分式不等式、高次不等式
高一同步秋季数学讲义：不等式的转化与分类讨论(提高)【讲师版】
高一同步 数学“不等式的转化与分类讨论（提高）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长在各类不等式问题中，第一眼似乎无从下手，所以我们要找到分类的方法并统一解决，这就涉及不等式的转化和分类讨论。
在各个考试中的不等式题或多或少会涉及这个知识点，一般是中等的难度，是我们必须要熟练掌握的内容。
一． 含有参数的不等式含有参数的不等式叫含参数的不等式.解含参数的不等式要分类讨论.二．分式不等式与高次不等式1．分式不等式：分母里含有未知数的不等式叫分式不等式: 即形如0)()(>x g x f 或0)()(<x g x f （其中)(),(x g x f 为整式且0)(≠x g ）的不等式，称为分式不等式。
解分式不等式可根据不等式的性质，将其转化为一元一次不等式组、一元二次不等式组或一元高次不等式组，然后再求得不等式的解集。
而要求不等式组的解集，可以先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求这些解集的交集，这个交集就是不等式组的解集。
在求得分式不等式时，需要注意的是使不等式中的分式有意义。
2．高次不等式：一般采用列表法或数轴标根法解简单的高次不等式。
对于简单的高次不等式，可先通过移项，将不等式的一边化为零，再将另一边的多项式分解成若干个一次因式或二次因式乘积的形式，并且使多项式中未知数的最高次项系数为正数，然后根据实数运算的符号法则，用列表或数轴标根法，求出不等式的解集。
一般由于列表法比较烦，所以多数采用数轴标根法进行求解．三．含绝对值的不等式在绝对值符号里含有未知数的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：（1）根据绝对值的意义作分类讨论；（2）两边平方，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式后再进行求解。
（3）根据公式。
四．无理不等式：被开方式里含有未知数的不等式叫无理不等式?解无理不等式应根据不等式的性质先转化为有理不等式组，然后再进行求解。
在转化过程中必须注意：（1）含有未知数的根式都有意义； （2）必须讨论不等式两边的符号；（3）不等式两边均为非负数时，才能同时进行同次乘方，消去根号。
简单的分式不等式和高次不等式的解法(学案)
2．2．2简单的分式不等式和高次不等式的解法(学案)编写人：曲娜【学习目标】掌握简单的分式不等式和高次不等式的解法；【重点难点】 重点：简单的分式不等式和高次不等式的解法 难点：分式不等式与简单高次不等式的变形.【学习过程】1．分式不等式的解法例1 解不等式：073<+-x x .变式1：解不等式073≤+-x x变式3：解不等式173<+-x x归纳分式不等式的解法：（1） 化分式不等式为标准型：（2） 将分式不等式转化为整式不等式求解如：()0()f x g x >⇔ ()0()f xg x <⇔ ()0()f x g x ≥⇔ ()0()f xg x ≤⇔ 练习：1.不等式0121>+-x x 的解集是 。
2.不等式112x <的解集是 . 2．高次不等式的解法：引例：解一元二次不等式（x+3）(x-1)<0例1：解不等式：(x-1)(x+4)(x-3)>0；练习：解不等式：(1)(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0练习：用根轴法解不等式(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0例2．解不等式：0322322≤--+-x x x x .3．课堂小结：分式不等式4．课堂练习：解下列不等式：(1)(2)03x x x +>- （2）. 0)25)(-4-( 22<++x x x x5．课后作业：（1）02552≤+-x x (2)(1-2x)(x-1)(x+2)< 0(3)(x+1)(-2x+3)(3x+1)> 0(4)(21x -)(268x x -+)≤0 （5）22411372x x x x -+≥-+。
§3.2.2 分式不等式与高次不等式的解法
到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过， 奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。
（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等
式 大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不 等式 小于0 的解集
例：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
-3
o
-1 + 1/2
1
o
+
所以原不等式的解集为:{x | 3 x 1或 1 x 1} 2
例：解关于x的不等式:
xa 0 x a2
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
(a R)
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2}
（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2xx112>000或2xx12<00
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
g( 0
x)
0
f (x) g(x)
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为 1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
- 1 +2 - 3 +
将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”， “-”，图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解 集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x1<x<2或x>3}.
