第十六章 二次根式复习学案2
16二次根式复习2导学案
复习导学案备课时间授课时间学习目标知识目标：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．能力目标：通过旧知识进行探究新的知识，更好的理解和掌握新的内容，提高解决问题的能力情感目标：发展学生探索知识的能力．在探索中找到快乐。
重点含二次根式的式子的混合运算．难点综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．预习导引1．二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．（1）（2）（3）2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．乘法法则： . 除法法则：反过来: .疑惑的问题问题导学3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：课堂教学的方式、方法当堂检测1．（-3）2=________．2．若3x-+3x-有意义，则2x-=_______．3．2211(2)(2)33+-的值是（）．A．0B．23C．4234．化简3227-的结果是（）A．-23B．-23C．-63D．-25．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④6．若x=2-1，则x2+2x+1=________．7．已知a=3+22，b=3-22，求a2b-ab2作业教知学识反小思结。
人教版数学八年级下册 第16章二次根式全章复习教学设计
课题：二次根式全章复习教材：人教版数学八年级下册 第16章 教 学 目 标 知识技能 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．较熟练的用本章所涉及的思考策略解决一些难度较高的问题．数学思考 综合运用二次根式的性质及运算法则计算含二次根式的式子．问题解决 含二次根式的式子的混合运算．体会解决问题能力，发展实践能力与创新意识．情感态度积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合作交流、独立思考的学习习惯． 教学重点 二次根式的加减乘除乘方混合运算.教学难点 熟练的用本章所涉及的思考策略解决一些难度较高的含二次根式的问题． 教学方法 限时讲授，合作学习，踊跃展示．1、定义：2、性质：⎪⎩⎪⎨⎧==2.2a3、运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧混合运算加减运算乘除运算（先 ，再 ；）)0( ).(12≥=a a )0 0( ≥≥=b a ab )0 0( >≥=b a b a二、本章涉及的思考策略1．转化二次根式被开方数中字母的取值范围问题转化为解不等式(组)或方程问题 例1 x 取何值，下列各式在实数范围内有意义⑴ 21-+x x注：学生独立完成，每组代表展示 练习：求使式子aa a ---++61415有意义的a 的取值范围注：小组讨论，合作展示练习：自主归纳：求二次根式中字母的取值范围的基本依据是2．类比⑴在有理数范围内成立的运算律同意适用于二次根式的运算⑵整式的加减法则,乘除法则,乘法公式同样适用于二次根式的运算例3 计算注：学生独立完成，每组代表展示.35)2(x x -+.322的值，求已知x y x x y +-+-=441.222+-+-a a a ）化简（例;48813125.032⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+;3310241733242412143424133222124+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+--+=解：原式练习：自主归纳：3．分类 ⑴关于2a 中a 的讨论⑵求值问题类型1: 直接代入求值．例4 已知23-=x ,求12++x x 的值．练习： 已知32,32+=--=-z y y x ，求222)()()(x z z y y x -+-+-的值．注：学生独立完成，每组代表展示类型2：智巧求值例5 已知25-=x ，求14423+++x x x 的值 解：将25-=x 变形为52=+x两边平方，得5442=++x x两边同乘x ，得x x x x 54423=++04423=++∴x x x 110=+=∴原式注：小组讨论，教师点拨，合作展示类型3：构造二次根式，再带入求值注：小组讨论，合作展示自主归纳：()().3211113222-+.10.622的值，求，小数部分是的整数部分是已知例b a b a +三、拓展提高：已知2=(2++=+,化简22+2)131222+-3+3222注：学生讨论，教师讲解，自主完成．四、自我小结：五、布置作业《课本》复习题16之3、4、5、6、8六、教师反思。
2023年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习2》学案
新人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习2》学案备课时间授课时间学习目标知识目标：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．能力目标：通过旧知识进行探究新的知识，更好的理解和掌握新的内容，提高解决问题的能力情感目标：发展学生探索知识的能力．在探索中找到快乐。
重点含二次根式的式子的混合运算．难点综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．预习导引1．二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．（1）（2）（3）2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．乘法法则： . 除法法则：反过来: .疑惑的问题问题导学3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：课堂教学的方式、方法当堂检测1．（-3）2=________．2．若3x-+3x-有意义，则2x-=_______．3．2211(2)(2)33+-的值是（）．A．0B．23C．4234．化简3227-的结果是（）A．-23B．-23C．-63D．-25．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④6．若x=2-1，则x2+2x+1=________．7．已知a=3+22，b=3-22，求a2b-ab2作业教知学识反小思结八年数学16.二次根式复习3复习导学案主备人：吕慧备课时间202X年3月4日授课时间学习目标知识目标：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．能力目标：通过旧知识进行探究新的知识，更好的理解和掌握新的内容，提高解决问题的能力情感目标：发展学生探索知识的能力．在探索中找到快乐。
人教版数学八年级下册第16章二次根式全章复习教学设计新部编版
