沪教版(上海)九年级数学上学期24.1 放缩与相似形
最新沪科版九年级相似三角形知识点汇总讲义
相似三角形·基本知识讲义知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1.比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2.比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3.比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4.比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5.比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6.第四比例项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7.比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为ab b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质:bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cd a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要内容包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。
本节内容在学生的数学知识体系中起到承上启下的作用，为后续学习相似三角形的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但学生在学习过程中，对于抽象的概念和理论的理解仍有困难，需要通过具体的例子和动手操作来加深理解。
三. 教学目标1.了解相似形的定义和性质，能判断两个图形是否相似。
2.掌握相似形的判定方法，能运用相似形解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.相似形的定义和性质的理解。
2.相似形的判定方法的掌握。
3.相似形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似形的定义和性质。
2.利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，增强学生的直观感受。
3.通过例题和练习题，巩固学生对相似形的理解和应用。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和几何画板软件。
2.准备相关的例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的相似图形，如眼镜、放大镜等，引导学生思考：这些图形有什么共同特点？从而引出相似形的概念。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，让学生直观地感受相似形的性质。
同时，引导学生总结相似形的性质，如对应边的比例关系、对应角的相等关系等。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和操作，判断给出的图形是否相似。
在此过程中，引导学生运用相似形的性质进行判断，并总结相似形的判定方法。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用相似形的相关知识。
如：已知一个矩形的长和宽，如何求其放大或缩小后的矩形的面积？5.拓展（5分钟）引导学生思考：相似形在现实生活中的应用有哪些？如何利用相似形解决实际问题？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的主要内容和知识点，形成知识体系。
2019-2020学年沪教版(上海)九年级数学上学期24.1 放缩与相似形(II)卷
2019-2020学年沪教版（上海）九年级上学期24.1 放缩与相似形（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（）A．B．C．D．2 . 下面不是相似图形的是（）A．B．D．C．3 . 已知线段a=2，b=8，线段c是线段a、b的比例中项，则c=（）A．2B．±4C．4D．84 . 下列给出的图形是相似形的有（）A．两张孪生兄弟的照片B．三角板的内、外三角形C．行书的“中”和楷书的“中”D．同一棵树上摘下的两片树叶5 . 下面不是相似图形的是A．B．C．D．6 . 矩形的长为，宽为，截去一个矩形，使余下的矩形与原矩形相似，则截去矩形面积为（）A．105B．80C．100D．1207 . 如果一个矩形与它的一半矩形是相似形,那么大矩形与小矩形的相似比是（）A．∶1B．∶2C．2∶1D．1∶28 . 下列说法正确的是（）A．对应边都成比例的多边形相似B．对应角都相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似二、填空题9 . 如图所示，课外活动中，小明在与旗杆距离为米的处，用测角仪测得旗杆顶部的仰角为，已知测角仪器的高米，则旗杆的高是________米．（精确到米）10 . 若线段a，b，c，d成比例，其中a＝1，b＝2，c＝3，则d＝_____．11 . 我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸，，，那么把它第次对开后所得标准纸的周长是________．12 . 有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是_____．三、解答题13 . 如图，左边格点图中有一个四边形ABCD，请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的四边形A'B'C'D'．14 . 把下图中左边的图形，加以放大后画出与它们相似的图形．15 . 已知四边形与四边形相似，且，若四边形的周长为，求四边形各边的长．16 . 下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH．17 . 某课外活动小组的同学在研究某种植物标本(如图)时,测得叶片①最大宽度是8 cm,最大长度是16 cm;叶片②最大宽度是7 cm,最大长度是14 cm;叶片③最大宽度约为6.5 cm,请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度约为多少.18 . 将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？19 . 已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、7、8、二、填空题1、2、3、4、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24.1节的内容，主要包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似三角形、相似多边形等知识打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似形的概念和性质，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。
