物理学中的平面和球面问题
球体被平面截下的体积-概述说明以及解释
球体被平面截下的体积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述球体被平面截下的体积是一个有趣而又实用的几何问题。
我们常常可以在生活中看到球体被平面截下的例子，比如切割水果或者切开一个球形蛋糕等等。
研究球体被平面截下的体积不仅涉及到基本的几何知识，还涉及到数学、物理等多个学科的知识。
这个问题既有理论上的求解方法，也有实际应用上的价值。
在本文中，我们将介绍球体的基本性质，探讨平面截下球体的体积计算方法，并探讨这个问题在实际应用中的意义。
首先，我们将回顾一些基本的几何概念和公式，以便更好地理解后续的内容。
然后，我们将详细介绍球体被平面截下的体积的计算方法，包括几何推导和解析几何方法。
最后，我们将探讨这个几何问题在现实生活中的应用，比如在建筑设计、工程计算以及科学研究中的应用。
本文的目的是帮助读者全面理解球体被平面截下的体积这个复杂的几何问题，并能够运用所学知识解决实际的问题。
通过学习本文，读者将能够掌握求解球体被平面截下的体积的计算方法，了解这个问题在实际应用中的意义，以及对未来研究的展望。
在下面的章节中，我们将一步步地介绍球体被平面截下的体积的计算方法，并提供实际应用中的例子来帮助读者更好地理解和应用所学知识。
希望本文能对读者在几何学和应用数学的学习中起到积极的促进作用。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言中，将对本文的研究主题进行概述，介绍球体被平面截下的体积的基本背景和相关问题。
同时，还将介绍本文的目的，即通过研究球体被平面截下的体积计算方法，探讨其实际应用与意义。
在正文部分，首先会介绍球体的基本性质，包括球体的定义、特点以及基本公式。
然后，将详细说明平面截下球体的体积计算方法，包括具体的数学推导和计算过程。
此外，还会探讨不同情况下的特殊情况和计算方法，提供更全面的研究结果。
最后，在结论部分，将对本文的研究进行总结，回顾讨论的主要内容和研究成果。
与球有关的切接问题
切线长度与角度关系
在某些情况下，可以利用切线长度与相关角 度的关系来求解问题，例如在计算球的表面 积和体积时。
05
球体与平面相截
截面的形状
01
02
03
04
圆形
当平面与球面平行时，截面为 圆形。
椭圆
当平面与球面相交时，截面为 椭圆。
抛物线
当平面与球面相切时，截面为 抛物线。
线段
当平面与球面相切于一点时， 截面为线段。
详细描述
切线长度等于球半径，因为切线与半 径在切点处垂直相交。利用勾股定理， 可以计算出切线的长度。
03
球体与曲面相切
切点在球面上的位置
切点位于球面上的大圆上
当球体与曲面相切时，切点位于球面上 的大圆上，即球心与切点的连线与球面 垂直。
VS
切点位置与球心位置有关
球心的位置决定了切点的位置，球心位于 曲面上时，切点即为曲面与球面的交点。
切点在球面上的位置
总结词
切点是两球体相切的点，它在每个球的球面上。切点的位置可以通过两球心和切 点形成的平面确定。
详细描述
切点是两球体相切的点，它位于每个球的球面上。通过确定两球心和切点形成的 平面，可以确定切点在球面上的具体位置。
切线长度的计算
总结词
切线长度是连接切点和球心线段的长 度，可以通过勾股定理计算得出。
与球有关的切接问题
目录
• 球体与平面相切 • 球体与球体相切 • 球体与曲面相切 • 球体与空间曲线相切 • 球体与平面相截
01
球体与平面相切
切点在球ห้องสมุดไป่ตู้上的位置
切点位于球面上
当球体与平面相切时，切点是球面与平面的唯一交点，因此切点必定位于球面 上。
球面波与平面波的区别及应用
球面波与平面波的区别及应用球面波与平面波是物理学中常见的两种波动形式。
