧<->=>=,0,,0,)1(||)(x a x a a a x x x f x x x 当x ＞0时函数f(x)＝a x 的图象单调递增;当x ＜0时,函数f(x)＝-a x的图象单调递减.故选B.答案:B6.如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的的长为l,弦AP 的长为d,则函数d ＝f(l)的图象大致是( )解析:函数在［0,π］上的解析式为2sin 22sin 4cos 22cos 11211222l l l l d ==-=⨯⨯⨯-+=. 在［π,2π］上的解析式为2sin2)2cos(22ll d =--=π, 故函数d ＝f(l)的解析式为2sin 2ld =,l∈［0,2π］. 答案:C 二、填空题7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-,0,,01),sin()(12x e x x x f x π若f(1)+f(a)＝2,则a 的所有可能的值是__________.解析:由已知可得,①当a ≥0时,有e 0+e a-1＝1+e a-1＝2,∴e a-1＝1.∴a -1＝0.∴a＝1.②当-1＜a＜0时,有1+sin(a 2π)＝2,∴sin(a 2π)＝1. ∴)(2122Z k k a ∈+=. 又-1＜a ＜0,∴0＜a 2＜1, ∴当k ＝0时,有212=a ,∴22-=a . 综上可知,a ＝1或22-. 答案:1或22-8.用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_________.解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为xm,则宽为(x 213-)m, ∴),60(321)213(2<<+-=-=x x x x x S 解得当x ＝3时,29max =S .∴长为3m,宽为1.5m. 答案:3m,1.5m9.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t ＝0时,点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d ＝________,其中t∈［0,60］.解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是30602t t ππ=弧度,因此当t∈(0,30)时,30tAOB π=∠,由余弦定理,得30cos55255222td π⨯⨯-+=60sin 100)30cos1(502ttππ=-=,60sin 10t d π=;当t∈(30,60)时,在△AOB 中,302tAOB ππ-=∠,由余弦定理,得60sin 100)30cos 1(50)302cos(552552222t t t d ππππ=-=-⨯⨯-+=,60sin 10td π=,且当t ＝0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足60sin 10td π=.综上所述, 60sin 10td π=,其中t∈［0,60］.答案: 60sin 10tπ三、解答题10.已知定义域为R 的函数f(x)满足f ［f(x)-x 2+x ］＝f(x)-x 2+x. (1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a);(2)设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)＝x 0,求函数f(x)的解析表达式. 解:(1)因为对任意x∈R ,有f ［f(x)-x 2+x ］＝f(x)-x 2+x,所以f ［f(2)-22+2］＝f(2)-22+2.又由f(2)＝3,得f(3-22+2)＝3-22+2,即f(1)＝1. 若f(0)＝a,则f(a-18+0)＝a-18+0,即f(a)＝a(2)因为对任意x∈R ,有f ［f(x)-x 2+x ］＝f(x)-x 2+x, 又因为有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)＝x 0,所以对任意x∈R ,有f(x)-x 2+x ＝x 0. 在上式中令x ＝x 0,有f(x 0)-x 18+x 0＝x 0, 又因为f(x 0)＝x 0,所以x 0-x 18＝0. 故x 0＝0或x 0＝1.若x 0＝0,则f(x)-x 2+x ＝0,即f(x)＝x 2-x.但方程x 2-x ＝x 有两个不同实根,与题设条件矛盾, 故x 0≠0.若x 0＝1,则有f(x)-x 2+x ＝1,即f(x)＝x 2-x+1. 易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数为f(x)＝x 2-x+1(x∈R ).11.对定义域分别是D f 、D g 的函数y ＝f(x)、y ＝g(x),规定:函数h(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧∙),(),(),()(x g x f x g x f .,,gfg f g f D x D x D x D x D x D x ∈∉∉∈∈∈且且且. (1)若函数11)(-=x x f ,g(x)＝x 2,写出函数h(x)的解析式; (2)求(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常数,且α∈［0,π］,请设计一个定义域为R 的函数y ＝f(x)及一个α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以证明.解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+∞-∞∈-=.1,1),,1()1,(,1)(2x x x x x h(2)当x≠1时,21111)(2+-+-=-=x x x x x h , 若x ＞1,则h(x)≥4,当x ＝2时等号成立;若x ＜1,则h(x)≤0,当x ＝0时等号成立.∴函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞). (3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x,4πα=,则)4(2cos )4(2sin )()(ππα+++=+=x x x f x g ＝cos2x-sin2x,于是h(x)＝f(x)·f(x+α)＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x. 解法二:令x x f 2sin 21)(+=,2πα=,则x x x f x g 2sin 21)2(2sin 21)()(-=++=+=πα,于是h(x)＝f(x)·f(x+α)＝(x 2sin 21+)(x 2sin 21-)＝1-2sin 22x ＝cos4x.12.设函数f(x)＝|x 2-4x-5|.(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图象;(2)设集合A ＝{x|f(x)≥5},B ＝(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明;(3)当k ＞2时,求证:在区间［-1,5］上,y ＝kx+3k 的图象位于函数f(x)图象的上方. 解:(1)(2)BA.证明如下:方程f(x)＝5的解分别是142-,0,4和142+,由于f(x)在(-∞,-1］和［2,5］上单调递减,在［-1,2］和［5,+∞)上单调递增,因此,A ＝(-∞,142-)∪［0,4］∪［142+,+∞), 由于142+＜6,142-＞-2,∴B A.(3)证明:当x∈［-1,5］时,f(x)＝-x 2+4x+5,g(x)＝k(x+3)-(-x 2+4x+5) ＝x 2+(k-4)x+(3k-5)＝43620)24(22+----k k k x . ∵k＞2, ∴124<-k. 又-1≤x ≤5, ①当1241<-≤-k,即2＜k ≤6时, 取24k x -=,]64)10[(4143620)(22min ---=+--=k k k x g . ∵16≤(k-10)2＜64, ∴(k -10)2-64＜0,则g(x)min ＞0. ②当124-<-k,即k ＞6时,取x ＝-1, g(x) min ＝2k ＞0. 由①②可知,当k ＞2时,g(x)＞0,x∈［-1,5］,因此,在区间［-1,5］上,y ＝k(x+3)的图象位于函数f(x)图象的上方.。