二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系
原创二次函数图象与a、b、c之间的关系、平移规则、位置关系
二次函数基本式y=ax²+bx+c（a≠0）二次函数交点式二次函数顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)二次函数顶点坐标（一）二次函数图象与a、b、c之间的关系（二）二次函数的平移规则当函数为基本式y=ax²+bx+c（a≠0）将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n当函数为顶点式y=a(x-h)²+k左右平移：在括号里做变化，左加右减如：将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，y=a(x-h+m)²+k将y=a(x-h)²+k向右平移m个单位，y=a(x-h -m)²+k上下平移：K处做变化，下加下减如：将y=a(x-h)²+k向上平移n个单位，y=a(x-h)²+k+n将y=a(x-h)²+k向下平移n个单位，y=a(x-h )²+k-n将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，再向上平移n个单位，y=a(x-h+m)²+k+n注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平移h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平移|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向下移动|k|个单位得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，再向上移动k个单位得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，再向下移动|k|个单位得到y=a(x-h)²+k的图象（三）二次函数图象对称关系对于一般式：①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-b2/2a关于顶点对称④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。
二次函数及其图象和性质
二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
二次函数y=a(x-h)^2的图像和性质
y=-2x2 y=-2(x+1)2 y=-2(x-1)2
画出二次函数 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解:先列表 描点
x x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 、 y ( x 1) 2 的图象,并 2 2
点坐标 （x-h)2的形
式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
1 2 y x 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5 4
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）² y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
5二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
1 2 y ( x 1) 2 2
向上平移2个单位
1 a , h 1, k 2 2
>0
y=a(x-h)2+k
1 a , h 2, k 2 2
1 2 y ( x 1) 2
1 2 y ( x 2) 2 2
总结过渡
制作：钟岳梨
6
二次函数的图象 第四课时
y
五、不同点
对称轴
顶点
x
向右平移1个单位 1 y ( x 1) 2 直线x=1 2 向上平移2个单位 1 y ( x 1) 2 2 直线x=1 2
六、联系
1 2 y x 2
直线x=0 (0,0) (1,0) (1,2)
比较归纳
制作：钟岳梨
5
二次函数的图象 第四课时
2018年11月24日星期六
顶点坐标 (0,0) (h,0)
(0,k) (h,k)
左右 ___ 平移
上下 平移 ____
y=a(x-h)2
通过_____平移
上下左右
y=k
y=a(x-h)2+k
右 平移:h<0向___ 左 平移 h>0向___
k>0向___ 上 平移:k<0向___ 下 平移
与坐轴标的正负方向一样。 h与括号里的加减号相反。
直线x=－3 (－3, 5 )
直线x=1 直线x=3 ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
制作：钟岳梨
14
二次函数的图象 第四课时
2018年11月24日星期六
y
y
y
y
y y x y x x
教学反思 (11) 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
<<二次函数y=a（x-h）2的图象和性质>>教学设计反思本节课先从复习二次函数y=ax2入手，通过检测学生对于二次函数y=ax2的性质掌握较好。
然后结合图象让学生理解二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的关系，通过观察图象学生很容易地理解了二者之间的关系，在做对应练习时效果也较好。
在学习二次函数y=a（x-h）2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系时，因为涉及向左或向右平移引出了加减问题，学生在此容易混淆，即使让学生结合图象明确地看到在x后面如果是加就是向左平移的，反之就是向右平移，再就是在看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。
先由解析式求出顶点从标，再看平移的问题。
但是还是有一部分同学混淆了。
这个部分内容学习得不够理想。
反思这个节课整个过程中的成功和不足之处，我觉得需要改进的有如下几点：1、灵活处理教材。
教材上是一节课学习两种类型的函数，但是根据学生作图的速度和理解水平，一节课完成两种类型的函数有一定的困难。
虽然也想过适当处理，但是想到教材是一节课完成两种函数，所以还是决定两种函数在一节课完成，事实证明一节课完成两种函数效果不是很好。
由此可见有时教材上的安排不一定是科学的，所以要根据学生的实际情况实行灵活处理。
2、认真考虑每一个细节。
考虑到一节课上学习两种类型的函数时间有些紧张，所以我让学生提前画好了图象，这样在课堂上能够节省时间，因为默认学生已经画好了图象，所以我也没有在黑板上再画出图象，这样让学生在看图象时，有的学生没有画出，有的同学画错了，这样就给学习新知识带来了困难，这是我没有想到的。
所以以后要充分考虑到每一个细节，要想到学生可能会出现什么情况。
3、小组评价要掌握好度。
在课堂上我使用了小组评价，学生回答问题非常积极，不过我感到小组评价还有需要改进的地方。
学生回答问题后加分比较耽误时间，在以后的教学中我觉得应该更灵活把握好度，使评价为教学服务而不能因评价而耽误教学。
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
(2)假设(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标.
