4、第五章：固体力学问题的建立及解法
固 体 力 学
固体力学固体力学是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支，它主要研究可变形固体在外界因素(如载荷、温度、湿度等)作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律。
固体力学研究的内容既有弹性问题，又有塑性问题；既有线性问题，又有非线性问题。
在固体力学的早期研究中，一般多假设物体是均匀连续介质，但近年来发展起来的复合材料力学和断裂力学扩大了研究范围，它们分别研究非均匀连续体和含有裂纹的非连续体。
自然界中存在着大至天体，小至粒子的固态物体和各种固体力学问题。
人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。
现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。
由于工程范围的不断扩大和科学技术的迅速发展，固体力学也在发展，一方面要继承传统的有用的经典理论，另一方面为适应各们现代工程的特点而建立新的理论和方法。
固体力学的研究对象按照物体形状可分为杆件、板壳、空间体、薄壁杆件四类。
薄壁杆件是指长宽厚尺寸都不是同量级的固体物件。
在飞行器、船舶和建筑等工程结构中都广泛采用了薄壁杆件。
固体力学的发展历史萌芽时期远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。
中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。
随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。
尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。
发展时期实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。
在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。
材料固体力学答案1-6章
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jtks kt js ist ijke e δδδδ-=[证明]()()()jtks kt js ktjs jtks jtks ktjs jtks kt js itjs jtis ki it ks ktis ji jtks kt js ii ktks ki jtjsjiitis ii ist ijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33习题2 证明若jiij ji ijb b a a -==;，则0=ij ijb a[证明]jiij jiijbb aa-==; jiji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ijb a b a b a b a又因为所有的指标都是哑指标，ijij pq pqb a b a =，所以02=aijbij，即0=ij ijb a习题3 已知某一点的应力分量xxσ，yyσ，zzσ，xyσ不为零，而0==yzxzσσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，iji jσνσν=)(，可求得该面上的应力为ασασσνσνsin cos 11)(xyxxj j +== ασασσνσνsin cos 22)(yyyxjj +== 033==j j v σνσ)(由斜面正应力表达式ji ij nννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sinsin cos 2cosyyxyxxn++=剪应力为ασασσστ2cos 2sin )(2122)()(xyxx yynn n +-=-=-=σσσn习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
固体力学5-1_5609602
固体力学1. 课程概述 2. 张量分析基础 3. 运动与变形 4. 应力与平衡 5. 固体材料的本构关系 6. 弹性力学的基本理论 弹性力学的基本 7. 弹塑性力学问题 8 固体力学专题 8.Zheng Xiaoping 20135. 固体材料的本构关系5.1 引言 5.2 一些经典的材料试验现象 象 5.3 研究本构关系的公理化方法 5.2 线弹性材料的本构关系 5 3 大变形弹性本构关系 5.3Zheng Xiaoping 20135.1 引言 从基本方程谈起Zheng Xiaoping 20135.1 引言 从基本方程谈起 基本方程中独立未知变量个数大于基本方程的个数，所 以必须寻找补充方程。
补充方程从何而来？ 补充方程一定要反映材料的力学行为，我们称反映材料 力学行为的方程为本构关系。
力学行为的方程为本构关系Zheng Xiaoping 20135.1 引言 本构关系的一些直观认识 因为本构关系反映了材料的力学行为，所以一般来讲 不同类型的材料具有不同的本构关系； 本构关系不能理解为仅仅反映材料本身的力学性质， 它还与外部环境 变形过程等因素紧密相关 它还与外部环境、变形过程等因素紧密相关； 在研究本构关系时要注意区分结构的本构行为与材料 的本构行为之间的区别与联系； 相对于变形理论和应力理论而言，关于本构理论的研 究是固体力学领域最为活跃的研究领域之一。
Zheng Xiaoping 20135.1 引言 研究本构关系的主要方法与策略 试验方法：它是研究本构关系最直接、最根本的方法； 公理方法：采用公理化方法为研究本构的研究制定基本 原则； 数值方法：数值仿真方法也是研究本构关系的重要补充 数值方法 数值仿真方法也是研究本构关系的重要补充 手段。
在本构关系的研究中，既不能脱离实验基础，还必须有 基本理论的指导 也要借助数值仿真技术 基本理论的指导，也要借助数值仿真技术。
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第一章 前言
• 固体力学的定义 • 固体力学的基本假设与主要研究内容 • 学科分支 • 研究对象与任务 • 发展史 • 参考资料
4
1. 固体力学的定义
• 研究可变形固体在外界因素(载荷、温度、湿度等内部质点的位 移、运动, 固体的应变和破坏规律的学科. 主要参书:《力学词典》《大百科全书》
（1）固体力学与理论力学之区别：理论力学研究对象是质点、
• 断裂力学(损伤力学)、复合材料力学、电-磁弹性力学，微尺度力学是发 展中的新兴学科。
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4. 研究对象
研究各种工程结构：常见的如下结构元件（构件）: （1）杆、杆系、梁、柱，（长＞＞宽和高） （2）板(中厚板)、壳，（厚＜＜长与宽） （3）三维体(空间结构如桁架与刚架)， （4）薄壁结构（飞机机翼与机身等）， （5）以及它们的复合体.
