高中数学选择性必修三 概率统计

概率统计

通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为：

X

0 1 2 3 4 5

P

136 112 19 13 19 13

于是，我们可以根据分布列画出函数的图象.

考点1：二点分布

1.如果随机变量X 的分布列为

X 1 0

P p 1p -

其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．

【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生

婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布．

屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩

下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的

挑选一个撞过去，那么成功率就是1

3

.随机变量X 为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败

定义为0，则X 的分布列满足二点分布．

X 1 0

P

13

23

知识点睛

543210

P

X

2.二点分布的期望与方差：

若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则

()()101E X p p p =⨯+⨯-=；()()()()()22

1011D X p p p p p p =-⋅+-⋅-=-

【教师备案】二点分布严格定义是01-分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的

情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是()1p p -，由均值不等式很容易得出当1

2

p =的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的．

【例1】 二点分布

从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”，求随机变量X 的分布列及

期望与方差．

【解析】 由题意知()420645P X ===+，()631645P X ===+，故随机变量X 的分布列为()2

05

P X ==，

()3

15

P X ==，概率分布表如下：

X 0 1 P

25

35

()35E X =，()236

5525

D X =⨯=．

考点2：超几何分布

1.超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为

C C ()C m n m

M N M

n N P X m --==(01m l =，，，，l 为n 和M 中较小的一个 )．

我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在

超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．

2.超几何分布的期望与方差：

若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nM

E X N

=

；()11nM M N n D X N N N -⎛⎫=- ⎪

-⎝⎭． 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的，现在鸟不傻

知识点睛

经典精讲

了，不过眼神依然不好.他现在决定尝试20次（否则可能撞的次数太多给撞死了），并且撞过的窗户不再去撞了，记录结果，统计一下有多少次能出去.这就是超几何分布，从模型角度讲，超几何分布就是“无放回”的抽取.超几何分布的典型例子就是生物学上的标记重捕法．先标记种群内的一部分个体，放回后再次捕捉，统计含有标记的数量，来估计总数，这实际是利用了超几何分布的期望的直观意义．

【教师备案】老师在讲完超几何分布后，就可以让学生做例2，例2主要是让学生写超几何分布的分布列，关键是

让学生从题目上就可以看出是超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式就可以很快写出分布列；然后老师就可以继续讲超几何分布的期望与方差，对于超几何的期望和方差，老师可以只介绍期望公式，方差的公式太麻烦了，所以不建议给学生讲解，而且期望的公式推导过程也不要求，只需让学生记住就行了．讲完期望公式后，就可以让学生做例3，例3主要是套公式，学生会发现，对于超几何分布求期望用公式也非常快．

【例2】 求超几何分布的分布列

一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球， ⑴ 求其中红球个数的分布列 ⑵ 求其中白球个数的分布列．

【追问】从红球的分布列和白球的分布列你能看出X 和Y 的取值之间有什么关系？

【解析】 ⑴ 记X 表示“取出4个球中红球的个数”，则X 服从参数为1044，，的超几何分布．

∴0446410C C 1(0)C 14P X ⋅===，1346410C C 8(1)C 21P X ⋅===，22

46

4

10C C 3(2)C 7P X ⋅===， 31464

10C C 4(3)C 35P X ⋅===，4046

410C C 1(4)C 210

P X ⋅===． ∴X 的分布列为：

X

0 1 2 3 4 P

114

821 37 435 1210

⑵ 记Y 表示“取出4个球中白球的个数”，则Y 服从参数为1064，，的超几何分布．

∴4046410C C 1(0)C 210P Y ⋅===，31

46

4

10C C 4(1)C 35

P Y ⋅===， 2246410C C 3(2)C 7P Y ⋅===，1346410C C 8(3)C 21P Y ⋅===，0446

4

10C C 1(4)C 14

P Y ⋅===， ∴Y 的分布列为： Y

0 1 2 3 4 P

1210

435 37 821 114

【追问】4X Y +=，故(0)(4)(1)(3)P X P Y P X P Y ======，，．

提高班学案1

【铺1】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试

经典精讲