(2)令x＝0，则y＝(0－1)2＝1，∴点D的坐标为(0，1)．由
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点一 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝1 (x－2)2的图象可能是(D )
2
A
B
C
D
2.对于函数y＝－2(x－1)2的图象，以下说法不正确的选项D 是( )
15.某抛物线和函数y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点
坐标是(－1，0)，那么此抛物线的解析式为________
______.
y＝2(x＋1)2或y＝－2(x＋1)2
考查角度一 由线段相等求抛物线的解析式
16.如图是二次函数y＝1 (x－h)2的图象，其中OA＝OC，试求该抛物线的解
A.开口向下
B.对称轴是直线x＝1
C.最大值为0
D.顶点坐标是(0，1)
3.以下有关二次函数y＝2(x＋4)2的性质，描述正确的选项D是( ) A.当x＞0时，y随x的增大而减小 B.当x＜0时，y随x的增大而增大 C.当x＞－4时，y随x的增大而减小 D.当x＜－4时，y随x的增大而减小
4.抛物线y＝－(x＋7)2的开口向____下____，对称轴为直__线__x_＝__－__7_，顶点坐标 是_(_－__7_，__0_)；当__x_<_－__7__时，y随x的增大而增大；当__x_>_－__7__时，y随x的 增大而减小；当x＝_-_7______时，函数y有最_大_____(填“最大〞或“最小〞)值.
4 二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
观察图象,回答问题
(3) 函 数 y=3(x-1)2 2的 2 的 图 象 与 y=3x y = 3 ( x - 1) y = 3x 2 图象有什么关系? 它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶 点坐标分别是什么 ? (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值 的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y = a ( x + h)
2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） 直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
(3)函数 y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y = 3x
2
y = 3 ( x - 1)
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
的图象
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们 之间有什么关系?
x -3 27
2
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4 48 27
y = 3x 2
y = 3( x - 1)
48
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
函数
开口方向
在对称轴右 侧
y=ax2
a＞0
y=x^2的图像和性质教案
y=x 的图像和性质教案篇一：26.2.3y=a(x-h)2的图象和性质(教案)26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【教学目标】1.知道二次函数y?a(x?h)2与y?ax2的图象之间的关系；2.能说出二次函数y?a(x?h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性；【教学重点】掌握二次函数y?a(x?h)2的图象特点及其性质。
【教学难点】灵活运用y?a(x?h)2类型函数的性质解决问题。
【多媒体准备】课件【教学过程】篇二：二次函数的图像和性质教案教学过程一、课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y＝2x2的图像，并根据图像谈论他的性质.二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.三、知识讲解考点1形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。
一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）考点2二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（?b4ac?b2b,）为顶点，以直线y＝?为对称轴的抛物线。
2a2a4abb时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞?2a2a在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜?时，y随着x的增大而增大。
在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜?＞?b时，y随着x的增大而减小。
2ab时，y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，即当x2a篇三：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22。
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y = a(x-h)2 (h<0) 结论： 抛物线 y=a(x-h)2 的图象相当于把抛物线 y=ax2的图象 向右 （h＞0）或 向左 （h＜0） 平移 |h| 个单位.
y
y = ax2
x h O h y = a(x-h)2 (h>0)
二次函数y = a(x-h)2的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
x2 解：（ 1 ）开口向上，对称轴为 x=3 ， y 1 2 顶点坐标为（3，0）. 1 2 （ 2）该函数图象由二次函数 y= x 2 的图象向右平移3个单位得到. （ 3 ）当x＞ 3时， y随 x的增大而增大， -4 -2 当x＜3时， y随 x的增大而减小，当x=3 时，y有最小值，为0.