高中一年级数学教(学)案：高次不等式、分式不等式解法
课 题：1.5一元二次不等式（二）――高次不等式、分式不等式解法教学目的：1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点：正确串根（根轴法的使用）授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 容分析：1．本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法 2．本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 教学过程：一、复习引入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、讲解新课：⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小结：一元二次不等式)0()0(022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的代数解法：设一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 相应的方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，则0))((0212>--⇔>++x x x x a c bx ax ； ①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1,x x R x ≠∈且.②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：例2图练习图①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3|<x x .解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母. 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ，∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）三、小结：1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3） 六、板书设计（略） 七、课后记：。
高次和分式不等式
解一元高次不等式的方法：标根法
步骤：
（1）将不等式化为一边为零，一边是关于 x xi (i 1,2,, n) 的形式
（2）不妨设 x1 x 2 x3 x n，并将 x i 在数轴上所对应的 点的位置标出
（3）自数轴的最右端的 x i 的右上方出发，画出曲线依次穿进
x1, x 2 , x 3 ,, x n
课堂练习：
例：（1）(x 2 7x 12)(4x 2 4x 1) 0
(2) (x 2)2 (x 4)(x 1)3 (x 3) 0 (3) 当m取何值时，关于x的方程m(x 1) 3(x 2)的解是正数？ m为何值时，方程的解是负数？
解一元高次不等式的一般方法：
步骤： （1）因式分解：分解成若干个一次因式的连乘，并保证一次
项系数为正； （2）把不等式看成方程，求出所有的根；
（3）把根在数轴上按大小标出
（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区 域（注意：如果大于等于零的情况或小于等于零的情况）
解分式不等式
解不等式：x 2 3x 2 0 x 2 2x 3
解不等式：x(x 1)(x 2) 0
x 0
x 0
x 1 0 或 x 1 0 或
x 2 0
x 2 0
x 0
x 1 0 或
x 2 0
x 0 x 1 0 x 2 0
解四个一元一次的不等式组，很麻烦 思考：有没有更好的办法解决高次不等式的问题？
解不等式：x(x 1)(x 2)(x 3) 0
（4）在x轴上方的曲线弧所对应数轴上的区间就是不等式大于 零的解；在x轴下方的曲线弧所对应数轴上的区间就是不 等式小于零的解
解不等式：(x 1)(x 2)(x 3)(x 1) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 3) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 3) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 x 2) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 1) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 1) 0
分式不等式与高次不等式解法
-1
2/3
3
所以原不等式的解集为
x
1
x
2 3
或x
3
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正； 2、求零点x； 3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
练习1:解不等式
(x 1)2 (x 2) 0 (x 4)
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
(1) (x 1)3(x 2) 0 x3
(2) (x 2)(x 1)2 (x 1)3(x 3) 0
例３：解不等式 (x 1)( x 3) 0 (3x 2)
解:原不等式同解于
(x 1)(x 3)(3x 2) 0 3x 2 0
复习指导
解分式不等式的关键就 是如何等价转化（化归） 所给不等式！
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
所以原不等式的解集为
x
g (x)
f (x) g (x)
0
f (x)g(x) g(x) 0
0
4.解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
5. 解不等式 2x 1 1 x5
高三数学 不等式的解法 分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法
含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
Aa2x Bax C 0
中级目标：掌握 可化为
及 不等式的A解法log；a2 x B loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax ay axy
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含 参不等式的解法
分式不等式的解法：
简单的高次不等式及分式不等式的解法
学员： 辅导科目：数学 学科教师：
教学目标
掌握简单的高次不等式与分式不等式的解法
教学容
一元高次不等式与分式不等式的解法
1.简单的高次不等式：
一、可解的一元高次不等式的标准形式
（1）左边是关于x的一次因式的积；
（2）右边是0；
（3）各因式最高次项系数为正。
二、一元高次不等式的解法
2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 >0(或 <0)的形式，转化为： ，即转化
为一次、二次或特殊高次不等式形式 .
