计算固体计算力学 - 第四章 几何非线性问题
第四章 土木工程中的几何非线性问题
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， 用 表示。
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非线性有限元
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Euler应力张量:τij
在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相 等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量， 称为Euler应力张量； 此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现 时位形和变形相关的真实应力。
Case-1
同乘以时间增量
增量形式 …
Case-2
可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
旋转率
现时Green应变的线性部分
可以证明，这两个率都与转动无关
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非线性有限元
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三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
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应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。 优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。
几何非线性力学中的定解问题研究
几何非线性力学中的定解问题研究几何非线性力学是以物体的形状和变形为主要研究对象，涉及到多个学科的交叉，如数学、力学、材料科学等。
其中，定解问题是研究重要的方向之一。
本文旨在简要介绍几何非线性力学中的定解问题研究。
一、定解问题概述定解问题是研究微分方程的重要领域，从物理学的角度来讲，定解问题是描述力学系统的运动规律，因此在几何非线性力学中，定解问题也是研究物体受力时的变形与运动规律的重要工具。
在几何非线性力学中，一般研究以下两类定解问题：1.初值问题初值问题是指在某一时刻，物体的形状与位置已知，要求预测在后续时间内的形状和位置的变化情况。
这类问题通常用泰勒级数来进行近似求解，但是要求计算过程中不受舍入误差的影响，也需要对误差进行估计和控制。
2.边值问题边值问题是指在一个密闭区域内，物体受到一定约束力的情况下，求解物体的形状与运动规律。
这类问题通常需要建立较为复杂的数学模型，涉及到微分方程、变分原理等多种数学工具。
二、定解问题的数学模型与求解方法几何非线性力学中的定解问题，有时需要建立复杂的非线性微分方程，因此需要借助于数值计算方法来进行求解。
目前常用的数值计算方法有以下几类：1.差分法差分法是一种离散化求解微分方程的方法，将空间和时间分为若干个网格，根据物体的受力情况，利用有限差分法来逼近微分方程的解。
这种方法简单易行，在一些简单的模型中表现良好。
2.有限元法有限元法是一种将物体分割成有限个单元，建立每个单元的形状函数和位移函数，从而建立起整个物体的数学模型。
这种方法具有一定的通用性，在处理非线性问题时有很好的效果。
3.辛普森法辛普森法是一种以积分为基础的数值计算方法，通过对微分方程的积分逼近来求解方程的解。
辛普森法具有高精度和高效率的特点，但在处理非线性问题时，需要对误差进行较为精细的控制。
三、应用与展望几何非线性力学中的定解问题广泛应用于材料科学、工程力学、地质力学等各个领域，在地震预测、纳米器件设计等领域具有重要的应用价值。
清华大学计算固体力学全套课件
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全套课件
计算固体力学
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第1章 绪论
计算固体力学课程体系
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全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
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计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.
非线性力学问题的求解研究
非线性力学问题的求解研究引言随着科技的发展和人类对自然规律的深入探索，研究非线性力学问题的重要性日益凸显。
非线性力学问题的求解研究，是指对非线性物理系统进行建模和计算，以确定其动力学特性、稳定性和响应。
