上海市曹杨二中2020-2021学年高一第一学期数学10月考试卷
上海市曹杨二中2020-20201学年高一上学期数学10月月考卷(答案简答)
2020-20201学年曹杨二中高一上数学10月月考卷2020.10一. 填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，则A B =2. 集合{0,1}A =的所有子集中，含有元素0的子集个数是3. 若关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是4. 命题“存在x ∈R ，使得2250x x ++=”的否定是5. 设集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ，则MN = 6. 已知集合{1}A =，2{,3}B a a =+，若A B ⊆，则实数a 的值为7. 设集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，AB A =，则实数a 的取值集合为 8. 设实数集上不等式2103x x+<-的解集为A ，则A = 9. 已知:||2A x <，:(2)()0B x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是10. 已知集合{1,1,12}A a a =++，2{1,,}B b b =，则A B =的充要条件是11. 已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是12. 已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意0x ∈R ，0()f x 的值为0x 或20x ；② 关于x 的方程()f x a =无实数解. 则a 的取值范围是 二. 选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. “2x <”是“24x <”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 不等式20x bx c -++>的解集是{|21}x x -<<，则1b c +-的值为（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 215. 设集合{|,}24k M x x k ππ==+∈Z ，{|,}42k N x x k ππ==+∈Z ，则（ ） A. M N = B. M N ⊆ C. M N ⊇ D. M N =∅16. 已知函数2,2()(1),2k x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程1()2f x =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A. (1,2] B. [1,)+∞ C. [1,2) D. [2,)+∞三. 解答题（本大题共4题，共10+10+10+12=42分）17. 已知0ab ≠，求证：33220a b ab a b ++--=的充要条件是1a b +=.18. 设集合{|34}A x x =-≤≤，{|211}B x m x m =-<<+，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.19. 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离. 在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y （米）与汽车车速x （千米/小时）满足下列关系式：2100400nx x y =+（n 为常数，且n ∈N ）. 在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中157y <<，11315y <<.（1）求n ；（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？20. 设函数2()f x ax bx c =++(0)a >且(1)2a f =-. （1）求证：方程()0f x =有两个不同的实根；（2）设1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，求12||x x -的取值范围；（3）求证：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.2020-20201学年曹杨二中高一上数学10月月考卷参考答案一. 填空题1. {1,3,5}2. 23. (2,2)-4. 对任意x ∈R ，2250x x ++≠5. {(1,1)}6. 17. 1{1,0,}3-8. 1[,3]2-9. 2a <- 10. 34a =-，12b =- 11. 1a ≤ 12. (,0)(0,1)(1,)-∞+∞ 二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. B三. 解答题17. 略18. [1,)-+∞19.（1）3；（2）2318.4100400x x y =+≤，80x ≤，最大速度80千米/时20. （1）0∆>恒成立；（2）)+∞；（3）当0c >，(0)(1)0f f <；当0c ≤，(1)(2)0f f <.。
2020-2021学年曹杨二中高一上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
2021-2021学年曹杨二中上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一、填空题〔本大题共有10题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．【答案】},27|{N n n x ∈+2021—2021学年上海市延安中学第一学期高一数学期中测试卷 2．【答案】3【解析】3．【答案】【解析】因为是的充分条件,故的范围大于，所以.4．【答案】)0(162>=x x y 2021—2021学年上海市延安中学第一学期高一数学期中测试卷 5．【答案】【解析】由题意得：，解得6．【答案】【解析】的定义域为，的定义域的定义域为{}30x x x ≠-≠且7．【答案】50【解析】，由，可得，那么，当且仅当时，取得等号，即的最大值为50.8．【答案】7【解析】正实数满足，，解得. 那么,当时, ,此时函数单调递减；当时, ,此时函数单调递增. 当时,函数取得极小值即最小值, . 9．【答案】【解析】关于的不等式的解集为,且 故关于的不等式,即,即,4m ≥αββα4m ≥[]3,1-2320x x --≥31x -≤≤(3,0)x x x -1≠-≠且()f x {}3x x ≠-()g x {}0x x ≠()()f x g x ∴00220x y x y +=＞，＞，2x y +≥20≥50xy ≤210x y ==xy y x 、31x y +=103xy -∴=>01x <<()13191x xf x x y x x +=+=-()()()()()'22222141191x x f x x x x x +-∴=-+=--10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x <()f x 1,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()'0f x <()f x 11,44x y ==()f x 14374f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1,+2∞-1⋃∞（-）（，）x 02＞c bx ax ++{}，＜＜21|x x -0a ∴<12,12b c a a -+=--⨯=110,20,,22a b b a c a c c ∴=->=->∴=-=x 02＞a bx cx ++211022x x +->()1102x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭故或,故关于的不等式的解集是,故答案为10．【答案】【解析】由题意可得，即，解得 11．【答案】[]1,3-【解析】略.2021-2021学年上海中学第一学期高一期中考试数学试卷12．【答案】【解析】因为A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域；所以，而邻域是一个关于原点对称的区间；所以可得.又因为.所以.二、选择题〔本大题共有 4 小题，每题5分，共 20 分〕13． 【答案】B【解析】故14.【答案】A【解析】解不等式得因为可推出，但不可推出 所以甲是乙的充分不必要条件 15．【答案】A 【解析】16． 【答案】B【解析】设，那么根据题意N 的最小值为的上确界. 因为，且为实数，所以， 当且仅当成立，所以 原表达式的上确界为. 三、解答题〔本大题共7小题，19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，共78分〕17．【答案】 【解析】集合： 集合： 18．【答案】〔1〕 〔2〕见解析 1x <-12x >x 02＞a bx cx ++1,+2∞-1⋃∞（-）（，）1,+2∞-1⋃∞（-）（，）12a <()20f <()43210a +-⨯+<12a <22t ()2()x a b t a b t x a b t -+-<+≤→-<<+-0a b t a b t +-=→+=2222222222()2a b ab a b a ab b t +≥→+≥++==2222t a b +≥{}{}|01|2M x x N x x =<=＜，＜，MN M =32＜-x 15x -<<50＜＜x 15x -<<15x -<<50＜＜x 122N a b --≤122a b--a b +=1,ab 12121259()()(2)(222222b a a b a b a b a b --=-++=-+++≤-+=-22b a a b =92-2a >P ()11001,11a x ax a x x +--⇒<⇒∈-++＜Q 1102x x -≤⇒≤≤()()-22+-∞⋃∞，，【解析】〔1〕由题意得 或者 〔2〕对任意两个不相等的正实数有因为所以所以比远离19．【答案】〔1〕,400()335f x x x =++〔2〕当隔热层为5厘米时，()x f 最小为70万元.【解析】〔1〕由题意，所以. 〔2〕等号当且仅当、时，即时，最小值为70.20.【答案】〔1〕 〔2〕 〔3〕或者或者【解析】〔1〕且当时,恒有所以 〔2〕由〔2〕的的图像与坐标轴的交点分别为所以 〔3〕要使对所有恒成立, 把函数看成关于的一次函数，那么或者或者 联立1124y x y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：12124212x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，， ∴点Q 的坐标为()41--，． 21．【答案】〔1〕12340,2,11x x x x ====2〕222105=++y x x 【解析】〔1〕2()2f x x x =-，(())0()2f f x f x =⇒=或者()0f x =⇒〔2〕由题意得，20x bx c ++=有两个不同的根,那么2=40b c ∆->设20x bx c ++=的两个不同的根为,m n ；那么22,x bx c m x bx c n ++=++=各有两个不同的根1234,,,x x x x ；故224()0,4()0b c m b c n -->--> 那么2242()0420b c m n b c b -++>⇒-->恒成立4160c +<14c ⇒>-，又因为在数轴上四个根等距排列1234,x x b x x b +=-+=-3143x x x x ⇒-=-⇒3142x x x =+b ⇒-=22,105b c ⇒==时，所有项的系数和最小.2021-2021学年上海中学第一学期高一期中考试数学试卷22|10||30|13x x -->-⇒-<-()()213-22+x x ->⇒∈-∞⋃∞，，，、ba 332a b +>33222|2|2()()0a b a b ab a b a b +--+-=+->3322|2|2a b a b ab +->+-33b a +22ab b a +.2ab ab 20k =(0)20205k C k ==⇒=400()20()33(010)35f x C x x x x x =+=+≤≤+400800()32(35)103535f x x x x x =+=++-≥++8002(35)35x x +=+5x =()f x 1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎤⎥⎝⎦2m ≤-0m =2m ≥12121,c x x x c x a a ==⇒=c x ＜＜0().0＞x f ()0f x <⇒1,c a ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()()111,0,,0,0,82c c S c c a a ⎛⎫⎛⎫⇒=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21168c a c =≤=+10,8⎛⎤⎥⎝⎦()20010f c ac bc c ac b =⇒++=⇒++=220m km -≥[]11，-∈k k ()g k ()(1)010g g ≥⎧⎪⇒⎨-≥⎪⎩2m ≤-0m =2m ≥。
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含答案
