1.3.1 二项式定理
首 页 上一页 下一页
末 页
结
束
[活学活用] 3 3 已知在 x－ 3 n 的展开式中，第 6 项为常数项． x (1)求 n； (2)求展开式中所有的有理项．
解： 通项公式为
k k n－k k k k n－2k Tk＋1＝Cnx (－3) x－ ＝Cn(－3) x . 3 3 3
Cna b Tk＋1＝____________
k k n (1＋x)n＝1＋C1 nx＋…＋Cnx ＋…＋x
k n－k k
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[化解疑难]
1．二项展开式的特点 (1)展开式共有 n＋1 项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数 n. (3)字母 a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到为 0，字母 b 的幂指数按升幂排列，从第一项开 始，次数由 0 逐项加 1 直到为 n.
1)3· 22×3－5C3 5＝－20，故选 A.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
a 1 7 2．(湖北高考)若二项式2x＋x 的展开式中 3的系数是 x
84，
则实数 a 等于( A．2 C．1
解析：选 C
) B． 4 2 D． 4
k 7－k ak 7－k k k 7－2k Tk＋1＝C7· (2x) · ＝ 2 C7a · x .令
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
法二：利用二项展开式的通项公式． 1 4 4 2 8－4 － 4 4 20 (1)T5＝C8· (2x ) · 2· x ， 3 ＝C8· 3 x
4 4 则第 5 项的二项式系数是 C4 2 8＝70，第 5 项的系数是 C8·
＝1 120.
2 8－ (2) 展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项， T7 ＝ C 6 · (2 x ) 8
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
求二项展开式中的特定项
[例 2] 共有( )
3 (1)在
1 20 2x－ 的展开式中，系数是有理数的项 2
A．4 项 C．6 项
B．5 项 D．7 项
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
1 x－ 5 (2)(浙江高考)设二项式 3 的展开式中常数项为 A， x 则 A＝________.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[解] 法一：利用二项式的展开式解决． 2 1 1 1 2x － 8 2 2 8 1 2 7 2 2 6 3 (1) ＝ (2 x ) － C (2 x ) · ＋ C (2 x ) · － C 8 8 8 3 3 3 x x x 1 1 1 1 3 4 5 6 4 2 4 5 2 3 6 2 2 (2x2)5· ＋ C (2 x ) · － C (2 x ) · ＋ C (2 x ) · 8 8 8 3 3 3 3 － x x x x 1 1 7 8 2 8 C7 (2 x )· ＋ C 8 8 3 ， 3 x x
结
束
1.3
二项式定理
1.3.1 二项式定理 [导入新知]
二项式定理及其相关概念
二项式定理 二项式系数 通项 二项式定理的特例
n 1 n－1 C0 b＋…＋ 公式(a＋b)n＝____________________ na ＋Cna k n－k k n n C a b ＋…＋ C n nb ，称为二项式定理 _________________ k Cn (k＝0,1，…，n) __________________
1 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 3 ＝ 8[C0 (4 x ) ＋ C (4 x ) ( － 3) ＋ C (4 x ) · ( － 3) ＋ C (4 x )(－ 4 4 4 16x 4 3)
3
54 27 4 4 4 ＋C4(－3) ]＝16x －48x＋ 2 － 5 ＋ x x
81 . 16x8
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
2．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－ 1)．
5 1 4 2 3 3 2 解：原式＝C0 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ 5 5 5 5 5 5 5 5 C4 5(x－1)＋C5－C5＝[(x－1)＋1] －1＝x －1.
