分式不等式
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
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分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
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分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
几个常见分式不等式的统一构造证明
几个常见分式不等式的统一构造证明
分式不等式是一种常见的数学不等式，它的统一构造证明可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。
首先，我们来看一个典型的分式不等式：\frac{x^2+1}{x+1}>0。
首先，我们将分式不等式转化为乘法不等式：x^2+1>0\cdot(x+1)，即x^2+1>0。
接下来，我们可以将x^2+1分解为(x+1)(x+1)，即(x+1)^2>0。
最后，我们可以得出结论：x+1>0，即x>-1。
因此，我们可以得出结论：\frac{x^2+1}{x+1}>0的解集为x>-1。
以上就是分式不等式的统一构造证明。
通过将分式不等式转化为乘法不等式，再将乘法不等式分解为平方不等式，最后得出结论，我们可以很容易地解决分式不等式问题。
总之，分式不等式的统一构造证明可以帮助我们更好地理解和解决这类问题，从而提高我们的数学水平。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
分式不等式的基本概念
分式不等式的基本概念分式不等式的定义内容如下：与分式方程类似，像f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式（fractional inequality）。
用符号“>”“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。
用“≠”表示不等关系的式子也是不等式通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
定义：一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。
用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。
整式不等式：整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。
一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。
如3-x>0同理，二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。
基本性质：1、如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）2、如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）4、如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）5、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)6、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；7、如果x>y>0，xn>yn（n为正数)，xn<yn（n为负数）。
分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母
分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。
一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。
然后因式分解找零点，用穿针引线法。
分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。
分式不等式
( x 2)( x 3) 0
得解集为 (,3) (2,)
例2 解不等式：
x2 0 x3
( x 2)( x 3) 0
x3 0
得解集为 :
(,3） [2,)
x+1 2 例3、解不等式： x-2
2 x 例4、解不等式： 2x
例3、当m为何值时，关于x的方程 m(x-1)=3(x+2)的解为正数？为负数？
数学思想：等价转化、分类讨论
xa 0 x R 例、解关于x的不等式： 2 xa
x mx 2 2 例、m为何值时，不等式 2 x x 1 对任意实数x恒成立。
2
x 例、解关于x的不等式： 1 a x 1
点评：对解含参数不等式，要充分应用不等式的性质， 对参数讨论要不重复，不遗漏。
思考探索题：
a 1 a *b 定义运算“*”如下法则： b
求解不等式： x * ( x 1) 0
数学是一种美，这种美需要大家 去思考才能感受得到！
愿大家通过自己的努力分享到 这份美！
x 8 例4、解不等式： 2 2 x 2x 3
总结:
数学知识：分式不等式的解法
f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0) g ( x)
f ( x) g ( x) 0( 0) f ( x) 0( 0) g ( x) 0 g ( x)
分式不等式的解法
分式不等 0或 （其中 0 f ( x)、g ( x)为整式 g ( x) g ( x) 且g ( x) 0）的不等式称为分式不等式。
也就是说：分母含有未知数的不等式，称为 分式不等式。
例1 解不等式：
x2 0 x3
解:原不等式可化为:
分式不等式解法公式
分式不等式解法公式例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。
首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。
$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。
接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。
根据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。
因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。
$$x>4$$所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。
例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。
首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相对稳定的。
因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。
以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：-当$x+1<0$时，不等式成立。
-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。
-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。
对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。
综上所述，我们可以得出以下解集：$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
例3：求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。
我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。
首先，我们可以将不等式改写为以下形式：$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式，我们可以得到：$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后：$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来，我们需要观察分子和分母的大小关系。
分式不等式的解法
分式不等式的解法分式不等式是一种含有分式的不等式，其解的求解方法与普通的不等式有所不同。
本文将介绍两种常见的分式不等式的解法：基本不等式法和区间法。
一、基本不等式法基本不等式法是分式不等式的常用解法之一，适用于形如\(\frac{A}{B} \geq 0\)或\(\frac{A}{B} \leq 0\)的分式不等式。
其中，A 和B分别表示多项式。
步骤如下：1. 将分式不等式化为标准形式：将分式中的分子和分母用括号括起来，并将不等号方向保持不变。
2. 对分子和分母进行因式分解。
3. 找出分母因式为0的值，这些值构成分式不等式的解。
4. 将分母为0的值所对应的点作为分式的分界点，将实数轴分成若干个区间。
5. 在每个区间上确定分式的正负号，判断每个区间上是否满足不等式的条件。
6. 将满足不等式条件的区间合并，得到分式不等式的解集。
举例说明：假设有一个分式不等式：\(\frac{x-1}{x+2} \geq 2\)首先将其化为标准形式，得到：\(\frac{x-1}{x+2} -2 \geq 0\)然后对分子和分母进行因式分解，得到：\(\frac{(x-1)-2(x+2)}{x+2} \geq 0\)化简得：\(\frac{x-1-2x-4}{x+2} \geq 0\)继续化简得：\(\frac{-x-5}{x+2} \geq 0\)找出分母为0的值，得到：\(x=-2\)根据\(x=-2\)将实数轴分成三个区间：\((-∞, -2), (-2, -5), (-5, +∞)\)接下来在每个区间上判断分式的正负号：当\(x < -5\)时，\(\frac{-x-5}{x+2} > 0\)，这个区间上不满足不等式条件；当\(-5 < x < -2\)时，\(\frac{-x-5}{x+2} < 0\)，这个区间上满足不等式条件；当\(x > -2\)时，\(\frac{-x-5}{x+2} > 0\)，这个区间上不满足不等式条件。
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分式不等式
本文将介绍分式不等式的概念及其在解决实际问题中的应用。
分式不等式是一种数学不等式，它涉及分式的大小比较。
例如，当我们在数学课本中
看到下面这个算术题时：
计算
1/2 > 1/4
我们可以很容易地看出，此题是一个分式不等式。
这里，我们要比较两个分式的大小。
比较相同分母的两个分式时，只需要看分子的大小，即：
1/2 > 1/4 <=> 2>4 => False
因此，这个题的答案是“否”。
除了比较分式的大小，分式不等式还可以用来求解实际问题中给定的分式的取值范围。
例如，我们在论文中需要得到一个式子的解析解，并且希望求出解的取值范围。
根据数学
中的等式性，我们可以用分式不等式来求解这个问题，例如：
计算 x/2+3>2 时 x 的取值范围
令 x/2+3=2，则有 x/2=−1 => x = -2，
因此，解的取值范围是x<-2.
另外，分式不等式还可以用来研究分数的分层性质，从而改进分数的基本算法。
例如，当我们想要在给定的范围内确定最优的分数的时候，可以使用分式不等式来实现。