3章-随机数与随机变量PPT
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3章-随机数与随机变量PPT
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第三章 随机数与随机变量
2
①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
设具有独立同分布的随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，令
Y X1 X2 L Xm
m
Y Y 则 的分布函数与 Xi 的分布函数相同，此时称 的 i1
分布为 X i 的 m 折卷积。为了生成 Y ，可先独立地
从相应分布函数产生随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，然后
利用上式得到 Y ，这就是卷积法。
14
例：特定供应商提供的发动机次品率为10%，求 批量为5的发动机中每批的次品数
❖binomial(0.1,5)
分布列如表
15
3.3 随机数发生器
❖ 对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系 统或过程本身包含固有的随机组成成分，就 需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。 例如，排队系统中的时间间隔，服务时间， 库存系统中的需求量等。在计算机仿真中， 能否产生具有一定性能要求的随机数是决定 仿真是否可信的重要因素之一。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
第三章 随机数与随机变量
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①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
设具有独立同分布的随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，令
Y X1 X2 L Xm
m
Y Y 则 的分布函数与 Xi 的分布函数相同，此时称 的 i1
分布为 X i 的 m 折卷积。为了生成 Y ，可先独立地
从相应分布函数产生随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，然后
利用上式得到 Y ，这就是卷积法。
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例：特定供应商提供的发动机次品率为10%，求 批量为5的发动机中每批的次品数
❖binomial(0.1,5)
分布列如表
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3.3 随机数发生器
❖ 对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系 统或过程本身包含固有的随机组成成分，就 需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。 例如，排队系统中的时间间隔，服务时间， 库存系统中的需求量等。在计算机仿真中， 能否产生具有一定性能要求的随机数是决定 仿真是否可信的重要因素之一。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
高二数学 随机变量及其概率分布 ppt名师课件
例.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖， 飞镖落在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶 内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个 圆为同心圆，半径分别为20cm，10cm， 5cm，飞镖落在不同区域的环数如图所 示，设这位同学投掷一次得到的环数为X， 求随机变量X的分布列
10 9 8
例.一个袋中装有黑球和白球共7个，从中 任取2个球都是白球的概率为1/7，现在 甲、乙两人从袋中轮流摸取一球，甲先 取，乙后取，然后甲再取，……，取后 不放回，直到两人中有一人取到白球时 即终止，每个球在每一次被取出的机会 是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)用X表示取球终止时所需要的取球次数， 求随机变量X的概率分布； (3)求甲取到白球的概率；
例.某大厦的一部电梯从底层出发后只能 在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层 载有5位乘客，且每位乘客在这三层的 每一层下电梯的概率均为1/3，用X表示 这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随 机变量X的分布列
课堂小结
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫做随机变量．
例.设随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
P
1
1
6
3
1 6
a
则a的值为
．
例.设随机变量ξ的分布列为
P(
i
)
a
1
i
,
3
i 1,2,3 ,则a的为
．
例.从一批有10个合格品与3个次品的 产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同.每次抽取出的 产品都不放回此批产品,求直到取出一 个合格品为止时所需抽取次数X的概率 分布表.
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
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四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
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例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
高二数学随机数的含义与应用PPT教学课件
[解析] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距 离 取 遍 [0,6] 内 的 任 意 数 ， 并 且 每 一 个 实 数 被 取 到 都 是 等 可 能 的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,6] 上的均匀随机数，其中取得[2,4]内的随机数就表示剪得两段长 都不小于 2m.这样取得的[2,4]内的随机数个数与[0,6]内个数之 比就是事件 A 发生的频率．
• 1.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和 [－4,1]内的均匀随机数y1、y2，需实施的变 换分别为( )
• A．y1＝－4x，y2＝5x－4 • B．y1＝4x－4，y2＝4x＋3 • C．y1＝4x，y2＝5x－4 • D．y1＝4x，y2＝4x＋3 • [答案] C
• [解析] ∵x∈[0,1]，∴4x∈[0,4]，5x－ 4∈[－4,1]，故选C.