2020-2021学年曹杨二中高一期中数学试卷一.填空题1.已知,则(填“>”或“<”)2.已知等式(其中为整数)成立,则3.已知集合,则4.若,则的值为5.不等式的解集为6.已知,用表示和分别为7.已知关于的不等式的解集为,且,则的取值范围是8.设,已知关于的不等式的解集为,求不等式的解集为9.已知集合,若,则的取值范围10.设则取到最小值时,11.已知关于的不等式有唯一解,则实数的取值集合为12.已知且满足,则的最大值为二.选择题13.若是满足的实数,那么下列结论中成立的是( )A. B.C. D.14.已知,则下列四个命题正确的个数是( )①若,则; ②若,则③若,则④若,则;A.1B.2C.3D.415.已知,则是的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.满足对所有正实数都成立,实数的最小值为( )A.8B.9C.10D.前三个答案都不对三.解答题17.已知关于的不等式的解集为.(1)时,求集合;(2)若且求实数的取值范围.18.已知,求证：19.某工厂生产某产品件所需成本费用为元,且,而每件售出的价格为元,其中.(1)问:该工厂生产多少件产品时,使得每件产品所需成本费用最少?(2)若生产出的产品能全部售出,且当产量为150件时利润最大,此时每件价格为30,求的值.20.设函数的最大值是.(1)求的值;(2)若正实数满足求最小值及此时的值;(3)若正实数满足，求的最小值及此时的值.参考答案一.填空、选择题三.解答题17.(1) ; (2) .18.略19.(1)该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少;(2)20.(1) ;(2)最小值为,此时;(3)最小值为, 此时.。
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题参考答案：1．{(2,3)}【分析】通过解方程组和集合的概念即可求解.【详解】方程组可知，5213x y xy x y+==ììÞíí=+=îî，从而方程组51x yy x+=ìí=+î的解集为{(2,3)}.故答案为：{(2,3)}.2．真【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论.【详解】解：因为22ac bc>，则20c>，所以a b>，所以如果22ac bc>，那么a b>”是真命题.故答案为：真.3．②④【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐个判定，即可求解.【详解】因为集合Q为有理数集，π为无理数，所以πQÏ，所以①错误；因为空间时任何非空集合的真子集，所以Æ (),10-¥，所以②正确；根据集合与之间的关系，可得{}{}21,2,3,4Í，所以③错误；由集合N为自然数集，Z为整数集，所以N ZÍ，所以④正确.故答案为：②④.4．1a¹或1b¹，【分析】根据结论否定即可求解.【详解】用反证法证明时，需要先假设所证命题的否定，由于1a b ==的否定为1a ¹或1b ¹，故答案为：1a ¹或1b ¹，5．2-或4/4或2-【分析】由{}242,,a a Î，可得2a =±或4a =，分三种情况讨论即可求解.【详解】解：因为{}242,,a a Î，所以24a =或4a =，即2a =±或4a =，当2a =时，{}{}22,,2,4,2a a =与集合中元素的互异性相矛盾，舍去；当2a =-时，{}{}22,,2,4,2a a =-符合题意；当4a =时，{}{}22,,2,16,4a a =符合题意.故答案为：2-或4.6．4【分析】由对应项系数相等列方程组求解．【详解】()()2223421123x x a x x b ax ax a b ++=+++=+++恒成立，所以22334a a a b =ìï=íï+=î，解得13a b =ìí=î，所以4a b +=．故答案为：4．7．[]1,4【分析】分别求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答。
2020-2021学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．“2x <”是“24x <”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】先化简条件“24x <”为“22x -<<”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可.【详解】解：因为24x <，所以22x -<<，设{|22}A x x =-<<，{|2}B x x =<，则A B所以“2x <”是“24x <”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.2．不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，则1b c +-的值为（ ） A ．2B ．1-C ．0D ．1 【答案】C【解析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出b c 、的值，再求和.【详解】解：由不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，得2-和1是20x bx c -++=方程的解，由根与系数的关系知，211211b c ⎧-=-+⎪⎪-⎨⎪=-⨯⎪-⎩， 解得1b =-，2c =；所以1b c +-=1210-+-=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题.3．设集合{|,}24k M x x k ππ==+∈Z ，{|,}42k N x x k ππ==+∈Z ，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】从元素满足的公共属性的结构入手，对集合M 中的k 分奇数和偶数讨论，从而可得两集合的关系．【详解】对于集合M ，当2()k m m =∈Z 时，,4222k m x m Z ππππ=+=+∈ 当21()k m m Z =-∈时，,4224k m x m Z ππππ=+=+∈ ∴{|,}{|,}2224m m M x x m Z x x m Z ππππ==+∈⋃=+∈ {|24k N x x ππ==+，}k Z ∈， M N ∴⊇,故选：A ．【点睛】本题的考点是集合的包含关系判断及应用，解题的关键是对集合M 中的k 分奇数和偶数讨论，属于基础题.4．已知函数2,2()(1),2k x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程1()2f x =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[1,)+∞C ．[1,2)D ．[2,)+∞【答案】B【解析】先求得()21122x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩有两个根12x =±，再利用122k x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩有解可得答案. 【详解】因为()21122x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩有两个根1x =±， 所以，要使方程1()2f x =有三个不同的实根， 只需122k x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩有解， 即12k x =在[2,)+∞上有解， 因为在[2,)+∞上112x ≥， 所以实数k 的取值范围是[1,)+∞， 故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及函数与方程思想的应用，属于基础题.二、填空题5．已知集合{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，则AB =___________. 【答案】{1,3,5}【解析】本题根据集合的交集运算直接计算即可.【详解】解：因为{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，所以{1,3,5}A B =故答案为：{1,3,5}【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.6．集合{0,1}A =的所有子集中，含有元素0的子集个数是___________.【答案】2【解析】本题先写出集合{0,1}A =的所有子集，再判断含有元素0的子集个数即可.【详解】解：集合{0,1}A =的子集：∅，{1}，{0}，{0,1}，其中含有元素0的子集个数是2个故答案为：2【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.7．若关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(2,2)-【解析】将关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，转化成0<，从而得到关于a 的不等式，求得a 的范围．【详解】因为不等式210x ax -+>在R 上恒成立． ∴()240a =--<，解得22a -<< 故答案为：(2,2)-．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．9．设集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ，则M N =___________.【答案】{(1,1)}【解析】求得直线2x y +=与直线x y =的交点坐标即可得答案.【详解】因为集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ， 所以M N ⋂的元素就是直线2x y +=与直线x y =的交点坐标，由2x y y x +=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以M N ={(1,1)}，故答案为：{(1,1)}.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，解答问题的关键是找到直线2x y +=与直线x y =的交点坐标，属于基础题.10．已知集合{1}A =，2{},3a a B +=，若A B ⊆，则实数a 的值为___________.【答案】1【解析】由A B ⊆可知1B ∈，即可求出.【详解】A B ⊆，1B ∴∈，若1a =，则{}1,4B =，满足题意；若231a +=，无解，综上，1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.11．设集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为___________. 【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】先根据已知判断出B A ⊆，再分B =∅，{1}B =-或{3}=B 三种情况讨论求实数a 的取值集合．【详解】解：因为2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，所以{1,3}A =-，{|1}B x ax ==因为A B A ⋃=，所以B A ⊆所以B =∅，{1}B =-或{3}=B当B =∅时，0a =；当{1}B =-时，则1a -=，解得1a =-；当{3}=B 时，则31a =，解得13a =； 所以实数a 的取值集合为11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查利用集合的运算判断集合的关系、利用集合的基本关系求参数，还考查了分类讨论的数学思想，是中档题. 12．设实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，则A =R ___________. 【答案】1[,3]2- 【解析】本题先求出1(,)(3,)2A =-∞-+∞，再求A R 即可. 【详解】 解：因为2103x x+<-⇔2103x x +>-⇔(3)(21)0x x -+>⇔12x <-或3x > 因为实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，所以1(,)(3,)2A =-∞-+∞， 所以1[,3]2R A -= 故答案为：1[,3]2- 【点睛】本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.13．已知:2A x <，:(2)()0B x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.【答案】2a <-【解析】设:2A x <的解集为集合A ，:(2)()0B x x a ++<的解集设为B ，由 A 是B 的充分不必要条件，可得A B ，即可列出不等式求出a 的范围.【详解】 由:2A x <解得22x -<<，设为集合A ，:(2)()0B x x a ++<的解集设为B ，若A 是B 的充分不必要条件，则A B ，2a ∴->，解得2a <-.故答案为：2a <-.【点睛】本题考查由集合关系判断充分、必要条件，属于基础题.14．已知集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b=，则A B =的充要条件是___________. 【答案】34a =-，12b =- 【解析】由集合相等的定义列出方程即可求解.【详解】A B =，2112a b a b +=⎧∴⎨+=⎩或2112a b a b⎧+=⎨+=⎩， 解得01a b =⎧⎨=⎩或3412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 当0,1a b ==时，{}1,1,1A =，不符合，舍去； 当31,42a b =-=-时，111,,42A B ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，符合题意， ∴A B =的充要条件是31,42a b =-=-.故答案为：31,42a b =-=-. 【点睛】 本题考查集合相等求参数，属于基础题.15．