虽然它们都是波动现象，但在实际应用中，它们具有明显的区别，并且在不同领域都有着重要的应用。
首先，球面波和平面波在空间分布上有着显著的差异。
球面波是从波源点向四面八方扩散开来的，波前呈球面状。
而平面波则是波源沿着一个平面上的无限远点均匀扩散的，波前呈平面状。
这种差异导致了它们在传播过程中的特性不同。
其次，球面波和平面波在波阵面上也有着区别。
球面波的波阵面是球面，也就是说，在单位时间内，波源点附近的每个点都是波前上的一个波阵面。
相比之下，平面波的波阵面则是平面，也就是说，在单位时间内，无论距离波源远近，波前上的每个点都是波阵面上的一个点。
这种波阵面的性质决定了球面波和平面波的传播方式不同。
具体来说，在球面波的传播过程中，波前上的每个点都可以看作是一个次波源，这些点分别向外辐射出新的波源。
这样，球面波在传播过程中会不断减弱，波幅递减，而波前的形状始终呈现为球面。
球面波在实际应用中具有很多重要的特性，例如它在声波的传播、成像等领域有着广泛应用。
而平面波的传播过程中，波前上的各个点都同时作为波源，向周围空间辐射出新的波面。
由于波阵面是平面，因此平面波在传播过程中保持波幅不变，呈现出平行且平直的特点。
这种特性使得平面波在光学、无线通信以及电磁波传播等领域得到广泛应用。
除了在传播特性上的差异，球面波和平面波在应用中也有着不同的优势。
球面波的辐射特性使得它在声波传播和声学成像方面有重要作用。
例如，在医学超声波成像中，医生通过对患者身体进行扫描，利用球面波的特性将内部结构转化为可视化的图像。
这在疾病的诊断和治疗中起到了关键作用。
而平面波的特点使得它在无线通信和电磁波传播等领域成为理想的选择。
在无线通信中，平面波的平行性可以保证信号的传播方向一致，减少了信号的传输损耗和干扰。
在电磁波传播中，平面波的特性使得它能够方便地用于天线设计和电磁波的辐射分析。
球体的性质及其在物理学中的应用
球体的性质及其在物理学中的应用球体是一种几何体，具有一些独特的性质和特点。
它在物理学中被广泛应用，包括力学、光学、电磁学等各个领域。
本文将介绍球体的性质以及它在物理学中的应用。
一、球体的性质1. 几何性质球体是一种由半径相等的点构成的三维几何体。
它的表面由无数相等的点构成，这些点到球心的距离相等。
球体没有尖角和棱角，表面是光滑的。
2. 表面积和体积球体的表面积和体积是其重要的性质。
表面积公式为S = 4πr²，其中r为球体的半径。
体积公式为V = (4/3)πr³。
这些公式在计算物体的表面积和体积时非常有用。
3. 等离子球体等离子球体是一种特殊的球体，由带电粒子云团组成。
等离子球体在物理学实验中得到广泛应用，特别是等离子体物理研究中。
二、球体在力学中的应用1. 球体的运动在力学中，球体的运动是经常研究的课题之一。
由于球体的对称性，它在滚动、转动和抛体运动等方面表现出独特的特点。
球体在斜面上滚动、投掷、弹跳等运动是力学教学中的经典案例。
2. 球体的受力分析球体的受力分析对于研究物体在力学中的运动非常重要。
在球体的受力分析中，常常涉及到重力、弹力、摩擦力等力的作用。
通过对球体的受力分析，可以计算其加速度、速度、位移等运动参数。
三、球体在光学中的应用1. 球面镜球面镜是由球体的某一部分形成的光学元件。
它可以分为凹面镜和凸面镜。
凹面镜可以使光线发散，而凸面镜可以使光线集中。
球面镜在光学仪器、眼镜和望远镜中得到广泛应用。
2. 球体折射当光线通过球体表面时，会发生折射现象。
球体的曲率半径和折射率会影响光线的折射轨迹。
球体折射在透镜和眼球的光学系统中起到关键作用。
四、球体在电磁学中的应用1. 静电场球体是研究静电场分布的常见对象。
根据球体的对称性，球体上的电场分布可以通过球面上的电势分布来分析。
球体的电势分布和电场强度对于静电学的研究非常重要。
