分式不等式的证明与方法
利用重要的不等式证明分式不等式
］ ＝
翌＝
．
２ （
＋
＋
） ≥ｓ
＋
＋
．
—
≥ ・ 争
２ 利 用 例 数不 等 式 ．
．
．
Ｌ ＋ ２ ． ＝ ≥ ＿ ＋
ａ －ａ ｌ ２ ８ 一∞ ２ 一一 ａ ｎ ａｌ ａ — ｎ
≥
．
０１ ａ 一 ｎ
・
． ．
例 ２ （ ９ ９年全 国高 中数 学联 赛 ） １７ 设 ， 是 锐 角 ， 卢都 求
证 ：Ｃ Ｓ ０Ｌ —Ｏ ２
＋ ・
总 之 ， 式 不 等 式 证 明 的 题 型 千 变 万 化 、 法 灵 活 多 样 、 巧 分 方 技
博 大精 深 ， 要 较 高 的数 学 综 合 能力 ． 需
要 发 现 和 发展 学 生 多方 面 的潜 能 ， 了解 学 生 发 展 中 的需 求 ，
帮 助 学 生认 识 自我 ， 立 自信． 挥 评 价 的教 育 功 能 ， 进 学 建 发 促
生 在 原有 水 平 上 的发 展 ． 因此 ， 学 低 年 级 数 学 教 学 的评 价 ” 小 要 以 促进 学生 的全 面发 展 为基 础 ，建 立 合 理 的评 价 体 系 ， 实 现 教 学评 价 的科 学 性 ． 进 行 教 学 评 价 时 ，要 改 变 以往 的 根 在
据 考 试 成 绩作 为评 价学 生学 习效 果 的依 据 ， 注 意 将 过 程 性 要
评 价 与形 成 性 评 价 相 结 合 ． 全 面地 对学 生进 行 科 学 的评 价 ． 要 比如 ， 养 创 造 力 是 小 学 数 学 教 学 的 目标 之 一 ， 培 因此 ， 对 学 在
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。
不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。
本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。
一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。
在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。
例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。
解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。
接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。
因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。
二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。
这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。
可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。
例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。
解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。
具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。
分式不等式的解法步骤
分式不等式的解法步骤
嘿，朋友们！咱今儿来聊聊分式不等式的解法步骤哈。
你看这分式不等式，就好像是一道有点复杂的迷宫，咱得一步步找到出口。
先来说说第一步，那就是移项啦！把那些不在分式这边的家伙统统挪到一边去，就像整理房间一样，把东西都归归类。
比如说一个分式不等式，咱就把含未知数的都弄到一边，其他的扔到另一边。
这就好比把不同类型的玩具分开摆放，清楚明白！
然后呢，就是通分啦！这就像是给一群小伙伴排排队，让他们按照一定的规则站好。
通分之后，咱就能更清楚地看到它们之间的关系啦。
接下来这步可重要啦，就是化简！把那些能合并的都合并起来，能约分的都约分掉，让整个式子变得简单明了。
就像给一棵树修剪枝叶，让它的形状更漂亮。
再之后呢，就是判断符号啦！这可得仔细着点，就像走在路上得看清红绿灯一样。
要根据各种情况来确定符号的正负，可不能马虎哟！
最后一步，就是求出解集啦！就好像终于找到了迷宫的出口，那种感觉，爽歪歪呀！
你想想，解分式不等式不就跟咱解决生活中的难题一样嘛。
咱得有条有理地一步一步来，不能着急，不能马虎。
要是着急了，说不定就走错路啦；要是马虎了，那可就找不到正确答案咯！
所以啊，遇到分式不等式别害怕，按照这几步慢慢来，肯定能把它搞定。
就像咱平时做事一样，只要有耐心，有方法，啥困难都能解决！咱可不能被这小小的分式不等式给难住了呀，对吧？咱得有信心，有勇气，去攻克它！就这么办，加油！。
分式不等式的解题方法与技巧
分式不等式的解题方法与技巧