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校课题：二次根式全章复习教材：人教版数学八年级下册第 16章使学生进一步理解二次根式的意义及基天性质，并能娴熟地化简含二次根式的式子；知识技术教娴熟地进行二次根式的加、减、乘、除混淆运算．较娴熟的用本章所波及的思虑策略解决一些难度较高的问题．学目标数学思虑综合运用二次根式的性质及运算法例计算含二次根式的式子．含二次根式的式子的混淆运算．问题解决领会解决问题能力，发展实践能力与创新意识．踊跃参加数学活动，对其产生好奇心和求知欲．[根源:Z+xx+]感情态度形成合作沟通、独立思虑的学习习惯．教课要点二次根式的加减乘除乘方混淆运算.教课难点娴熟的用本章所波及的思虑策略解决一些难度较高的含二次根式的问题．教课方法限时解说，合作学习，踊跃展现．一知识及其结构（学生自主达成，组内互查）1、定义：2、性质：2( a 0)1.( a)2. a2ab(a 0 b 0)乘除运算ab(a 0 b0)3、运算加减运算（先，再；）混淆运算二、本章波及的思虑策略 1．转变二次根式被开方数中字母的取值范围问题转变为解不等式 (组)或方程问题例 1 x 取何值，以下各式在实数范围内存心义⑴x 1 x 5 x2(2).3 x注：学生独立达成，每组代表展现练习：求使式子1 1 a 5存心义的 a 的取值范围a 46 a例2.化简（ 12a 24a 4a ）注：小组议论，合作展现练习： 已知 yx 22 x 3，求 y x 的值 .自主概括： 求二次根式中字母的取值范围的基本依照是2．类比⑴在有理数范围内建立的运算律赞同合用于二次根式的运算⑵整式的加减法例 ,乘除法例 ,乘法公式相同合用于二次根式的运算例3 计算320.5211 48 ;38解：原式4 21 2 2 3 1 2 4 32 3 4 41 12 4 2 324 317 210 3;4 3注：学生独立达成，每组代表展现精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan练习：311222211 3 .自主概括：3．分类⑴对于 a 2中a的议论⑵求值问题种类 1: 直接代入求值．例 4 已知x32,求x2x 1 的值．练习：已知 x y23, y z23 ，求 ( x y) 2( y z) 2( z x) 2的值．注：学生独立达成，每组代表展现种类 2：智巧求值例 5已知 x 5 2，求 x34x24x 1的值解：将 x 5 2变形为x 25两边平方，得 x 24x 45两边同乘 x ，得 x34x 24x5xx 34x 24x 0原式 011注：小组议论，教师点拨，合作展现种类 3：结构二次根式，再带入求值例 6.已知10的整数部分是a，小数部分是b，求 a2b2的值 .注：小组议论，合作展现自主概括：精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan 三、拓展提升：已知( 2 1)2 2 2 2 1 3 2 2,化简 3 22 3 22注：学生议论，教师解说，自主达成．四、自我小结：五、部署作业《课本》复习题16 之 3、4、5、6、8六、教师反省。
人教版八年级数学下册第十六章复习学案2
《二次根式》复习一、学习目标1、认识二次根式的定义，掌握二次根式存心义的条件和性质。
2、娴熟进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，娴熟进行二次根式的加减法运算。
4、认识最简二次根式的定义，能运用有关性质进行化简二次根式。
二、学习要点、难点要点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混淆运算，正确依照有关性质化简二次根式。
三、复习过程（一）自主复习1．若 a＞ 0，a 的平方根可表示为___________a 的算术平方根可表示________2．当 a______时， 1 2a 存心义，当 a______ 时，3a 5没存心义。
3．(3)2________( 32)2______4．1448_______;7218________5．1227_______;12520_______（二）合作沟通，展现反应1、式子x4x 4建立的条件是什么 ?x5x52、计算： (1) 21212(2)125x33 59 y2 4．(1)253375(2)(32 23)23（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（ 1）( a )2a(a0)与a ( a )2 (a 0)a a0（ 2）a2 a 0a0a a0（ 3）a b ab (a 0, b 0)与ab a b (a 0, b0)（ 4）a a(a0,b0)与a a(a 0,b0)b b b b（ 5）( a b)2a22ab b2与 (a b)( a b)a2b2（四）达标测试：A 组1、选择题：（ 1）化简 5 2的结果是（）A5B-5C士 5D25（ 2）代数式x 4中， x 的取值范围是（）x2A x4B x 2C x4且 x 2D x4且x 2（ 3）以下各运算，正确的选项是（）A、2535 65B、9193 25255C、51255125 D 、x2y2x2y2x y（ 4）假如x( y0) 是二次根式，化为最简二次根式是（）yA 、x( y0)B、xy( y 0)C、xy ( y0)D、以上都不对y y（ 5）化简3 2的结果是（）27A2B2C6D2 3332、计算．(1)272345(2)162564(3) ( a 2)( a 2)(4) (x3)23、已知a32 , b32求11的值22a bB组1、选择：（ 1）a15，则（）, b55A a,b 互为相反数B a,b 互为倒数C ab5D a=b （ 2）在以下各式中，化简正确的选项是（）A 、5 3 15B、112 C、 a 4b a 2 b D、x 3x2x x 1322（ 3 ）把(a 1 )1中根号外的 (a 1)移人根号内得（）a 1A a1B1aC a1D1a2、计算：（1）2636540.9121 2（ 2）1000.36（3）(3 2 2 3)2( 3 2 2 3)2222! 此刻，3.同学们，我们从前学过完整平方公式(a b)a2ab b ，你必定娴熟掌握了吧我们又学习了二次根式，那么全部的正数（包含0）都能够看作是一个数的平方，如3=（ 3 ）2，5=（ 5 ）2，下边我们察看：(21)2(2) 2 2 1 2 122221322反之， 3 2 2222 1 ( 21)2∴322(221 )∴322=2-1仿上例，求：（1）； 4 2 3（ 2）你会算412 吗？（ 3）若a 2 b mn ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明原因．。
人教版八年级数学下册第十六章二次根式专题复习学案设计(无答案)
专题复习：《二次根式》复习导学案学习目标1．理解二次根式的概念，会利用概念判别二次根式、求字母的取值范围；2．掌握二次根式的性质和运算法则，会运用它们求字母的取值范围、化简和计算；3．了解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式．学习重点与难点二次根式的化简及计算学习环节温馨寄语:书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
一、【自主学习】【温馨提示】（一）、二次根式的定义：形如______（_____）的式子叫做二次根式。
基础练习下列各式中15、3a、b2-1、a2+b2、-144，不是二次根式的有。
拓展练习15的整数部分是，小数部分是。
【温馨提示】（二）、二次根式有意义的条件：根号内字母的取值范围，其中的二次根式的被开方数（式）。
基础练习（1）2x+3x中x的取值范围是；（2）当__________时，x+2+1-2x有意义.拓展练习（1）使式子13-x有意义的x的取值范围是_____________（2）若3-x+x-3有意义，则x-2=_______小结：二次根式被开方数为非负数.如果在分式的分母中含有二次根式，分母不为0.所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）。
32 =【温馨提示】（三）、二次根式的双非负数性:二次根式 a0，而且被开方数（式） a0.x y基础练习 已知 x - y + 1 + x - 3 =0，求的值；【温馨提示】（四）、二次根式的化简 1、【思考】最简二次根式的条件是：（1）________________（2）基础练习化简：（1） 24 ＝ （2）2＝9（3） 22＝ （4） 0.125 ＝32、【思考】分母有理化基础练习把下列各式的分母有理化（1）2（2）15 -1＝（2）总结：在这里，分母有理化常用到了______ ___公式，有理化因式就是为了构造该公式而乘的另一个式子。
3 3 +4 23 3 -4 2的有理化因式是2.a2=____=⎨___(a=0)⎪___(a<0)A．a＜1B.a≤C.a＞D.a≥2、计算：(12【温馨提示】（五）、同类二次根式的应用把几个二次根式化为后，被开方数的二次根式叫同类二次根式。
八年级数学下册 16 二次根式复习教案 (新版)新人教版