• 4.在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级 品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的 概率．
• [解析] 一级品和二级品的数量不相等，所以 抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同， 但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以 用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠 笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用 8～10内的整数随机数x表示二级品．
• [点评] 用随机数模拟的关键是把实际问题中 事件A及基本事件总体对应的区域转化为随 机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这 种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试 验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机 数，可以产生大量的随机数，又可以自动统 计试验的结果，同时可以在短时间内多次重 复试验，可以对试验结果的随机性和规律性 有更深刻的认识．
• 设事件A＝“取得一级品”
• (1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算 机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1 到10之间的整数随机数，分别用1、2、3、4、 5、6、7表示取得一级品，用8,9,10表示取得 二级品；
• 1.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和 [－4,1]内的均匀随机数y1、y2，需实施的变 换分别为( )
• A．y1＝－4x，y2＝5x－4 • B．y1＝4x－4，y2＝4x＋3 • C．y1＝4x，y2＝5x－4 • D．y1＝4x，y2＝4x＋3 • [答案] C
• [解析] ∵x∈[0,1]，∴4x∈[0,4]，5x－ 4∈[－4,1]，故选C.
• 4.在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级 品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的 概率．
• [解析] 一级品和二级品的数量不相等，所以 抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同， 但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以 用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠 笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用 8～10内的整数随机数x表示二级品．
• [点评] 用随机数模拟的关键是把实际问题中 事件A及基本事件总体对应的区域转化为随 机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这 种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试 验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机 数，可以产生大量的随机数，又可以自动统 计试验的结果，同时可以在短时间内多次重 复试验，可以对试验结果的随机性和规律性 有更深刻的认识．
• 设事件A＝“取得一级品”
• (1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算 机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1 到10之间的整数随机数，分别用1、2、3、4、 5、6、7表示取得一级品，用8,9,10表示取得 二级品；
《随机变量 》课件
正态分布
广泛应用于自然和社会科学中， 形态对称且集中在均值附近的分 布。
随机变量的应用
统计学中的应用
随机变量在统计学中广泛应 用于推断、模型估计和假设 检验等领域。
金融学中的应用
随机变量在金融学中用于模 拟风险、计算期权定价和构 建投资组合等。
工程学中的应用
随机变量在工程学中有助于 分析不确定性、预测可靠性 和设计优化。
式，用于估计随机变量与其期望之间的
3
关系。
期望、方差和标准差
解释了随机变量的期望、方差和标准差， 并讨论了它们的重要性。
大数定理和中心极限定理
讲解了大数定理和中心极限定理，揭示 了随机变量的稳定性和分布规律。
一些常见的随机变量
二项分布
描述了具有两个互补结果的随机 试验的分布。
泊松分布
用于描述单位时间内独立随机事 件发生次数的分布。
频率函数用于描述离散随机变 量的分布，概率密度函数用于 描述连续随机变量的分布。
离散随机变的分布
介绍了常见的离散随机变量分 布，如二项分布和泊松分布。
连续随机变量的分布
介绍了常见的连续随机变量分 布，如正态分布和指数分布。
随机变量的数字特征1Fra bibliotek切比雪夫不等式和马尔科夫不等
2
式
介绍了切比雪夫不等式和马尔科夫不等
总结
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，掌握随机变量的定义、分布和 数字特征对于深入理解概率与统计学至关重要。
《随机变量 》PPT课件
本课件介绍了随机变量的基本概念、分布以及数字特征，还探讨了随机变量 在统计学、金融学和工程学中的应用。
什么是随机变量
定义
随机变量是表示随机实验结果的数值的变量。
【正式版】随机变量的概念pptPPT
在测量灯泡的寿命中,结果用大于零的实 随机变量的取值具备随机性。
※ 随机变量的两个特征: 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：
数表示. 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，但可将其 数量化,
随机变量的概念ppt
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function
R.V.
and
D.F.
一、随机变量的概念:
基本思想: 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验的 从中任意抽取2个,观察抽球结果。
“两只红球”=“Y取到值2”,
②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 (Random variable)
即可规定:用 1 表示 “正面”，
定义域是 1、直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事
先确定它将要取哪一个值；
※ 随机变量的两个特征: {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
在第一章中,也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 和“反面”来表示的，但可将其 数量化, 即可规定:用 1 表示 “正面”，
用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红 一白.
{X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]} 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 随机变量的两个特征: 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：
数表示. 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，但可将其 数量化,
随机变量的概念ppt
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function
R.V.
and
D.F.