、 • 铁木生柯(Timoshenko)专著”Strength of Materials”, “Theory of Elasticity”
“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”影响极大； 此外，俄国 符拉索夫(薄壁杆件理论)也作出重要贡献。. • 中国东汉(127~200) 玄提出郑线性弹性关系; 宋代李诫《营造法式》；隋代 李春（581~618）赵州桥等等，代表中国古代对固体力学的贡献。
6
3. 学科分支
• 材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、流变学，复合材料力学、 断裂力学(损伤力学)、结构稳定性、振动理论、粘弹(塑)性力学、冲击力 学、固体应力波问题、结构(弹~塑性)动力学;
• 以及许多交叉学科: 气动弹性理论，生物固体力学、岩土力学、有限元(有 限条、有限层、边界元、离散元、无网格法等);
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③平截面假设的近似性
由悬臂梁问题可知,截面上最大剪应力在中面上,可见最大剪应变在中 面上,所以剪切转角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪应力(剪 应变）为零.结论很明显,横截面不再是平的（发生翘曲）. 当梁的高长比 h / l 1 / 7 时，平截面假定不再成立，应该考虑横向剪 切。称为Timoshenko梁理论，独立未知变量增加一个，截面转角。 但是,当梁长/高比很大时,平截面所得结果符合工程要求。 Timoshenko梁弯曲（非纯弯）时，须考虑剪切效应，此时横截面仍
• 通过本构关系求变形（位移与应变）， • 最重要的是材料力学中的平截面法，其中尤以梁的平 截面假设最为重要。
截面法
• 截面法:固体力学问题的普适方法,
步骤为： （1）取出构件,画出所有外力(包括约束反力); （2）用平面切开, 并画出内力(广义力), 若是动平衡需用达朗贝尔原理,化惯性力为作用力；外力 与内力平衡来求解内应力; （3）解出内力；算应力; （4）利用物理方程求变形; （ 5） 根据应力强度准则或变形准则进行强度校核; （6）进行优化设计.
s
max max mean mean
s
相当于用中性轴处的最大剪切应变代表梁轴由于横向剪切产生的倾角，是 很粗燥的，它比平均剪应变大50%。
②用能量原理（单位载荷法）推导了较精确的近似值， s 6 1.2 5 ③弹性力学的精确公式为： s 12 11 当泊松比 0.3 时， 10(1 ) s 1.18
平截面假设：初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于轴线, 并且在垂直轴线方 向上无变形； 下面以梁为例,此假设大大简化了问题. 无穷自由度问题简化为一个自由度问题,只有 一个挠度函数是要求的.这样，用弹性力学理论,有15个基本方程,15个基本未知量. 根据平截面假设大大简化：梁的挠度为 w(x) ， 梁的基本方程（控制方程）为：
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
固体物理学1~6章习题解答
证明：由书可知
在高温时， ，则在整个积分范围内 为小量，因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入 的表达式，得
将
代入上式得
3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解：由讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3k。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
《固体物理学》习题解答
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)
1.7六方晶胞的基失为： ， ，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为 ， ，
