2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件理20170522021
4．[2016· 全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球 面上，则该球的表面积为( A．12π 32 B. π 3 C．8π ) D．4π
解析
设正方体的棱长为 a，则 a3＝ 8，解得 a＝ 2.
设球的半径为 R，则 2R＝ 3a，即 R＝ 3，所以球的 表面积 S＝ 4πR2＝ 12π.故选 A.
且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图 是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的 高．故三棱锥 P－ BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶ 1.
2．[2017· 合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为( A．12＋4 2 C．28 ) B．18＋8 2 D．20＋8 2
二、小题快练
1． [2017· 南昌模拟] 如图， 在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P－BCD 的正 视图与侧视图的面积之比为 ( A．1∶1 B．2∶1 ) D．3∶2 C ．2∶3
解析
根据题意，三棱锥 P－ BCD 的正视图是三角形，
A．1.2
B．1.6
C ．1.8
D．2.4
解析
由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长
方体组合而成的，利用体积及已知线段长度即可求出 x.故其
1 1 2 体积为 (5.4－ x)×3×1＋ π× ×x＝ 16.2－ 3x＋ πx＝ 12.6， 又 2 4
π＝ 3，故 x＝ 1.6.故选 B.
考点 2
空间几何体的体积
Sh 1．柱体：V＝_____ (S 为底面面积，h 为高)，
特别地， V
πr h (r 为底面半径，h 为高)； 圆柱＝_____
2
1 Sh (S 为底面积，h 为高)， 2．锥体：V＝_____ 3 1 2 πr h (r 为底面半径，h 为高)； 特别地， V 圆锥＝_____ 3
1 SS′＋S′) h ( S ＋ 3．台体：V＝__________________ (S，S′分别为上、 3
下底面面积，h 为高)，
1 2 2 π h ( r ＋ rr ′＋ r ′ ) ； 特别地， V 圆台＝__________________ 3 4 πR3 3 4．球：V＝___________ (R 为半径 )．
6 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径 r＝ a(a 为 4 正四面体的棱长 )； 6 (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝ a(a 为 12 正四面体的棱长 )．
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方 形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.( × ) 3．若一个球的体积为4 3 π，则它的表面积为 12π.( √ ) 2π 4．将圆心角为 ，面积为3π的扇形作为圆锥的侧 3 面，则圆锥的表面积等于4π.( √ )
解析
由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形
的直三棱柱，如图．则该几何体的表 1 面积为 S＝ 2× ×2×2＋ 4×2×2＋ 2 2 ×4＝ 20＋ 8 2 ， 2 故选 D.
3．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的 科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种 标准量器，其三视图如图所示(单位：寸 )，若π取3，其体积 为12.6(立方寸 )，则图中的 x为 ( )
22＋ 2 32 ＝
圆柱
＝ 2π×2×4＝ 16π， S
＝ 4π，∴该几何体的表面积为 8π＋16π＋4π＝ 28π.故选 C.
触类旁通 1．多面体的表面积的求法 求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何 图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角 三角形，它们是联系高与斜高、棱长等几何元素的桥梁，从 而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联 系．
第7章 立体几何
第2讲 空间几何体的表面积和体积
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 空间几何体的侧面积和表面积 1．多面体的表面积 因为多面体的各面都是平面， 所以多面体的表面积就是
面积之和 ， 各个面的__________ 即展开图的面积， 侧面积就是侧面展
开图的面积． 2．旋转体的侧面展开图及其表面积与侧面积
解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体， 球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S 1 ＝ ×4πr2＋ πr2＋ 4r2＋ πr· 2r＝ (5π＋ 4)r2.又 S＝ 16＋ 20π， 2 ∴ (5π＋4)r2＝ 16＋ 20π，∴ r2＝ 4， r＝ 2，故选 B.