本文将介绍非线性力学问题的求解方法和研究现状。
一、非线性力学问题的简介非线性力学问题是指系统动力学方程中包含非线性项的问题。
最常见的非线性方程是二次方程、三次方程、指数方程等。
非线性问题通常较为复杂，其解析解常难以求得，一般需要采用数值计算方法或近似方法来求解。
非线性力学问题可以涉及多个学科领域，如物理学、数学、工程学等。
在物理学中，非线性问题的出现常常与热力学、流体力学、固体力学等领域密不可分。
同时，非线性物理系统的性质和现象也是各学科的热点研究方向，例如地震学、气象学、生物学等。
二、非线性力学问题的求解方法1. 数值计算方法数值计算方法是求解非线性力学问题最常用的方法之一。
该方法将非线性方程转化为数字表示，采用数值逼近和迭代计算的方式求解。
常见的数值计算方法包括有限差分法、有限元方法、边界元方法等。
有限差分法通过对函数在有限步长上的差分近似，将微积分方程转化为代数方程，在计算机上实现数值计算。
有限元方法则通过对物理体系的分割，并在分割区域上建立简化模型，将物理问题转换为数学问题，通过求解矩阵方程得到数值计算解。
边界元方法是一种求解偏微分方程的数值计算方法。
该方法将偏微分方程转化为边界上的积分方程，通过迭代计算逼近方程解。
2. 近似方法非线性方程解析解难以求得，因此近似方法成为另一种常用的求解方法。
近似方法是将非线性方程进行逼近或拟合，以得到近似解。
常见的近似方法包括变分法、微扰法、双曲正切方法等。
变分法是一种优化问题的数学方法。
它将问题转化为优化问题，通过最小化泛函来求解方程解或波函数的近似解。
微扰法是将非线性方程进行分解，采用初值近似解来进行迭代求解的方法。
双曲正切方法是一种通过非线性函数的双曲正切函数逼近进行求解的方法。
计算固体力学中的重要研究领域
结构优化. 结构优化是应用中的重大课题。近年来已从结构尺寸优 化发展到结构形状和拓扑的优化。与优化相关联的反问题是许多应 用课题中的基础，应大力予以研究。在优化与反问题中，可应用序 列线性规划与序列二次规划法。
结构优化分析反过来对于力学基础理论也作出了重要推动。在板的 优化研究深入之际，已发现传统的连续体并不是最优的，真实的优 化解应当是由无限密肋组成的板结构形式。这个结构影响深远，由 此启发出微结构材料设计这一尖端领域。一般的结构优化问题中未 知量是连续变化的，而拓扑优化则是离散的，而且改变着区域的拓 扑性质，所以拓扑优化的非线性性质更高出一个层次; 至于设计方 案、总体布局等问题，甚至都无法找到恰当的数学模型来进行表达， 这一类非线性只能用人工智能、专家系统的手段来处理。
结构动力学问题（如抗震动力分析与控制）是不能松懈的课题。时程积分是结构动力学的基本问 题。对于结构在冲击荷载、突加荷载、控制力、热冲击、传质传热等过程中的响应都要进行时程积分 的计算。当前熟知的Newmark法、Wilson-θ法、中央差分法等差分类的算法，易于带入误差，应发 展高精细程度的积分类算法。
在这一研究趋势下，计算固体力学算法研究的若干重 要问题可列举如下:
单击此处添加小标题
计算细观力学. 为深入研究材料的本构和破坏行为，提出了多种细观的离散模型， 例如分子动力学模拟、缺陷和裂纹的损伤演化模拟等。
单击此处添加小标题
解析法与数值法的结合. 采用数值法并不排斥解析法，巧妙地采用解析法可能带来 有价值的结果。边界元法就是这种结合的产物。对于旋转体或多种对称的结构可 用群论方法求解。这类有效算法应当集成到通用有限元程序中。
求解各类大变形固体力学问题是当今数值计算的一个重要发展方向，它们涉 及到材料粘塑性、流变、热传导与相变等效应，需要发展相应的有效算法。
固体力学非线性课程报告
固体力学非线性课程报告一、结构非线性载荷与变形曲线之间呈非线性的关系，也即显示了非线性结构的基本特征—变化的结构钢性。
引起结构非线性变化的原因有很多，主要是三种类型：1）状态变化（包括接触）；许多普通的结构表现出一种与状态有关的非线性行为，如电缆的松弛与紧绷，轴套的接触与非接触，这些系统的结构刚度都是由于状态的改变而突然变化。
状态的改变可能和载荷有关，也可能与某种外部原因有关。
其中接触问题很典型，它的特点是：属于边界非线性问题，边界条件不在是定解条件，而是待求结果，两接触体之间的接触面积与压力随外载荷的变化而变化，并且与接触体的刚性有关。
其中接触模式可以分为三类：点对点，点对面，面对面。
目前对这类问题的求解主要是引用经典理论，借助有限元数值方法进行研究。
2）几何非线性几何非线性就是位移与应变呈非线性（微分)关系,这是因为在几何非线性条件下，物体或结构会发生较大的位移或转动（也叫有限变形），此时不同时刻的物体具有差别不能忽略的不同构型，其单元刚度矩阵会发生改变或者是单刚阵在向总刚阵变换时发生改变，它的位移的导数的二次项不能忽略。
对于大变形问题，连续介质力学理论对经历大变形后的变形，依据不同的参考对象（初始构型与现时构型）有严格的定义，在此基础上定义的应变有两种：格林应变张量（以初始构型为参考），它是客观的、不随刚体转动而变换的对称张量；另一种为阿尔曼斯应变张量（以现时构型为参考）在大变形分析中经常用到它们的增量形式，均有线性部分和非线性部分构成。