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
1 （1）y=- (x+2)2； 4
（2）y=3(x-1)2.
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）.
（2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
综合应用
7.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，
分别指出两个图象之间的相互关系．
学习难点
（3）能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点. 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的平移规律.
推进新课
知识点1 二次函数y = a(x-h)2 的图象的画法
1 2 ， 探究 在同一直角坐标系中，画出二次函数y - （x 1） 2 1 2 y - （x 1） 的图象。 2
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
R· 九年级上册
新课导入
问题:说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.
二次函数y =
a的符号
ax2
+k的图象和性质:
a>0
?y = a(x-h)2
a<0
k>0
图象 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性
基础巩固 1.抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 右 平移 2 个 单位得到． 2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 向下 ，顶点坐标 （1，0），对称轴是 x=1 是 . 1 1 2 2 3.要得到抛物线y= 3 (x－4) ，可将抛物线y= x ( C ) 3 A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
2 y -1 （x-1 ） O 2 -4 -2 2 4 x -2
y
-4
-6 1 2 y - （x-1） 所以， 的图象还可以由抛物线 2 -8 1 1 2 向右 2 y - （x+1） y - （x+1） 平移 个单位得到 . 2 2 2
y - 1 x2 2
抛物线y = a(x-h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？
4.对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2( A )
A.开口方向相同
C.顶点相同
B.对称轴相同
D.都有最高点
2 2 5.抛物线y= x 向左平移3个单位所得抛物线是( A ) 3 2 2 2 A.y= (x+3) B.y= (x-3)2 3 3 C.y=- 2 (x+3)2 D.y=- 2 (x-3)2 3 3
y
y = 2x2
解：图象如图. 函数 y=2(x-2)2的图象由函数 y=2x2的图象 向右平移2个单位得到.
O
y = 2(x-2)2
2
x
拓展延伸
1 8.在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象． 2
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 1 2 (2)说明该函数图象与二次函数y＝ x 的图象的关系； 2 (3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时 y随 x 的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
y
x=1
相同点： 开口方向相同、形状相同。 不同点： 对称轴、顶点坐标发生了改变。
2 y -1 （x +1 ） 2
-2
-4 -6 -8
2，y - 1 2 抛物线y - 1 （x+1） （x-1）与抛物线 y - 1 x 2有什么关系？ 2 2 2
观察图象可发现： 1 x2 y 把抛物线 向左 平移 1 个单位就得 2 2 y - 1 x2 向右 平 （x+1） 到抛物线 y - 1 ; 把抛物线 2 2 1 2 （x-1） 移 1 个单位就得到抛物线 y - 2 .
-4.5 …
然后描点画图：
2 y -1 （x +1 ） 2
-4
Hale Waihona Puke 24 x2 y -1 （x-1 ） 2
1 2 2 y -1 （x-1 ） y （ x +1 ） 抛物线 ， 的开口方向、 2 2
对称轴和顶点各是什么？
y O -4
2 y -1 （x +1 ） 2
-2 -2 -4 -6 -8
最值
向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0,k） （0,k） 当x<0时，y随x增大而减小； 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而增大. 当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k
学习重点
（1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象. （2）能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系.
h>0
图象 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性
最值
向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,0） （h,0） 当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小. x=h时，y最小值=0 x=h时，y最大值=0
随堂演练
2
4 x
2 y -1 （x-1 ） 2
知识点2 二次函数y = a(x-h)2 的图象和性质
开口方向
2 y -1 （x +1 ） 2 2 y -1 （x-1 ） 2
对称轴
顶点坐标 记作x=-1
下
x=-1 x=1
（-1,0）
下
（1,0）
-4 -2
1 2 y （ x -1 ） O 2
2 4 x
解：先分别列表：
x
…
-4
-3 -2 -1 -2
-2 -0.5 0 -0.5
-1 0 1 0
0 -0.5 2 -0.5 y O -2 -2 -4 -6 -8
1 -2 3 -2
2
…
2 … y -1 （x +1 ） -4.5 2
-4.5 … 4 …
x
…
-2
2 y -1 （x-1 ） … -4.5 2