2. 球形天线球形天线是一种常见的天线形式，广泛应用于通信和广播领域。
空间几何的球面与平面的位置关系
空间几何的球面与平面的位置关系在空间几何中，球面和平面是常见的几何对象。
它们在空间中的位置关系非常重要，并且对于几何的研究和应用都有着重要的影响。
在本文中，我们将探讨球面与平面的位置关系，并分析它们之间的几何特性。
一、球面的定义与性质首先，我们先来了解一下球面的定义与性质。
球面是由空间中任意一点到某一确定点的距离等于常数的点的集合。
通常，这个确定点被称为球心，而常数被称为半径。
球面具有以下几个重要的性质：1. 球面上任意两点之间的距离等于球心到这两点的距离的差值；2. 球面上的任意一点都位于球心到该点的直径上；3. 球面上所有点到球心的距离都相等。
二、平面的定义与性质接下来，我们来了解一下平面的定义与性质。
平面是由空间中无数个不共线的点组成的集合。
平面具有以下几个重要的性质：1. 平面上的任意两点都可以确定一条直线；2. 平面上的三个点不共线，可以确定一个唯一的平面；3. 平面上的任意直线与平面上的任意点，都处于同一个平面上。
三、球面与平面的位置关系有了对球面和平面的定义与性质的了解后，我们现在来探讨一下它们之间的位置关系。
球面和平面之间有四种可能的位置关系：1. 相离：球面与平面没有任何交点，它们完全没有交集。
2. 相切：球面与平面有且只有一个交点，这个交点位于球面的外切点或者内切点。
3. 相交：球面与平面有多个交点，但不相切。
它们的交点形成一个圆或者椭圆。
4. 平面包含球面：平面与球面相交，且球面完全被平面所包含。
根据以上四种位置关系，我们可以得出以下结论：1. 当球心位于平面上时，球面与平面相交。
2. 当球心位于平面上方时，球面与平面相交，且交点形成一个圆。
3. 当球心位于平面下方时，球面与平面相离。
4. 当球心与平面距离等于球的半径时，球面与平面相切。
四、球面与平面的几何特性除了位置关系之外，球面与平面还有一些重要的几何特性。
1. 切线：平面与球面相切时，与球面交点处的切线垂直于球面。
2. 切平面：过球面上的任意一点，可以作一个平面，这个平面与球面相切。
高中物理中的光学问题与解析
高中物理中的光学问题与解析高中物理课程中，光学是一个重要的学习领域，涵盖了许多有趣和实用的问题。
本文将介绍一些在高中物理学习中常见的光学问题，并提供解析和讨论。
1. 光的折射与折射定律光的折射是指当光线从一种介质进入到另一种介质时，由于光速在不同介质中的差异导致光线的弯曲现象。
此时，根据折射定律，入射角、折射角和两种介质的折射率之间存在一定关系。
例如，当光线从空气射入水中时，光线会向法线弯曲，并且折射角小于入射角。
2. 凸透镜与凹透镜凸透镜与凹透镜是光学中常见的光学工具。
凸透镜可以聚焦光线，使得通过它的光线会汇聚到一点，称为焦点。
而凹透镜则会发散光线，使得通过它的光线似乎来自于一个共同的点。
光的折射定律和薄透镜公式是解析凸透镜与凹透镜的重要工具。
3. 光的颜色与光的分光学光的颜色是由光的波长决定的，不同波长的光呈现出不同的颜色。
光的分光学研究了光的分解和合成。
例如，经过三棱镜后，可以将白光分解成一系列不同颜色的光谱。
此外，彩色滤光片和反射体也能够影响光的颜色。
4. 光的干涉与衍射光的干涉和衍射是光学中非常有趣的现象。
干涉是指两束光线相遇形成明暗条纹的现象，其中包括杨氏双缝干涉和薄膜干涉等。
衍射是指光通过一个小孔或者物体边缘后的扩散现象。
这些现象都可以通过惠更斯-菲涅耳原理进行解释。
5. 光的偏振与偏振光光的偏振是指光的振动方向在一个平面上的特殊现象。
偏振光在许多光学应用中发挥着重要的作用，如偏振墨镜和液晶显示器。
线偏振光的产生和检测方法是光学中的重要理论和实践问题。
6. 光的反射与镜像光的反射是指光线从一个介质边界反射回来的现象。
根据反射定律，入射角和反射角相等。