第16章 二次根式复习 一、复习目标 1． 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．二、课时安排1课时三、复习重难点重点：二次根式的概念以及运算．难点：二次根式有意义的条件．四、教学过程(一)知识梳理1．二次根式的概念一般地，形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式；(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数．(2)a 是非负数，即a ≥0.2．二次根式的性质(a )2＝ ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＝0，a <0.3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含能 的因数或因式．4．二次根式的运算a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)；ab ＝ (a ≥0，b >0)．二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并．(二)题型、技巧归纳考点一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 若实数x ，y 满足＋(y －)2＝0，则xy 的值是________．考点二 二次根式性质的运用 例2 如图21－1所示是实数a 、b 在数轴上的位置，化简：a 2－()b 2－a －b 2.图21－1考点三 二次根式的化简例3 设2＝a ， 3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.54，则下列表示正确的是() A ．0.03ab B ．3abC ．0.1ab 3D ．0.1a 3b考点四 二次根式的运算例4 计算下列各题：(1)3105ab c ·532acb ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－215bc a ；(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．（三）典例精讲1、若a a -=2，则a 的取值范围是（ ）（A ）0>a （B ）0≠a （C ）0≤a （D ）0≥a2、若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围（ ）（A ）21≤a （B ）21>a（C ）21≥a （D ）a 为任意实数3、下列计算正确的是（ ）（A ）15)535(2=-- （B ）71)71(2-=--（C ）12)32(2-=- （D ）53)535(2=4、若0,0≤>b a ，则b a +2的值是（ ）（A ）b a + （B ）b a - （C ）a b - （D ）b a --5．求下列各式的值（1）221ba +，其中12,9==b a （2）ac b 42-，其中9,23,21-===c b a （四）归纳小结 1．本节课学习了哪些主要内容？2．本节课是怎样进行二次根式的运算的？3．在运算时要注意哪些问题？（五）随堂检测1．要使＋有意义，则x 应满足( )A .≤x≤3B ．x≤3且x≠C .<x<3D .<x≤3 2．若y ＝＋－1，则2x ＝______，y ＝______. 3．已知x<1，则化简的结果是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．1－x4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a －b|－a 2的结果是( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a ＋b5.若实数a ，b 满足|a ＋2|＋＝0，则＝________．6.若＋b 2＋2b ＋1＝0，则a 2＋－＝________． 7、计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2. 8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．五、板书设计把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用六、作业布置完成课后同步练习题七、教学反思。
八年级数学下册16二次根式复习教案(新版)新人教版【精品教案】
第16章 二次根式复习一、复习目标1． 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．二、课时安排1课时三、复习重难点重点：二次根式的概念以及运算．难点：二次根式有意义的条件．四、教学过程(一)知识梳理1．二次根式的概念一般地，形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式；(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2)a 是非负数，即a ≥0.2．二次根式的性质 (a )2＝ ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ＝，a3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含能 的因数或因式．4．二次根式的运算a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ (a ≥0，b >0)．二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并．(二)题型、技巧归纳考点一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 若实数x ，y 满足＋(y －)2＝0，则xy 的值是________．考点二 二次根式性质的运用例2 如图21－1所示是实数a 、b 在数轴上的位置，化简：a 2－()b 2－a －b 2.图21－1考点三 二次根式的化简例3 设2＝a ， 3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.54，则下列表示正确的是()A ．0.03abB ．3abC ．0.1ab 3D ．0.1a 3b考点四 二次根式的运算例4 计算下列各题： (1)3105ab c ·532acb ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－215bc a ；(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．（三）典例精讲1、若a a -=2，则a 的取值范围是（ ）（A ）0>a （B ）0≠a （C ）0≤a （D ）0≥a2、若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围（ ）（A ）21≤a （B ）21>a（C ）21≥a （D ）a 为任意实数3、下列计算正确的是（ ）（A ）15)535(2=-- （B ）71)71(2-=--（C ）12)32(2-=- （D ）53)535(2=4、若0,0≤>b a ，则b a +2的值是（ ）（A ）b a + （B ）b a - （C ）a b - （D ）b a --5．求下列各式的值（1）221b a +，其中12,9==b a（2）ac b 42-，其中9,23,21-===c b a（四）归纳小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．本节课是怎样进行二次根式的运算的？3．在运算时要注意哪些问题？（五）随堂检测1．要使＋有意义，则x 应满足( )A .≤x≤3B ．x≤3且x≠C .<x<3D .<x≤32．若y ＝＋－1，则2x ＝______，y ＝______.3．已知x<1，则化简的结果是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．1－x4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a －b|－a 2的结果是( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a ＋b5.若实数a ，b 满足|a ＋2|＋＝0，则＝________．6.若＋b 2＋2b ＋1＝0，则a 2＋－＝________．7、计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2.8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．五、板书设计把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用六、作业布置完成课后同步练习题七、教学反思。