一、随机变量的概念:
基本思想: 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验的 从中任意抽取2个,观察抽球结果。
“两只红球”=“Y取到值2”,
②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 (Random variable)
即可规定:用 1 表示 “正面”，
定义域是 1、直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事
先确定它将要取哪一个值；
※ 随机变量的两个特征: {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
在第一章中,也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 和“反面”来表示的，但可将其 数量化, 即可规定:用 1 表示 “正面”，
用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红 一白.
{X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]} 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
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23
❖ 二.中值平分法 X0=6541，U0=0.6541
X02=42784681，中间位数X1=7846，
U2=0.7846 …… 若出现奇位数 则在平方数前补齐零
24
❖ 三.加同余法
只需要n个随机数的序列x1，…，xn，然后 随机发生器把序列扩充为xn+1，xn+2,…即可
公式
xi (xi1 xin ) mod m
Zi (aZi1 c) mod m i 1, 2,...
Ui
Zi m
Ui [0,1]
*例：令Z0 =27， a=17，c=43，m=100，确定i=1,2,3 的随机数。
解：产生的整数值将总是在0-99之间， Z0 =27 Z1 = (17×27+43) mod 100=2， U1 =2/100=0.02
38
例题
双指数分布的概率密度函数为 f (x) 0.5e- x
密度分布如图所示。试生成服从该分布的随机变量。
图 双指数分布的密度函数曲线
39
例题
解：该分布的概率密度函数，可以由以下两个函数 组合起来表示
f (x) 0.5ex I(,0) (x) 0.5e-x I(0,) (x)
式中
1 x A I A (x) 0 x A
❖m和c互为质数，即唯一的公约数是1； ❖如果q是一个能整除m的质数,则q能整除a-1； ❖如果m能被4整除，则a-1也能被4整除。
22
❖ 二.中值平分法 首先给出一个初值种子X0，对该数的平 方取中间值的位数，将小数点放在数的最 前方就得到一个随机数。 中间位数X1平方，按照同样方法产生第 二个随机数。 缺点：重复、退化
20
❖ 线性同余发生器的缺点
2.所得到的Ui序列只能取有理数值 0,1/m,2/m，…，m-1/m，或其中的一部分， 这取决于a，c，m，Z0。只有当m足够大 时，在[0,1]区间内的取点才足够密集。这 可以保证在大多数情况下，获得与真实的 在[0,1]区间上的均匀分布足够接近的随机 数。
21
3.循环，即产生的随机数具有周期性。当 Zi所取的值与以前的某次取值相同时，就 会产生相同的序列取值，并无穷重复下去。 这个周期的长短称为发生器的周期。显然 周期最大=m，称为全周期。LCG具有全周 期的充要条件为：
补充：第二章作业
1.以单队列单服务台的排队系统为例，简述事件、活 动和进程3个基本要素之间的关系。 2.与固定步长推进法相比，在仿真过程中推进仿真时 间的变步长推进法有什么优点？ 3.简述排队系统和库存系统的主要特征，并说说他们 的区别？ 4.假设有一家超级市场请你去为他们建立商场的仿真 模型，用来分析超级市场的运行现状并提出建议。简 述你的工作计划。
分布定义
❖常用于描述单位时间、单位面积或单位空间中罕见 “质点”总数的随机分布规律。罕见事件的发生数 为X，则X服从泊松分布。
如单位时间内放射型物质放射出α粒子的数目；
单位长度的布匹上的疵点数
路口通过的车辆数
服务台到达的顾客数…
函数
10
❖Poisson(mean,stream,substream)
27
❖ 四.组合发生器
n个独立的随机数发生器
组合发生器
28
3.4 随机变量的产生方法
❖ 随机系统中的不确定性事件的相关变量，如 到达间隔时间、服务时间等，是用具有某种 统计分布的随机变量来进行建模的。
❖ 计算机仿真模型产生随机变量的方法一般是 首先通过某种算法产生一个[0,1]区间均匀分布 的随机数，然后采用逆变法或其他方法产生 服从某分布的随机变量。
F(x) f(t)dt
x 0
0
,x0
x 1 ln(1 u)
xi
1
ln ui
32
33
❖ 逆变换法生成均匀分布的随机变量
概率密度函数
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0 , 其他
累积分布函数
0 , x a
F
(x)
x b
a a
,
a
x
b
1 , x b
均匀分布随机变量生成器
x a (b a)u
16
3.3 随机数发生器
❖ 按照某种概率分布要求产生一系列的随机数。 ❖ 伪随机数：按照一定的计算方法产生的一列
数，使它们具有类似于均匀随机变量的性质， 称这样产生的一系列数值为伪随机数。
17
❖ 一.线性同余法(线性同余发生器LCG)：*
Zi (aZi1 c) mod m i 1, 2,...