3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.
4．注意必要的讨论.
5．一考题：
解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.
数轴标根法：
1、将高次不等式变形为标准形式；
2、求根 ，画数轴，标出根；
3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回”（奇穿偶不穿）
4、写出所求的解集。
三、典型例题
例1、
例2、
变式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
例3、
例4、
例5、
例6、
【练习】
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、x(x-3)(2-x)(x+1)>0
4.课后作业
(1)
（2）
（3）
(4)(1-2x)(x-1)(x+2)< 0
(5)(x+1)(-2x+3)(3x+1)> 0
(6)( )( ) 0
（7）
（1） ＜0 （2）3＋ ＜0
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高次不等式、分式不等式
一、高次不等式
1.高次不等式的基本解法是：穿根法；
2.穿根法的基本思想：
1)画草图；
2)因式正负个数的影响。
3.穿根法步骤：
1)求根；能否求根是关键；
2)确定最高次系数的正负；
3)穿根：奇穿偶不穿。
二、分式不等式
1.分式不等式的解法基本思想：因式正负个数的影响；
2.基本方法：把分式不等式转化为整式不等式；
3.转化细节：注意同解变形：分母不能为0。
基本题型解法及易错点
一、高次不等式
1.因式已经分解好的，直接用穿根法；
2.未分解因式的：先分解因式，特别理解下面的分解方法：
1)猜根；
2)代数式相除。
二、分式不等式的几种类型
1.
()
()
f x
g x
>⇒()g()0
f x x
⋅>；
2.
()
()
f x
g x
≥⇒()g()0
f x x
⋅≥且()0
g x≠；
3.
()
()
()
f x
h x
g x
>（含()
h x k
=）⇒：
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
>
-
⇒
>
-
⇒
>
-x
g
x
h
x
g
x
f
x
g
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
4.
()
()
()
f x
h x
g x
≥（含()
h x k
=）⇒：
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
≥
-
⇒
≥
-
⇒
≥
-x
g
x
h
x
g
x
f
x
g
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
且0
)
(≠
x
g
三、含参的高次、分式不等式
1.解含参的不等式：
1）参数影响最高次的系数
①参数为零优先考虑
②参数为正
③参数为负
2）参数影响几个根之间的大小关系：
①解不等式，分情况比出各根的大小关系；
②结合参数对最高次系数的影响；
③参数出现根的分母中，切记分母不为0。
2.不等式的解确定：
1）最高次的系数的正负；
2）对应方程的根确定。
例题讲解
一、 高次不等式
例1：解(1)(2)(3)0x x x --->
解：
1） 对应方程的根为：1231,2,3x x x ===
2） 最高次的系数为：正
所以不等式的解为：3x >或12x <<。
例2：解23(2)(3)(1)0x x x ---<
解：
1） 对应方程的根：1231,2,3x x x ===
2） 方程根的重数：22x =二重根，33x =三重根
3） 最高次前的系数为：负
所以不等式的解为：1x <或3x > 。
1. 解下列不等式：
1） 2(2)(1)0x x +-+≤
2） 32(3)(24)(35)0x x x +-+≥
3） (1)(5)(1)0x x x -++-≤
4） 0)1()3()2(332≤+-+-x x x
5） 0)1)(23(3
22>-+-x x x x
例3：求不等式3
430x x -+≤的解
解：
1） 根据对应方程的系数关系知：1x =是方程的根；
