第二章静电场题解

第二章 静电场(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为Q 的点电荷。

问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。

解 如图建立坐标系，可得x x x x a Q a a q E e e e 2/122421221420220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/122421221420220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε 据题设条件，令 022421=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Q q ， 解得 ()2214+-=qQ2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。

1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。

解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()x x xe E -=204d d πετ，x x 04d d πετϕ= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()()()x l l xl l l x x e e E E -=-==⎰⎰0320364d d 0πετπετ ()3ln 44d d 00303l πετπετϕϕ===⎰⎰l l l x x2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为()r ry e E -=204d d πετ，r y04d d πετϕ= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，514sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为()l l l r yl x x x x 0000020054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====⎰⎰⎰()010024.0421tan 21tan ln 2cos d 4d 20,2πετππετθθπετϕϕαα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-⎰⎰l2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ。

求圆盘轴线上到圆心距离为b的场点的电位和电场强度。

解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。

坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z 轴与面电荷轴线重合。

场点P 的坐标为()b ,,0α。

在带电圆盘上取一个电荷元σα'''r r d d ，源点坐标为()''r ,,α0。

由电荷元产生的电位d d d ϕσαπε='''r r R40计算P 点电位时，场点坐标()b ,,0α不变，源点坐标()''r ,,α0中'r 'α是变量。

22b r R +'=整个圆盘形面电荷产生的电位为()()bb ab b aa b r r r a b r r r -+-+=+'''=+''''=⎰⎰⎰222222200202202=22d 4d d εσεσεσπεασϕπ根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有e z 方向的分量z z z b a bb b b a b z e e e E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-=-∇=2202220122εσεσ∂∂ϕϕ2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。

1）34e e e y x z +- 2）x y z x z e e e y +-4 3） y z x x z e e e y +-4 4）r r e （球坐标系）5）r 2e α（圆柱坐标系） 解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得1）()014343=-∂∂∂∂∂∂=-+⨯∇z y x x y x z x e e e e e e y 2）()044=-∂∂∂∂∂∂=-+⨯∇zy xz y x z y x x y xz x e e e e e e y3）()y x y x z x xz y z y x x z y e e e e e e e y 244=-∂∂∂∂∂∂=-+⨯∇ 4）()0=⨯∇r r e5）()()()z z z z r r r r r r r rA r r r e e e e e 3311122=⋅=⋅∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⨯∇αα据0=⨯∇E ，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可能是电场强度表达式。

2-5 有两相距为d 的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为σ和-σ。

求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。

解 如图2-4所示的三个区域中，作高斯面1S ，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面2S ，据高斯通量定理，可得在区域（2），0εσ=E2-6 求厚度为d ，体电荷密度为ρ的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。

解 如图2-5所示的三个区域中，作高斯面1S ，据高斯通量定理，电场强度在1S 上的通量为1112d 1ερdS S E s ==⋅⎰s E 可得在区域（1）和（3）中，电场强度 012ερdE =对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面2S ，据高斯通量定理，电场强度在2S 上的通量为 022221ερxS S E S E =+，得 ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22000102d x d x E x E ερερερερ2-7 有一半径为a 的均匀带电无穷长圆柱体，其单位长度上带电荷量为τ。

求空间的电场强度。

解 如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为ρ，则有 τπρ=⋅2a ，即 2aπτρ=作柱对称高斯面，可得当a r <，022ερππr r E =⋅，解得 20022a r r E πετερ== 当a r ≥，02ετπ=⋅r E ，解得 rE 02πετ=2-8 如图2-7所示，一半径为a 的均匀带电无穷长圆柱体电荷，电荷体密度为ρ，在其中挖出半径为b 的无穷长平行圆柱孔洞，两圆柱轴线距离为d 。