Z2 = (17×2+43) mod 100=77， U2 =77/100=0.77
Z3 = (17×77+43) mod 100=52， U3 =52/100=0.52 19
❖ 线性同余发生器的缺点
1.由公式计算得到的随机数序列并不是真 正意义上的随机数，其取决于参数a，c， m，Z0。为使利用LCG产生的随机数在 [0,1]区间上表现出均匀分布的特性，必须 适当选择参数。所以产生的随机数是否满 足需求，要对随机数发生器的均匀性、独 立性和相关性进行检验和评价。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
6
❖ 物流系统中的随机事件举例
客户的需求 物流设备作业时间 设备故障、调整 交通阻塞 交货期 ……
7
3.1 随机变量与随机数
❖ 随机变量：X
❖ 离散型随机变量：若随机变量只能在有限或 可列无穷多个(实数)点上取值，则称该随机 变量为离散型随机变量。概率分布三种表示
方式：
公式法：如泊松分布 P(x k) k e k!
生成随机变量
N 仿真结束？
报告生成器
Y
(1)计算有关评价指标 (2)写仿真报告
终止
3
图 离散事件系统仿真变步长时间推进法的控制流
学习内容
❖ 3.1随机变量与随机数 ❖ 3.2 常用分布 ❖ 3.3 随机数发生器 ❖ 3.4 随机变量的产生方法
4
学习要求
掌握：
线性同余发生器、中值法、加同余法生成伪随 机数；
f
(x)
1, x 0,1 0, x 0,1
,
则X为[0,1]上的均匀分布函数。在计算机上
可产生X的抽样序列{ xn }，通常称 xn 为[0,1]
上均匀分布随机变量X的随机数。
9
3.2 常用分布
❖ 分布函数：F(x)=P(X≤x)，概率累积函数/累积分布函数
❖ 1.泊松分布：P(λ), λ是X的数学期望。
1
第三章 随机数与随机变量
2
①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
❖Normal(90,0.5)
12
3.2 常用分布
❖ 4.指数分布：X~EXPO（ λ ）
含义
❖表示独立随机事件发生的时间间隔
函数 Negexp(mean,stream,substeam) 例
❖旅客到达机场的时间间隔；客户订单到达的时间间 隔；电子元器件寿命分布
13
3.2 常用分布
❖ 5.二项分布： XB(trial,prob)
3.2 常用分布
❖ 2.均匀分布：X~U（a，b）
含义
❖随机变量X在区间[min,max]的取值机会相等 ❖如果区间[min,max]为一整数区间，那么X服从整数
均匀分布 ❖对某一变量的数据了解甚少，并且希望获得特定范
围内的实数值时，采用该函数
函数
❖Uniform(min,max,stream,substream)
37
3.合成法
若x的密度函数可写成
f (x) p j f j (x) j 1
且 合成法步骤如下：
p j 0 , p j 1 。 j 1
(1) 产生一个正随机变量 J ，满足
PJ j p j
j =0,1,2,…
(2) 根据 J 取不同的 j 值，产生服从分布函
数 Fj (x) (与 f j (x)相对应)的 X ，然后返回。
29
3.4 随机变量的产生方法
❖ 本节假定一个已经完全确定的分布，来寻 找方法生成这个分布的随机数样本，以输 入仿真模型使用。
❖ 本节所有方法均假设随机数u1，u2，…为均 匀分布U(0,1)。
30
❖ 1.逆变换法(反函数法)*
逆变换法也称反函数法，若U~U(0,1)，而F-1(U) 是分布函数F(x)的反函数，则X= F-1(U) ~ F(x)。 由随机数U(0,1)可直接生成规定分布F(x)的随机 变量{ xi }。
Ui
Zi m
Ui [0,1]
Ui为第i个随机数，Z0称为随机数源或种子值；
a为乘子；c为增量；mc＜m,Z0＜m。
❖ 将种子值Z0代入，得到一个Z0，Z1，…，Zi，…，
Zn序列值。
❖ 再令
Ui
Zi m
Ui [0,1] ，则可得到均匀分布随机
数U(0,1)。
18
分布定义
❖任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结 果，发生的概率分别是：p和1-p；
❖ 二.中值平分法 X0=6541，U0=0.6541
X02=42784681，中间位数X1=7846，
U2=0.7846 …… 若出现奇位数 则在平方数前补齐零
24
❖ 三.加同余法
只需要n个随机数的序列x1，…，xn，然后 随机发生器把序列扩充为xn+1，xn+2,…即可
公式
xi (xi1 xin ) mod m
Zi (aZi1 c) mod m i 1, 2,...