镜面反射是光的反射中最常见的一种形式，其特点是镜面上光线的入射角和反射角相等。
镜像是由光的反射形成的，包括平面镜像和球面镜像。
总结：光学问题在高中物理学习中占据重要地位，涵盖了折射、透镜、颜色、干涉、偏振、反射等多个方面。
通过解析这些问题，我们可以更深入地理解光的性质和行为。
拓扑理论及其在物理学中的应用
拓扑理论及其在物理学中的应用拓扑理论是数学中的分支学科之一，也是近年来备受关注的热门研究领域。
本文将介绍拓扑理论的基本概念及其在物理学领域中的应用。
一、拓扑理论的基本概念1. 拓扑空间拓扑空间是指一个集合S与S上的拓扑结构构成的一种数学对象。
这里的拓扑结构指的是定义在该集合上的一种满足一定规则的集合族，它描述了元素之间的关系。
在拓扑空间中，不同元素之间可以有不同的关系，例如相邻、内含、重叠等。
2. 概念的等价性拓扑理论中一个基本的概念就是等价性。
在拓扑学中，两个拓扑空间是等价的，当且仅当它们是同胚的。
同胚是指保持空间内元素之间关系不变的一种映射。
3. 拓扑不变量拓扑不变量是指在同胚下保持不变的量。
例如，欧式空间中的平面和球面就是不同的物体，它们具有不同的拓扑不变量：平面没有洞而球面有一个洞。
二、拓扑理论在物理学中的应用1. 拓扑相变近年来，拓扑理论在凝聚态物理学领域中的应用备受关注。
拓扑相变是指材料在外界条件（如温度、压力、磁场等）改变的过程中，微观结构中的拓扑结构发生变化，从而导致材料的物理性质发生剧烈变化的现象。
例如，拓扑绝缘体在外界调控下可以变成拓扑金属，这是一种新型的物态，具有良好的导电性和自旋极化性。
2. 拓扑序拓扑序是指在材料中微观结构的拓扑性质可以延续到宏观物理性质中的现象。
拓扑序的产生需要物理系统中存在一定的对称性保护，这种对称性一旦被打破，拓扑序也会随之消失。
例如，磁性质和不对称性可以保护拓扑序的存在，因此拓扑序在磁性材料和非晶态物质中经常被观察到。
3. 拓扑量子计算在量子计算中，拓扑量子计算是指利用拓扑结构来存储和操作量子信息的方法。
拓扑量子计算利用拓扑序来保护量子信息，从而克服了传统量子计算中因环境干扰和噪声导致的量子信息失真的问题。
目前，拓扑量子计算仍处于实验阶段，但其潜在的应用前景已经引起了人们的极大关注。
三、结语拓扑理论作为一门独立的学科，以其独特的思想和方法，深入到了数学、物理学、计算机科学等多个领域。
八年级上物理镜像知识点
八年级上物理镜像知识点在物理学中，镜像依据其形成方式可分为平面镜和球面镜两种，其中平面镜是指其反光面是平面的镜子，球面镜则是指其反光面为球面的镜子。
在本篇文章中，我们将学习关于平面镜和球面镜的知识点，以帮助大家更好地理解和掌握镜像的相关概念及应用。
一、平面镜1. 镜像所谓镜像，即指物体在被平面镜反射后形成的图像，它与原物体在大小、形状、位置等方面都完全对称。
其中，称为虚像的图像则是在镜子后方形成的，而实像则是在镜子前方形成的。
2. 成像规律对于平面镜而言，其成像规律可以通过如下公式来表述：s_1/s_2 = u_1/u_2 = -i_1/i_2其中，“s”代表物距，即物体与镜面的距离，“u”代表物距，即物体与平面镜的单位长度，“i”代表像距，即像与平面镜的距离。
该公式依据物体与镜面的位置关系及反射原理而得出，可以帮助我们预测物体的成像位置及大小。
3. 物像关系在平面镜成像中，物体和像的关系可以通过如下公式推导得出：h_1/h_2 = i_2/i_1 = s_2/s_1其中，“h”代表高度，即物体或像的高度，“i”代表像距，即像与平面镜的距离，“s”代表物距，即物体与平面镜的距离。
二、球面镜1. 焦距在球面镜形成的像中，焦距是一个非常重要的概念。
具体而言，焦距是指将光线汇聚到一点所需的球面镜与焦点的距离，而其具体值则是根据球面镜半径及介质折射率等因素来决定的。