5 2
1 5 1 4 1 3 0 x 1 x 2 x ＝ C5 · ( ＋ ＋ C5 · ＋ · 2＋C5 · ＋ ·
2
x
2
x
2
x
2)
2
1 3 x ＋ C5 · ＋
2
x
2
· ( 2)
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[类题通法] 1．(a＋b)n 的二项展开式有 n＋1 项，是和的形式，各项的 幂指数规律是：①各项的次数等于 n.②字母 a 按降幂排列，从 第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从 第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n. 2． 逆用二项式定理可以化简多项式， 体现的是整体思想． 注 意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
[答案] (1)A (2)－10
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[类题通法]
n－k k * 1．在通项公式 Tk＋1＝Ck a b ( n ∈ N ，k＝0,1,2,3，…，n) n
中含有 a，b，n，k，Tk＋1 5 个量，只要知道其中 4 个量，便可 求出第 5 个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系 数的一些问题时，常涉及这 5 个量的求解问题．这通常是化归 为方程的问题来解决． 2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； 而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未 知数的指数恰好是整数的项．
(1)因为第 6 项为常数项， n－2k 所以 k＝5 时，有 ＝0，即 n＝10. 3
首 页 上一页 下一页
末 页
结
束
10－2k∈Z， 3 (2)根据通项公式，由题意得 0≤k≤10， k∈Z. 10－2k 3 令 ＝r(r∈Z)，则 10－2k＝3r，即 k＝5－ r. 3 2 因为 k∈Z，所以 r 应为偶数． 于是 r 可取 2,0，－2，即 k 可取 2,5,8. 故第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为
首 页 上一页 下一页
末 页
结
束
[活学活用]
1 5 2 3 1．(湖南高考)2x－2y 的展开式中 x y 的系数是(
)
A．－20 C．5
B．－5 D．20
k 1 5－k Tk＋1＝C5 x · (－2y)k＝(－
解析：选 A 展开式的通项为
2
5－ k k 2 3 1)k· 2Ck x y ， 令 5 － k ＝ 2 ， 得 k ＝ 3. 则展开式中 x y 的系数为(－ 5
Байду номын сангаас
4 4 3 2 2 3 4 C4 (2 y ) ＝ x ＋ 8 x y ＋ 24 x y ＋ 32 xy ＋ 16 y . 4 n 1 n－1 2 n－ 2 2 (2)原式＝C0 ( x ＋ 1) ＋ C ( x ＋ 1) ( － 1) ＋ C ( x ＋ 1) ( － 1) n n n k n n n ＋…＋Cn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cn n(－1) ＝[(x＋1)＋(－1)] ＝x .
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
2．二项展开式的通项公式的特点 (1)它表示(a＋b)n 的展开式的第 k＋1 项，该项的二项式系
k 数为 Cn .
(2)字母 b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和 b 的次数之和为 n.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
二项式定理的正用、逆用
[例 1]
5
x
7－2k
5 ＝－3，得 k＝5.由 22· C5 a 7 ＝84 得 a＝1，故选 C.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
2.二项式定理破解三项式问题
5 2 [典例] 的展开式的常数项． x 1 5 x 1 [解] 法一：由二项式定理得2＋x ＋ 2 ＝2＋x ＋ x 1 求 2＋x ＋
1 6 6 － 2 · ＝ 112 x . 3 x
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[类题通法] 1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即 2 1 1 2 2x － 8 －2x 8 在 展开式中的倒数第 3 项就是 3 3 展开式中第 x x 1 8－2 3 项，T3＝C2 · · (－2x2)2＝112x2. 8 3 x 2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前 者只与二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 它是一个组合 数 Ck n；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
4 4 则第 5 项的二项式系数为 C4 ＝ 70 ，第 5 项的系数为 C 2 8 8·
＝1 120. 2 1 2x － 8 (2) 由 (1) 中 3 的展开式可知倒数第 3 项为 x 1 6 2 2 2 C6 · (2 x ) · ＝ 112 x . 8 3 x
末 页
结
束
[活学活用] 3 3 已知在 x－ 3 n 的展开式中，第 6 项为常数项． x (1)求 n； (2)求展开式中所有的有理项．
解： 通项公式为
k k n－k k k k n－2k Tk＋1＝Cnx (－3) x－ ＝Cn(－3) x . 3 3 3
Cna b Tk＋1＝____________
k k n (1＋x)n＝1＋C1 nx＋…＋Cnx ＋…＋x
k n－k k
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[化解疑难]
1．二项展开式的特点 (1)展开式共有 n＋1 项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数 n. (3)字母 a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到为 0，字母 b 的幂指数按升幂排列，从第一项开 始，次数由 0 逐项加 1 直到为 n.
1)3· 22×3－5C3 5＝－20，故选 A.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
a 1 7 2．(湖北高考)若二项式2x＋x 的展开式中 3的系数是 x
84，
则实数 a 等于( A．2 C．1
解析：选 C
) B． 4 2 D． 4
k 7－k ak 7－k k k 7－2k Tk＋1＝C7· (2x) · ＝ 2 C7a · x .令
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
法二：利用二项展开式的通项公式． 1 4 4 2 8－4 － 4 4 20 (1)T5＝C8· (2x ) · 2· x ， 3 ＝C8· 3 x
4 4 则第 5 项的二项式系数是 C4 2 8＝70，第 5 项的系数是 C8·
＝1 120.