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13a ≤-【解析】由2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，可求()[1g x ∈，2]，对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12()()f x g x 成立，可得12()()max max f x g x ，结合二次函数的性质可求【详解】2()23f x x x a =-+在1[0x ∈，3]上先减后增故当1x =时，函数有最小值f （1）31a =-，当3x =时，函数有最大值f （3）33a =+ 故1()[31f x a ∈-，33]a +，2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，故()[1g x ∈，2]， 对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x 成立，12()()max max f x g x ∴，∴332a +≤，解可得，13a ≤-故答案为：13a ≤-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题．16．已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对任意0x ∈R ，0()f x 的值为0x 或20x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解.则a 的取值范围是___________.【答案】(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞【解析】根据条件①可知00x =或1，进而结合条件②可得a 的范围.【详解】根据函数的定义可知，一个自变量0x 只能对应一个函数值，所以0x =20x ，解得00x =或01x =，可得(0)0f =或f （1）1=，又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠且1a ≠，故(a ∈-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞，故答案为：(-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞．【点睛】本题考查函数函数的定义以及零点与方程根的关系，解题的关键是根据函数的定义确定自变量的范围，属于中档题．三、解答题17．已知0ab ≠，求证：33220a b ab a b ++-=-的充要条件是1a b +=.【答案】证明详见解析.【解析】先证充分性，由条件去推结论成立，然后再证必要性，由结论去推条件成立即可.【详解】证明：（1）充分性（条件⇒结论）因为1a b +=，3322()()a b a b a ab b +=+-+， 33222222)()(a b ab a b a b a ab b ab a b ++---++--=+22220a ab b ab a b =-++-=-所以成立；（2）必要性（结论⇒条件）因为33220a b ab a b ++-=-，且3322()()a b a b a ab b +=+-+，所以33222222)()(a b ab a b a b a ab b ab a b ++---++--=+ 22(10)()a a a b b b =-++-=而222a ab b ab ab ab -+≥-=，又0ab ≠，所以10a b +-=，所以1a b +=，所以成立，综上：33220a b ab a b ++-=-的充要条件是1a b +=.【点睛】本题考查了充要条件的证明，即证充分性，又证必要性，属于基础题.18．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≥-【解析】B A ⊆时，要分类讨论，分B =∅和B ≠∅讨论．【详解】∵B A ⊆，∴当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥， 当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．【点睛】本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论． 19．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y (米)与汽车车速x (千米/小时)满足下列关系式：2100400nx x y =+（n 为常数，且n ∈N ）.在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中157y <<，21315y <<.（1）求n ；（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？【答案】（1）3；（2）最大速度80千米/小时.【解析】（1）先由题意建立不等式组2240405710040070701315100400n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩并求解出5110228n <<，再因为n ∈N ，求出3n =；（2）先确定函数解析式23100400x x y =+，再建立不等式2318.4100400x x +≤并求解得9280x -≤≤，最后给出答案即可.【详解】解：（1）因为函数关系2100400nx x y =+，且157y <<，21315y <<. 所以2240405710040070701315100400n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得51522301102828n n ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，则5110228n <<， 因为n ∈N ，所以3n =，（2）由（1）可知3n =，所以23100400x x y =+ 因为要使刹车距离不超过18.4米，则2318.4100400x x +≤， 解得：9280x -≤≤，所以要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为80千米/小时【点睛】本题考查根据实际问题建立不等关系求参数的值、求解一元二次不等式、20．设函数2()f x ax bx c =++（0a >）且(1)2a f =-. （1）求证：方程()0f x =有两个不同的实根；（2）设1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，求12x x -的取值范围； （3）求证：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.【答案】（1）证明过程见详解；（2）)+∞；（3）证明过程见详解.【解析】（1）先由(1)2a f =-得到32a b c =--，再判断>0∆，最后判断方程()0f x =有两个不同的实根；（2）先求出方程()0f x =的两个不同实根12x x =，，再化简整理得12x x -12x x -的取值范围；（3）直接分两种情况讨论，当0c ≤时，化简整理得到(1)(2)0f f ⋅<，判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(1,2)内；当0c >时，化简整理得到(0)(1)0f f ⋅<，判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,1)内，最后判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.【详解】（1）因为函数2()f x ax bx c =++（0a >）且(1)2a f =-， 所以2a abc ++=-，即32a b c =--， 则方程()0f x =，即20ax bx c ++=，且0a >，22224()34()0222a b ac ac c a a c ∆=-=-=-+->-， 所以方程()0f x =有两个不同的实根；（2）因为1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，12x x =，，又因为0a >，所以12x x ==-≥ 所以12x x -的取值范围：)+∞（3）当0c ≤时，因为0a >，所以(1)02a f =-< 因为2()f x ax bx c =++，所以(2)42f abc =++，由（1）得：32a b c =--，所以(2)4(32)0f a a c c a c =+--+=-> 所以(1)(2)0f f ⋅<，所以方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(1,2)内；当0c >时，因为2()f x ax bx c =++，所以(0)0f c =>，因为0a >，所以(1)02a f =-< 所以(0)(1)0f f ⋅<， 所以方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,1)内综上所述：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内【点睛】本题考查利用根的判别式证明二次函数对应的一元二次方程有两个不同的实根、利用零点存在性定理判断方程的解所在区间，是基础题.。
2020-2021学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ） A ．a b a b -<- B ．a b a b -<+ C ．a b a b +>- D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 2．已知a 、b 、c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>.则111a b c<<；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断命题①②③的真假；利用特殊值法判断④的真假． 【详解】①若22ac bc >，可知20c >，则a b >；所以①正确；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-；满足不等式的基本性质，所以②正确； ③若0a b c >>>，则111a b c<<；满足不等式的基本性质，所以③正确； ④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >．反例10a =，0.5b =，满足条件，不能推出结论，所以④不正确； 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，考查反例法的应用，是基础题．3．已知3:3a p b >-⎧⎨>-⎩，6:9a b q ab +>-⎧⎨>⎩，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件. 【详解】解：对于命题3:3a pb >-⎧⎨>-⎩，可得到6a b +>-，但是ab 与9没有关系，当命题6:9a b q ab +>-⎧⎨>⎩，整理(3)(3)3()999180a b ab a b ++=+++>+-=，即得到33a b >-⎧⎨>-⎩，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于基础题.4．满足()5x a x y +≤+对所有正实数x 、y 都成立，实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10D ．前三个答案都不对 【答案】B【分析】由已知分离参数可得，5121xax+==+t =(0)t >，然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求．【详解】512()xa x y ++对所有正实数x ，y 都成立，5121x ax +∴==+，令t =(0)t >， 25121tat ++， 令2512()1tf t t +=+，0t >， 则222222(656)2(23)(32)()(1)(1)t t t t f t t t -+-+-'==-++，易得()f t 在2(3，)+∞上单调递减，2(0,)3上单调递增，故2()()93f t f ≤=，9a ∴即最小值为9故选：B ．【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值的相互转化关系的转化，还考查了利用导数研究函数的最值，体现了转化思想的应用，属于综合题．二、填空题 5．已知0,a b <<则a b __________22a b ++ (填“>”或“<”) 【答案】<【分析】特殊值法即可求解. 【详解】令1,2a b ==，则123224a a b b +=<=+， 即22a a b b +<+， 故答案为：<【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，特殊值法，属于容易题. 6．已知等式()2020231x x ++=(其中x 为整数)成立，则x =_______【答案】2020-或1-或2- 【分析】根据指数幂的性质计算即可. 【详解】因为()2020231x x ++=，所以231x +=或231x +=-且2020x +为偶数或20200x +=且230x ，解得1x =-或2x =-或2020x =-， 故答案为：2020-或1-或2-【点睛】本题主要考查了指数的运算及性质，考查了分类讨论思想，属于容易题,7．已知集合{|(4)0}M x x x =-<，{|(1)(6)0,}N x x x x =--<∈Z ，则M N =________【答案】{5}【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合,M N ，再根据集合的交运算即可求解. 【详解】{{|(4)0}4M x x x x x =-<=>或}0x <，{}{}{|(1)(6)0,}16,2,3,4,5N x x x x Z x x x Z =--<∈=<<∈=，所以{}5MN =.故答案为：{5}【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 8．若3763,a b ==则21a b+的值为_______ 【答案】1【分析】将指数式化为对数式得3log 63a =，7log 63b =，代入可得，372121log 63log 63a b +=+，根据换底公式可求值. 