2. 成像规律球面镜的成像规律与平面镜相比要复杂许多。
其中，凸透镜成像的公式可以通过下式进行计算：1/f = 1/u + 1/v = (n-1) (1/R1-1/R2)而凹透镜的成像公式则是：1/f = 1/u - 1/v = (n-1) (1/R1-1/R2)其中，“f”代表焦距，“u”代表物距，“v”代表像距，“n”代表介质折射率，“R1”代表凸透镜和凹透镜的前半部分曲率半径，“R2”则代表后半部分曲率半径。
3. 物像关系在球面镜成像中，物体与像之间的位置关系可以通过如下公式得出：h_1/h_2 = v/u = -q/p其中，“h”代表高度，“v”代表像高，“u”代表物高，“q”代表像方焦距，“p”则代表物方焦距。
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物理学中的平面和球面问题摘要：平面和球面是空间两种特殊曲面，平面不弯曲，球面均匀弯曲，形态优美，性质特殊在我们日常生活的三维世界中几乎所有物体都可以分解出平面和球面。
在物理学中，平面和球面也是我们遇到最多的理想问题。
本论文属于物理学中各学科之间的综述类型，分别从三个方面几何，光学和电学的角度论述了平面和球面模型以及相互之间的关系。
关键词:平面；球面；几何；电学；光学 1.几何问题1.1几何中平面的定义日常生活中常见的桌面，平静的水面都可以近似为平面，但在科学家的眼中，平面又是如何被描述的呢？早在两千多年以前，欧几里得在《几何原本》就曾提到: 平面是它上面的线一样地平放着的面 .然而，人类视野的不断开阔，平面的描述也在随之改变。
在解析几何中，平面定义为与固定点()000z y x ，，连线垂直于固定方向的所有点的集合。
平面的三个特点是①平直②无薄厚之分③无限延展(没有边界) .平面是由日常生活中（例如镜面，大地，墙壁等）实物中引出来的，但是又不同于这些实物。
1.2平面的表示平面是二维的，用平面直角坐标系来表现，平面上的任一点可表为（x ，y ），任何一个面都可以由空间中三个点来确定。
1.3几何中球面的定义空间中到固定的点距离等于固定的长度的所有点够成的图像叫做球，固定的点叫做球心，半圆沿着直径旋转一周形成的曲面称为球面。
球心到球面上任一点的连线叫做半径。
球体是由连续曲面组成的立体图形，球面所围成的几何体称为球体。
用一个平面去截球体，所截出的截面是圆面。
球的截面的特点是：（1）球心和圆面圆心的连线垂直于圆面。
（2）假设截面半径为r,球心到截面的长度设为d ，球体的半径R 满足关系：2r =2R -2d 。
半径为R 的球的体积是：V=（4/3）π3R 。
半径是R 的球的表面积计算公式是：S=4π2R 。
1.4球面的表示（1）空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，半径为R 的球面的方程为 ： 2222y x R z =++ (0≤θ≤2π，0≤φ≤π) （2）用球坐标来表示半径为r 的球面: x=0x +r Φcos sin θ y=0y +r Φsin sin θz=0y +r θcos （θ的取值范围:0≤θ≤ 2∏和 -∏<φ≤∏)1.5平面几何和球面几何的共同点：表一 平面几何和球面几何的共同点平面几何球面上的几何直线两点之间距离最短的道路三角形的性质边长长的一边对应的角度也最大，边长短的一边对应的角度最小三角形全等的条件SSS ，SAS ，ASA通过上述的表格，我们可以看出平面几何和球面几何有很多相似同处，这说明它俩应该有某种内在的联系。
我们知道球面三角形的面积公式为把这个公式改写成（1.5.1）（1.5.1）式左端∏-∠+∠+∠C B A 被称之为球面三角形的角超，它所体现的是两种几何之间的差距。
平面几何中，三角形的三内角之和为∏，根据角超定义，可得角超为零。
而在球面上的几何中角超大于零。
