范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(公共物品)

第23章 公共物品

1．考虑如下博弈作为两个当事人在离散公共物品情况下公共物品问题的一个解。每一当事人宣布一个“出价”i b 。如果12b b c +≥，就提供这一物品且每个当事人支付其出价额；否则就不提供公共物品，每个当事人也无需支付什么。有效的结果是这一博弈的一个均衡吗？有其他的均衡吗？

Consider the following game as a solution to the public goods problem in the case of a discrete public good with two agents. Each agent i states a “bid ”, i b . If 12b b c +≥, the good is provided and each agent pays their bid amount; otherwise,

the good is not provided and neither agent pays anything. Is the efficient outcome an equilibrium to this game? Is anything else an equilibrium?

答：假设当事人1愿意为公共品支付的最高价格为1v ，而他的实际报价为1b ；当事人2愿意为公共品支付的最高价格为2v ，而他的实际报价为2b ；给定当事人2的报价2b ，当事人1的反应函数为：

类似地，当事人2的反应函数为：

根据上面两个反应函数可知：

①当12v v c +>时，任意满足1122b v b v ≤ ≤，以及12b b c +=的报价都构成纳什均衡。公共品得到提供。

②当12120v c v c b b ==＜，＜时，也是一个纳什均衡，但此时公共品得不到提供。

2．假设1u 和2u 在()i x G ，上都是位似的。推导纳什均衡时贡献水平的条件。 Suppose that 1u and 2u are both homothetic in ()i x G ，. Derive the

conditions for the Nash equilibrium levels of contributions.

答：假设消费者1和2的总收入分别为1w 和2w ，私人品的价格为1，公共品的价格为p 由于消费者具有位似偏好，所以他对每种商品的需求和他的收入成比例。但是对于公共品而言，给定消费者2提供2g 数量的公共品，消费者1至少要消费2g 数量的公共品，这相当于消费者1收到了数量为2g 的公共品的捐赠，因此他的实际收入为12w pg +，从而他对公共品的需求就是：

()()112g A p w pg =+

这里()A p 是一个关于p 的函数（下面的()B p 也一样），如果()()1122g A p w pg g =+>，那么消费者1会提供数量为()()122A p w pg g +-的公共品；如果()()1122g A p w pg g =+≤，那么消费者1就会选择不提供公共品。综上可知消费者1的反应函数为：

()(){}1122max 0g A p w pg g =+- ， （1）

类似地，消费者2的反应函数为：

()(){}1122max 0g B p w pg g =+- ， （2）

所以纳什均衡时的公共品的供给数量为同时满足（1）、（2）两式的1g *和2g *

。

3．假设现在两个当事人有不等的财富，但有相同的柯布-道格拉斯效用函数，()1a a i i i u G x G x - =，。均衡时当事人2的贡献为零时所需的两人财富差异有多大？

Suppose now that the two agents have different wealths, but identical Cobb-Douglas utility functions,

()1a a i i i u G x G x - =，. How big does the wealth difference between agent 1 and 2 have

to be for agent 2 to contribute zero in equilibrium?

答：给定2g ，消费者1 的效用最大化问题为：

解得(){}112max 20g w g g α=+- ，

。同理可得(){}2211max 0g w g g α=+- ，。 达到均衡时20g *

=，所以必有()112 0g g w α**+-＜，即：

()121w g αα*-< （1）

由于20g *

=，所以(){}

2*11120g max w g w g αα**=+- =，

，把它代入（1）式中得到： ()211w w α<-

4．假设n 个当事人都有同样的柯布-道格拉斯效用函数，()1a a i i i u G x G x - =，。总的财富量为w ，分给k n ≤个当事人，有多少公共物品被提供出来？当k 增加时，公共物品的数量怎样变化？

Suppose that there are n agents with identical Cobb-Douglas utility functions, ()1a a i i i u G x G x - =， There is a total amount of wealth w , which is divided among k n ≤ of the agents. How much of the public good is provided? How does the

amount of the public good change as k increases?

答：由题3可知，给定其他消费者提供的公共品的数量i g -，消费者i 提供的公共品数量为：

(){}1max 0i i i g w g g α--=+- ， （1）

利用效用函数的对称性可知：均衡时，每个消费者提供的公共品的数量都相同，因此均衡时必有

120k g g g ==?=≠（假设财富只在前k 个人之间平均分配）

，从而（1）式可以改写为：

解得：

可见随着k 的上升，财富的数量分配得更平均，私人提供的公共产品的数量将更少。

5．克拉克税导致帕累托有效配置吗？克拉克税能导致公共物品的一帕累托有效数量吗？

Does the Clarke tax result in a Pareto efficient allocation? Does the Clarke tax result in a Pareto efficient amount of the public good?

答：令i b -为略去了当事人i 的出价向量，()i i h b -为当事人i 另外的支付额。现在，当事

人i 的报酬采取了如下形式：

显然，这种机制会给出真实的显示。如果明智地选择i h 函数，额外支出的规模会大大减小。对i h 函数的一个较好选择如下：

这样的一个选择产生了枢纽机制，也被称为克拉克税。

由于要设计一种机制来保证额外支付之和为0，因此，要求当事人纳税，这会导致税收浪费，从而公共与私人物品的配置不是帕累托最优的。然而，提供的公共物品数量一定是帕累托有效数量：如果i i

r c >∑，就提供1单位；其他情况下为0单位。

6．在南海中有一被称为格兰德的特殊的土著部落，只消费椰子。他们把椰子用于两个目的：或者当食物吃，或者作为公共的宗教祭品而烧掉。（格兰德人相信这一祭品有助于他们的预备仪式。）

假定某一格兰德人i 初始拥有的椰子量为0i w >。令0i x ≥为其消费的椰子量，0i g ≥为其为公共祭献而拿出的椰子量。拿出用于祭献的椰子总量为 1n

i i G g ==∑，格兰德人i 的效用函数由下式给出()ln i i i i u x G x a G =+，

，其中1i a >。 （a ）在决定其祭礼时，每个格兰德人都假定其他格兰德人的祭礼数是固定的，确定在此基础上他会给出多少祭礼。令i j j i

G g -≠=∑为除格兰德人i 的之外的祭礼。写出确定格兰德

人祭礼的效用最大化问题。

（b ）考虑到对所有当事人i 来说，i i G g G -=+，公共物品的均衡量是多少？（提示：并非每一当事人都将贡献—正数的公共物品。）

（c ）这一问题中，谁将搭便车？

（d ）在这一经济中，要提供的公共物品的帕累托有效数量是多少？

A peculiar tribe of natives in the South Seas called the Grads consume only coconuts. They use the coconuts for two purposes: either they consume them for food, or they burn them in a public religious sacrifice.（The Grads believe that this sacrifice will help their prelim performance.）

Suppose that each Grad i has an initial endowment of coconuts of 0i w >. Let 0i x ≥ be the amount of coconuts that he consumes, and let 0i g ≥ be the amount

of coconuts that he gives to the public offering. The total number of coconuts contributed to the offering is 1n

i i G g ==∑.Grad i ’s utility function is given by ()ln i i i i u x G x a G =+，, where 1i a >.

（a ）In determining his gift, each Grad i assumes that the gifts of the other Grads will remain constant and determines how much he will give on this basis. Let i j j i

G g -≠=∑denote the gifts other than Grad i . Write down a utility maximization

problem that determines Grad i ’s gift.

（b ）Recalling that i i G g G -=+ for all agent’s i , what will be the equilibrium amount of the public good. （Hint: not every agent will contribute a positive