Ui
Zi m
Ui [0,1]
*例：令Z0 =27， a=17，c=43，m=100，确定i=1,2,3 的随机数。
解：产生的整数值将总是在0-99之间， Z0 =27 Z1 = (17×27+43) mod 100=2， U1 =2/100=0.02
38
例题
双指数分布的概率密度函数为 f (x) 0.5e- x
密度分布如图所示。试生成服从该分布的随机变量。
图 双指数分布的密度函数曲线
39
例题
解：该分布的概率密度函数，可以由以下两个函数 组合起来表示
f (x) 0.5ex I(,0) (x) 0.5e-x I(0,) (x)
式中
1 x A I A (x) 0 x A
❖m和c互为质数，即唯一的公约数是1； ❖如果q是一个能整除m的质数,则q能整除a-1； ❖如果m能被4整除，则a-1也能被4整除。
22
❖ 二.中值平分法 首先给出一个初值种子X0，对该数的平 方取中间值的位数，将小数点放在数的最 前方就得到一个随机数。 中间位数X1平方，按照同样方法产生第 二个随机数。 缺点：重复、退化
20
❖ 线性同余发生器的缺点
2.所得到的Ui序列只能取有理数值 0,1/m,2/m，…，m-1/m，或其中的一部分， 这取决于a，c，m，Z0。只有当m足够大 时，在[0,1]区间内的取点才足够密集。这 可以保证在大多数情况下，获得与真实的 在[0,1]区间上的均匀分布足够接近的随机 数。
21
3.循环，即产生的随机数具有周期性。当 Zi所取的值与以前的某次取值相同时，就 会产生相同的序列取值，并无穷重复下去。 这个周期的长短称为发生器的周期。显然 周期最大=m，称为全周期。LCG具有全周 期的充要条件为：
补充：第二章作业
1.以单队列单服务台的排队系统为例，简述事件、活 动和进程3个基本要素之间的关系。 2.与固定步长推进法相比，在仿真过程中推进仿真时 间的变步长推进法有什么优点？ 3.简述排队系统和库存系统的主要特征，并说说他们 的区别？ 4.假设有一家超级市场请你去为他们建立商场的仿真 模型，用来分析超级市场的运行现状并提出建议。简 述你的工作计划。
分布定义
❖常用于描述单位时间、单位面积或单位空间中罕见 “质点”总数的随机分布规律。罕见事件的发生数 为X，则X服从泊松分布。
如单位时间内放射型物质放射出α粒子的数目；
单位长度的布匹上的疵点数
路口通过的车辆数
服务台到达的顾客数…
函数
10
❖Poisson(mean,stream,substream)
27
❖ 四.组合发生器
n个独立的随机数发生器
组合发生器
28
3.4 随机变量的产生方法
❖ 随机系统中的不确定性事件的相关变量，如 到达间隔时间、服务时间等，是用具有某种 统计分布的随机变量来进行建模的。
❖ 计算机仿真模型产生随机变量的方法一般是 首先通过某种算法产生一个[0,1]区间均匀分布 的随机数，然后采用逆变法或其他方法产生 服从某分布的随机变量。
F(x) f(t)dt
x 0
0
,x0
x 1 ln(1 u)
xi
1
ln ui
32
33
❖ 逆变换法生成均匀分布的随机变量
概率密度函数
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0 , 其他
累积分布函数
0 , x a
F
(x)
x b
a a
,
a
x
b
1 , x b
均匀分布随机变量生成器
x a (b a)u
16
3.3 随机数发生器
❖ 按照某种概率分布要求产生一系列的随机数。 ❖ 伪随机数：按照一定的计算方法产生的一列
数，使它们具有类似于均匀随机变量的性质， 称这样产生的一系列数值为伪随机数。
17
❖ 一.线性同余法(线性同余发生器LCG)：*
Zi (aZi1 c) mod m i 1, 2,...