但学生在学习相似形时，可能会对相似形的定义和性质理解不深，难以运用相似形解决实际问题。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解相似形的本质，并通过适量练习，提高学生运用相似形解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似形的定义、性质及判定方法，能运用相似形解决简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生几何思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：相似形的定义、性质及判定方法。
2.难点：相似形的应用，特别是在解决实际问题时，如何正确运用相似形。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识相似形，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，激发学生思维。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。
4.实践操作法：通过动手操作，使学生加深对相似形的理解和应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似形的图片和实例。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备尺子、三角板等教具，便于学生实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的相似形图片，如人民币、手机等，引导学生认识相似形。
沪教版(上海)九年级第一学期 24.1 放缩和相似形 同步练习
数学九年级上第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1）一、选择题1下列各组图形中一定是相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 一个角为30 的等腰三角形D. 两个等边三角形2下列各组图形中一定是相似多边形的是（）A. 两个平行四边形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个菱形3某两地的实际距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（）A 1:200B 1:2000C 1:20 000D 1:200 0004. 下列不一定是相似形的是（）A. 边数相同的正多边形B. 两个等腰直角三角形C. 两个圆D. 两个等腰三角形5. 下列给出的图形中，是相似形的是（）A. 三角板的内、外三角形B. 两张孪生兄弟的照片C. 行书中的“中”楷书中的“中”D. 同一棵树上摘下的两片树叶6. 下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A. 两个直角三角形B. 两个平行四边形C. 两个矩形D. 两个等边三角形7下列图形中，相似的有 （ ）①放大镜下的图片与原来图片； ②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵白云的照片 ④用同一张底片洗出的两张大小不同的照片A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组8. 对一个图形进行放缩时，下列说法正确的是 （ ）A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变C. 图形中线段的长度保持不变，角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变，角的大小都保持不变二、填空题9. ABC ∆与'''A B C ∆相似，则它们的对应角 ，对应边 。
10. 当两个相似的三角形是全等形时，它们对应的边长的比值等于 。
11. 图形的 或 称为图形的放缩运动。
12. 我们把两个形状 的图形称为相似的图形，或者说是13. 两个多边形是相似形，就是说它们同为 的多边形，而且形状 。
实质上，相似多边形的定义要注意两个条件缺一不可：（1）对应边 （2）对应角14. 四边形ABCD ∽四边形A ’B ’C ’D ’，AB 与A ’B ’是对应边，若AB=3，A ’B ’=2，则C 四边形ABCD ：C 四边形A ’B ’C ’D ’= ，=''C A AC 15. 若ABC ∆与'''A B C ∆是相似形，点A 与点'A ，点B 与点'B ，点C 与点'C 分别是对应顶点，那么边AC 的对应边是 ，'''B C A ∠的对应角是16. 如图，已知矩形ABCD ，AB=1，四边形ABFE 是正方形，若矩形ABCD 与矩形CDEF 相似，则AD 的长为 。
沪教版九上教材知识点
第二十四章 相似三角形 第 1 节 相似形 24.1 放缩与相似形<相似的图形 相似形> →如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边 的长度成比例 第 2 节 比例线段 24.2 比例线段 →两条线段的长度的比叫做两条线段的比 a c →对于四条线段 a、b、c、d，如果 a：b=c：d（或表示为 ） ，那么 b d a、b、c、d 叫做成线段比例，简称比例线段，这时，a、d 是比例外项， b、c 是比例内项 →合比性质 a c ab cd 如果 ，那么 b d b d a c a b c d 如果 ，那么 b d b d →比例的等比性质 a c ac a c k 如果 k ，那么 b d bd b d →黄金分割点： 24.3
<单位向量有无数个， 不同的单位向量， 是指它们的方向不同， 对于任意非零向量 a ， 与它同方向的单位向量记作 a0 > a a ao ， a0
1
a
a
向量的线性运算 →概念：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向 量的线性运算 本章小结 阅读材料一 话说“黄金分割” 阅读材料二 漫谈“出入相补原理” 探究活动 分割三角形 第二十五章 锐角三角比 第 1 节 锐角的三角比 25.1 锐角的三角比的意义 →三角比（正切、余切、正弦、余弦） 25.2 求锐角的三角比的值 24.7
→1. →设 k 是一个实数， a 是向量，那么 k 与 a 相乘所得的积是一个向量，记作 k a
→如果 k≠0，且 a ≠0，那么 k a = k a ； k a 的方向：当 k>0， k a 与 a 同方向，当
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.1 放缩与相似形 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯§24．1 放缩与相似形教学目标：1．能用图形放缩运动的观点认识相似形的意义．2．知道相似形的概念，理解相似多边形的对应角、对应边的含义．3．通过对进行放缩运动的图形进行度量分析，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征以及相似形与全等形的关系．教学重点和难点：相似形的意义及性质教学过程：教师活动学生活动教学设计意图一、引入问1．证明三角形全等有哪些方法？问2．能用角角角证明两个三角形全等吗？如果不能，请举出反例问3. 这两个等边三角形有什么特点？问4. 以上四组图形用什么共性？问5. 我们给具备这种特性的两个图形一个什么名称呢？二、学习新知1、相似形的定义问6：你能说出相似形的概念吗？（教师要特别强调形状相同即可，大小可以相同也可以不相同）问7：两个全等形是相似形吗？答：边边边、边角边、角边角、角角边．（H.L只用于直角三角形）答：不能．答：两个边长不同的等边三角形．答：它们的形状一样，大小不一样．答：这些图形形状一样，大小有的一样，有的不一样．答：相似形（学生说不出，老师引出）预设生答：相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．如果学生不能表述清楚，教师补充．是相似形。