板块二 典例探究· 考向突破
考向
几何体的表面积
例1ห้องสมุดไป่ตู้
[2016· 全国卷Ⅱ] 上图是由圆柱与圆锥组合而成的几 ) D．32π B ．24π C ．28π
何体的三视图，则该几何体的表面积为( A．20π
[ 解析 ] 4，∴ S
底 圆锥侧
由三视图可得圆锥的母线长为 ＝ π×2×4＝ 8π.又 S
圆柱侧
2． 旋转体的表面积的求法 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积 之和．
【变式训练 1】
(1)[2015· 全国卷Ⅰ ] 圆柱
被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组 成一个几何体，该几何体三视图中的正视图 和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( A．1 C．4 B ．2 D ．8 )
[ 必会结论] 1．长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点； (2)半径：r＝ 高)． 2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 3 (1)外接球：球心是正方体中心；半径 r＝ a(a 为正方 2 体的棱长 )； a2＋b2＋c2 (a，b， c 为长方体的长、宽、 2
a (2)内切球：球心是正方体中心；半径 r＝ (a 为正方体 2 的棱长)； (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r 2 ＝ a(a 为正方体的棱长)． 2 3． 正四面体的外接球与内切球 (正四面体可以看作是正 方体的一部分 )
高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件文
A.π2＋1 B.π2＋3 C.32π＋1 D.32π＋3
还原几何体，分清组合体构成部分．
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面 半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积 V＝13×π2×12×3＋13×12× 2× 2×3＝π2＋1. 故选 A.
角度 2 根据几何体的直观图计算体积
典例 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今 有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．” 现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均 为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这 个羡除的体积是( )
A．18＋36 5 C．90
B．54＋18 5 D．81
解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的 正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的平行六面体，则该几何体 的表面积 S＝2×32＋2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故 选 B.
题型 2 空间几何体的体积 角度 1 根据几何体的三视图计算体积 典例 (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图 所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积 V＝ 2×2×4×2＝32 cm3，表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2 ＝36×2＝72 cm2.
经典题型冲关
题型 1 空间几何体的侧面积与表面积 典例 (2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而 成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件
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知识点一
空间几何体的表面积
1．多面体的表面积 多面体的各个侧面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的 面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
12/9/2021
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2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的 上 底 面 半 径 为 零 时 ， 得 到 圆 锥 ， 由 此 可 得 ： S ＝ 圆 柱 侧
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命题方向 2
等体积法求体积
【例 3】 如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1 的体积为( A )
A．
3 12
C．
6 12
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B．
3 4
D．
6 4
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【解析】 易知三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1
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【 解 析 】 由 题 易 得 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 体 积 为 6×6×4＝144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形，如图所示，连 接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一 半，即12×6×4＝12(cm2)，所以 V 四棱锥 O-EFGH＝13×3×12＝12(cm3)， 所以该模型的体积为 144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原 料的质量为 132×0.9＝118.8(g)．
平 面 DB1C1 ， 又 AD ＝ 2·sin60°＝
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇 立体几何
知识梳理
表面积 棱 柱 棱 锥 S 表= S 侧+ 2S 底 S 表= S 侧+ S底 S 表= S 侧+ S 上底 + S 下底 表面积即空 间几何体暴 露在外的所 有面的面积 之和 体积 若棱柱的底面积为 S,高为 h, 则 V=S·h 若棱锥的底面积为 S,高为 h, 则 V= V 柱=S·h
2
考点专项突破
考点一 几何体的表面积与侧面积 【高考这样考】
在讲练中理解知识
1.(2016· 全国Ⅲ卷,文10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画
出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(
B )
(A)18+36 5 (C)90
(B)54+18 5 (D)81
解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱, 其表面积 S=2×(3×3+3×6+3×3 5 ) =54+18 5 . 故选 B.
( A
)
(A)
1 6
(B)
1 3
(C)
1 2
(D)1
解析:由三视图知该三棱锥的体积
1 1 1 V= × ×1×1×1= ,选 A. 3 2 6
2.导学号 49612190 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( B ) (B)20+3π (C)24+2π (D)24+3π
(A)20+2π
1 2 πrh 3
2
2π r2+2π rl
若圆锥的底面半径和母线长分别为 r,l, 圆锥 则 S 侧= π rl
2 ,S 表= π r
+π rl
若圆台的上、下底面半径和母线长分别为 圆台 r,r′,l,则 S 侧=
高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件理
所以 S＝πr2＝π×61＝π6. 【答案】 C
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角度二 直三棱柱的外接球
已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝
3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
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积为 S2，则SS12＝________. 【解析】 设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4× 43×a2＝ 3a2，
其内切球半径为正四面体高的14，即 r＝14× 36a＝126a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2
＝π6a2，则SS12＝
π63aa22＝6
π
3 .