【详解】由题意可得，3log 63a =，7log 63b =，∵6363363721212log 3log 7log 631log 63log 63a b +=+=+== 故答案为：1【点睛】本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力.9．不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【分析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线法”求解出不等式的解集. 【详解】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--.【点睛】本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过. 10．已知5,a lg =用a 表示2lg 和20,lg 分别为_______ 【答案】12a a --或【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】因为2lg5lg101lg +==， 所以21lg51lg a =-=-，20lg10lg 211lg52lg a =+=+-=-，故答案为：1a -，2a -【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，对数的运算，属于容易题. 11．已知关于x 的不等式20x a x a->+的解集为,M 且2,M ∉则a 的取值范围是_______【答案】(]{},24-∞-⋃ 【分析】由题意得当2x =时20x a x a->+不成立，求解此时a 的取值范围,求其在实数集上的补集即可. 【详解】因为x 的不等式20x a x a->+的解集为,M 且2,M ∉所以402a a->+不成立， 先解不等式402a a->+，由不等式可得20a +>且40a -≠， 解得2a >-且4a ≠， 所以402a a->+不成立时，2a ≤-或4a =，故答案为：(]{},24-∞-⋃【点睛】本题主要考查分式不等式解法的一些灵活运用，根据题目所给条件求得不成立的参数a 的取值范围再取补集即可，属于中等题型.12．设,,a b R ∈已知关于x 的不等式()()20a b x b a ++-<的解集为()1,,+∞求不等式()30a b x b a -+->的解集为_______【答案】()--1∞，【分析】由不等式与方程的关系知1为()()20a b x b a ++-=的根，可得出,a b 关系，代入不等式求解即可.【详解】因为不等式()()20a b x b a ++-<的解集为()1,,+∞ 所以20a b b a ++-=且0a b +<， 即2a b =且0b <，所以()30a b x b a -+->可化为0bx b +>， 解得1x <-，所以不等式的解集为(,1)-∞-， 故答案为：(,1)-∞-【点睛】本题主要考查了方程的根与不等式的解之间的关系，属于中档题.13．已知集合2{|540}A x x x =-+≤，2{|220}B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，则a 的取值范围________ 【答案】18(1,]7- 【分析】求出集合A 、B ，再由B A ⊆，讨论B =∅或B ≠∅，根据集合的包含关系即可求解.【详解】由集合{}2{|540}14A x x x x x =-+≤=≤≤，2{|220}B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，若B =∅，可得()()222424480a a a a ∆=--+=--<， 解得1a 2-<<，若B ≠∅，()()222424480a a a a ∆=--+=--≥，可得2a ≥或1a ≤-，{B x a x a =≤≤+，则42a a ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩①②，解不等式①可得187a ≤，解不等式②可得13a ≤≤，取交集得1817a ≤≤， 又0∆≥，可得2a ≥或1a ≤-，可得1827a ≤≤， 经验证，当187a =符合题意； 当2a =符合题意；1827a ∴≤≤， 综上所述，1817a -<≤， 故答案为：18(1,]7-. 【点睛】本题考查了由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14．设,x R ∈则()12191101f x x x x x =-+-+⋯+-+-取到最小值时,x =_______【答案】17【分析】对x 分类讨论去掉绝对值符号，分别求出所对应的最小值，即可得解，【详解】解：因为()12191101f x x x x x =-+-+⋯+-+- 当1≥x 时，()1211015510f x x x x x =-+-++-=-，所以当1x =时函数取值最小值45； 当110x ≤时，()()()()1211015510f x x x x x =-------=-+，所以当110x =时函数取得最小值4.5；当()111,2,91x n n n≤≤=+时，()()()()()1111101f x x nx n x x ⎡⎤=--++-++-++-⎣⎦()21012110n n n x ⎡⎤=-++++-+--⎣⎦()210551n n n x ⎡⎤=-+-+⎣⎦ ()221055n n n x =-+--+当6n ≤时2550n n --+> 因为()111,2,91x n n n≤≤=+，所以当17x >时，y 随x 增加而变大； 当7n ≥时，2550n n --+<，因为()111,2,91x n n n ≤≤=+，所以当17x <时，y 随x 增加而变小； 所以当17x =时，()f x 有最小值277故答案为：17【点睛】本题考查函数的最小值的计算，考查分类讨论思想，属于中档题.15．已知关于x 的不等式22232x kx k x -≤+≤-有唯一解，则实数k 的取值集合为_______【答案】32⎧⎪-⎨⎪⎩【分析】不等式化为2223kx x k ++，讨论0k =、0k >和k 0<时，不等式有唯一解时对应k 的取值．【详解】不等式22232x kx k x -+-可化为2223kx x k ++； 若0k =，不等式2223kx x k ++可化为223x ，不满足有唯一解； 若0k >，则若不等式2223kx x k ++，令24434k k -=，解得k =，即k =若k 0<，则若不等式组2223kx x k ++，令24424k k-=，解得1=k即1k =- 综上知，k的取值集合是{1-．故答案为：{1． 【点睛】本题考查了一元二次不等式有唯一解的应用问题，也考查了二次函数有最值的应用问题，是中档题．16．已知[0,)x y ∈+∞、且满足3331x y xy ++=.则2x y 的最大值为______ 【答案】427【详解】由已知得()()332231110x xy y x y x y xy x y ++-=+-+-+++=.又22110x y xy x y xy x y +-+++≥+++>，1x y ⇒+=.故()()32142241422327x x x x x x y x ⎡⎤++-⎢⎥=⨯⨯-≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当21,33x y ==时, 2x y 取得最大值427.三、解答题17．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ． （1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M . （2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<， 所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a aa a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.18．已知,,a b c 均为正实数，求证: )a b c ≥++.【答案】证明见详解. 【分析】由于()()2222a ba b +≥+a b ≥+，同理可得a c ≥+b c ≥+，三式相加即可证明.【详解】∵222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， ∴()()2222222a baab b a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，，②.③①+②+③，得)a b c =++，当且仅当a b c ==的时等号成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式性质的应用，属于基础题. 19．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2110005,10P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),x Q a a b R b=+∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.【答案】（1）该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少；（2）25,30.a b ==【分析】（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的性质建立条件关系，即可求a ，b 的值【详解】解：（1）由题意，每套玩具所需成本费用为211000510001000105255251010x x P x x x x x x++==+++==，当且仅当100010x x=， 即100x =时，每套玩具所需成本费用最少为25元．（2）利润22111()()(10005)()(5)10001010x y xQ x P x a x x x a x b b =-=+-++=-+--， 若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，∴满足5150112()1015030a b a b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25a =，30b =．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键，属于中档题．20．设函数()1f x x x =+-的最大值是m .（1）求m 的值；（2）若正实数a b 、满足43,a b m +=求112a b a b+++最小值及此时a b 、的值； （3）若正实数a b 、满足2a b m +=，求2221a b a b +++的最小值及此时a b 、的值.【答案】（1） 1m =；（2）最小值为3+此时4,32a b ==-（3）最小值为23+ 此时64a b =-=. 【分析】（1）根据绝对值三角不等式：|1||||1|x x x x +-+-即可求出()f x 的最大值为1，即得出1m =；（2）由（1）可知431a b +=，所以()()11112222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭利用乘“1”法求出最小值； （3）由（1）得2a b +=，0a >，0b >，所以()22212113131b a b a a b a b ⎡⎤+++=+++⎢⎥++⎣⎦，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：（1）根据绝对值三角不等式：|1||||1|x x x x +-+-即可求出()f x 的最大值为1，即得出1m =；（2）由（1）可知431a b +=，因为0a >，0b >， 所以()()11112222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()22212a b a ba b a b =+++++++33≥=++当且仅当()222a b a b a b a b =++++，即)2a b a b +=+，又431a b +=，所以a =3b =-所以112a b a b +++最小值为3+a =，3b =- （3）由（1）得2a b +=，0a >，0b >，所以()()22212221111b a b b a a b a b +++-+++=+++ ()221211111a b a b a b =++++-=++++()2112111331311b a b a a b a b ⎡⎤+++⎛⎫=++=+++⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1223≥+⨯=当且仅当()211b a a b +=+，即64a b =-=时取等号； 【点睛】考查绝对值不等式的性质：||||||x a x b a b +-+-，以及基本不等式的应用，属于中档题．。