以学生熟悉的全等三角形的判定方法和熟悉的等腰直角三角板引入，一方面从全等三角形的判定方法引入，有助于学生建立全等形和相似形的联系，另一方面，让学生通过观察，直观的认识形状相同的图形．自然引出本节新课内容—相似形培养学生数学语言的表达和归纳能力．2. 观察几何画板动态演示，探索相似多边形性质观察1 相似四边形演示：在四边形A’B’C’D’的缩放过程中的角与边，什么在变化，什么不变？四边形A’B’C’D’与四边形ABCD 是相似四边形，他们的对应边之间有怎样的关系？对应角之间有怎样的关系？观察2 相似五边形演示：（将边数增加一条）在五边形A’B’C’D’E’的缩放过程中的角与边，什么在变化，什么不变？五边形A’B’C’D’E’与五边形ABCDE是相似五边形，他们的对应边之间有怎样的关系？对应角之间有怎样的关系？推广：问1：当相似多边形的边数增加时，对应边和对应角是否还满足上面的特征？问2：若两个相似的多边形是全等形时，他们对应边的长度的比是多少？【适时小结】相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．答：边的长度在变，但角度不变。
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第二十四章 相似三角形
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第一节 相似形
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24.1 放缩与相似形
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第二节 比例线段
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0002页 0040页 0214页 0262页 0295页 0446页 0448页 0474页 0507页 0540页 0569页 0599页 0 放缩与相似形 24.2 比例线段 第三节 相似三角形 24.5 相似三角形的性质 24.6 实数与向量相乘 第二十五章 锐角的三角比 25.1 锐角的三角比的意义 第二节 解直角三角形 25.4 解直角三角形的应用 第一节 二次函数的概念 第二节 二次函数的图像 26.3 二次函数y = ax2+bx+c的图像
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24.2 比例线段
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24.3 三角形一边的平行线
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第三节 相似三角形
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24.4 相似三角形的判定
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沪教版（上海）九年级上学期24.1 放缩与相似形
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 下列四组线段（单位：cm）中，不能成比例的是（）
A．0.5、3、2、10B．3、4、6、2
C．、、、1D．1.2、4、1.5、5
2 . 如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）
A．2B．
C．D．
3 . 把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）
A．:1B．4:1C．3:1D．2:1
4 . 如图，，且，则与的相似比为（）
A．B．C．D．
5 . 下列各组的两个图形一定相似的是（）
A．两个矩形B．等腰梯形两腰中点的连线把它分成的两个等腰梯形
C．对应边成比例的两个多边形D．有一个角相等的两个菱形
6 . 如图，下列几组图形相似的是（）
A．①③B．③④C．①②D．①④
7 . 如图，在矩形中，点、分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（）
A．B．C．D．
8 . 下列说法不一定正确的是（）
A．所有的等边三角形都相似
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似
D．所有的正方形都相似
二、填空题
9 . 在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的周长是320cm，那么这块地的实际周长是___________km.
10 . 在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的面积是100cm2，那么这块地的实际面积是__________ m2（用科学记数法表示）．
11 . 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD的长是_______m.（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，
sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）
12 . 如图四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则CD=_____，∠D=______
度.
三、解答题
13 . 如图是用相似图形设计的图案．
(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？
(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．
14 . 把下列左边的图形放大到右边的格点图中．
15 . 如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2 cm，BC＝5 cm，求AE的长．
16 . 如图，古塔直立地面上，塔的中心线与地面上的射线成直角，为了测塔的大致高度，在地面上选取与点相距的点，测得，用代表（即的比例尺），画线段，再画射线、，使，，、相交于，量出的长（精确到），再按比例尺换算出
古塔的高．
17 . 用木条制成如图的形式，、、三点钉上钉子，在和处加上粉笔，当用画图时，在处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
18 . 若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
19 . 一块长，宽的矩形黑板，如图所示，镶在其外围的木质边框宽.边框的内外边缘所成的矩形和矩形相似吗？为什么？
参考答案一、单选题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
二、填空题
1、
2、
3、
4、
三、解答题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、。