3）材料非线性应力与应变之间呈现非线性的关系。
材料的非线性行为异常丰富，有非线性弹性行为，塑性行为，粘弹性行为。
非线性弹性行为：当材料由于应力达到某种临界值而出现应力与应变间的非线性变化关系；塑性行为：当物体由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而产生的永久变形，即有不可恢复的应变产生；粘弹性行为（包括松弛和蠕变）：具有介于弹性和黏性液体之间的材料性质，其形变不仅和当时作用力的大小有关，而且和温度的改变、力的作用时间以及加载历史都有关，同时应变速率、应力速率对应变也有影响。
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。
在这类问题中，材料内的变形和内力之间〔如应变和应力之间〕不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。
在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法等。
在许多工程构造中，杆件往往在复杂载荷的作用或复杂环境的影响下发生破坏。
例如，杆件在交变载荷作用下发生疲劳破坏,在高温恒载条件下因蠕变而破坏,或受高速动载荷的冲击而破坏等。
这些破坏是使机械和工程构造丧失工作能力的主要原因。
所以，材料力学还研究材料的疲劳性能、蠕变性能和冲击性能。
材料力学根本公式〔解决问题方法〕： 一、应力与强度条件 拉压：[]σσ≤=maxmax AN平衡微分方程〔1〕几何方程〔2〕物理方程〔3〕成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于构造力学，后来随着计算机的开展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个剪切：[]ττ≤=AQ max挤压：[]挤压挤压挤压σσ≤=AP圆轴扭转：[]ττ≤=W tTmax 平面弯曲： ①[]σσ≤=maxzmax W M②[]max t max t maxmax σσ≤=y I M z t max c max maxy I Mzc =σ[]cnax σ≤ ③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max斜弯曲：[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M拉〔压〕弯组合：[]σσ≤+=maxmax zW MA N[]t max t z max t σσ≤+=y I M A N z []c max c z z max c σσ≤-=ANy I M 圆轴弯扭组合： ① 第三强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w2n 2w r34W M M(1)式中的σx 、σy 、σz 、τyz=τzy 、τxz=τzx 、τxy=τyx 为应力分量，X 、Y 、Z 为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u 、v 、w 为位移矢量的三个分量〔简称位移分量〕，εx 、εy 、εz 、γyz 、γxz 、γxy 为应变分量；(3)式中的E 和v 分别表示杨氏弹性模量和泊松比。
固体力学中的非线性问题与分岔的开题报告
固体力学中的非线性问题与分岔的开题报告摘要：固体力学中的非线性问题与分岔是当前研究热点之一，本文主要介绍了非线性问题与分岔的概念、应用领域及其重要性，以及常见的数学方法和数值模拟方法，最后提出了未来的研究方向和建议。
1.引言固体力学是研究固体物体的形变、应力、应变和能量变化等基本规律的学科，具有广泛的理论基础和应用价值。
然而，在材料、结构和装备的设计和使用过程中，往往会遇到非线性问题和分岔现象的挑战，导致其力学性能难以预测和控制，因此非线性问题和分岔的研究具有重要的理论和实践意义。
2.非线性问题与分岔的概念及应用领域非线性问题指的是当系统的输入或输出变化超过某个临界值时，系统的响应不再是线性的，而是表现出明显的非线性特征。
分岔是指系统中的某些参数改变时，稳态解的数量或性质发生改变的现象。
非线性问题和分岔通常会导致电力系统失稳、材料强度降低、结构破坏等问题。
在工程实践中，非线性问题和分岔的应用领域非常广泛，例如在材料工程中，非线性问题和分岔对于材料的疲劳寿命和塑性变形行为的预测和控制具有重要的意义；在结构工程中，非线性问题和分岔对于结构的稳定性、屈曲承载力以及振动特性的分析和设计也具有重要的作用。
3.常用数学方法和数值模拟方法常用的数学方法包括：分岔理论、幂函数展开法、双曲正切法等。
其中，分岔理论是研究分岔现象及其机制的基本方法，它将系统的稳态解的数量和质量建立在系统参数的单值函数关系上，从而得到分岔形成和稳定性的解析表达式。
幂函数展开法和双曲正切法则是处理非线性微分方程的一种有效方法，能够求得系统的某些特殊解。
数值模拟方法包括：有限元法、边界元法、网格方法、蒙特卡罗方法等。
其中，有限元方法是一种数值求解偏微分方程的常用方法，适用于任意复杂的结构体系，能够精确得出结构的应力、变形和稳定性等信息。