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中仿真密卷数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中仿真密卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．用描述法表示被7除余2的正整数的集合为__________2．满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆的集合M 的个数是______．3．设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______. 4．已知四边形ABCD 为正方形，则其面积y 关于周长x 的函数解析式为_________5．函数的定义域是 .6．若()23x x f x x -=+，()3x g x x +=，则()()f x g x ⋅=______． 7．已知00220x y x y +=＞，＞，，则xy 的最大值是_______.8．已知正实数x y 、满足31x y +=，则13x x y+的最小值为_________. 9．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______ ．10．二次函数()231y x a x =+-+的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为12x x 、，且1222x x ＜，＞，则a 的取值范围是_________.11．如关于x 的不等式110x ax +-->对任意()0,1x ∈恒成立，则a 的取值范围为___．12．定义满足不等式|x -A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b -t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．二、单选题13．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则( ) A ．M N ⋂=∅ B ．M N M ⋂= C ．M N M ⋃= D ．M N R = 14．设命题甲为“05x <<”，命题乙为“23x -<”，那么甲是乙的（ ） A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件15．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1616．若+,a b R ∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．14 D ．4-三、解答题17．记关于x 的不等式1101a x +-+＜的解集为P,不等式11x -≤的解集为Q ，若0a P Q Q ⋂=＞，，求实数a 的取值范围.18．若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．（1）若21x -比3远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33+a b 比22a b ab +远离2． 19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20．已知一元二次函数()()200f x ax bx c a c =++＞，＞的图像与x 轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为()0c ，，且当0x c ＜＜时,恒有()0.f x ＞(1)求出不等式()0f x ＜的解(用a c 、表示)；(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a 的取值范围；(3)若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]11k ∈-，恒成立,求实数m 的取值范围. 21．已知二次项系数是1的二次函数()2f x x bx c =++．()1当2b =-，0c =时，求方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的实根；()2设b 和c 都是整数，若()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数()y f x =的解析式，使得其所有项的系数和最小．参考答案1．{|72,}x x n n =+∈N【分析】设被7除余2的正整数为x ,即72x n =+,用描述法写成集合形式,即可得到答案.【详解】设该数为x ,则该数x 满足72x n =+,n N ∈∴所求的正整数集合为{|72,}x x n n =+∈N故答案为:{|72,}x x n n =+∈N .【点睛】本题考查了用描述法表示集合,掌握集合的表示方法是解题关键.2．3【分析】列举满足条件得到集合得到答案.【详解】{}{}1,21,2,3,4M ⊆，则满足条件的集合有：{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,2,3,4. 故答案为：3.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求集合，属于简单题.3．(],1-∞【分析】由题意得出[][)1,4,m ⊆+∞，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】 :14x α≤≤，:x m β≤，若α是β的充分条件，[][)1,4,m ⊆+∞，则1m .因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.故答案为(],1-∞.【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.4．216x y = 【分析】正方形的周长x ,则边长为4x ,即可求得的面积y 关于周长x 的函数解析式. 【详解】正方形的周长为x ,则正方形的边长为4x (0x >) ∴正方形的面积为:216x y = 故答案为: 216x y =(0x >) .【点睛】本题考查了实际问题中的求解函数关系式,能够通过周长求得正方形边长,是求出面积关于周长解析式的关键.5．[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域6．1x -（3x ≠-，且0x ≠）【分析】结合函数定义域的求法，求得()()⋅f x g x .【详解】 ()f x 的定义域为{}3x x ≠-，()g x 的定义域{}0x x ≠.∴()()⋅f x g x 的定义域为{3x x ≠-且}0x ≠. ∴()()2313x x x f x g x x x x-+⋅=⋅=-+（3x ≠-且0x ≠）. 故答案为：1x -（3x ≠-，且0x ≠）【点睛】本小题主要考查函数定义域，考查函数解析式.7．50【分析】利用配凑法，结合基本不等式，求得xy 的最大值.【详解】 依题意2211212025022222x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当210x y ==时等号成立.故xy 的最大值为50.故答案为50.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．7【分析】用 “1”的代换的方法对所求表达式进行化简，再利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意133333117x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当331,4y x x y x y ===时，取得最小值为7.故答案为7【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9．()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 【分析】由条件可得a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=c a ． b =-a ＞0，c =-2a ＞0，可得要解得不等式即x 2+12x -12＞0，由此求得它的解集． 【详解】∵关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，∴a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=c a． ∴b =-a ＞0，c =-2a ＞0，∴a c =-12，b c =12． 故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0，即x 2+12x -12＞0，即（x +1）（x -12）＞0， 故x ＜-1或x ＞12， 故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 故答案为()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 10．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()231x a f x x +-=+，根据()20f <，求得a 的取值范围. 【详解】构造函数()()231x a f x x +-=+，依题意可知()f x 有两个零点12,x x ，且122,2x x <>，所以()20f <，即()4231210a a +-+=-<，解得12a <，即a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】 本小题主要考查根据二次函数零点分布，求参数的取值范围，属于基础题.11．13a -<≤【分析】先去绝对值，变成不等式组恒成立，再转化为最值可解决．【详解】解：因为()0,1x ∈，所以原不等式可化为：11ax x -<+，111x ax x ∴--<-<+，211a x a ⎧<+⎪∴⎨⎪>-⎩对任意()0,1x ∈恒成立，21123x +>+= 13a ∴-<≤，故答案为13a -<≤．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数的问题.属中档题．12．22t 【分析】先根据条件求出-t ＜x ＜2（a +b ）-t ；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a +b =t ，最后结合基本不等式即可求出a 2+b 2的最小值．【详解】因为A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，∴|x -（a +b -t ）|＜a +b ⇒-t ＜x ＜2（a +b ）-t ，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a +b -t =0所以a +b =t ．又因为a 2+b 2≥2ab所以2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2=（a +b ）2=t 2．所以：a 2+b 2≥22t ． 故答案为22t ． 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．13．B【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求,M N 两个集合的交集和并集，从而得出正确选项.【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<.故,M N N M N M ⋃=⋂=，故B 选项正确. 故选B.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 14．A【分析】先求解出命题乙中不等式的解集，然后根据互相推出的情况判断出属于何种条件.【详解】 解不等式23x -<得15x -<<，因为05x <<可推出15x -<<，但15x -<<不可推出05x <<，所以甲是乙的充分不必要条件，故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，要熟记一个规则“小范围能推出大范围”，主要考查学生的理解能力，难度较易.15．A【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论.【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个，且2,4不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．B【分析】 求122a b --的上确界，即求122a b--的最大值，即求12+2a b 的最小值，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，即可得到答案.【详解】 求122a b --的上确界，即求122a b--的最大值，即求12+2a b 的最小值， 因为1a b +=，且+,a b R ∈所以()12121259+2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即12,33a b ==时，等号成立， 所以12922a b --≤-，即122a b--的上确界为92-， 故选：B.【点睛】本题考查基本不等式“1”的代换，在用基本不等式时，一定要注意“一正，二定，三相等”原则，考查学生的逻辑推理与转化能力，属于中档题.17．()2,+∞【分析】解分式不等式求得集合P ，解绝对值不等式求得集合Q ，结合0,a P Q Q >⋂=，求得a 的取值范围.【详解】 由1101a x +-+＜得01x a x -<+，由于0a >，所以()1,P a =-.由11x -≤得111,02x x -≤-≤≤≤，故[]0,2Q =.由于0,a P Q Q >⋂=，所以2a >.也即实数a 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本小题主要考查根据集合交集的结果求参数，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.18．（1）()(),22,-∞-+∞（2）详见解析 【分析】（1）根据定义得到不等式21030x -->-，解这个不等式可得x 的取值范围．（2）只要证明332222a b a b ab +->+-利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正．【详解】（1）因为21x -比3远离0，所以21030x -->-即213x ->，所以213x ->或213x -<-（无解），所以24x >，故()(),22,x ∈-∞-⋃+∞．（2）0a >，0b >，a b ，222a b ab ∴+>，332a b +>，于是3322332222a b a b ab a b a b ab +--+-=+--，而()()()()23322220a b a b ab a b a b a b a b +--=--=-+>332222a b a b ab ∴+->+-，即33+a b 比22a b ab +远离2【点睛】本题考查不等式的证明，其基本方法有（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；（2）作商法：利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小，注意商的分母的符号； （3）利用基本不等式：根据不等式的代数结构特点选择合适的基本不等式帮助证明． 