八年级数学下册16二次根式复习课2导学案新人教版
二次根式复习课（2）课型: 新授课上课时间：课时： 1学习目标：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．学习重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．学习过程一、例题点讲例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．解：（1）、（2）、（3）、（4）、解：例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解：这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．例4分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2 B．a≥2C．a≠2 D．a＜2A．x+2 B．-x-2 C．-x+2 D．x-2A．2x B．2a C．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．【详解】解：A 、圆有无数条对称轴； B 、正方形有4条对称轴； C 、该图形有3条对称轴； D 、长方形有2条对称轴； 故选：A ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．012⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．2 B ．-2C ．1D ．0【答案】C【解析】根据任何非0数的0次幂都等于1即可得出结论．【详解】解: 0112⎛⎫= ⎪⎝⎭故选C ． 【点睛】此题考查的是零指数幂的性质,掌握任何非0数的0次幂都等于1是解决此题的关键． 3．下列各式计算正确．．的是 ( ) A ．()257a a = B ．22122xx-=C ．326428a a a =D ．826a a a ÷=【答案】D【解析】试题解析：A. ()2510a a =，故原选项错误；B. 2222xx -=，故原选项错误；C. 3254?28a a a =，故原选项错误；D. 826a a a ÷=，正确. 故选D.4．在平行四边形ABCD 中，30B ∠=，CD 23=，2BC =，则平行四边形ABCD 的面积等于（ ） A ．23 B ．4C ．43D ．6【答案】A【分析】根据题意作图，作AE ⊥BC ，根据30B ∠=，AB=CD 23=求出平行四边形的高AE ，再根据平行四边形的面积公式进行求解. 【详解】如图，作AE ⊥BC ∵30B ∠=，AB=CD 23= ∴AE=12AB=3， ∴平行四边形ABCD 的面积=BC×AE=2×3=23 故选A.【点睛】此题主要考查平行四边形的面积，解题的关键是根据题意作图，根据含30的直角三角形的特点即可求解. 5．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角,如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边OA,OB 上分别取OD=OE,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与D,E 重合,这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D【分析】由三边对应相等得△DOF ≌△EOF ，即由SSS 判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．【详解】依题意知， 在△DOF 与△EOF 中，OD OE DF EF OF OF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DOF ≌△EOF （SSS ）， ∴∠AOF=∠BOF ，即OF 即是∠AOB 的平分线． 故选D ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．6．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则22()a b c --的值是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．无法确定【答案】B【分析】利用平方差公式将代数式分解因式，再根据三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：∵(a−b)2−c 2=(a−b+c)(a−b−c)， ∵a+c>b ，b+c>a ， ∴a−b+c>1，a−b−c<1， ∴(a−b)2−c 2<1． 故选B ． 【点睛】本题考查因式分解的应用，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a b =，则||||a b =；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④对顶角相等．其中逆命题是真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，其逆命题：两直线平行，同旁内角互补是真命题； ②若a b =，则||||a b =，其逆命题：若||||a b =，则a b =是假命题；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形，其逆命题：正方形的对角线互相垂直平分是真命题； ④对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题； 故选：B ． 【点睛】本题考查了命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题，也考查了逆命题． 8．计算2211(2)x x x x -+⋅+-的结果是( ) A ．12x - B ．12-C ．yD ．x【答案】A 【详解】原式22111(2)2x x x x x -+⋅=+-- ，故选A. 9．若直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A ．17 B ．7C ．14D ．13【答案】D【分析】利用勾股定理求出斜边即可．【详解】由勾股定理可得：斜边＝2251213+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．10．如图，△ABC 的角平分线BO 、CO 相交于点O ，∠A=120°，则∠BOC=（ ）A ．150°B ．140°C ．130°D ．120°【答案】A【详解】解：∵∠BAC=120°， ∴∠ABC+∠ACB=60°，∵点O 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=30°， ∴∠BOC=150°． 故选A ．二、填空题11．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 的周长的最小值为_____．【答案】1．【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA=MC ，推出MC+DM=MA+DM≥AD ，故AD 的长为BM+MD 的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接AD ，MA ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， ∴AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12BC •AD ＝12×6×AD ＝18，解得AD ＝6， ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA ＝MC ， ∴MC+DM ＝MA+DM ≥AD ， ∴AD 的长为CM+MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短＝（CM+MD ）+CD ＝AD+12BC ＝6+12×6＝6+3＝1． 