1.解分式不等式的具体步骤：
(1) 将分式不等式化简成分母常数：将不等式变形为分式不等式，将分式不等式化简成分母常数；
(2) 将不等式转化成一般不等式：将分母常数乘以变量，将所有项收集到一边，生成相应的一般不等式；
(3) 利用一般不等式的性质，求出解集；
(4) 将解集转换成包含分式不等式的解集。
2.解分式不等式的技巧：
(1) 病跟踪：当涉及到分母的数值时，要特别注意，分母不能等于0；
(2) 将不相交子集划分到正确的方向：可将不相交的子集分成左侧大于右侧或右侧小于左侧两类，将包含在不等式符号内部的子集作为取反并划入另一边；
(3) 利用添加常数的思想解决设定了等号的不等式：在求解分式不等式时可以将左右两边的式子同时加上一个未知的常数，看看未知常数好满足分式不等式。
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
几个常见分式不等式的统一构造证明
几个常见分式不等式的统一构造证明
分式不等式是一种常见的数学不等式，它的统一构造证明可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。
首先，我们来看一个典型的分式不等式：\frac{x^2+1}{x+1}>0。
首先，我们将分式不等式转化为乘法不等式：x^2+1>0\cdot(x+1)，即x^2+1>0。
接下来，我们可以将x^2+1分解为(x+1)(x+1)，即(x+1)^2>0。
最后，我们可以得出结论：x+1>0，即x>-1。
因此，我们可以得出结论：\frac{x^2+1}{x+1}>0的解集为x>-1。
以上就是分式不等式的统一构造证明。
通过将分式不等式转化为乘法不等式，再将乘法不等式分解为平方不等式，最后得出结论，我们可以很容易地解决分式不等式问题。
总之，分式不等式的统一构造证明可以帮助我们更好地理解和解决这类问题，从而提高我们的数学水平。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
基本不等式公式四个推导过程
基本不等式公式四个推导过程一、线性不等式的推导过程：1.首先，假设有两个实数a和b，且a≠b。
2.通过观察可以发现，当a>b时，a-b>0；当a<b时，a-b<0。
3.将这两种情况总结为一个公式：当a≠b时，a-b与a和b的大小关系一致，即(a-b>0)当且仅当(a>b)成立。
4.根据上述推导得到的公式，可以类似地推导出其他线性不等式的基本公式，如a+b>c+d时，a-c>b-d成立，等等。
二、二次不等式的推导过程：1. 首先，考虑一个二次函数y=ax^2+bx+c，其中a>0，即二次函数的开口朝上。
2. 对于二次函数y=ax^2+bx+c中的两个实数x1和x2，且x1≠x2，可以根据二次函数开口朝上的特点，得出y(x1)>y(x2)成立。
3. 将上述结论推广为二次函数y=ax^2+bx+c的基本不等式公式：当a>0时，x1≠x2，有y(x1)>y(x2)；当a<0时，x1≠x2，有y(x1)<y(x2)。
4. 根据上述推导得到的公式，可以类似地推导出其他二次不等式的基本公式，如对于二次函数y=ax^2+bx+c和实数k，若a>0，且y(x1)>k，那么有y(x)>k成立，等等。
三、分式不等式的推导过程：1.首先，假设有两个实数a和b，且a≠b。
2.将a和b视为两个数的比例，即a/b，根据比例的性质可以得出以下结论：若a/b>1，则a>b；若a/b<1，则a<b。
3.将上述结论推广为分式不等式的基本公式：对于有理数a、b，且b≠0，如果a/b>1，则a>b；如果a/b<1，则a<b。
4.根据上述推导得到的公式，可以类似地推导出其他分式不等式的基本公式，如对任意有理数a、b、c，且b≠0，c≠0，若a/b>c，则a>c*b成立，等等。
四、绝对值不等式的推导过程：1.首先，考虑一个实数x，x的绝对值记为，x。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分式不等式的证明与方法摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。
通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。
关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法二．利用基本不等式法 均值不等式即：利用不等式∑=n i y i x m i n 11≥∑=∑=ni y i n ni x i n m111)1(⇔∑=-∑=ni imm yx nni i 1211)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一类难度较大的分式不等式是很简捷的。