19．40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+. 而建造费用为1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+. 解得5x =，253x =-（舍去）. 当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+． 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20．（1）1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）(][){},22,0-∞-+∞.【分析】（1）利用()0f c =求得b 关于,a c 的表达式，进而求得不等式()0f x <的解集.（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得a 的表达式，进而求得a 的取值范围.（3）根据（1）中求得b 的表达式化简不等式2210m km b ac -+++≥.对m 分成0,0,0m m m =><三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）依题意可知()0f c =，即20ac bc c ++=①，由0c >，故①式可化为1b ac =--.所以()()21f x ax ac x c =-++()()1ax x c =--.令()0f x =，解得11x a=，2x c =.由于当0x c <<时，恒有()0f x >，所以1c a >.令()()()10f x ax x c =--<，解得1c x a <<.所以不等式()0f x <的解集为1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）结合（1）可知，三个交点的坐标为()()10,,,0,,0A c B c C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1c a >.根据三角形的面积得1182c c a ⎛⎫⋅-⋅= ⎪⎝⎭，化简得21116168c a c c c ==≤=++，16,4c c c ==时等号成立，故a 的取值范围是10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. （3）由于1b ac =--，所以不等式2210m km b ac -+++≥可化为220m km -≥②.当0m =时，②成立.当0m >时，②可化为2m k ≥，而[]22,2k ∈-，所以2m ≥.当0m <时，②可化为2m k ≤，而[]22,2k ∈-，所以2m ≤-.综上所述，m 的取值范围是(][){},22,0-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21．(1) 0x =，2x =，1x =+1x =-(2)()222105f x x x =++ 【分析】()1由题意可得()22f x x x =-，设()t f x =，则()0f t =，求得t ，进而得到x 的值；()()20f f x ⎡⎤=⎣⎦，即为()222()0x bx c x bx c b c ++++++=，由题意不妨设四个根分别为3a d -，a d -，a d +，3a d +，可得四个根的和为42a b =-，即2b a =-；再由韦达定理，消去d ，可得b ，c 的方程，结合b ，c 为正整数和1b c ++取得最小值，化简运算和推理可得b ，c 的最小值，即可得到所求解析式．【详解】()1当2b =-，0c =时，()22f x x x =-，设()t f x =，则()0f t =，220t t ∴-=，解得0t =或2t =，当0t =时，()220f x x x =-=，解得0x =或2x =；当2t =时，()222f x x x =-=，解得：1x =+1x =-综上所述：()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的实根有：0x =，2x =，1x =1x =()()20f f x ⎡⎤=⎣⎦，即为()222()0x bx c x bx c b c ++++++=， 即有()()()2222()20x bx c b x bx c bc c +++++++=， ()222(2)440c b c bc c b c =+-++=->，可得222c b x bx --++=，或222c b x bx ---+=，不妨设四个根分别为3a d -，a d -，a d +，3a d +，可得四个根的和为42a b =-，即2b a =-；又设()()22339a d a d a d -+=-=，()()2222c b ad a d a d ---+=-=-，消去d ，可得24168b c b =++，可得2248b b c --=，由b ，c 为整数，可得24b c -也为正整数的平方，设224b c k -=，k 为正整数，即有()22224225b b b k k ---=，即为22540k k b --=，由2532b +为正整数的平方，且54k +=， 由1b c ++取得最小值， 可得b 的最小值为22，8k =，224228420105c c =-==，，则()222105f x x x =++，其所有项的系数和最小．【点睛】本题考查二次方程的根的分布情况，考查韦达定理和求根公式的运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于难题．。
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．不等式|x|﹣1＜0的解集是．2．不等式x2﹣bx+6＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则b＝．3．计算：＝．4．“对于任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是．5．不等式的解集是．6．a∈R，则的最小值是，此时a＝．7．不等式（m﹣1）x2﹣2x+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是．8．设p：x＜2，q：x＜a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．9．已知，则a2+a﹣2＝．10．已知x，y均为正实数，且，则x+y的最小值是．11．已知a＞1，a lgb＝100，则lg（ab）的最小值为．12．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数m的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab214．条件甲：；条件乙：，则甲是乙的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜B．v＝C．＜v＜D．v＝16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．对任意a，使得P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．对任意a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1不是Q2的子集三、解答题：（36分）17．解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．18．若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．19．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如图所示．（1）将两个养殖池的总面积y表示为x的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？20．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若a＝2，f（x）≤0的解集为[n，3]，求实数b的值；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]，使f（x）＞0，求实数b的范围；（3）集合，若A＝B≠∅，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：（每题4分，共48分）1．不等式|x|﹣1＜0的解集是（﹣1，1）．解：不等式|x|﹣1＜0，即|x|＜1，∴﹣1＜x＜1，故不等式的解集为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．2．不等式x2﹣bx+6＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则b＝5．解：若不等式x2﹣bx+6＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则2，3分别为方程x2﹣bx+6＝0的两根故2+3＝5＝b故答案为：53．计算：＝5．解：＝（）+1＝（）﹣2+1＝4+1＝5，故答案为：5．4．“对于任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是存在x0∈R，使得．解：命题为全称命题，“对于任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是存在x0∈R，使得，故答案为：存在x0∈R，使得．5．不等式的解集是{x|x＜﹣3或x≥}．解：根据题意，⇒（2x﹣1）（x+3）≥0且（x+3）≠0，解可得x＜﹣3或x≥，即原不等式的解集为{x|x＜﹣3或x≥}；故答案为：{x|x＜﹣3或x≥}．6．a∈R，则的最小值是2，此时a＝0．解：＝＝+，令＝t，（t≥1），∴y＝t+，在[1，+∞）上为增函数，∴t＝1时，该函数取得最小值为2，此时a＝0．故答案为：2，0．7．不等式（m﹣1）x2﹣2x+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（2，+∞）．解：①当m﹣1＝0，即m＝1时，则﹣2x+1＞0不恒成立，②当m﹣1≠0，即m≠1时，则，解得m＞2，综上所述，m的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．8．设p：x＜2，q：x＜a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a＜2．解：依题意，因为p是q的必要不充分条件，所以（﹣∞，2）⫌（﹣∞，a），所以a＜2，故答案为：a＜2．9．已知，则a2+a﹣2＝34．解：∵，（等式两边同时平方），∴a﹣2+a﹣1＝4，即a+a﹣1＝6，∴a2+a﹣2+2＝36，即a2+a﹣2＝34，故答案为：34．10．已知x，y均为正实数，且，则x+y的最小值是2．解：x，y均为正实数，且，则：，、当且仅当x＝时，等号成立，故答案为：2．11．已知a＞1，a lgb＝100，则lg（ab）的最小值为．解：对a lgb＝100两边取以10为底的对数，可得lgalgb＝2，因为，所以，当且仅当时取等号．故答案为：．12．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数m的取值范围是．解：设的两根分别为x2，x3，首先Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1，因为三个根可以作为一个三角形的三条边的长，所以x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，由韦达定理得x2x3＝m，x2+x3＝2＞1，所以把|x2﹣x3|＜1两边平方，得，即4﹣4m＜1，解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2解：A．取a＝﹣2，b＝1，则不成立．B．若0＜a＜1，则a3﹣a＝a（a2﹣1）＜0，∴a3＜a，因此正确．C．若a＞b＞0，则a（b+1）﹣b（a+1）＝a﹣b＞0，∴a（b+1）﹣b（a+1）＞0，∴，正确；D．若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，而b可能为0，因此cb2＜ab2不正确．故选：BC．14．条件甲：；条件乙：，则甲是乙的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由可得，由也得到．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：A．15．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜B．v＝C．＜v＜D．v＝解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v＝＝∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a＝＝＝∴v＞a综上可得，故选：A．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．对任意a，使得P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．对任意a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1不是Q2的子集解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集，故A错误，B正确；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集，故C错误，D错误．故选：B．三、解答题：（36分）17．解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．