故答案为：1．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC ，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD 是解决此题的关键. 12．若1m n -=-，则()2m n m n --+的值为______． 【答案】1【分析】根据题意把（m-n ）看作一个整体并直接代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵1m n -=-， ∴()2m n m n --+， =()2()m n m n --- =（-1）1-（-1）， =1+1， =1． 故答案为：1. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键．13．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C 处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了______米（BD 的长）（假设绳子是直的）．【答案】1【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD=AB-AD 可得BD 长． 【详解】在Rt △ABC 中：∵∠CAB=10°，BC=17米，AC=8米， ∴222217815AB BC AC -=-=（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置， ∴171710CD =-⨯=（米），∴22221086AD CD AC --=（米）， ∴1569BD AB AD =-=-=（米）， 答：船向岸边移动了1米． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠CBD ＝α，则∠A ＝_____（用含α的式子表示）．【答案】2α．【分析】根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠A 的度数；【详解】解：∵BD ⊥AC ，∠CBD ＝α，∴∠C ＝（90﹣α）°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝（90﹣α）°，∴∠ABD ＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A ＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案为：2α．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．15．若分式方程22x m x x =--有增根，则m 的值为__________． 【答案】2-【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到2x =，然后将x 的值代入整式方程求出m 的值即可． 【详解】∵22x m x x =-- ∴x m =- ∵若分式方程22x m x x=--有增根 ∴2x =∴2m =-故答案是：2-【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．16．用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_____【答案】等腰三角形的底角是钝角或直角【解析】根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”． 故答案是：等腰三角形的两底都是直角或钝角．17．因式分解：2ab a - = ．【答案】()()a b 1b 1+-．【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式a 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22ab a a b 1a b 1b 1-=-=+-． 三、解答题18．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？【答案】A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料.【分析】设B 种机器人每小时搬运x 千克化工原料，则A 种机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A 型机器人搬运900kg 原料所用时间与B 型机器人搬运600kg 原料所用时间相等，列方程进行求解即可.【详解】设B 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则A 型机器人每小时搬运()30x +kg 化工原料，由题意得，90060030x x=+， 解此分式方程得：60x =，经检验 60x =是分式方程的解，且符合题意，当60x =时，3090x +=，答：A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料.【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据A 型机器人搬运900kg 原料所用时间与B 型机器人搬运600kg 原料所用时间相等建立方程是关键．19．平面直角坐标系中，点A 坐标为(0,2)-，,B C 分别是x 轴，y 轴正半轴上一点，过点C 作//CD x 轴，3CD =，点D 在第一象限，32ACD AOB S S ∆∆=，连接AD 交x 轴于点E ，45BAD ∠=︒，连接BD ． （1）请通过计算说明AC OB =；（2）求证ADC ADB ∠=∠； （3）请直接写出BE 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5BE =．【解析】（1）先根据点A 坐标可得OA 的长，再根据32ACD AOB S S ∆∆=即可得证； （2）如图（见解析），延长DC 至点H ，使得CH OA =，连接AH ，先根据三角形全等的判定定理与性质可得,12,AH AB H CAB =∠=∠∠=∠，再根据直角三角形的性质和45BAD ∠=︒得出45HAD BAD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（3）先由题（2）两个三角形全等可得5BD DH ==，再根据平行线的性质得出3ADC ∠=∠，从而有3ADB ∠=∠，然后根据等腰三角形的定义（等角对等边）即可得．【详解】（1）(0,2)A -2OA ∴=11,,3,3222ACD OAB ACD AOB S CD AC S O S S OB CD A ∆∆∆∆=⋅==⋅= 131222CD AC OA OB ⋅=⨯⋅∴，即31322221AC OB ⨯=⨯⨯ AC OB =∴；（2）如图，延长DC 至点H ，使得CH OA =，连接AHOB AC =，//CD x 轴90HCA AOB ∴∠=∠=︒()ACH BOA SAS ∆≅∆∴,12,AH AB H CAB =∠=∠∠=∠∴190H ︒∠+∠=190CAB ∠+∠=︒∴45BAD ∠=︒45HAD BAD ∴∠=∠=︒()HAD BAD SAS ∴∆≅∆ADH ADB ∴∠=∠，即ADC ADB ∠=∠；（3）由（2）已证，,325HAD BAD ADC ADB DH CD CH CD OA ∆≅∆∠=∠⎧⎨=+=+=+=⎩5BD DH ∴==//CD x 轴3ADC ∴∠=∠3ADB ∴∠=∠5BE BD ∴==（等角对等边）故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的定义、平行线的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．20．（1）计算：()()()22322x y x y x y +-+-；（2）因式分解：39x x -．【答案】（1）12xy+10y 2；（2）x(x+3)(x-3)．