我们从（1.5.1）式中，不难得出当球面半径R 趋于无穷时（球面逐渐趋向于平面），2R S趋于零，也即角超越来越小，球面三角形的性质逐渐趋向于平面，球面几何的知识逐渐像平面的知识过度。
所以我们得出一个结论：当球面的半径趋于无限大时，球面上的几何极限是平面几何。
因为地球的半径十分大，当我们研究的对象相对于地球半径很小时，三角形的角超很小。
因此，我们在实际情况中可以用平面几何的知识来解决遇到的球面几何问题，这样产生的误差也是很小的。
2.光学问题 2.1平面镜反射平面镜的表面是平整的.平面镜的成像特点是：1.像与物的大小相等。
2.像到平面镜的距离等于物到平面镜的距离。
3.像和物体的连线垂直于平面镜。
平面镜成像规律用一句话表示就是：平面镜所成的像与物体对于镜面来说对称的。
2.2光在球面的反射球面包括两种介质的分界面，光线经球面反射后所成的像，这就叫做球面反射成的像。
反射成像遵循的是光的反射定律。
作图时可依据三条特殊的光线：(1)与主轴平行的入射光线经球面反射后汇聚在焦点。
(2)过焦点的入射光线经球面镜反射之后平行于主轴。
(3)经过球面镜中心的入射光线会沿入射路径反射回去。
图一 平面镜成像2.3符号法则(1)线段长度从顶点开始测量，假如某光线与主轴的交点在顶点右边，则此线段的长度大于零，如果某光线与主轴的交点在顶点左边，则此线段的长度小于零。
物点和像点到主轴的距离，在在主轴上方时大于零，在主轴下方时小于零。
(2)光线方向所在的角度应从主轴转向光线，角度大小应小于2∏。
从主轴转向某条 图二 球面反射光线时，如果沿顺时针方向在转动，那么角度为正值；如果转动方向沿逆时针，那么角度是负值。
(3)图中出现的所有角度和长度都应该是正值。
比如说l 表示某条线段，其值为负，那么图中标示这条线段的长度应该是-l,而不是l.为了方便，以下讨论中光线均为自左向右传播。
2.4球面反射的物像公式我们令半径与主轴之间夹角为ϕ，在近轴光线前提下，ϕ极其小，那么cos ≈ϕ1。
可推倒球面反射的物像公式为:rs 21s 1'=+ 从上式中可以看出，如果给定一个球面，则r 确定，s 与s'是一一对应的.那么就存在确定的像点，此像点是理想的，被叫做高斯像点。
s 称为物距，s ’称为像距。
上式是从凹面镜中得到的结果，但也同样适合于凸面镜。
并且在近轴光线情况下无论s 的数值是多少，都可以普遍得到应用。
利用这个公式时，必须注意符号法则。
当s=∞-时，得出s ’=r/2.平行于主轴方向的入射光线由球面镜反射后，会聚在焦点处，在主轴上，被叫做像方焦点。
焦点到顶点之间的长度，称为焦距，用f ’来表示。
有上述关系可见2r 'f =f ’的符号取决于r ，亦遵守符号法则。
于是：'11's 1f s =+ 上述公式把物距和像距联系在一起，称为球面反射的物像公式。
无论对于凹球面或凸球面，无论s ，s ’，f ’的数值大小，是正的还是负的，只要在近轴光线的条件下，上式都是球面反射成像的基本公式。
2.5横像放大率All ’u ’P C P ’ -s ’ O-r-s图三 球面反射成像图如图所示，AP 为y ，A ’P ’为-y ’。
三角形APC 相似于三角形A ’P ’C ，则可推算出：ss y ''y -=，横向放大率定义为：β=y'y β符号的含义：0〉β, y 与y '同号,站立方向相同, 成正立的像；0〈β, y 与y '异号,站立方向不同, 成倒立的像。
绝对值含义：〉β 1, 'y 〉y , 像比物大, 称为放大； β〈1, 'y 〈y , 像比物小, 称为缩小由球面反射的物像公式和横向放大率就可以推倒出球面镜成像情况，凹镜成像情况，表3所示；凸镜成像情况，表3所示。
表2 凹镜成像情况表3 凸镜成像情况当 r ∞→ ∴01's 1=+s∴s ’=-s 成为平面镜成像的情况。
“－”说明：物像分居球面两侧。