解：当a＝0时，不等式为x﹣1＜0，解得x＜1；当a≠0时，不等式化为a（x﹣）（x﹣1 ）＞0，若a＜0，则不等式化为（x﹣）（x﹣1 ）＜0，且＜1，解得＜x＜1；若a＞0，则不等式化为（x﹣）（x﹣1 ）＞0；当a＝1时，＝1，不等式化为（x﹣1）2＞0，解得x≠﹣1；当0＜a＜1时，＞1，解不等式得x＜1，或x＞；当a＞1时，＜1，解不等式得x＜，或x＞1；综上，a＜0时，不等式的解集是（，1）；a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；0＜a≤1时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（，+∞）；a＞1时，不等式的解集是（﹣∞，）∪（1，+∞）．18．若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．解：（1）由题设|x2﹣1|＞1，即∴x2﹣1＜﹣1或x2﹣1＞1，即x2＜0或x2＞2；解得x＜﹣，或x＞，即x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．证明：（2）对任意两个不相等的正数a、b，有a3+b3＞2ab，a2b+ab2＞2ab．∵|a3+b3﹣2ab|﹣|a2b+ab2﹣2ab|＝（a+b）（a﹣b）2＞0，∴|a3+b3﹣2ab|＞|a2b+ab2﹣2ab|，即a3+b3比a2b+ab2远离2ab．19．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如图所示．（1）将两个养殖池的总面积y表示为x的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？解：（1）依题意得温室的另一边长为米．因此养殖池的总面积，因为x﹣3＞0，，所以3＜x＜300．所以定义域为{x|3＜x＜300}．（2）＝1515﹣300＝1215，当且仅当，即x＝30时上式等号成立，当温室的边长x为30米时，总面积y取最大值为1215平方米．20．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若a＝2，f（x）≤0的解集为[n，3]，求实数b的值；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]，使f（x）＞0，求实数b的范围；（3）集合，若A＝B≠∅，求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x）≤0的解集为[n，3]，且f（x）＝x2+2x+b是二次函数，所以f（n）＝f（3）＝0，解得b＝﹣15．（2）存在x∈[﹣2，3]，使得f（x）＞0，则当f（x）max＞0（x∈﹣2，3]）时即可，因为f（x）＝x2+ax+b是开口向上的二次函数，所以f（x）max＝f（﹣2）或f（3），①若f（x）max＝f（﹣2），则f（﹣2）＝﹣2a+b+4＞0⇒b＞2a﹣4，因为对任意a∈[﹣1，1]都成立，b＞（2a﹣4）max＝2×1﹣4＝﹣2，即b∈（﹣2，+∞），②若f（x）max＝f（3），则f（3）＝3a+b+9＞0⇒b＞﹣3a﹣9，因为对任意a∈[﹣1，1]都成立，b＞（﹣3a﹣9）max＝﹣3×（﹣1）﹣9＝﹣6，即b∈（﹣6，+∞），因为要存在x∈[﹣2，3]，使得f（x）＞0，所以f（﹣2）和f（3）中只需要一值大于0即可，b∈（﹣2，+∞）∪（﹣6，+∞）⇒b∈（﹣6，+∞），即实数b的取值范围为（﹣6，+∞）．（3）设C＝{t|t＝f（x），x∈A}，D＝{t|f（t）≤}，因为A＝B，所以C⊆D，且当t∈∁D C时，f（x）＝t无解，因为f（x）＝x2+ax+b≥f（﹣）＝﹣+b，所以C＝{t|﹣+b≤t≤0}，设D＝[t1，t2]，且t1＜t2，f（t1）＝f（t2）＝，则∁D C＝{t|t1≤t＜﹣+b或0＜t≤t2}，因为f（x）≥﹣+b，所t1≤t＜﹣+b时，f（x）＝t无解，若t2＞0，又因为A＝{x|f（x）≤0}≠∅，所以当0＜t≤t2时，f（x）＝t一定有解，所以{t|0＜t≤t2}＝∅⇒0≥t2，由因为C⊆D，0≤t2，所以t2＝0，即f（0）＝⇒b＝，令f（x）＝x2+ax+＝⇒x＝﹣a或0，所以D＝[t1，t2]＝[﹣a，0]，又因为C⊆D且A＝{x|f（x）≤0}≠∅，所以⇒，所以≤a≤5，即a取值范围为[，5]．。
2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)10月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题1．（3分）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为．2．（3分）设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁U A）∪（∁U B）＝．3．（3分）若集合，则集合S的非空真子集的个数为．4．（3分）命题“若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是．5．（3分）对于n∈Z，若，则p是q的条件．6．（3分）以下三个条件：（1）b＞0＞a；（2）0＞a＞b；（3）a＞b＞0，其中能使不等式成立的序号是．7．（3分）关于x的不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0的解集是．8．（3分）若关于x的不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的取值范围是．9．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为．10．（3分）不等式的解集用区间表示为．11．（3分）如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是．12．（3分）在R上定义运算：x*y＝（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是．二、选择题13．（3分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 14．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式不成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0C．ab＜ab2D．ac（a﹣c）＜0 16．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，求实数x的值．18．不等式．19．若关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R，求k的取值范围．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．（1）若a＝1且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．四、附加题：21．设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．请解答下面的问题：（1）证明：1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）问2005是否为集合A的元素．2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为{x|x＝3k+1，k∈N}．【分析】利用集合的描述法的定义即可解题．【解答】解：被3除余数等于1的自然数可以表示为：x＝3k+1，其中k∈N，所以用描述法可表示为：{x|x＝3k+1，k∈N}，故答案为：{x|x＝3k+1，k∈N}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．2．（3分）设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁U A）∪（∁U B）＝{0，1，4}．【分析】先分别求出∁U A和∁U B的值，然后再求（∁U A）∪（∁U B）的值．【解答】解：∵∁U A＝{4}，∁U B＝{0，1}，∴（∁U A）∪（∁U B）＝{4}∪{0，1}＝{0，1，4}．故答案：{0，1，4}．【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意集合的运算法则，合理地选取公式．3．（3分）若集合，则集合S的非空真子集的个数为254．【分析】根据集合S即可得出S＝{﹣4，﹣1，0，1，3，4，5，8}，然后便可得出集合S 的非空真子集的个数．【解答】解：∵S＝{﹣4，﹣1，0，1，3，4，5，8}，∴集合S的非空真子集的个数为28﹣2＝254．故答案为：254．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合子集个数的计算公式，非空真子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）命题“若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是若a，b 都小于1，则a+b＜2．【分析】根据逆否命题的等价性进行求解即可．【解答】解：∵互为逆否命题的两个命题为等价命题，∴命题的等价命题为：若a，b都小于1，则a+b＜2，故答案为：若a，b都小于1，则a+b＜2【点评】本题主要考查四种命题关系的应用，结合互为逆否命题的等价性一致是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）对于n∈Z，若，则p是q的必要不充分条件．【分析】令p：A＝{x|x＝}，q：B＝{x|x＝}，结合集合的包含关系即可判断．【解答】解：由题意可知p：A＝{x|x＝}，q：B＝{x|x＝}，因为当n∈Z，则3n±1表示被3除余1或被3除余2的整数，∴B⫋A，故q⇒p，p推不出q，故p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础试题．6．（3分）以下三个条件：（1）b＞0＞a；（2）0＞a＞b；（3）a＞b＞0，其中能使不等式成立的序号是（1）（2）（3）．【分析】利用不等式的基本性质逐个判断即可得出结论．【解答】解：对于（1），由b＞0＞a可知，，符合题意；对于（2），由0＞a＞b可知，0＜﹣a＜﹣b，则，故，符合题意；对于（3），由a＞b＞0可知，，符合题意．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题主要考查不等式基本性质的运用，属于基础题．7．（3分）关于x的不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0的解集是[，]．【分析】把不等式化为（3x﹣1）（7x﹣1）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0可化为（3x﹣1）（7x﹣1）≤0，解得≤x≤，所以该不等式的解集是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．8．（3分）若关于x的不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的取值范围是．【分析】先将分式不等式进行化简，然后转化成[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0的解集是{x|x ＜1或x＞2}，从而[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解为x＝1或2，建立等式，解之即可．【解答】解：不等式可转化成等价与[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0的解集是{x|x＜1或x＞2}，∴[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解为x＝1或2∴x＝＝2即a＝故答案为【点评】本题主要考查了分式不等式求解，解题的关系分析出[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解集为x＝1或2，属于中档题．9．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为a≤2．【分析】先求不等式的最值，再根据题意求参数．【解答】解：∵|x﹣1|+|x+1|≥|x﹣1﹣（x+1）|＝2，∴若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．10．（3分）不等式的解集用区间表示为．【分析】将分式不等式右边的常数移项，通分，化简后可得，再利用穿针引线法求解即可．【解答】解：由得，即，即，即，解得或或x＞2．故答案为：．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查化简求解能力，属于基础题．11．（3分）如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是41.4%．【分析】平均增长率为x，今年的产量为M，M（1+x）2＝2M，由此能求出结果．【解答】解：平均增长率为x，今年的产量为M，M（1+x）2＝2M，（1+x）2＝2，1+x＝±，x1＝﹣1﹣（舍去），x2＝≈0.414＝41.4%．所以平均增长率至少为41.4%．故答案为：41.4%．【点评】本题考查明后两年每年的平均增长率的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．12．（3分）在R上定义运算：x*y＝（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是（﹣，）．【分析】由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＜1对于任意的x都成立，变形整理可得y2﹣y ＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，构造函数g（x）＝x2﹣x+1，只要y2﹣y＜g（x）min即可．