人教版高中数学必修三 第二章 统计变量间的相关关系(线性回归)

变量间的相关关系(线性回归)

一、变量之间的相关关系

1、凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响。但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素。例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等。当我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就要考察这两者之间的相关关系。

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 2、相关关系与函数关系的异同点

相同点：两者均是指两个变量的关系。 不同点：（1）函数关系是一种确定的关系。如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系。如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系。事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素――年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大。 （3）相关关系的分析方向

由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用。我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断。 二、两个变量的线性相关 1、回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

一般地，对于某个家庭来说，它的年饮食支出不一定随年收入的增加而增加或减少。但如果是大量的个体，可能就会表现出一定的规律来。观察表中数据，大体上来看，随着家庭看收入的增加，年饮食支出也在增加。为了确定这一相关关系的细节，我们需要进行数据分析。与以前一样，我们可以作统计图、表。通过作统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。

除我们在前面所学的有关图、表外，我们还可以通过另外一种图――散点图来分析两个变量之间的关系。 2、散点图

将样本中n 个数据点(,)

i i x y （1,2,,i n ）描在平面直

角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。

如上例中，为了更清楚地看出两变量是否有相关关系，我们以年收入x 的取值作为横坐标，把年饮食支出y 的相应取值作为纵坐标，可得相应散点图。如图所示。

散点图形象地反映了各对数据的密切程度。由图可见，年

收入越高，年饮食支出超高。图中点的趋势表明两个变量间确实存在一定的关系。 3、正相关、负相关

从散点图可以看到点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。如年龄由小变大时，体内脂肪含量也在由小变大。

反之，如果两个变量的散点图中散布的位置是从左上角到右下角的区域。即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的路程成负相关。汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短。

4、如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状，则

这两个变量之间不具有相关关系。例如，学生的身高与学生的数学成绩没有相关关系。

利用散点图可以判断变量之间有无相关关系。 三、回归直线方程

1、回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

2、根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也可以让画出的直线上方的点和正方的点数目相等……这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强。 四、散点图和回归直线的画法

1、建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致。

2、将n 个数据点(,)(1,2,3,,)i i x y i n =描在平面直角坐标系中。

3、描的点可以是实心点，也可以是空心点。

4、画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域。实际画线时，先观察有哪两个点在直线上即可。

5、具体作回归直线时，用一条透明的直尺边缘在这些点间移动，使它尽量靠近或通过大多数点，然后画出直线。

五、回归直线方程的求法

1、回归直线方程的求法-------最小二乘法

实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”。即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系。

设与n 个观测点(,)(1,2,,)i i x y i n =最接近的直线方程为ˆy bx a =+(注意它与表示一次函数的习惯y ax b =+相反；y 表示y 的估算值)。其中,a b 是待定系数。当变量x 取(1,2,

,)i x i n =时，可以得到：

(1,2,

,)i i y bx a i n =+=，它与实际收集到i y 之间的偏差是：()(1,2,

,)i i i i y y y bx a i n -=-+=。

可见，偏差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不代表n 个点与相应直

线

在

整

体

上

的

接

近

程

度

。

故

采

用

n

个偏差的

平

方

和

2221122()()()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--+

+--表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度。(类

似的思想方法在定义方差时用过) 记2

1

()n i

i

i Q y bx a ==

--∑(1

n

i =∑

为连加符号)。

上式展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 取得最小值时,a b 的值，即

11222

11

()(),(),n n

i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧-⋅--⋅⎪

⎪==⎨--⎪⎪=-⎩

∑∑∑∑ 其中11n i i x x n ==∑，1

1n

i i y y n ==∑。

如此得到的方程y bx a =+叫做回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，由于y bx a =+，故巧合的是：

(,)(1,2,,)i i x y i n =的中心点(,)x y 在回归直线上。0x 处的估计值为0y bx a =+。

上述求回归直线的方法，是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小。由于平方又叫二乘方，所以这种

使“偏差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法。 2、回归直线方程求解的方法步骤

根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程。

对上表中的数据进行具体计算，可列出以下表格： 故可得到：

10

110

222

1

10117.7106 1.837.9

0.17240610646

10i i

i i

i x y x y

b t x

x ==-⋅-⨯⨯=

=

=≈-⨯-∑∑

1.830.17260.800a y bx =-=-⨯≈，

从而得到回归直线方程为0.8000.172y x =+。

由此可归纳出求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表,,i i i i x y x y ； 第二步：计算221

1

1

,,

,,n n n

i

i

i i

i i i x y x y x y ===∑∑∑，

第三步：代入公式计算,b a 的值； 第四步：写出直线方程y a bx =+。 六、利用回归直线对总体进行估计

利用回归直线，我们可以进行预测。若回归直线方程为y bx a =+，则0x x =处的估计值为：00y bx a =+。 例如上例中，知道了某个家庭的年收入，就可以利用回归方程来预测该家的年饮食支出。例如，某家庭年收入为9万元，可预测该家庭的年饮食支出在0.17290.800 2.348⨯+=万元附近的可能性。不过我们不能说该家庭的年饮食支出一定是2.348万元。事实上，这个2.348万元是对年收入为9万元的家庭中的大部分家庭的饮食支出所作出的估计。

例：(江西南昌质量检测题)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：

(1)线性回归方程y bx a =+的回归系数,a b ； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

解析：因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题。

(1)利用公式：1

22

1

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx ==-⋅=

-∑∑，a y bx =-来计算回归系数。有时为了方便常制表对应算出2,i i i x y x ，

以便于求和。

(2)获利线性回归方程后，取10x =，即得所求。

于是有2

1.23905410

b =

==-⨯，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=。 (2)回归直线方程是 1.230.08y x

=+，当10x =年时， 1.23100.0812.38y =⨯+=万元，即估计使用10

年时维修费用是12.38万元。 七、相关关系的强与弱

对于变量x 与y 的一组观测值，称：

()()

n

i

i

x x y y r --=

∑n

i i

x y nx y

r -⋅=

∑

叫做变量y 与之间的样本相关关系，简称为相关系数，用它来衡量,x y 之间的线性关系的强弱。 相关系数的性质： (1)1r ≤。

(2)当r 越接近于1时，相关程度越大。特殊地，当1r =时，n 个点在同一直线上，当r 越接近于0时，相关程度越小。

(3)r 的大小反映了x 与y 之间的线性关系的强弱，相关系数r 至少大到什么程度才可以认为x 和y 的线性关系是显著的呢？这就需要进行显著性检验，即相关性检验。

一般地，由公式计算出样本的相关系数r 查表得到相应的临界值a r ，比较r 与a r 的大小。若a r r ≥，就认为x 与y 线性相关显著；若a r r <，就认为在显著水平a 下，x 与y 线性相关不显著。