其第一布里渊区如图所示：(略)
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
材料力学重点归纳
材料力学考试重点一、。
课程的性质、任务材料力学是变形体力学的最基础课程。
固体力学（即变形体力学）是研究固体材料的变形、流动和断裂的一门科学。
它是材料科学专业的一门理论性较强的重要的技术基础课程。
本课程的基本任务是为了提高材料工程类专业学生的力学基础素养，使之掌握该专业所必需的固体力学基本概念、基本方法和基础理论，培养学生具备一定的力学分析计算能力和基本的力学实验技能，为学习后续专业课程奠定必要的力学基础。
教学的同时注意结合本课程的特点培养学生的辩证唯物主义观点。
二、课程的基本要求通过本课程的教学，应使学生达到下列基本要求：1．理论力学静力学是系统学习力学课程的必要基础。
因此要求学生理解并掌握理论力学静力学的有关概念和理论。
了解几种常见的约束类型的性质及静力学基本公理。
较熟练地掌握对物体进行受力分析的方法。
2．了解静力学的基本任务。
理解并掌握力线的平移定理。
熟悉各类平面力系的简化方法和结果。
掌握各类平面力系的平衡条件，并能熟练地应用它们去求解物体（或物体系）的平衡问题。
简单了解空间力系的简化结果、力对轴之矩的概念及重心的概念。
3．理解并掌握固体力学的有关基本概念：对固体力学分析问题、解决问题的基本方法和思路有明确的认识。
4．掌握一维工程构件三种基本变形的内力、应力和变形的分布变化规律、基本分析方法以及计算方法。
5．清楚了解研究测试固体材料力学性质的意义和方法，对常见固体材料（典型的金属材料和岩石）的力学性质和测定方法有基本认识和掌握。
了解电测应力方法的基本原理。
6．对应力、应力状态、应变、应变、应变状态的概念有较明确的认识。
较熟练掌握应力分析理论和应变分析理论。
7．理解和掌握固体材料弹性变形和塑性变形的主要特征，对屈服函数、主应力空间、屈服面、屈服曲线、屈服条件等概念有较明确认识。
熟悉掌握强度理论：最大拉应力理论、最大剪应力理论、形状改变比能理论、莫尔强度理论和库仑-纳维叶剪切强度准则的基本观点、适用范围、表达形式和工程应用。
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* 而剩下的平衡方程结合边界和初始条件用来求解所选取的一套基本 未知量，即进一步满足平衡方程。
* 最后在利用几何和本构方程反求另外两套基本未知量。
§5.2 求解弹性力学问题的基本方法、 解的唯一性原理
(11)
(12) (2) 位移边界条件 ：式(5-13、14)
(13)
(14)
弹性力学边值问题可分为三类：
第一类边值问题：在全部边界上给定面力，又称为 应力边值问题。
集中力依据静力等效转换为作用在微小面积上的均布面力
集中力偶依据静力等效转换为作用在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题：在全部边界上给定位移，又称为 位移边值问题。
5.2.1补： 位移法 （间接法） 设定的位移解需满足的方程（对三类边值问题）： (1) 平衡方程： 位移应变应力应力平衡方程。即位移表示的平衡方程。 (2) 边界条件：
第一类：位移应变应力应力边界条件；
第二类：位移边界条件； 第三类： Sσ 上同第一类，Su 上同第二类。
5.2.2补： 应力法（间接法） 设定的应力解需满足的方程（对三类边值问题）： (1) 平衡方程： 应力平衡方程。
几何方程本构方程 解Fra bibliotek数值方法
相互支撑
问题的建立
位移和应力解法简介
重点：弹性力学边值问题的建立方法及其直接和间接解法。 了解：弹塑性力学边值问题和线性粘弹性边、初值问题的建立。 定位：基础理论应用部分准备，属课程学习的重点之一。
问题的建立
位移和应力解法简介
§5.1 固体力学问题的建立
5.1.1 弹性力学边值问题 小变形条件（几何线性）下线弹性力学（物理线性） 的基本方程包括：
三个位移：u、v、w； 六个应变：εx、 εy、 εz、 γxy、 γ yz、 γ zx； 六个应力：σx、 σ y、 σ z、 τxy、 τ yz、 τ zx； 剪应变和剪应力中的x、y、z按正序排列。 三个平衡方程（用应力表示）；