【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＝[1﹣（x﹣y）]（x+y）＝（x+y）（1﹣x+y）＜1对于任意的x都成立，即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，设g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，所以，g（x）min＝，所以y2﹣y＜，所以﹣＜y＜，所以实数y的取值范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．二、选择题13．（3分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B＝{x|x≥1或x≤0}，∴∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}，故选：D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．14．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：由a+b＞4不能推出a＞2且b＞2，由a＞2且b＞2能推出a+b＞4，所以a+b＞4是a＞2且b＞2的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．15．（3分）如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式不成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0C．ab＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【分析】根据条件即可得出a＞0，c＜0，b﹣c＞0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，从而可判断选项A，B，D都成立，从而不成立的只能选C．【解答】解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0，b﹣c＞0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，∴ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，∴ab＞ac，即A成立；c（b﹣a）＞0，即B成立；ab＜ab2不成立，比如b＝0时，即C不成立；ac（a﹣c）＜0成立，即D成立．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，考查了计算能力，属于基础题．16．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：不等式|x﹣m|＜1等价为m﹣1＜x＜m+1，∵不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，∴，即，解得，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．三、解答题17．已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，求实数x的值．【分析】根据集合的包含关系，求解．【解答】解：∵集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，∴x2＝3 或者x2＝x，解之得x＝0或或1，由集合中元素的无序性，不重复性代入检验可知，当x＝1时，A＝{1，3，1}矛盾，舍去，故x＝0或．【点评】本题考查集合的包含关系，属于基础题．18．不等式．【分析】先去掉绝对值符号，再进行解不等式．【解答】解：∵不等式．∴或者，移项通分得或者，解之得或，故答案为：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．19．若关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R，求k的取值范围．【分析】分k﹣1＝0及k﹣1≠0两种情况讨论即可得解，二次式要大于0恒成立，则需开口向上，且判别式小于0即可．【解答】解：当k﹣1＝0，即k＝1时，2＞0恒成立，符合题意；当k﹣1≠0，即k≠1时，则，解得1＜k＜9．综上，实数k的取值范围为[1，9）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．（1）若a＝1且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）先分别求出p，q所对应的不等式解集，然后求出两集合的解集即可求解；（2）根据充分必要条件与集合之间包含关系进行转化即可求解．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0可得a＜x＜3a，当a＝1时，设p：{x|1＜x＜3}，由实数x满足可得，2＜x≤3，∵p、q同时为真命题，所以即2＜x＜3，故x的范围（2，3）；（2）因为q是p的充分不必要条件，所以q⇒p，即{x|2＜x≤3}⊆{x|a＜x＜3a}，所以，解可得1＜a≤2，故a的范围为（1，2]．【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，集合的包含关系的应用，体现了转化思想的应用．四、附加题：21．设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．请解答下面的问题：（1）证明：1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）问2005是否为集合A的元素．【分析】（1）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：A的元素个数不小于3；若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．若a∈A，则a的所有因子都属于A．逐一分析1，2，3，4，5与集合A的关系，可得结论；（2）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：A的元素个数不小于3；若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．若a∈A，则a的所有因子都属于A．分析2005与集合A的关系，可得结论．【解答】证明：（1）1是任何正整数的因子，故1∈A，若a为偶数，则2是a的因子，此时2∈A，若a，b均为大于1的奇数，则1+ab为偶数，则2是1+ab的因子，此时2∈A，综上2∈A，若a是3的倍数，则3是a的因子，此时3∈A，若a，b均为大于1的不是3的倍数的数，则1+ab∈A或1+a（1+ab）∈A且为3的倍数，此时3∈A，综上3∈A，由2∈A，故：1+2×3＝7∈A；1+2×7＝15∈A，5是15的因子，∴5是集合A的元素，由3∈A，5∈A，得：1+3×5＝16∈A，故16的因子4∈A．综上，1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）由2∈A，3∈A，4∈A，5∈A，则1+2×3＝7∈A，1+2×7＝15∈A，1+2×15＝31∈A，1+4×31＝125∈A，1+4×125＝501∈A，1+4×501＝2005∈A．∴2005是集合A的元素．【点评】本题考查集合的元素的判断，考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，是中档题．第11页（共11页）。
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共3小题，共12.0分）1.在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.若1a <1b<0，则四个结论：①|a|>|b|；②a+b<ab；③ba+ab>2；④a2b<2a−b正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 43.已知集合A={0}，则下列关系表示错误的是()A. 0∈AB. A=⌀C. ⌀⊂AD. {0}⊆A二、多选题（本大题共1小题，共4.0分）4.如图，已知在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为AD1上的动点.则下列结论正确的有()A. 当P运动到AD1中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为√55B. 当P在直线AD1上运动时，三棱锥A1−BPC1的体积不变C. 当P在直线AD1上运动到某一点时，直线B1C与平面BPC1所成角为π3D. 当P在直线AD1上运动时，△A1PB1的面积存在最小值√2三、单空题（本大题共12小题，共48.0分）5.已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是____．6.不等式x2<x+2的解集为7.若是方程的解，是的解，则的值为．8.命题“∃x∈R，x2−1<√3x”的否定是______ ．9.不等式x2−4x+13x2−7x+2≤1的解集用区间表示为．10. 在△ABC 中，过中线AD 的中点E 作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，(x >0,y >0，则4x +y 的最小值为______． 11. 若关于x 的不等式2x 2−3x +a <0的解集为(12,m)，则实数m = ______ ． 12. α：x =2，β：x 2−4=0，则α是β的______ 条件． 13. 计算(√2√2)43−4(1649)−12−(−2020)0= ______ ．14. 已知x +y =40且x 和y 都是正数，则xy 的最大值为______．15. 已知第一象限的点P(a,b)在直线x +2y −1=0上，则1a +1b 的最小值为______ ．16. 若函数f(x)=2x 2+(x −a)|x −a|在区间[−3,0]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17. 已知命题p ：方程x 2−(2+a)x +2a =0在[−1,1]上有且仅有一解；命题q ：存在实数x 使不等式x 2+2ax +2a ≤0成立，若命题“￢p 且q ”是真命题，求a 的取值范围．18. 已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)在(1)的条件下，若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．19. 已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性并加以证明；(3)若在上递减，求实数的取值范围．20. 二次函数y =ax 2+x +1,(a >0)的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1,x 2． (1)证明：(x 1+1)(x 2+1)=1； (2)证明：x 1<−1,x 2<−1；(3)若x 1,x 2满足不等式|lg x1x 2|≤1，试求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题．利用诱导公式cos(π2−α)=sinα及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．解：因为cosA>sinB，所以cosA>cos(π2−B)，又因为角A，B均为锐角，所以π2−B为锐角，又因为余弦函数在(0,π)上单调递减，所以A<π2−B，所以A+B<π2△ABC中，A+B+C=π，所以C>π2，所以△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形，角A、B均为锐角所以C>π2，所以A+B<π2所以A<π2−B，所以cosA>cos(π2−B)，即cosA>sinB故cosA>sinB是△ABC为钝角三角形的充要条件．故选C．2.答案：C解析：解：①∵1a <1b<0，∴不妨取a=−1，b=−2，∴|a|=1，|b|=2，∴|a|<|b|，故不成立；②∵1a <1b<0，∴1a+1b<0，a<0，b<0，∴a+b<ab，故成立；③∵1a <1b<0，∴b<a<0，∴ba+ab>2，故成立；④∵(a−b)2b =a2−2ab+b2b<0，∴a2b−2a+b<0，∴a2b<2a−b，故成立；故选C．①不妨取a=−1，b=−2；②根据1a <1b<0，可得1a+1b<0，a<0，b<0，从而a+b<ab；③根据1a <1b<0，可得b<a<0，从而ba+ab>2；④根据(a−b)2b=a2−2ab+b2b<0，可得结论．本题以不等式为载体，考查不等式的性质，不成立列举反例，成立结论需严密证明．3.答案：B解析：解：集合A={0}，表示集合A由元素0构成；∴0∈A，A≠⌀；空集是任何非空集合的真子集，⌀⊂A；集合是它本身的子集，{0}⊆A；∴不正确的是B，故选：B．根据元素与集合的关系进行判断．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．4.答案：ABD解析：解：当P运动到AD1中点时，过P作PO⊥AD，垂足为O，连接BO，则PO⊥平面ABCD，则∠PBO为直线BP与平面ABCD所成角，其正切值为√5=√55，故A正确；当P在直线AD1上运动时，三角形PBC1的面积不变，为12BC1⋅AB，A1到平面BPC1的距离为定值，等于12A1D，则三棱锥A1−BPC1的体积不变，故B正确；直线B1C与平面BPC1所成角，即为直线B1C与平面ABC1D1所成角，由AB⊥平面BCC1B1，可得AB⊥B1C，又BC1⊥B1C，AB∩BC1=B，可得B1C⊥平面ABC1D1，得直线B1C与平面BPC1所成角为π2，故C错误；当P在直线AD1上运动时，当P位于AD1中点时，△A1PB1的面积取最小值，为12×2×√2=√2，故D正确．故选：ABD．。