Z2 = (17×2+43) mod 100=77， U2 =77/100=0.77
Z3 = (17×77+43) mod 100=52， U3 =52/100=0.52 19
❖ 线性同余发生器的缺点
1.由公式计算得到的随机数序列并不是真 正意义上的随机数，其取决于参数a，c， m，Z0。为使利用LCG产生的随机数在 [0,1]区间上表现出均匀分布的特性，必须 适当选择参数。所以产生的随机数是否满 足需求，要对随机数发生器的均匀性、独 立性和相关性进行检验和评价。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
6
❖ 物流系统中的随机事件举例
客户的需求 物流设备作业时间 设备故障、调整 交通阻塞 交货期 ……
7
3.1 随机变量与随机数
❖ 随机变量：X
❖ 离散型随机变量：若随机变量只能在有限或 可列无穷多个(实数)点上取值，则称该随机 变量为离散型随机变量。概率分布三种表示
方式：
公式法：如泊松分布 P(x k) k e k!
生成随机变量
N 仿真结束？
报告生成器
Y
(1)计算有关评价指标 (2)写仿真报告
终止
3
图 离散事件系统仿真变步长时间推进法的控制流
学习内容
❖ 3.1随机变量与随机数 ❖ 3.2 常用分布 ❖ 3.3 随机数发生器 ❖ 3.4 随机变量的产生方法
4
学习要求
掌握：
线性同余发生器、中值法、加同余法生成伪随 机数；
f
(x)
1, x 0,1 0, x 0,1
,
则X为[0,1]上的均匀分布函数。在计算机上
可产生X的抽样序列{ xn }，通常称 xn 为[0,1]
上均匀分布随机变量X的随机数。
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3.2 常用分布
❖ 分布函数：F(x)=P(X≤x)，概率累积函数/累积分布函数
❖ 1.泊松分布：P(λ), λ是X的数学期望。
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第三章 随机数与随机变量
2
①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
❖Normal(90,0.5)
12
3.2 常用分布
❖ 4.指数分布：X~EXPO（ λ ）
含义
❖表示独立随机事件发生的时间间隔
函数 Negexp(mean,stream,substeam) 例
❖旅客到达机场的时间间隔；客户订单到达的时间间 隔；电子元器件寿命分布
13
3.2 常用分布
❖ 5.二项分布： XB(trial,prob)
3.2 常用分布
❖ 2.均匀分布：X~U（a，b）
含义
❖随机变量X在区间[min,max]的取值机会相等 ❖如果区间[min,max]为一整数区间，那么X服从整数
均匀分布 ❖对某一变量的数据了解甚少，并且希望获得特定范
围内的实数值时，采用该函数
函数
❖Uniform(min,max,stream,substream)
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3.合成法
若x的密度函数可写成
f (x) p j f j (x) j 1
且 合成法步骤如下：
p j 0 , p j 1 。 j 1
(1) 产生一个正随机变量 J ，满足
PJ j p j
j =0,1,2,…
(2) 根据 J 取不同的 j 值，产生服从分布函
数 Fj (x) (与 f j (x)相对应)的 X ，然后返回。
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3.4 随机变量的产生方法
❖ 本节假定一个已经完全确定的分布，来寻 找方法生成这个分布的随机数样本，以输 入仿真模型使用。
❖ 本节所有方法均假设随机数u1，u2，…为均 匀分布U(0,1)。
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❖ 1.逆变换法(反函数法)*
逆变换法也称反函数法，若U~U(0,1)，而F-1(U) 是分布函数F(x)的反函数，则X= F-1(U) ~ F(x)。 由随机数U(0,1)可直接生成规定分布F(x)的随机 变量{ xi }。
Ui
Zi m
Ui [0,1]
Ui为第i个随机数，Z0称为随机数源或种子值；
a为乘子；c为增量；mc＜m,Z0＜m。
❖ 将种子值Z0代入，得到一个Z0，Z1，…，Zi，…，
Zn序列值。
❖ 再令
Ui
Zi m
Ui [0,1] ，则可得到均匀分布随机
数U(0,1)。
18
分布定义
❖任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结 果，发生的概率分别是：p和1-p；