【分析】（1）根据题意直接利用完全平方和公式以及平方差公式化简，进而合并得出答案； （2）由题意首先提取公因式x ，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)=(4x 2+12xy+9y 2)-(4x 2-y 2)=4x 2+12xy+9y 2-4x 2+y 2=12xy+10y 2（2）x 3-9x=x(x 2-9)= x(x+3)(x-3)【点睛】本题主要考查整式的乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．21．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析【分析】（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，∵E是DC的中点，即DE＝CE，∴△DEG≌△CEB（AAS），∴DG＝BC；（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC，∵AB＝AD+BC，AF＝AD，∴BF＝BC＝DG，∴AB＝AG，∵∠BAG＝90°，∴∠AFD＝∠ABG＝45°，∴FD∥BG，故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，∵FD∥BG，∴AE⊥FD，∵△AFD为等腰直角三角形，∴FH＝HD，故答案为：FH＝HD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．22．给出下列等式：21﹣20＝20，22﹣21＝21，23﹣22＝22，24﹣23＝23，……（1）探索上面式子的规律，试写出第n个等式，并证明其成立．（2）运用上述规律计算20+21+22+…+22017+22018值．【答案】（1）2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，证明详见解析；（2）22019﹣1．【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第n个等式，并加以证明；（2）根据（1）中的结果，将所求式子变形，即可求得所求式子的值．【详解】（1）第n个等式是：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，证明：∵2n﹣2n﹣1＝2×2n﹣1﹣2n﹣1＝（2﹣1）×2n﹣1＝1×2n﹣1＝2n﹣1，∴2n﹣2n﹣1＝2n﹣1成立；（2）20+21+22+…+22017+22018＝（21﹣20）+（22﹣21）+（23﹣22）+…+（22019﹣22018）＝21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+22019﹣22018＝﹣20+22019＝22019﹣1．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答下列问题：（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC 都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：当∠A≠36°时，一些等腰三角形也具有这样的特性，即经过等腰三角形某一顶点的一条直线可以把该等腰三角形分成两个小等腰三角形．则∠A的度数为______（写出两个答案即可）；并画出相应的具有这种特性的等腰三角形及分割线的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．【答案】（1）见解析；（2）90°或108°或1807；（3）见解析【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°则可得AD＝BD＝CB∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形．【详解】（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=36°∴∠ABC=∠C=12（180°－∠A）=72°∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°∴∠1=∠A∴AD=BD∴△ABD是等腰三角形∵∠BDC=∠1+∠A=72°∴∠BDC=∠C=72°∴BD=BC，∴△BDC是等腰三角形（2）如下图所示：∴顶角∠A的度数为90°或108°或1807︒，故答案为：90°或108°或1807︒；（3）如图所示．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．24．如图，有一个池塘，要到池塘两侧AB的距离，可先在平地上取一个点C，从C不经过池塘可以到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE 的长就是A，B的距离，为什么？【答案】量出DE的长就等于AB的长，理由详见解析.【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【详解】量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下：在△ABC 和△DEC 中，CB CE ACB DCE CA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEC （SAS ），∴AB=DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．25．如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，且点D 在AB 的垂直平分线上．（1）求ABC ∆的各内角的度数．（2）如图2，若M 是边AC 上的一点，过点M 作直线MH BD ⊥的延长线于点H ，分别交边AB 于点N ，BC 的延长线于点E ，试判断BNE ∆的形状，并证明你的结论．【答案】（1）36A ∠=︒，72ABC ∠=︒，72ACB ∠=︒；（2）BEN ∆是等腰三角形，证明见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可得222ABC ACB A ABD CBD ∠=∠=∠=∠=∠，设∠A ABD CBD x =∠=∠=，利用三角形的内角和定理列出方程即可求出x 的值，从而求出ABC ∆的各内角的度数；（2）利用ASA 即可证出EBH NBH ∆∆≌，从而得出结论．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠．∵BD 平分ABC ∠，∴22ABC ABD CBD ∠=∠=∠．∵点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD BD =，∴A ABD ∠=∠，∴222ABC ACB A ABD CBD ∠=∠=∠=∠=∠．设∠A ABD CBD x =∠=∠=，∴2ABC ACB x ∠=∠=，∴22180x x x ︒++=，∴36x =︒，∴36A ∠=︒，72ABC ∠=︒，72ACB ∠=︒．（2）BEN ∆是等腰三角形．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴NBH EBH ∠=∠．∵BH NE ⊥，∴90EHB NHB ∠=∠=︒．在△EBH 和△NBH 中EHB NHB BH BHEBH NBH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EBH NBH ∆∆≌，∴BN BE =，∴BEN ∆是等腰三角形．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质及判定、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和全等三角形的判定及性质，掌握等边对等角、等腰三角形的定义、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质和方程思想是解决此题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且()()()M a b c a b c a b c =+++---那么( ) A ．0M >B ．0M ≥C ．0M =D ．0M <【答案】D【分析】根据三角形的三边关系即可求解.