六个几何方程（建立应变和位移之间的关系）； 六个本构方程（建立应变和应力之间的关系） ； 求解思路：12个方程解12个未知量。
(2) 协调方程：
应力应变应变协调方程，或应力表示的协调方程。 (3) 边界条件： 第一类：应力边界条件； 第二类：应力应变位移位移边界条件； 第三类： Sσ 上同第一类，Su 上同第二类。
5.2.3 解的唯一性原理
如果弹性体的位移约束足以限制物体的总体刚性位移， 则位移场也是唯一的。 证明可以用，但还有点害羞！
固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。
第五章：固体力学问题的建立 及解法
主讲：侯鹏飞 湖南大学工程力学系
静力学
外载约束 力学分析 几何分析 物理关系 引入 平面问题 空间问题 专题 边界条件 平衡方程 几何方程 本构方程 求 解析方法
动力学 边界条件及初始条件 运动方程
有时也可给定位移导数(如转角)的边界值或应变的边界值 。
第三类边值问题：在物体的表面S 的一部分Sσ上给定面 力，在另一部分Su 上给定位移，又称 为混合边值问题。 要求 ：
类似
得到
5.1.2 弹塑性力学边值问题 (P142) 5.1.3 线性粘弹性边、初值问题 (P144)
初始条件
问题的建立
位移和应力解法简介
§5.4 求解塑性力学问题的基本方法 （搁置）
§5.5 求解线性粘弹性问题的基本方法 （搁置）
问题建立和解法小结（由厚到薄）
1. 思想：看线路图回忆查漏。
2. 需要记忆的概念 2.1.弹性力学边值问题的建立及其三类边值问题； 2.2. 位移和应力的直接和间接解法。
2.2. 解的唯一性原理和叠加原理 。 3. 需要能熟练使用的部分。 暂无。但要求同学们能在以后的工作中开放自己的 思维空间，大胆地使用逆解法！
问题的建立
位移和应力解法简介
5.2.1 位移法 （直接法） 以位移为基本未知函数，通过几何方程和本构方程， 用位移表示应力，再代入平衡方程，最后得到用位移表示 的平衡方程；求解此方程得到位移，然后反求应变和应力。 适用于：位移边值问题
拉梅-纳维埃方程 :(用位移表示的平衡方程)
三个方程解三个未知的位移分量。 注意： 求解拉梅-纳维埃方程得到的是通解，只有结合边界条 件，才能得到具体问题的解。
5.2.2 应力法（直接法） 以应力为基本未知函数，将用应力表示应变的本构方 程代入应变协调方程，得到用应力表示的协调方程；联立 求解这些方程及平衡方程，得到应力，然后求得应变及位 移。由于应力已满足协调方程，故可由应变求出位移。 适用于：应力边值问题 平衡方程： 用应力表示的变形协调方程：
九个方程解六个未知的应力分量。因为协调方程不独立
(1) 平衡方程：式(5-1、2)
(1)
(2)
(2) 几何方程 ：式(5-3、4)
(3)
(4)
(3) 应变协调方程 ：式(5-5、6)
(5)
(6)
(4) 本构方程 ：式(5-7、8 、9 、10)
(7)
(8)
(9)
(10)
式中 θ=εkk 。
弹性力学边值问题的边界条件 ： (1) 应力边界条件 ：式(5-11、12)
注意： 求解以上方程得到的是通解，只有结合边界条件，才
能得到具体问题的解。
间接法：
逆解法——设定一个解，然后代入基本方程及边界条件， 若该解满足基本方程及边界条件，即为所求 的解。
半逆解法——设定一个解，其中包含一些待定常数或待求 函数，然后代入基本方程及边界条件，以确 定待定常数及待求函数，即得所求的解。 如何设定解：根据材料力学初等理论的解答，或是根据物 体的形状和受力特点，或是根据量纲分析等。 这是一个悟道和积累的过程！
采用逆解法和半逆解法等试凑方法求解弹性力学问题 。
①
正名可以大胆地、酷一点地用！ –1 x
x
–2
②
③
个人认为： 是一种创新性的、灵感性的思维！
（价值的体现）、（逆向思维，正向描述）！
§5.3 局部性原理、叠加原理
5.3.1 局部性原理 ：圣维南原理 （已经拿下！） 5.3.2 叠加原理 在小变形（几何线性）和线弹性本构（物理线性）条 件下，多种干扰共同作用下的解是各种干扰单独作用时相 应解的代数和。