上海市2001-2012年中考数学试题分类解析专题10：四边形

2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形锦元数学工作室编辑一、选择题2.（上海市2006年4分）在下列命题中，真命题是【】二、两条对角线相等的四边形是矩形；三、两条对角线互相垂直的四边形是菱形；四、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；五、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

【答案】D。

【考点】正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定．【分析】A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确。

故选D 。

3.（上海市2007年4分）已知四边形ABCD 中，90A B C === ∠∠∠，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是【 】A ．90D = ∠B ．AB CD =C ．AD BC = D ．BC CD = 【答案】D 。

【考点】正方形的判定。

【分析】由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形。

故选D 。

4.（上海市2011年4分）矩形ABCD 中，AB ＝8，BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是【 】．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内；(C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内．【答案】 C 。

【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。

【分析】根据BP=3AP 和AB 的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P 的半径PD=7=。

点B 、C 到P 点的距离分别为：PB=6，9=。

∴由PB ＜半径PD ，PC ＞半径PD ，得点B 在圆P 内、点C 在外。

故选C 。

二、填空题1. （2001上海市2分）如果梯形的两底之比为2∶5，中位线长14厘米，那么较大底的长为 ▲ 厘米．【答案】703。

【考点】梯形中位线定理，解一元一次方程。

【分析】设较小的底边长为xcm ，则较大的为5xcm 。

根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”，得28=x+5x ，解得x=143。

∴较大底的长为5x=703（厘米）。

1. 上海市2002年2分）已知AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，连结DE 、DF ，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF 成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是▲ ．【答案】AB=AC 或∠B=∠C 或AE=AF 。

【考点】菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质。

【分析】根据菱形的判定定理，结合等腰三角形和三角形中位线的性质，可添加一个条件：AB=AC 或∠B=∠C 或AE=AF 。

2.（上海市2003年2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是4和2，那么，阴影部分的面积为 ▲ 。

【答案】2。

【考点】正方形的性质。

【分析】根据已知可求得两个正方形的边长，从而得到矩形的长与宽，根据面积公式可求得矩形的面积，从而不难求得阴影部分的面积：∵两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长为2∴矩形的长为22。

∴矩形的面积=4＋∴阴影部分的面积为4＋4－2。

3.（上海市2005年3分）一个梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为 ▲【答案】7。

【考点】梯形中位线定理。

【分析】根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算：∵梯形的两底长分别为6和8，∴这个梯形的中位线长为68=72。

4.（上海市2007年3分）如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ▲ ．【答案】△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD）。

【考点】相似三角形的判定，平行四边形的性质。

【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥C D ，∴△AFD∽△EFC∽△EAB。

5.（上海市2008年4分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF FD = ▲ ． 【答案】23。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ADBC 。

∴ADF ∆∽EBF ∆。

∴23BF BE BE FD DA BC ===。

6.（上海市2009年4分）在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．【答案】AC=BD 或有个内角等于900。

【考点】矩形的判定。

【分析】因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形。

根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等。

三、解答题1.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．图1 图2 图3探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PC Q 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PC Q 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）【答案】解：（1）PQ ＝PB 。

证明如下：过点P 作MN∥BC，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）。

∴NP＝NC ＝MB 。

∵∠BP Q ＝90°，∴∠QPN ＋∠BPM＝90°。

而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN ＝∠PBM。

又∵∠QNP ＝∠PMB＝90°，∴△Q NP≌△PMB（AAS ）。

∴P Q ＝PB 。

（2）作PT⊥BC，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形。

∴PT＝CB ＝PN ．又∠PN Q ＝∠PTB＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT≌△P QN （HL ）。

∴S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △P QN ＝S 正方形PTCN＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1 ∴y＝21x 2－x 2＋1（0≤x＜22）。

（3）△PC Q 可能成为等腰三角形。

①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PC Q 是等腰三角形，此时x ＝0。

②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PC Q 是等腰三角形（如图3）此时，QN ＝PM ＝22x ，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－22x 。

∴C Q ＝QN －CN ＝22x －（1－22x ）＝2x －1。

当2－x ＝2x －1时，得x ＝1。

【考点】二次函数综合题，正方形的性质。

【分析】（1）过点P 作MN∥BC，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，可得四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB 。

（2）由（1）的结论，根据图形可得关系S四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △P QN ＝S 正方形PTCN ，代入数据可得解析式。

（3）分①当点P 与点A 重合，与②当点Q 在边DC 的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。

2.（上海市2003年12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，弧AC 是点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。

点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作弧AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点：（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G 为线段EF 的中点；（2）设AE ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF ＝65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

【答案】解：（1）证明：∵∠DEF=45°，∴∠DFE=90°－∠DEF=45°。

∴∠DFE=∠DEF。

∴DE=DF。

又∵AD=DC，∴AE=FC。

∵AB 是圆B 的半径，AD⊥AB，∴AD 切圆B 于点A 。

同理：CD 切圆B 于点C 。

又∵EF 切圆B 于点G ，∴AE=EG，FC=FG 。

∴EG=FG，即G 为线段EF 的中点。

（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y ，DE=1-x ，DF=1－y ，根据勾股定理，得（x+y ）2=（1－x ）2+（1－y ）2，∴y=1x 1x+-（0＜x ＜1）。

（3）当EF=65时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC ，即x ＋1x 1x +-=65，解得x 1=13或x 2=12。

①当AE=12时，△AD 1D∽△ED 1F ，证明如下： 设直线EF 交线段DD 1于点H ，由题意，得：△EDF≌△ED 1F ，EF⊥DD 1且DH=D 1H 。

∵AE=12，AD=1，∴AE=ED。

∴EH∥AD 1，∠AD 1D=∠EHD=90°。

又∵∠E D 1F=∠EDF=90°，∴∠ED 1F=∠AD 1D 。

∴△ED1F∽△AD1D。

②当AE=13时，△ED 1F 与△AD 1D 不相似。

【考点】切线的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定。