s 与-s 的绝对值相同，说明物到镜面的距离等同于像到镜面的距离 。
又1s''y =-==s y β ， ∴成等大正立的像。
3.电学问题3.1点电荷与导体平面如图所示，有一点电荷Q,距Q 为a 处有一无穷大接地导体平面。
从理论上，在点电荷Q 的场作用下，导体面感应出感应电荷，所以空间的电场是由点电荷Q 和感应电荷共同激发出来的。
由于静电屏蔽，左半空间电场强度为零，所以只需要求右半空间场强。
假设Q 为正，那么感应电荷为负的。
感应电荷是在总的电场作用下达到平衡的结果，平衡条件就是导体的静电平衡条件，也就是导体表面为等势面。
边界条件应该是：图四 点电荷与导体平面 ϕ=常数（导体面上) （3.1.1） 或者说，电场线必须与导体平板垂直。
怎样才能满足这一边界条件呢？我们用一假想的电荷来代替感应电荷对空间电场的作用，而且仍然满足边界条件。
如图所示，设想在导体板左方与Q 对称的位置上放一个假想的电荷Q ’,再把导体板移开。
不难看出，倘若Q ’=-Q 。
则假想电荷Q ’与给定电荷Q 激发的总电场如图所示，由对称性容易看出，在原导体平面上，电场线出处与它正交，因而边界条件得到满足。
可见，导体板上的感应电荷在右半空间激发的电场确实可以用一个假想电荷Q ’来替代，Q ’称为Q 的像电荷。
图五 点电荷与导体平面()⎪⎭⎫⎝⎛∏='0r -r 41Q Q P εϕ (3.1.2)其中r 为Q 到观察点P 的距离，r ’为Q ’到观察点P 的距离。
3.2点电荷与球面3.2.1点电荷Q 与接地导体球R如图所示，真空中有一半径为0R 的接地导体球，距球心为a图六 点电荷与导体球 （a>R 0）处有一点电荷Q 。
怎样求空间各点的电势？ 取坐标系原点球心O ，球心到点电荷Q 的方向为z 轴，点电荷Q 的坐标是（0.0.a ），求解区域以球面为界分为两部分，球内区域电势为零，故只需求球外区域的电势分布。
球外电势满足边值问题oθ(,)P r θ(00)a (a)z y x q-2a -=∇，，（δεϕ （3.2.3）00==R R ϕ （3.2.4）0=∞→R ϕ（3.2.5）根据唯一性定理，其解是唯一的。
假设球面上感应电荷对球外电场的贡献用位于球内的假想点电荷Q'代替。
由对称性考虑，Q ’应该在OQ 的连线上，设其坐标为（0.0.b ），由此可以提出尝试解⎪⎭⎫⎝⎛+∏='r 'r 410Q Q εϕ （3.2.6） 显然此尝试解满足基本方程和边界条件。
下面用（3.2.4）来确定像电荷的位置与量值。
在R=R 0处，要求各点的ϕ等于零，于是0'r '=+Q r Q ，即 θθbcos 2-b '-acos 202200220R R Q a R QR +=-+ （3.2.7）将上式改写为））θθacos 2-a ('bcos 2(022020202R R Q R b R Q +=-+ （3.2.8）要使上式对球面上任意θ都成立，必须()22022202')(a R Q b R Q +=+ （3.2.9）a 'b 22Q Q = （3.2.10） 由此可得两组解Q RQ R b a'a 020-==， （3.2.11） Q Q a b -==', （3.2.12） 后一组解表示像电荷Q ’在球外，因而改变了求解区域的电荷分布，故应除去。
而前一组解能满足本问题的所有条件，因此得出球外任一点的电势为： )'a -r 4100r QR Q （εϕ∏=（R>R 0) (3.2.13) 其中δθcos 2-a r 022a R R +=，θcos 2b '022b R R r -+=类比于平面镜或球面镜成像，我们定义0R a s -=，s ’=R 0-ba Rb 20= R R R S S 0200'+=-∴ 即：s-s ’=0'R ss当R∞→时，s=s ’这种情况回归到点电荷与无限大接地导体平面。