高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第五节指数与指数函数教师用书理

第五节指数与指数函数☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．根式 (1)根式的概念①na n＝⎩⎨⎧a n 为奇数|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a －a a ＜n 为偶数②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)。

2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)。

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。

(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )。

3．指数函数的图象与性质微点提醒1．指数幂运算化简的依据是幂的运算性质，应防止错用、混用公式。

对根式的化简，要先化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质进行化简。

2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此，应用单调性解题时，应对底数a 分为a >1和0<a <1两种情况进行。

3．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题。

小|题|快|练一 、走进教材1．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( )A ．1B ．2 C. 3D ．3【解析】 由a 2＝13，a ＝33，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝3。

故选C 。

【答案】 C2．(必修1P 60B 组T 1改编)不等式a2x －7>a4x －1(0<a <1)的解集为________。

【解析】 y ＝a x(0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，x >－3。

【答案】 (－3，＋∞) 二、双基查验1．(2016·唐山模拟)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 解法一：当a >1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a<1，此时四个选项均不对；当0<a <1时，函数y ＝a x －1a是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x的图象向下平移1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >1个单位长度得到的，结合各选项知选D 。

解法二：因为函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D 。

【答案】 D2．设12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<1，那么( )A ．a a<a b<b aB ．a a <b a <a bC ．a b<a a<b aD ．a b<b a<a a【解析】 由12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <1得1>b >a >0，又因为函数y ＝a x(0<a <1)在定义域内是单调递减的，所以a a>a b，所以A ，B 不成立。

函数y ＝x n(n >0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又a <b ，所以a a<b a。

故选C 。

【答案】 C3．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________。

【解析】 ①当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32。

②当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－1，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解。

所以a ＋b ＝－32。

【答案】 －324．如图所示，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x，y ＝b x，y ＝c x，y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是________。

【答案】 c >d >1>a >b(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋(0.1)－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a >0，b >0)；(3)若x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2的值。

【解析】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100。

(2)原式＝a 3b 2a 13b2312ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13×b 1＋13－2－13＝ab －1。

(3)由x 12＋x －12＝3，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47。

∴x 2＋x －2－2＝45。

由x 12＋x －12＝3，两边立方，得x 32＋3x 12＋3x －12＋x －32＝27。

∴x 32＋x －32＝18，∴x 32＋x －32－3＝15。

∴x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2＝13。

【答案】 (1)100 (2)ab －1(3)13反思归纳 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底指数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序。

2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数。

3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

【变式训练】 (1)化简 416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·4ab－130.1－1·a 3·b－312＝________。

【解析】 (1)416x 8y 4＝(16x 8y 4)14＝[24·(－x )8·(－y )4]14＝24·14·(－x )8·14·(－y )4·14＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y 。

故选D 。

(2)原式＝2·432a 32b －3210a 32b －32＝85。

【答案】 (1)D (2)85(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________。

【解析】 (1)函数f (x )＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求。

故选A 。

(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]。

【答案】 (1)A (2)[－1,1]【母题变式】 若将本典例(2)中“|y |＝2x＋1”改为“y ＝|2x－1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围。

【解析】 曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)。

【答案】 (0,1)反思归纳 指数函数图象的画法及应用1．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。

2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。

【拓展变式】 (2016·呼和浩特模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x，在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2。

因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，f (x )是偶函数，所以可得图象如图，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是4个。

故选D 。

【答案】 D【典例3】 (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】 因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c 。

故选A 。

【答案】 A角度二：解简单的方程或不等式【典例4】 (1)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________。

(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________。

【解析】 (1)当a <1时，41－a＝21，∴a ＝12；当a >1时，代入不成立。

∴a ＝12。

(2)f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4。

∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x－4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0。

∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}。

【答案】 (1)12 (2){x |x >4或x <0}角度三：指数函数性质的综合应用【典例5】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3。

(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值。

【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)。