4-2概率

= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)=0
（4） D（X）= 0 的充要条件是P{ X = E(X)} =1
（5）D(aX+b ) = a2D(X)
D (aX + b) = E (( aX + b) − E ( aX + b) ) = E (a ( X − E ( X )) + (b − E (b)) )
二、方差的计算 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .
（1）若 X 为离散型 r.v.，分布律为 P( X = xk ) = pk , k = 1,2,
D ( X ) = ∑ ( xk − E ( X ) )若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)
2
2
= E (a ( X − E ( X ))
2
2
)
= a 2 D( X )
推广 若X1, X2, …, Xn相互独立，C0 , C1 , , Cn 为常数，则有
D(C0 + C1 X 1 + C2 X 2 + + Cn X n ) = C12 D( X 1 ) + C22 D( X 2 ) + + Cn2 D( X n )
分别是该分布的数学期望和方差，因而正态分布完全
方差的概念直观背景也可以通过正态分布中 不同σ2的密度曲线反映出来:
f(x)
1 X ~ f ( x) = e 2π σ
( x − µ )2 − 2 2σ
,
x∈ R
0 μ
σ小 σ大 x
若μ固定,σ改变,则σ越大,曲线越平坦, σ越小,曲线越陡峭
分
布
参数
一. 方差的定义
定义：设X 是一个随机变量, 若 E ( X − EX )2 存在,
则称 E ( X − EX )2 为 X 的方差 , 记为 DX ,Var ( X )即
方差 DX = E ( X − EX ) 均方差 (标准差) DX 与X量纲相同
2
(X - EX)2 —— 随机变量X 的取值偏离平均值的 情况, 是X的函数, 也是随机变量 E(X - EX)2 —— 随机变量X的取值偏离平均值的平均 偏离程度—— 数 注: 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度, D(X)≥0
0< p<1 n ≥ 1, 0< p<1 λ>0 a<b
数学期望
p np
方差
p(1 − p ) np(1 − p )
两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
λ λ
μ
λ
λ2
σ2
DX = λ2
DX = 1
(a + b ) 2 (b − a )2 12
λ>0
μ, σ > 0
1 −x λ , x > 0, e f ( x) = λ x ≤ 0. 0,
(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
2 D ( CX ) = C D( X ). 证明 = C 2 D( X ). D(CX ) = E {[CX − E (CX )]2 } = C 2 E {[ X − E ( X )]2 }
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ). 2 D ( X + Y ) = E {[( X + Y ) − E ( X + Y )] } 证明
故
Z = X − Y ~ N (0,1)
+∞ ∫ −∞
E (| X − Y |) = E Z =
EX = np
X 1 , X 2 , , X n
X = ∑ Xi
i =1 n
1, 第 i 次试验事件 A 发生 Xi = 0, 第 i 次试验事件 A 发生
DX i = p(1 − p )
i = 1,2, , n
X 1 , X 2 , , X n 相互独立，
故 DX =
∑ DX
i =1
EX = λ
λ e − λ x , x ≥ 0 f ( x) = x<0 0,
EX =
1
λ
λ2
注：仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布, 例如：
X
-1 0.1
0 0.8
1 0.1 它们有相同 的期望,方差 但是分布 却不同
P 与
EX = 0, DX = 0.2
Y
P
-2
0
2
0.025 0.95 0.025
n
i
= np(1 − p )
4) 均匀分布 设X ～U[a,b] 概率密度为：
1 , f ( x) = b − a 0, a≤ x≤b 其它
求 DX
E( X )
1 = x ∫ a b − a dx
b
a+b 2
2 ) = E( X
∫
2
+∞
−∞
)dx x 2 f ( x=
2
∫
b
a
2 2 1 a + ab + b x2 ⋅ dx = b−a 3
D( X ) = ∫ −∞ ( x − E ( X ) ) f ( x)dx
（3）计算方差的常用公式：
+∞
2
D( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X )
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 .
证明
D( X ) = E {[ X − E ( X )]2 }
= E { X 2 − 2 XE ( X ) + [ E ( X )]2 }
= E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X ) + [ E ( X )]2
2 2 = E ( X ) − E ( X ). = E ( X ) − [ E ( X )] 2 2
三. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) = 0. 证明 D(C ) = E (C 2 ) − [ E (C )]2 = C 2 − C 2 = 0.
+∞
+
−∞
x2 +∞ − 2 ∫− ∞ e
d x
=1
若X ~ N (0,1), 则
E ( X ) = 0, D ( X ) = 1
若X ~ N ( µ ,σ )，则Z =
2
X −µ
E ( Z ) = 0, D ( Z ) = 1
σ
~ N（0， 1）
而X = σZ + µ ,由数学期望和方差的性质得
= E {[ X − E ( X )] + [Y − E (Y )]}2
= E[ X − E ( X )]2 + E[Y − E (Y )]2 + 2 E {[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
而 E (( X − E ( X ))(Y − E (Y ))) = E[XY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y)]
令λ x = t
2 −λ x x f ( x)dx = ∫ λ x e dx
2
+∞
0
1
λ
故
2
∫
2
+∞
0
t e dt =
2 −t
1
D( X ) =
λ
2
− ( )2 =
1
λ 1
2
Γ(3) =
2
λ2
λ
λ2
6) 正态分布 解
设X ~ N (0,1), 求E ( X )和D( X ).
X的概率密度为 x2 1 −2 ϕ ( x) = e 2π
标准化随机变量
设随机变量 X 的期望 EX , 方差 DX 都存在 , 且 DX ≠ 0 , 则称
X − EX X = DX
∗
为 X 的标准化随机变量. EX = 0, DX = 1
X − E ( X ) = E(X ) = E D( X )
*
∗
∗
∗
1 D( X )
= ( X ) E ( X ) − E 0;
+∞
− ∞ < x < +∞
+∞
于是
1 E ( X ) = ∫ xϕ ( x )dx = 2π −∞
+∞ 2
xe ∫ −∞
x2 − 2
dx = 0
2 x +∞ − 2 x e 2 dx
x2 − 1 2 = − x e 2π
1 D( X ) = ∫ ( x − E ( X )) ϕ ( x )dx = ∫ 2π − ∞ −∞
k −2 +∞ λk e − λ λ E[ X ( X − 1)] = ∑ k ( k − 1) ⋅ = λ2 e − λ ∑ = λ2 k! k = 2 ( k − 2)! k =0
+∞
EX = λ + λ
2 2
DX = EX 2 − ( EX ) 2 = λ
3） 设 X ~ B( n , p)，求 DX 解一 仿照上例求DX 解二 引入随机变量
偏离程度 X − E( X )
• • • •••• •• • • • • • • • • • •
5 2 2 甲射手 E (Y − E (Y ) ) = ∑ ( yk − E (Y ) ) pk
X − E ( X ) 6 − 8.3 7 − 8.3 8 − 8.3 9 − 8.3 10 − 8.3 1 概率