南京市南京市第九中学数学三角形解答题易错题(Word版 含答案)

南京市南京市第九中学数学三角形解答题易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过

分析发现1902

BOC A ?

∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，

∴112ABC ∠=∠，122

ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ?????

?∠=-∠+∠=--∠=+∠ ???

（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．

（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？

【答案】（1）12BOC A ∠=

∠，理由见解析；（2）1902BOC A ?∠=-∠． 【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12

∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得

∠OCD =12∠ACD =12

∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；

（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；

【详解】

（1）12BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线，

∴12OBD ABC ∠=∠，12

OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角，

∴1122

OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=

∠+∠-∠=∠ 即12

BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，

∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12

∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，

∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，

∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12

（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ）

∴1902

BOC A ?∠=-

∠ 【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．

2．（问题探究）

将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.

（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；

（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；

（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；

（拓展延伸）

（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.

【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+?.

【解析】

【分析】

（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，

（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，

（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，

（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】

解：（1）如图，∠1=2∠A ．

理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ；

∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，

由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，

∴∠A′+∠A=∠1+∠2，

由折叠知识可得∠A=∠A′，

∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如图，∠1=2∠A+∠2

理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2，

∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如图，

根据翻折的性质，()3181201∠=

-∠，()41812

02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=?， ∴()()180118023601122

A D ∠+∠+-∠+-∠=?， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+?．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

3．如图, A 为x 轴负半轴上一点, B 为x 轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).

(1)求△BCD 的面积；

(2)若AC ⊥BC,作∠CBA 的平分线交CO 于P ,交CA 于Q,判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系, 并证明你的结论.

【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；

（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】

解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），

∴CD=3，且CD//x轴

∴△BCD面积=1

2

×3×2=3；

（2）∠CPQ＝∠CQP，

∵AC⊥BC，

∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°

∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，

∴∠ABQ＝∠CBQ，

∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ

∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，

∴∠CQP＝∠CPQ

（2）∠CPQ＝∠CQP，

∵AC⊥BC，

∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°

∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，

∴∠ABQ＝∠CBQ，

∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ

∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，

∴∠CQP＝∠CPQ

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.

4．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β

（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及

α+β=120°推导即可；

（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=1

2

(α+β)，在

△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；

（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得

∠CBE+∠CDH=1

2

(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入

∠CBE+∠CDH=1

2

(α+β)计算即可得出一组内错角相等．

【详解】

（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），

∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°

∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，

∵α+β=120°，

∴∠MBC+∠NDC=120°；

（2）β﹣α=60°

理由：如图1，连接BD，

由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBG=1

2

∠MBC，∠CDG=

1

2

∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG=1

2

∠MBC+

1

2

∠NDC=

1

2

(∠MBC+∠NDC)=

1

2

(α+β)，

在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，

∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，

∴1

2

(α+β)+180°﹣β+30°=180°，

∴β﹣α=60°，

(3)平行，

理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBE=1

2

∠MBC，∠CDH=

1

2

∠NDC，

∴∠CBE+∠CDH=1

2

∠MBC+

1

2

∠NDC=

1

2

(∠MBC+∠NDC)=

1

2

(α+β)，

∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，

∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，

∴∠CBE+β﹣∠DHB=1

2

(α+β)，

∵α=β，

∴∠CBE+β﹣∠DHB=1

2

(β+β)=β，

∴∠CBE=∠DHB，

∴BE∥DF．

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶

段的一种重要思想，要多加强训练．

5．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令

∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解

析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．

【解析】

试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；

（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；

（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．

试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1＋∠2＝140°，

故答案为140；

（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，

∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.

故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.

（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，

设DP与BE的交点为M，

∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，

∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.

（4）如图④，

设PE与AC的交点为F，

∵∠PFD＝∠EFC，

∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，

∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，

∴∠2＝90°＋∠1－∠α.

故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α

点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.

6．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；

(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．

x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；

(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.

【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140

【解析】

【分析】

（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．

（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据

∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．

b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据

∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．

c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得

∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得

x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．

（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．

【详解】

(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，

又∵∠BDC＝∠A＋∠B，

∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.

(2)180；180；180

(3)140

【点睛】

（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．

（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

7．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．

活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；

活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．

数学思考：

（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．

【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；

（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.

【详解】

(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，

∴小棒能继续摆下去；

(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，

∴∠A2A1A3=45°，

∴∠AA2A1+∠θ=45°，

∵∠AA2A1=∠θ，

∴∠θ=22.5°；

(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，

∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，

∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，

根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ?90°，5θ<90°，

∴15°?θ<18°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.

8．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填

“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.

（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则

x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系

为

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C；（2）△ABC沿DE

折叠，∠1+∠2=∠B+∠C，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A．

试题解析：

解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C，理由如下：

在△ADE中，∠1+∠2 = 180°- ∠A

在△ABC中，∠B+∠C = 180°- ∠A

∴∠1+∠2 = ∠B+∠C

（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C，当

∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°

（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．

【详解】

请在此输入详解！

9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；

（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.

（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得

∠P的度数；

（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.

【详解】

解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，

∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，

∴∠P=45°；

（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.

10．动手操作，探究：

探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．

已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由．

探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．

探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．

【答案】探究一： 90°+1

2

∠A；探究二：

1

2

（∠A+∠B）；探究三：

∠P=1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．

【解析】试题分析：

探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，然后根据三角

形内角和定理列式整理即可得解.

探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：

探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，

∴∠PDC=1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-1

2

∠ADC-

1

2

∠ACD，

= 180°-1

2

（∠ADC+∠ACD），

=180°-1

2

（180°-∠A），

=90°+1

2

∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-1

2

∠ADC-

1

2

∠BCD，

=180°-1

2

（∠ADC+∠BCD），

=180°-1

2

（360°-∠A-∠B），

=1

2

（∠A+∠B）；

探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，

∴∠PDC=1

2

∠EDC，∠PCD=

1

2

∠BCD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-1

2

∠EDC-

1

2

∠BCD，

=180°-1

2

（∠EDC+∠BCD），

=180°-1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），

=1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，

即∠P=1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.