湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题

湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U = 集合{}1,2,3,4,5,6A = 集合{}3,4,5,6,7,8B =，则集合U UAB 痧为（ ）A ． {}3,4,5,6B ． {}1,2,7,8,9C ． {}1,2,3,4,5,6,7,8D ． {}9 2．已知点()1,3A ，()4,1B -则与AB 同方向的单位向量是（ ） A ． 34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B ． 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ． 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭3．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ） A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <4．已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ） A ． 31,24⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． ()3,2- D ． ()3,3-5．已知角x 的终边上一点坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（ ） A ．56π B ． 53π C ． 116π D ． 23π6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2=32ln f x x xf x '++，则()2f '的值等于（ ）A ．2B ． 2-C ．94 D ． 94- 7．已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．6365 B ． 6365- C ． 6365± D ． 5138．已知点(),a b 在圆221x y +=上，则函数()2cos sin cos 12af x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（ ）A ． 32,2π-B ． 3,2π-C ． 5,2π- D ． 52,2π-9．函数()f x m =-有零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ． ⎛ ⎝⎭B ．⎡⎢⎣⎦C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭10．设分程220xx ++=和方程2log 20x x ++=的根分别为p 和q ，函数()()()2f x x p x q =+++，则（ ）A ． ()()()203f f f =<B ． ()()()023f f f <<C ． ()()()302f f f <=D ． ()()()032f f f <<二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．请把答案填在答题卡上． 11．已知()tan 2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为13．ABC 中，60A =︒，1b =，三角形ABC 面积S =sin sin sin a b cA B C++=++14．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a b +取值的集合为 15．若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实根，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）17．（本小题满分12分）已知函数()2cos cos f x x x x ωωω-，其中ω为使()f x 能在23x π=时取得最大值的最小正整数． （1）求ω的值；（2）设ABC 的三边长a 、b 、c 满足2b ac =，且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．18．（本小题满分12分）ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，角A 的平分线AD 交BC 边于D ，60A =︒．（1）求证：AD =；（2）若2BD DC =，AD =a 、b 、c 的值． 19．（本小题满分12分）工厂生产某种产品，次品率P 与日产量x （万件）间的关系()()10623x c xP x c ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（c 为常数，且06c <<），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： 100⨯次品数次品率=%产品总数）20．（本小题满分13分）已知()()20f x ax bx c a =++>，当1x ≤时，()1f x ≤． （1）证明1c ≤；（2）若224442a b a b ab ++=+-成立，请先求出c 的值，并利用c 值的特点求出函数()f x 的表达式． 21．（本小题满分14分）已知函数()()()()()1212ln ,x f x a x x g x xe -=---=（a 为常数，e 为自然对数的底）（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立，求a的取值范围．数学（理）参考答案11．19512．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13 14．{}7-15．[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦16．若命题p 为真 ()()210a x a x +-= 显然0a ≠ 2x a ∴=-或1x a= []1,1x ∈- 故有21a -≤或11a≤ 1a ∴≥………………………5分若命题q 为真，就有()22420a x a -=0a ∴=或2a =∴命题“p 或q ”为假命题时，()()1,00,1a ∈-………………………12分17．（1）()1sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，依题意有()42362k k Z πωπππ-=+∈ 即()312k k Z ω+=∈ ω的最小正整数值为22ω∴= ………………………5分 （2）2b ac = 又 2222c o s b a c a B =+-222cos a c ac B ac ∴+-= 即22212cos 2a c ac B ac ac++=≥= 12cos 2B ∴+≥ 1c o s 2B ∴≥ 03B π∴<≤即0,3A π⎛⎤= ⎥⎝⎦……………………………………8分()1sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 03x π<≤74666x πππ∴-<-≤1sin 4,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…………………………10分 ()11,2f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦故函数()f x 的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………12分18．