【答案】
63 π
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a2＋b2＋c2.
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「基础小题练一练」 1．圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形，则圆柱的表面积为( ) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或 8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或 8π(3π＋2)
第十页，共42页。
解析：分两种情况： ①以长为 6π 的边为高时，4π 为圆柱底面周长， 则 2πr＝4π，r＝2， 所以 S 底＝4π，S 侧＝6π×4π＝24π2，S 表＝2S 底＋S 侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)； ②以长为 4π 的边为高时，6π 为圆柱底面周长， 则 2πr＝6π，r＝3.所以 S 底＝9π，S 表＝2S 底＋S 侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选 C. 答案：C
“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点， 通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角 面来作． (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
高考数学一轮复习 第七章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 文
第2讲 空间几何体的表面积与体积
精选课件
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开 图
侧面 积公 式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝Байду номын сангаас
___2_π_rl_____ ___π_r_l_____
S圆台侧＝ __π_(_r＋__r_′)_l__
精选课件
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S
下
球
S＝_4_π_R__2 _____
V＝__S_h__ V＝__13_S_h__ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝___43_π_R__3 ___
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
精选课件
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的 表面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
精选课件
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
A．6
B．3 3
C．2 3
D．3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面
为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视
高考数学(文通用)一轮复习课件：第七章第2讲空间几何体的表面积与体积
第七章立体几何初步第2讲空间几何体的表面积与体积教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml覗梳理,2控间几何体的表面积与体积公式要点整食1.辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.2•求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.3.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为偽球的半径为R①若球为正方体的外接球，则2R=\/5a；②若球为正方体的内切球，则2R=a；③若球与正方体的各棱相切，则2/?=血.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为血b, c,外接球的半径为R,则2R=y]a2 + b2+c2.⑶正四面体的外接球与内切球的半径之比为3： 1.「双基自测r1.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为 全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1, 那么这个几何体的体积为（ A. 1■ 1 1 解析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，v=-s^-x-x11X1X1=-,故选D ・ D 6D62. （2015•高考陕西卷）一个几何体的三视图如图所示，贝U 该 几何体的表面积为（D ）正（主）视图 侧佐）视图B. 4兀 D. 3兀+4解析:A. 3兀C. 2兀+4俯视图由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示・表面积为2X2+2X-X JT X 12+ n X 1X2=4+3JI •23.某几何体的三视图如图所示,A. 6C. 2书则该几何体的体积为（B ）B. 3书D. 3解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2,高为书的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h=3,所以该几何体的体积V= S・h=4.（必修2P36复习参考题A组巧0改编）直角三角形三边长分别是3 cm、4 cm、5 cm,绕两直角边旋转一周分别形成两15兀cm2个几何体，则其侧面积分别为5.（必修2P28练习T2改编）一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为4乜兀crrP.解析：由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径r=|X 2\[3=\/3(cm),所以V球=Xr3 ='Ji X 3羽=4\/5 n (cm3).3典例剖析▼考点突破*考点一空间几何体的表面积名师导悟以例说法（1）（2015-高考全国卷I ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为厂）组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示.若该几何体的表面积为16+ 20n ,则rB. 2 D ・8俯视图正视图A. 1 C. 4（2）（2015-高考福建卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（B ）B. 11 + 2\/2iL2,r正屯 —]J 见图L-l-A.C. 14+20侧视图俯视图D. 15［解析］⑴如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为门圆柱的底面半径为厂高为亦 则表面积S=fx4Ji r 2+ Ji r 2+4r 2+ Ji r • 2r=(5 Ji +4)r 2.又 S = 16+20n,所 以(5 兀+4)/=16+20 Ji ,所以 r 2=4, r=2.正视方向----(2)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形,如图所示.2A 1 B直角梯形斜腰长为7再¥ = &，所以底面周长为4+0,侧面积为2><(4+向=8+2&,两底面的面积和为2x|xiX(l+2)=3,所以该几何体的表面积为8+2^2+3=11+272.