边界元方法则是一种针对边界值问题的数值求解方法，能够求解出系统表面的应力和位移分布等信息。
4.未来的研究方向和建议未来的研究方向和建议包括：(1)开展材料的非线性力学实验研究，加深对材料非线性变形及其与强度之间本质联系的理解。
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。对于某一固定时刻t这种变换可以表示为
* 拉各朗日（Lagrange）描述
t
xi t xi ( 0 x1, 0 x2 , 0 x3 )
基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标 为基本未知数，描述各个量。 根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是 单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单值连续的 * 欧拉（Eular）描述
t
t 0 ji
T
t 0
S ji
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计算固体计算力学
各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒：
t
0
0
V
dV
t
t
V
dV
t
0
V
det( 0 t xi , j ) dV
0 det( t xi , j ) 0 t 0 t 0 t t t t （2） 0 Tji t t x j , m mi ， ji 0 0 x j , m 0Tmi t 0 t t t t 0 0 t （3 ） t S x x Smn x x ji 0 j , m 0 i , n 0 0 0 ji t j ,m t i,n mn ， t
其中：
不能求解
uk
--现实位移分量的变分； --应变的变分； --在现实位形内度量的面积载荷 --在现实位形内度量的体积载荷
t
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计算固体计算力学
第三节 大变形情况下的本构关系
等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以用三 种等效的方法描述应力和应变之间的关系
ij Dijkl kl
W ij ij
W
1 Dijkl ij kl 2
ij t
Dijkl
kl t
应用于弹性以外的情况，得到三种不再等效，但具
第一节 引言
小变形假设，包含两个方面内容： 一是假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度， 在此前提下，建立结构或微元体的平衡条件时可以不考虑物体 的位置和形状（简称位形）的变化，因此分析中不必区分变形 前和变形后的位形，即如我们通常习惯上所用的以变形前位形 描述变形后的平衡位形。 二是假定在加载和变形过程中的应变可用一阶微量的线性 应变进行度量，即应变与位移成一阶线性关系。
10
计算固体计算力学
t t ij
1 2
t t i ,j
t u t t uj i, t t u k i, t u k j,
应变和位移的关系
t 0 ij
1 2
t 0
ui ,j 0t uj ,i 0t uk i, 0t u k , j
当位移很小时，位移导数的二次项可以忽略，有
2t 0
应变能函数
建立的是kirchhoff应力张量和Green应变张量之间的关系。
t
ij tt Dijkl tt kl
t t
Dijkl
0
t t t t t x x D x 0 i , m 0 j , n 0 mnpql 0 k , p 0 xl ,q
建立的是Euler应力张量和Almansi应变张量之间的关系。
式中：
t
J ij --真应力速率张量；
t
kl --真应变速率张量。 e
21
计算固体计算力学
第四节 大位移变形弹性理论的变分原理基础
22
计算固体计算力学
第五节 几何非线性问题分析的有限元法
几何非线性问题通常采用增量的方法
一、虚位移原理（虚功原理）
时间0物体各点的坐标、位移： 时间t物体各点的坐标、位移：
5
计算固体计算力学
第二节 大变形条件下应力和应变的度量
一、应变的度量
0时刻
0
xi (i 1, 2,3)
0
P点坐标： 0 xi
0 x d xi Q点坐标： i
t时刻
t
xi (i 1, 2,3)
t
P点坐标： xi Q点坐标： xi d xi
t t
6
计算固体计算力学
t 0 将物体位形的变化看成从 xi 到 xi 的一种数学上的变化
t 0 ij
tt ij ij
t 0 ij
由
t
ds 0ds
2
2
0
tt ij 0
所以物体为刚体运动的必要条件和充分条件是Green应变张量 和Almansi应变张量各分量为零。
11
计算固体计算力学 二、应力的度量
在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出ห้องสมุดไป่ตู้元体建立平衡
0
t dTi ( K ) 0 x t i , j dTj