例2.若1,2)(i R =∈+a i 且N m s ni i a ∈=∑=,1，则有∑+=-ni ma a i i 1)(1)(sn n s mn +≥证明:(1)当m=1时，∵n a a ni ini i2111≥∑∑=-=，sn a ni i211≥∑=-，所以有：)11(a a i ni i +∑=-=∑∑==-+ni in i i a a 111≧sn 2+s=n(ns sn+)(2)当m=2时,)11(a a i ni i +∑=-≧nm 21-ni i ni ma a ∑+=-1)(1≧n )(nss n m+综上，由（1）（2）知原不等式成立。
排序不等式即，适用于对称不等式例3.设a,b,c 是正实数，求证：23≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则ba a c cb +≥+≥+111 由排序不等式得：≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a ba b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（b ac a c b c b a +++++）3≥，所以23≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a ni i ni i 2111≥∑∑=-=例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 22=+βα，不等式左边拆项得：ββαcos sin sin cos 222211+=βαβααsni22222sin cos sin cos 111++又由于1sin sin cos sin cos 22222=++βαβαα 由倒数不等式有:)(sin sin cos sin cos 22222βαβαα++)111(22222sin cos sin cos βαβααsni++≥9所以原不等式成立当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 22222==即2tan ,1tan ==αβ时等号成立。
利用柯西不等式法即利用)(1R )(2122+==∈≤∑=∑∑b a b a b a i i n i i i n i i n i i i 来证明。
例5、如果a aa n >>> (2)1，n ∈N,且n ≥3,求证a a 211-+a a 3222-+…+a a n n n ---12)1(+a a n n 12-≥0 证明：原不等式等价于a a 211-+aa 3222-+…+a a n nn ---12)1(≥aa nn-12由柯西不等式得：[（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+（a n 1--a n ）][a a 211-+a a 3222-+…+a a n n n ---12)1(]≥[1+2+…+)1(2-n ]=2)]1([2-n n =4)1(22-n n当n ≥3时，4)1(2-n ≥1所以a a 211-+a a 3222-+…+a a n n n ---12)1(≥a a n n n--1224)1(≥a a nn-12（5）利用Grammer 法则，即把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的例6.设a i >0求证:1113221-≥+++++++-n n aa aa aaa aan nnn证明：令x a a a a n n 1132=+++-x a aa a n n 2131=+++-……x a aa n n =++-121设),2,1(n i a i =为未知数，显然此方程组的系数行列式D=)1()1(--n n，用x i 分别替换D 中的第i 列得：),2,1]()1([1)1(n i n x x D i ni i ni =--=∑-=,y由Grammer 法则有：1])1([1---==∑=n n Dnj i jii x xDa ,故有：aa aa aaa aan nnn113221-+++++++=1])1([11---∑=n n nj jx x+1])1([12---∑=n n nj jx x+…1])1([1---∑=n n nj n jx x)]2([11121213132--+++++++++-=-n n x n xx x x xx x xx x x nn n n)]2()1([11----≥n n n n n =1-n n 三．零点法即利用非负实数的性质)(0)(2时等号成立b a b a =≥- 例7.设),2,1(,n i b a i i =是正实数，且∑∑===ni ini ib a 11求证：∑∑==≥+ni i ni ii ia b a a11221 证明：当b a i i =时，不等式取等号，且2b a ba a ii ii i+=+ 构造不等式[)2(2≥+-+b a b a a i i ii i]即有：0432≥-++a b b a aiiii i，令i=1,2,…相互叠加，得：043112≥-++∑∑∑===n ni ni iini iiiab ba a ，因为∑∑===ni ini ib a 11，所以有∑∑==≥+ni i ni ii ia ba a 11221 四。