【详解】∵ABC ∆的三边长分别为a b c 、、∴a b c ++＞0，a b c +-＞0，a b c --＜0∴()()()M a b c a b c a b c =+++---＜0故选D.【点睛】此题主要考查三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知两边之和大于第三边.2．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在AC 上，ED BC ⊥于点D ，DE 的延长线交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12DEC BAC ∠=∠ C ．AF AE =D ．1902B BAC ∠+∠=︒ 【答案】A 【分析】由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断；过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=12BAC ∠，易得ED ∥AG ，然后根据平行线的性质即可判断B 项；根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项；由直角三角形的性质并结合∠1=12BAC ∠的结论即可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A 、由于点E 在AC 上，点E 不一定是AC 中点，所以,AE CE 不一定相等，所以本选项结论错误，符合题意；B 、过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图，∵AB=AC ，∴∠1=∠2=12BAC ∠， ∵ED BC ⊥，∴ED ∥AG ，∴122DEC BAC ∠=∠=∠，所以本选项结论正确，不符合题意； C 、∵ED ∥AG ，∴∠1=∠F ，∠2=∠AEF ，∵∠1=∠2，∴∠F=∠AEF ，∴AF AE =，所以本选项结论正确，不符合题意；D 、∵AG ⊥BC ，∴∠1+∠B=90°，即1902B BAC ∠+∠=︒，所以本选项结论正确，不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．3．下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D 选项中线段BE 是△ABC 的高.考点：三角形的高4．下列计算结果，正确的是（ ）A=B=C2=D．(23=-【答案】C【分析】结合二次根式混合运算的运算法则进行求解即可．【详解】A. ==B. =C. =，故此选项正确；D. (23=，故此选项计算错误故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式混合运算的运算法则．5．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为（）A．10 B．2.4 C．4.8 D．14【答案】C【分析】设斜边上的高为h，再根据勾股定理求出斜边的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】设斜边上的高为h，∵直角三角形的两条直角边为6cm，8cm，∴斜边的长10==(cm)，则直角三角形的面积为12×6×8=12×10h，∴h=4.8，∴这个直角三角形斜边上的高为4.8，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键．6．等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（）A．4cm，10cm B．7cm，7cm C．4cm, 10cm或7cm, 7cm D．无法确定【答案】B【解析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论当腰为4时，另一腰也为4，则底为18-2×4=10，∵4+4=8＜10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为4时，腰为（18-4）÷2=7，∵0＜7＜4+4=8，∴以4，4，7为边能构成三角形．故选B7．已知BAC θ∠=，现把小棒依次摆放在两射线AB AC ，之间，并使小棒在两射线上，从1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第1根小棒，且121A A AA =，若只能摆放9根小棒，则θ的度数可以是（ ）A ．6°B ．7°C ．8°D ．9°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠A 2A 1A 3=2θ，∠A 3A 2A 4=3θ，……，以此类推，可得摆放第9根小棒后，∠A 9A 8A 10=9θ，109A A 0C=1θ∠，由于只能放9根，则9810A A 9A 0∠<︒且109A A 9C 0∠≥︒，求得θ的取值范围即可得出答案．【详解】∵11223910===AA A A A A A A ，∴∠AA 2A 1=∠BAC=θ，∴∠A 2A 1A 3=2θ，同理可得∠A 3A 2A 4=3θ，……以此类推，摆放第9根小棒后，∠A 9A 8A 10=9θ，109A A 0C=1θ∠，∵只能放9根， ∴9810109A A A 90A A C 90∠<︒⎧⎨∠≥︒⎩即9901090θθ<︒⎧⎨≥︒⎩， 解得910θ︒≤<︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，是解题的关键．8．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若3AD =，5BC =，则BEC ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．13【答案】C 【分析】先根据线段垂直平分线的定义和性质可得2AB AD =，AE BE =,然后求出ABC ∆周长等于AC BC +，再根据已知条件AB AC =，代入数据计算即可得解．【详解】∵DE 是AB 的垂直平分线∴2AB AD =，AE BE =∴BCE ∆的周长BE CE BC AE CE BC AC BC =++=++=+∵26AC AB AD ===，5BC =∴BCE ∆的周长6511=+=．故选：C【点睛】本题涉及到的知识点主要是线段垂直平分线的定义和性质，能够灵活运用知识点将求三角形周长的问题进行转化是解题的关键．9．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B 、C 两点不重合），过点 D 作 DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交 AB 、AC 于 E 、F 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若 AD 平分∠BAC ，则四边形 AEDF 是菱形B ．若 BD ＝CD ，则四边形 AEDF 是菱形C ．若 AD 垂直平分 BC ，则四边形 AEDF 是矩形D ．若 AD ⊥BC ，则四边形 AEDF 是矩形【答案】A【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【详解】解：A 选项：若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；正确；B 选项：若BD=CD ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；错误；C 选项：若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是菱形，不一定是矩形；错误；D 选项：若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；错误；故选A ．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．10．如图，已知ABC ∆中，点O 是CAB ∠、ACB ∠角平分线的交点，点O 到边AB 的距离为3，且ABC ∆的面积为6，则ABC ∆的周长为( )A ．6B ．4C ．3D ．