一笔画问题

一笔画问题
[引入]
我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷刷几下，一个突显个性的
签名就产生了。

现在请大家看这样一个图形,据说穆罕默德他不识字，于是就以这个
图形作为他的签名。

现在请你拿出笔试试看，你会模仿他的签名吗？（巡视一圈，请
两位同学上黑板模仿）
模仿得像不像呢？我想穆罕默德看到了一定能辨出真假，因为他这个签名是一笔
画成的，你用几笔画成，连接处可能会有空隙，而且这个感觉根一笔画出来的肯定是
不一样。

穆罕默德应该是伊斯兰教的，跟中国的回族有点联系，所以看了这个进口的问题
之后，使我很自然地联想到我们国产的一个游戏，请大家看这个图形，有点像“回”
字，你能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来？这就是中国民间古老的一笔
画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。

大家知不知道古代量米用的“斗”?上
下都是四方的，底小口大，从上往下看就是这样的图形。

我记得我小学时候就玩过这
个游戏，但是试了很久也没有成功，大家动笔试试看。

好像有点难度吧。

这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。

[七桥问题]
故事发生在十八世纪的东普鲁士，哥尼斯堡是一座风景秀丽的城
市，普莱格尔河从这里流过，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧
河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做大河。

汇合处有两座小岛，河
上有7座桥，岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的
墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐
渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只通过一次，最后仍回到起始地点。

这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给著名的瑞士数学家欧拉，向他请教如何解决这个七桥问题。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次
走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是怎样解决这个问题的呢？
欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“大小”，也不能用
“量化计算”来解决。

相反地，这问题属于提出的“位置几何”。

欧拉想到，小岛无非是桥梁的连接地点，两岸陆地也是如此，那么可以把这四处地点用A,B,C,D四个点来表示，同时将七座桥表示成连结其中两点的七条线，就得到这样一张图．于是，欧拉建立了一个数学模型，一个人不重复地走遍所有的七座桥，就相当于从图中某一点出发，不重复地一笔画出图来．这样，“七桥问题”就转化为“一笔画”问题了。

欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。

图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。

这些点有什么特征呢？我们先来看看“过路点”，它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有
出无进，它就是起点。

因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数。

如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须连着偶数条边，这样图上所有点都连偶数条边。

如果起点和终点不是同一点，那么这两点连有奇数条边，这也是图中仅有的连着奇数条边的点。

现在对照七桥问题的图，A点连有3条边，B点连有5条边，C点D点各连3条边，所以欧拉得出的结论是这个图肯定不能一笔画成，也就是说要想不重复的走遍这七座桥是不可能的。

公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，论文的开头是这样写的：“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提起过它，称之‘位置的几何学’。

这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质，它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算，但是至今未有过令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法，……”
欧拉用了最简单的图形——点和线，巧妙地彻底解决了“七桥问题”．虽然，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，但是很可惜，古时候没有人对它引起足够的重视，也没有数学家对它进行经验总结，以及加以研究。

[拓展]
我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。

研究数学问题不应该为“抽象而抽象”，抽象的目的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习的一个样板。

欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它的娱乐价值，由此提出的新思想开辟了数学的一个新的领域——图论，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。

此后许多著名的数学游戏成为图论和拓扑学发展的催化剂和导引，如哈密尔顿问题（绕行世界问题）、四色猜想等。

直到20世纪中期，这两门学科才逐步完善并迅速发展。

在这里我们简单介绍一些图论的基本概念。

所谓图，是指由一些点和连接点的线组成的图形，这些点称为结点，线称为边。

图中的每条边都有两个结点，而且互不相交。

至于边的长度和结点的位置则无关紧要。

如果一个图中的任意两个结点，都可以找到图中的某条弧线，把它们连接起来，那么，这样的图就称为连通的。

每个结点所连的边的条数叫做这个结点的度数，度数是偶数就称为偶点，度数是奇数则称为奇点。

欧拉的结论用图论的语言叙述，那就是：如果一个图是连通的并且奇点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

[应用]
1、最近有个摄影展览，所有作品都布置在画廊里,入口处有个指示图，怎样才能既不走冤枉路又不漏看任一幅作品呢？
可看作这样一个图形来处理。

2、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道，
甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。

如果要选择
最短的线路，谁先回到邮局？
图中A，C为奇点，其余都是偶点。

甲从A点出发，可以不重复到
达C点。

乙从B出发一定会走重复的路，所以甲先回到邮局。

3、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重
复？入口和出口又应设在哪儿？
H点和B点是奇点，其余都是偶点，所以入后和出口应设在H点
和B点。

[小结]
最后回顾一下我们这节课的收获。

我们了解了欧拉对一笔画问题的解决方法，图论的起源，他启示
我们：只要善于用数学的眼光、方法去观察事物，分析问题，就能把生产、生活中的某些问题转化为数学问题，并用数学方法来处理和解决。

[备用资料]
欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字。

据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"
欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．。