利用放缩法对于某些分式不等式，抓住其特点，将分子分母进行适当的放缩处理，就能收到意想不到的结果。
例8.设a,b,c,d 为任意正数，求证：21<+++++++++++<ca d da d c c a cb b d b a a证明：首先分母缩小以证明右式2=+++++++<+++++++++++dc dd c c b a b b a a c a d d a d c c a c b b d b a a然后分母放大以证明左式1=+++++++++++++++>+++++++++++dc b a dd c b a c d c b a b d c b a a c a d d a d c c a c b b d b a a 所以原不等式成立。
五.换元法。
常用的换元方法有局部代换，整体代换，三角代换。
例9．（W.Janous 猜想） 设R z y x +∈,,求证：0222222≥+-++-++-zy yx xz zxy z xy证明:令原不等式左边为M,,,,c z y b y x a x z =+=+=+则R c b a c b z x b a y z a c x y +∈-=--=--=-,,,,,,所以有：abcbc ab ca cc b a b b a c a a c b M a c b baaccb )()()()(222222222++-++=-+-+-= 因为ca bc ab b c b b aa baacc a c cb2222222222222222,2,2≥+≥+≥+，所以有：bc ab ca a c b baaccb 222222222(++≥++，故M>0,当且仅当z y x ==时等号成立，所以原不等式成立。
（局部代换） 例10.已知a,b,c,d R +∈,且1111122222222=+++++++dd cc bb aa，求证：91≤abcd 证明：设αtan =a ，则))2,0((,1sin 222παα∈=+aa ，，又设))2,0(,,(,tan ,tan ,tan πσγβσγβ∈===d c b ，由1sin sin sin sin2222=+++σγβα，有σσγβαcos sin sin sin sin222221=-=++，则有：)1(3cos sin sin sin sin sin sin 22223222σγβαγβα=++≤•，同理:)2(3cos sin sin sin sin sin sin22223222γσβασβα=++≤•,)3(3cos sin sin sin sin sin sin 22223222αγβσγβσ=++≤•,)4(3cos sin sin sin sin sin sin22223222βγασγασ=++≤•，（1）⨯（2）⨯（3）⨯（4）得:σγβασγβαcos cos cos cos sin sin sin sin 2222222281≤即：811tan tan tan tan 2222≤σγβα 所以有：91≤abcd代数不等式的三角代换，常利用同角万能公式将常数化为三角函数。
整体代换例11 已知R c b a +∈,,,且1111=+++++c c b b a a ,求证：12111222≥++cb a 证明：由已知得:1111111111=+++++cba,设,111ax +=,111by +=,111cz +=则有:,111-=x a ,111-=y b ,111-=zc 且1=++z y x ，所以：8222)11)(11)(11(1=⋅⋅≥+⋅+⋅+=---=zyxzxxy yz z y x y x z x z y z y x abc ，所以81≤abc ，所以：12331113623222222=≥≥++-cb a cb a六．构造法构造法通常是指构造函数，构造数列，构造对偶式，构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具。
构造对偶式也叫配对法例12.已知a,b,c 均为正数，求证:3223223223cb a ca bc ab acccbbbaa++≥++++++++ 证明：设,223223223acccbbbaaca bc ab M ++++++++=ac a c b c b a b ca bc ab N 223223223++++++++=则M-N=0即M=N,又aca c cbc b ba ba ca ca a c bc bc cb ab ab b a N M 222222222222)()()(+++-⋅+++++-⋅+++++-⋅+=+，由基本不等式得：313131222222222222≥+++-≥+++-⋅≥+++-a c a c c b c b ba ba ca ca bc bc ab ab ，所以有:3)(2c b a N M ++≥+,又M=N,故3cb a M ++≥利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。