13
计算固体计算力学
Lagrange规定
t
Kirchhoff规定
ij 变形后位形的应力分量，则
t
dTi ij v j dS
t t t
面积微元上法 线方向余弦
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计算固体计算力学
0 t dTi ( L) 0 Tji 0v j 0dS t dTi
t 0
Sij 0t Dijkl 0t kl
在小应变情况下
式中：
t 0
Sij --Kirhhoff应力张量；工程应力
t 0 ij t 0
--Kirhhoff应力张量；工程应变
19
Dijkl --常数弹性本构张量
计算固体计算力学
大应变 连续介质力学利用超弹性来表征这种材料特性。
t 0
W Sij t 0 ij 0t ij
--Almanasi（阿尔曼西）应变张量
它用变形后坐标表示的。 二者之间的关系
t t ij 0 t 0 x x t k ,i t l , j 0 kl t 0 ij
0t xk ,i 0t xl , j tt kl
位移场为
t
t
ui t xi 0 xi
其中： ui --变形前的位形到变形后的位形的位移。
t 0 ij
1 t ( 0 xk ,i 0t xk , j ij ) 2
t t ij
1 0 ( ij 0 x t k ,i t xk , j ) 2
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计算固体计算力学
t 0 ij
--Green-Lagrange应变张量(Green应变张量）
它用变形前坐标表示的。
t t ij
t 0 t ( t ds)2 ( 0ds)2 d t xk d t xk d 0 xk d 0 xk d t xk d t xk 0 x d x x d xj t k ,i i t k, j 0 ( ij 0t xk ,i 0 xk , j )d t xi d t x j 2 tt ij d t xi d t x j
方程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单
元体定义应力张量—欧拉应力张量， ij 。
t
如果应变是用变形前的坐
标表示的Green应变张量，则 需要定义与之对应的关于变
形前位形的应力张量。
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计算固体计算力学
变形后表面上的应力：
t
t
dT t dS
变形前表面上的应力：
0
dT 0 dS
计算固体计算力学
博士研究生课程
计算固体力学
课程编号：017090
王生楠，谢伟
西北工业大学 航空学院
1
计算固体计算力学
第四章 几何非线性问题及其有限元求解 大变形条件下的应力和应变的度量 几何非线性问题的表达格式 大位移非线性弹性理论的变分原理 几何非线性问题的有限元分析 结构稳定性和屈曲问题
2
计算固体计算力学
t 0 ji
T
：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称
0
t dTi ( K ) 0t S ji 0v j 0dS 0 x t i , j dTj
t 0
S ji ：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称
左上标t表示应力张量是属于变形后位形的，左下标0 表示此量是在变形前位形内度量的。 应力张量 ij
t tV
t t t tt dV t f k uk
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计算固体计算力学
t t
t tV
t t ij t t eij dV
t t t t k t tV
t t t uk dS
t t
t tV
t t t tt dV t f k uk
有不同普遍意义的本构关系。连续介质力学将它们分别
称为弹性、超弹性和拟弹性。
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计算固体计算力学
大变形问题分为： 大位移、大转动和小应变问题——变形很大，但应变 很小，甚至保持在弹性应变范围内。 大位移、大转动和大应变问题——应变很大，从材料 角度考虑，分为弹性问题和塑性问题。 弹性
小应变 应力和应变关系是一一对应的。在小应变情况下，这种关系 是线性的。在大应变条件下，这种关系是非线性的。
0
需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：
•Lagrange规定：变形前面积元上的内力分量和变形后面积元上的内力
分量相等。
0
dTi ( L) t dTi
•Kirchhoff（克西霍夫）规定：变形前面积元上的内力分量和变形后面
0 0 t 积元上的内力分量的变换与坐标变换 d xi t xi , j d x j 一致。
3
计算固体计算力学
第一节 引言
几何非线性问题：
板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