2） 代数除法：233(1)43x x x x x +---+ 即：方程的根为123111,22
x x x --=== 3） 根的重数都为1
所以不等式的解为：x < 或1x << 2. 解下列不等式：
1） 32
2120x x -+≥
2） 37220x x ++<
3） 432330x x x +--≤ 二、 分式不等式
例1：求104
x x -<-的解 解：10(1)(4)04
x x x x -<⇒--<-，所以不等式的解为：14x << 例2：
11x ≥ 解：1110(0)(1)0(0)x x x x x x x
-≥⇒≥≠⇒-⋅≥≠ ，所以不等式解：01x <≤。
1. 解下列不等式
1） x
x 212> 2）
1023x x
-≤-
3） 0231<-x
4） 323x x
-> 5） 225
x x ≤-- 6） 221
x x ->-+ 例3：求解：
(23)(1)0(3)(4)x x x x -+≥-- 解：(23)(1)0(23)(1)(3)(4)0(3,4)(3)(4)
x x x x x x x x x x -+≥⇒-+--≥≠≠-- 不等式的解为：312
x -<<或34x << 例4：22230253
x x x x --≤-+ 解：222231(1)(3)(21)0(3,)2532
x x x x x x x x x --⇒+-+≤≠≠--- 不等式的解为：1x ≤-或12
x >- 且3x ≠ 注意：约分一定要跟上x 取值范围的变化，不然不是恒等变形。
2. 解下列不等式
1） (23)(34)0(2)(21)
x x x x -->-- 2） 222310372
x x x x ++>-+ 3） 224132
x x x x -≥+-+ 4）
1230123x x x +->---
三、 含参的高次、分式不等
例1：若不等式0(3)(1)
x a x x +>++的解是31x -<<-或2x > ,则a 的值为__ 解：由题意可知：0x a +=的根为2，所以2a =。
例2： 求解：1a x
≥ 解：10(0)()0(0)a a x x a x x x x x
-≥⇒≥≠⇒-⋅≤≠，对应方程两根：120,x x a == 则： 当0a >时，不等式的解为：0x <或x a ≥；
当0a =时，不等式无解；
当0a <时，不等式的解为：x a ≤或0x >。
例3：解22102
ax x x -+≤+(0)a ≥ 解：22210(2)(21)02
ax x x ax x x -+≤⇒+-+≤+ 当0a =时：(2)(12)0x x +-≤，解为：2x ≤-或12
x ≥
当0a ≠时，=44a ∆-
1） 当1a >时，=440a ∆-<，2210ax x -+>恒成立，原不等式的解：2x ≤-；
2） 当1a =时，=440a ∆-=，原不等式的解：2x ≤-或1x =
3） 当01a << 时，2210ax x -+=的两根为：12x x == 1212120,0x x x x a a
=>+=>，所以122x x -<<，即原不等式的解为：
2x ≤-或
11x a a
+≤≤ 。
1. 若不等式(1)(2)0(3)
a x x x --≤-的解为12x ≤≤或3x >，求a 的取值范围。
2. 若不等式()(2)(1)0x a x bx +++<的解为2x <-或01x <<，求,a
b 的值。
3. 解下列不等式：
1）21
()10x a x a -++≥
2）2(1)1
(0)1a x x a ax +->>+
3）(1)
102k x x -+<-
课后练习
1. 求解下列不等式
2）23(34)(1)(2)0x x x ++-≤
3）22(1)(23)(1)(2)0x x x x x x -++-+->
4) 3210x x -+≤
5) 43223510x x x x ++--≥
2. 求解下列不等式
1) 2431
x x +>- 2) 130234
x x +<+- 3) 22410234
x x x x -+≤+- 4)
2223043x x x x -->++ 3. 已知不等式(1)(2)(3)0ax x x ++->的解为2x <-或3x >，则a =
4. 已知不等式2(1)(1)0ax x x +++>的解为1x >-，求a 的取值范围。
5. 解下列不等式
1) 10(3)(1)
ax x x ->+- 2) 22301ax x a x -+
<+
3) 22
2101(1)(1)x ax a ax x a
-+--≤+--。