无法确定【答案】B 【解析】根据题意过O 分别作,,OD AC OE AB OF BC ⊥⊥⊥，连接OB ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出3()2ABC AOB COB AOC S S S S AB BC AC =++=++进行分析即可. 【详解】解：由题意过O 分别作,,OD AC OE AB OF BC ⊥⊥⊥，连接OB 如图所示：∵点O 是CAB ∠、ACB ∠角平分线的交点，∴,OE OD OD OF ==，∵点O 到边AB 的距离为3，即3OE =,ABC ∆的面积为6，∴3()62ABC AOB COB AOC SS S S AB BC AC =++=++=,∴3642AB BC AC ++=÷=，即ABC ∆的周长为4. 故选：B.【点睛】 本题考查角平分线的性质，熟练掌握并利用角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.二、填空题11．若2216()x mx x n ++=+，则常数m =______．【答案】8±【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：∵代数式x 2+mx+16通过变形可以写成（x+n ）2的形式，∴x 2+mx+16=（x±4）2，则m 2148=⨯⨯±=±．故答案为8±.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，A （3，1），B （23，0），点P 为线段OB 上一动点，将△AOP 沿AO 翻折得到△AOC ，将△ABP 沿AB 翻折得到△ABD ，则△ACD 面积的最小值为_____．【答案】3 【分析】如详解图，作AH ⊥OB 于H ．首先证明∠OAB ＝120°，再证明△CAD 是顶角为120°的等腰三角形，最后根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：如图，作AH ⊥OB 于H ．∵A 3，1），∴OH 3，AH ＝1，。
人教版八年级下册数学教案：第十六章《二次根式》复习课优秀教学案例
3.结合生活实际，讲解二次根式在几何、物理等领域的应用，提高学生的应用能力。
（三）学生小组讨论
1.教师分配任务，让学生分组讨论二次根式的性质和运算方法。鼓励学生发表自己的观点，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.利用多媒体课件、实物模型等教学资源，直观地展示二次根式的运算过程和性质，帮助学生形象地理解和记忆。
3.设计具有挑战性和探究性的问题，激发学生的思考欲望，引导学生主动参与学习。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发他们的思考。例如，在讲解二次根式的性质时，让学生思考：“二次根式有哪些性质？如何运用这些性质进行运算？”
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神风貌。
2.培养学生团队合作意识和互助精神，提高他们的社会适应能力。
3.通过数学教学，培养学生坚持真理、勇于创新的人格品质。
4.引导学生认识数学在实际生活中的重要性，提高他们对数学价值的认识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣。例如，通过讲解实际问题，引入二次根式的概念和应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学与问题导向相结合：本节课采用启发式教学法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，深入理解和掌握二次根式的相关知识。同时，结合问题导向，鼓励学生提出问题、分享思路，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作与反思评价并重：本节课注重小组合作，组织学生进行讨论和合作交流，培养他们的团队合作意识和沟通能力。同时，引导学生进行自我反思和评价，总结自己在学习过程中的优点和不足，提高他们的自我认知和自我调整能都能发挥自己的特长，提高他们的自信心。
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第十六章 二次根式
班级 姓名 编号 时间：4.12 复习目标
1. 熟练掌握二次根式的有关概念.
2. 熟练掌握二次根式有意义的条件.
3. 熟练进行二次根式的化简和加、减、乘、除、乘方混合运算.
知识结构
二次根式： ；
两个概念 最简二次根式： ①
；
② . ①（a 0)；
三个性质 ②(a )2
= (a 0); ③ ≥0)
二次根式 ≤0)
b a = （ ）
ab = （ ）
运算 乘除 除法公式 公式：b
a = （ ） 逆用：
b a = （ ） 加减 （1）先化简成 ；
（2）合并 的二次根式.
本章易错点总结
2a
【题型∙归类突破】
题型一 二次根式的意义
1.如果 是二次根式，那么 x 应适合的条件是（ ）
A.x ≥3
B.x ≤3
C.x ＞3
D.x ＜3
2.（2017•潍坊）若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A.x ≥1
B.x ≥2
C.x ＞1
D.x ＞2
3.使代数式8 有意义的a 的范围是（ ）
A.a>0
B.a<0
C.a=0
D.不存在
4.若式子 有意义，则点P(a,b)在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.已知实数x ，y ，m 满足 +|3x+y+m|=0，且y 为负数，则m 的取值范围是（ ）
A.m ＞6
B.m ＜6
C.m ＞﹣6
D.m ＜﹣6
6.已知实数x ，y ，m 满足2+x +|3x+y+m|0，且y 为负数，则m 的取值范围是（ ）
A.m ＞6
B.m ＜6
C.m ＞﹣6
D.m ＜-6
7.(2015·攀枝花中考)若y=
2, 则x y =______
【方法指导】
(1)根据二次根式有意义的条件被开方数为非负数及分母不等于零来解答.
(2)根据二次根式有意义的条件,解出x 的值,再求出y 的值,最后求代数式的值. 题型二 二次根式的性质及其应用
1. 2(的值为( )
A.a
B.a - D.
2.实数a 在数轴上的位置如图所示，则 + 化简后为（ ）
A. 7
B. −7
C. 2a −15
D. 无法确定
3.若 =－a ，则a 的取值范围是( )
A.－3≤a ≤0
B.a ≤0
C.a ＜0
D.a ≥－3
4.=成立的条件是( ) A.0a ≥ B.2a > C.2a ≠- D.
02a a ≥+
5.已知，，则的值为（）
A.5
B.6
C.3
D.4
6.化简的结果是（）
A.-
B.
C.-
D.-
7.已知x为实数，化简的结果为（）
A. B. C. D.
【方法指导】二次根式的性质：
题型三二次根式的运算
1.化简的结果是 ( ）A. B. C.
D.
2.
把式子m移到根号内,得( )
A.
B.
C.
D.
3.（2015•钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= ，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）
A. 2-4
B. 2
C. 2
D.20
﹣（ +1）2
(3) (4)（3﹣7）（3+7）+ 2（2﹣2）
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
)0
(
)0
(
2
a
a
a
a
a
【方法指导】二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式,简化运算.
6. 求值：
(1)已知 ﹣ =2，求 的值．
（2）已知x=7﹣4 ，y=7-4 ，求下列代数式的值：(1)x 2+3xy+y 2的值；
(2)y x + x y 的值．
(3)先化简，再求值： ，其中a= +1
7.观察下列等式：
第1个等式：a 1==﹣1，第2个等式：a 2==﹣， 第3个等式：a 3==2﹣，第4个等式：a 4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n 个等式：a n =__________=______________；
（2）计算：a 1+a 2+a 3+…+a 2018．。