（1）S ABC S ABD S ACD =+ 即111sin 60sin 30sin 30222b c cADbAD ︒=︒+︒AD ∴=………………………………5分 （2）2BD DC = 2c B D b D C∴== 2c b ∴= ①……………………7分又()4bc b c =∴=+ ②…………………………9分由①②解得6,12b c ==…………………………………………10分又在ABC 中 2222212c o s 61226122a b c b B =+-=+-⨯⨯⨯a ∴= ……………………………………………………12分 19．（1）当x c >时，23p =，222130333y x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭…………2分 当0x c <≤时，16p x=-()()23921131366226x x y x x x x x -⎛⎫⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭……………4分 ∴日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数关系式为()()()()23920260x x x c y x x c ⎧-⎪<≤=-⎨⎪>⎩……………………………………5分（2）当x c >时，日盈利额为0当0x c <≤时，()()239226x x y x -=-()()()2239326x x y x --'∴=- 令0y '=得3x =或9x =（舍去）∴当03c <<时，0y '> ∴y 在(]0,c 上单增 ∴y 最大值()()()239226c c f c c -==- ………………………………9分当36c ≤<时，y 在()0,3上单增，在()3,c 上单减 ∴y 最大值()932f ==……………………………………10分综上：当03c <<时，日产量为c 万件y 日盈利额最大当36c ≤<时，日产量为3万件时日盈利额最大20．（1）1x ≤时 ()()101f x f ≤∴≤0c ∴≤ ……………………………………………………4分（2）由224442a b a b ab ++=+-得到()220a b +-=2a b ∴+= ……………………………………………………5分 又1x ≤时 ()11f ∴≤ 即11a b c -≤++≤将2a b +=代入上式得31c -≤≤- 又 11c -≤≤1c ∴=- ……………………………………………………8分又()01f c ==- 1x ≤时()1f x ≥()()0f x f ∴≥对1x ≤均成立0x ∴=为函数()f x 为对称轴 ………………………………10分002bb a∴-=∴= 又22a b a +=∴= 201a b c ∴===- ………………………………………………12分 ()221f x x ∴=- ………………………………………………13分21．（1）1a =时，()()22ln 11f x x x f x x'=--=- 由()0f x '>得2x > ()0f x '<得02x <<故()f x 的减区间为()0,2 增区间为()2,+∞ …………………………3分 （2）因为()0f x <在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能故要使()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立 即10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ln 21xa x >-- …………………………………5分 令()2ln 120,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭则()()222ln 21x x l x x +-'=- 再令()212ln 20,2m x x x x⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭()()2210x m x x --'=< 于是在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上()m x 为减函数 故()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭()0l x '∴>在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立()l x ∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数()12l x l ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭ 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立又124ln 22l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故要使ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，a 的最小值为24ln 2-………………8分（3）()()11xf x x e -'=-当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x ∴为增函数 当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x ∴为减函数()()()100,110e g g g e e e -===>∴函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1 …………………………………9分当2a =时，不合题意 当2a ≠时，()()()2220,a x a f x x e x⎛⎫--⎪-⎝⎭'=∈故202e a <<- 22a e∴<-① ……………………………………………………10分此时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下0x →时，()f x →+∞，2ln 22f a a a ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()212f e a e =---∴任意定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立， 当且仅当a 满足下列条件202f a ⎛⎫< ⎪-⎝⎭即22ln 02a a ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭②()1f e >即()()2121a e ---≥ ③……………………11分令()222ln ,22h a a a a e ⎛⎫⎛⎫=-∈-∞-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()2ah a a '=- 令()0h a '=得0a = 当(),0a ∈-∞时，()0h a '> 函数()h a 为增函数 当20,2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h a '< 函数()h a 为减函数 所以在任取2,2a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有()()00h a h ≤=即②式对2,2a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立 ……………………………………13分由③解得3,21a e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭ ④由①④ 当3,21a e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时对任意(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使()()0i f x g x =成立。