求孔洞内各处的电场强度。

解 设孔洞内任意场点至大、小两圆柱体轴心的矢径分别为1r 、2r ，则当孔洞内充满体密度为ρ的电荷时，场点处有 01112ερr E r =孔洞内充满充满体密度为ρ-的电荷时，由ρ-在场点处产生的场强为 02222ερr E r -=则所求场点的电场强度为 ()0022112122ερερabd r r r r r E E E =-=+= 式中ab r 为两圆柱轴线间距d 的单位矢量，方向为从大圆柱体的轴心指向小圆柱体的轴心。

2-9 求如图2-8所示电偶极子p 对实验电荷q t 的作用力。

解 据教材36页式（2-67），可得实验电荷q t 处的电场强度为()θθπεθθπεe e e E 30304sin cos 24R pr p r =+=则实验电荷q t 所受电场力为 θπεe F 304R pq t=2-10 如图2-9所示，平行平板电容器中，一半是介电常数为ε的电介质，另一半是真空。

电容器正负极之间距离为d ，加电压U 。

求电介质中的电场强度、电位移矢量、极化强度、极化电荷体密度以及电介质与真空分界面上的极化面电荷密度。

解 设介电常数为ε的电介质中的电场强度为1E ，真空中的电场强度为2E ，据边界条件可得 dUE E E ===21，据E D ε=，可得电位移矢量分别为 d UD ε=1，dU D 02ε=据E D P 0ε-=，可得介质中的极化强度为 ()dUE E P 00εεεε-=-=以上各矢量的方向均为从正极板指向负极板。

极化电荷体密度为 0=⋅∇'-=P P ρ分界面上的极化面电荷密度为 0=⋅=n P e P σ2-11 有一带电导体球，带电荷量为q ，周围空间为空气。

空气的介电常数为ε0，空气的击穿场强为E 0。

问导体球的半径大到什么程度就不会出现空气击穿？解 电场强度在导体球表面达到最大值，即 020max 4E R qE ==πε 则 004E q R πε=2-12 试证明在线性、各向同性、均匀电介质中若没有自由体电荷就不会有束缚体电荷。

证明 由于在线性、各向同性、均匀电介质中，D E P ∝∝，又0=ρ，则0=⋅∇D ，可得0=⋅∇P ，即0=P ρ。

2-13 已知某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表示式为ϕ()r arbr =e ，a 和b 均为常数。

求体电荷密度。

解()[]()[]br br br br br br br er ab be br be ra br ae r r e r ab e r a r r r e r a r r r r r r r r 22222222222111111=+-=-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕϕ 据ερϕ-=∇2，可得 br e rab 0ερ-=2-14 有一平行平板电容器，两极板距离AB =d ，之间平行地放置两块薄金属片C 和D ，忽略薄金属片的厚度，有AC =CD =DB =d3。

若将AB 两极板充电到电压U 0后，拆去电源，问：1）AC, CD, DB 之间的电压为多少？C 和D 两金属片上电荷分布如何？AC, CD, DB 之间的电场强度为多少？2）在1）的基础上，若将C 和D 两金属片用导线联接后再断开，重新回答1）中的三个问题。

3）若充电前先用导线联接C 和D 两金属片，充电完成后先断开电源，再断开C 和D 之间连线，重新回答1）中的三个问题。

4）在2）的基础上，若将A 和B 用导线联接再断开，重新回答1）中的三个问题。

解 极板间的电场强度为均匀的，各极板位于等位面上。

1）各极板间距相同，因此 3/U U U U D B CD AC ===，在C 、D 两金属片的两面均匀分布有电量相同的正、负面电荷，d U /0εσ= 各极板间的电场强度相同，d U E /=2）将C 和D 两金属片用导线联接，则0=CD U ，0=CD E ，由于A 、B 极板上的电荷不变，则A 、C 间和D 、B 间的电场强度不变，电压也不变，即3/U U U D B AC ==，d U E E D B AC /==；C 、D 相对的面上电荷中和后为零，另一面不变，量值d U /0εσ=。