空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.［跟踪训练］1.（1）（2016-长春调研）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（A r I 1+质2 ----------JI2 宀.1 + 2厉22+（1+厉）兀2+吨2 A. B. C.俯视图（2）（2016-河北省衡水中学模拟）如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（A ）A.34+6厉B.6+6质+4羽C.6+6厉+4莎D.17+6 质解析：（1）由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1,高是2,所以母线长为聽,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即in+inxJ5+ix2 2 2 2X2= 2+吐当. 2p由三视图得该几何体的直观图如图，其中，4BCD为矩形,AD = 6, AB=29平面E4D丄平面ABCD, △"£＞为等腰三角形，且此四棱锥的高为4,故该几何体的表面积等于6X2+ 2X^X2X 5+^X 6X2质+丄>< 6X4= 34+ 6聽.2 2 2考点二空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小, 属于容易题.高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度:(1)求简单几何体的体积;(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积•A. 2兀3 7兀C.——(1)(2015-高考重庆卷)某几何体的三视图如图所俯视图32⑵（2015•高考全国卷II）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（D ）7D.-5[解析]（1）由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合] [ [3而成的几何体，其体积为Xl2X2+2X3Jl X12X1=—JI.6(2)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个 “大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1,则三棱锥的体积为 1=!，剩余部分的体积V^=l 3—i=|.o 6 6U r | I 7 f 、My ~ f JLQ LZ < inf n > A T . V ■ , 、 X f *、 \J\j U^*vJ IE求空间几何体体积的解题策略(1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.(2)求组合体的体积.若所给的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.6侧视图4兀 B.—— 通关练卫 2.（1）（2016.唐山第一次模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（C）C. 3 3⑵（2016•昆明统考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几160何体的体积等于丁.俯视图解析：(1)由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一_2 n 一 8—~ °(2)由题知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的 组合体，其中直三棱柱的底面为侧视图，高为8—4=4,故 y 直三棱柱=个圆锥，所以V=V 正方体—y圆锥=2X2X2—~X (Ji X 1^)X 2 为4，故V 四棱锥 X4=32,四棱锥的底面为边长为4的正方形，高 1—64=~X16X4=y,故该几何体的体积卩="直三棱柱+U 四棱锥=32+輕=塑. 3 3考点三球与空间几何体的接.切问题典例3 （2016・沈阳模拟）己知直三棱柱ABGA0G的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3, AC=4, AB丄AC, AAi = 12,则球O的半径为（C）A.如2B. 2\/10D. 3\/102v又 AM=^BC=l所以球O 的半径R=OA = ［解析］如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M.Q 互动探究 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方 体”,贝U 此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球 的半径为R 内切球的半径为几 又正方体的棱长为4,故其体对角线长为4出,3 4 Ji r =—兀 3 (ZiI\ *\( / a r m r x 4^— .A^V J-A .V^ fc^k " III I ' ■j w • f - ■、 1 ff f ^9X^F^d • J I WV J"^1 ( £ ■ J 空间几何体与球接、切问题的求解方法从而V 内切球—3 _4 外接球=311(1)求解球与棱柱、棱锥的接.切问题时，一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题, 再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点巴A, B, C构成的三条线段M, PB, PC两两互相垂直，且PA = a, PB=b, PC=c9一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用^=a1 + b L + ^ 求解.v跟踪训练 3.（2016-唐山统一考试）如图，直三棱柱ABG4/1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB= AC,侧面BCC'Bi 是半球底面圆的内接正方形，则侧面A. 2 c.\fi 解析：由题意知，球心在侧面BCCrBr 的中心O 上，BC B ・1的面积为（为截面圆的直径，所以ZBAC=9Q° , AABC的外接圆圆心2V 位于的中点，同理的外心M是EG的中点.设X正方形BCG% 边长为斗在RtZkOMCi中，OM=-9MC X2=p OC l=R=l(R为球的半径)，所以£)+£)=】，即兀=\/2,贝0 AB=AC= 1,所以S矩形ABBxA x =拓展升华触类旁通方法思想——求空间几何体体积的问题（2016-唐山模拟）如图，AABC 中，AB=& BC= 10, AC= 6, DB 丄平面 ABC,且 AE//FC//BD, BD=39 FC=4, AE=5,则此几何体的体积为％.［解析］法一:如图，取CM=AN=BD, 连接DM, MN, DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个由题知三棱柱ABGNDM的体积四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+ V四棱锥.为匕£ 8X6X3=72.四棱锥如㈣的体积为1 1 1• DA^=-X-X (1+2)X 6X 8 = 24, 0 0 / 梯形MNEF则几何体的体积为0=匕+#2 = 72+24=96・法二A f用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA 9=BB f ~ 1 1 1 = CC'= &所以V几何体=匚“三棱柱=：XS$4BC • =~X 24 X 8=96.0感悟提高本题给出两种求体积的方法.当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.（2014•高考重庆卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（C ）正视图 侧视图A. 12C. 24解析：由俯视图可以判断该几何体的俯视D. 30底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图⑴ 所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图⑴中，1 1 V 棱柱*AAi=-X 4X 3X 5=30, V棱锥阳/心=一2 3SA4.B.C. •X - X 4 X 3X 3=6.3 2故几何体ABC441G的体积为30—6=24•故选C.C]（2）闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束。
高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
推荐-高考数学一轮总复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件理
＝
2 2 a(a
为正方体的棱长)．
3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正
方体的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 4 a(a
为
正四面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 12 a(a
为
正四面体的棱长)．
2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高．
满分策略
1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原 成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算．
2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基 本的简单几何体再求．
3．台体：V＝_13_h_(_S_＋___S_S_′ __＋ __S_′ __)_ (S，S′分别为上、
下底面面积，h 为高)， 特别地，V 圆台＝_13_π_h_(_r2_＋ __r_r_′__＋__r′ __2_)_； 4．球：V＝___43_π_R_3_____ (R 为半径)．
[必会结论]
该不规则几何体的体积为(
)
A．4－π2 C．8－π
B．8－43π D．8－2π
[解析] 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已 知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知 图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的
体积为 23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不 规则几何体的体积为 8－π，故选 C.
1．长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点； (2)半径：r＝ a2＋2b2＋c2(a，b，c 为长方体的长、宽、 高)．
2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
高考数学一轮总复习 第七章 第2节 空间几何体的表面积与体积课件
A．7
B．6
C．5
D．3
[解析] 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
[答案] A
3．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线
为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
[解析] 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面
半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
[答案] C
4．(2013·新课标高考全国卷Ⅱ)已知正四棱锥 O-ABCD 的
体积为322，底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径的球 的表面积是________.
[ห้องสมุดไป่ตู้析] 设 O 到底面的距离为 h，则13×3×h＝322，解得 h
(2)(2015·潍坊市考前适应性训练)如图为某个几何体的三视 图，则该几何体的侧面积为( )
A．16＋4π C．16＋8π
B．12＋4π D．12＋8π
[解析] (1)由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆 柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之 外的面积为 1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积 为 2－π2＋1×2×2＋2×2＋2＝12－π2，半圆柱中不重合的表面 积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几 何体的表面积为 4π＋12.
A．3
B．2 5
C．6
D．8
思路点拨 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观
图的图形特征求其表面积或侧面积．
[解析] (1) 如图，由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正
2018高考一轮数学(课件)第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
上的动点．若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )
由于 V 圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE2·DE＝13π·12×(2－1)＝π3， 所以该几何体的体积 V＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝53π. (2)由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为 1，所以其体积 V＝13Sh＝13×2×1×3＝2.]
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第二十七页，编辑于星期六：二十二点 三十四 分。
高三一轮总复习
[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋 转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一 条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问 题．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝_2_π_r_l S 圆锥侧＝_π_r_l_ S 圆台侧＝__π_(r_1_＋__r2_)_l _
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高三一轮总复习 3.柱、锥、台和球的表面积和体积
个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的
表面积是( )
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
图 7-2-4
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(1)C (2)A [(1)由三视图作出三棱锥如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，AD ⊥平面 BCD.