2 8－ (2) 展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项， T7 ＝ C 6 · (2 x ) 8
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
求二项展开式中的特定项
[例 2] 共有( )
3 (1)在
1 20 2x－ 的展开式中，系数是有理数的项 2
A．4 项 C．6 项
B．5 项 D．7 项
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
1 x－ 5 (2)(浙江高考)设二项式 3 的展开式中常数项为 A， x 则 A＝________.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[解] 法一：利用二项式的展开式解决． 2 1 1 1 2x － 8 2 2 8 1 2 7 2 2 6 3 (1) ＝ (2 x ) － C (2 x ) · ＋ C (2 x ) · － C 8 8 8 3 3 3 x x x 1 1 1 1 3 4 5 6 4 2 4 5 2 3 6 2 2 (2x2)5· ＋ C (2 x ) · － C (2 x ) · ＋ C (2 x ) · 8 8 8 3 3 3 3 － x x x x 1 1 7 8 2 8 C7 (2 x )· ＋ C 8 8 3 ， 3 x x
结
束
1.3
二项式定理
1.3.1 二项式定理 [导入新知]
二项式定理及其相关概念
二项式定理 二项式系数 通项 二项式定理的特例
n 1 n－1 C0 b＋…＋ 公式(a＋b)n＝____________________ na ＋Cna k n－k k n n C a b ＋…＋ C n nb ，称为二项式定理 _________________ k Cn (k＝0,1，…，n) __________________
1 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 3 ＝ 8[C0 (4 x ) ＋ C (4 x ) ( － 3) ＋ C (4 x ) · ( － 3) ＋ C (4 x )(－ 4 4 4 16x 4 3)
3
54 27 4 4 4 ＋C4(－3) ]＝16x －48x＋ 2 － 5 ＋ x x
81 . 16x8
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
2．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－ 1)．
5 1 4 2 3 3 2 解：原式＝C0 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ 5 5 5 5 5 5 5 5 C4 5(x－1)＋C5－C5＝[(x－1)＋1] －1＝x －1.
5 2
1 5 1 4 1 3 0 x 1 x 2 x ＝ C5 · ( ＋ ＋ C5 · ＋ · 2＋C5 · ＋ ·
2
x
2
x
2
x
2)
2
1 3 x ＋ C5 · ＋
2
x
2
· ( 2)
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[类题通法] 1．(a＋b)n 的二项展开式有 n＋1 项，是和的形式，各项的 幂指数规律是：①各项的次数等于 n.②字母 a 按降幂排列，从 第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从 第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n. 2． 逆用二项式定理可以化简多项式， 体现的是整体思想． 注 意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
[答案] (1)A (2)－10
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[类题通法]
n－k k * 1．在通项公式 Tk＋1＝Ck a b ( n ∈ N ，k＝0,1,2,3，…，n) n
中含有 a，b，n，k，Tk＋1 5 个量，只要知道其中 4 个量，便可 求出第 5 个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系 数的一些问题时，常涉及这 5 个量的求解问题．这通常是化归 为方程的问题来解决． 2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； 而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未 知数的指数恰好是整数的项．
(1)因为第 6 项为常数项， n－2k 所以 k＝5 时，有 ＝0，即 n＝10. 3
首 页 上一页 下一页
末 页
结
束
10－2k∈Z， 3 (2)根据通项公式，由题意得 0≤k≤10， k∈Z. 10－2k 3 令 ＝r(r∈Z)，则 10－2k＝3r，即 k＝5－ r. 3 2 因为 k∈Z，所以 r 应为偶数． 于是 r 可取 2,0，－2，即 k 可取 2,5,8. 故第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为
首 页 上一页 下一页
末 页
结
束
[活学活用]
1 5 2 3 1．(湖南高考)2x－2y 的展开式中 x y 的系数是(
)
A．－20 C．5
B．－5 D．20
k 1 5－k Tk＋1＝C5 x · (－2y)k＝(－
解析：选 A 展开式的通项为
2
5－ k k 2 3 1)k· 2Ck x y ， 令 5 － k ＝ 2 ， 得 k ＝ 3. 则展开式中 x y 的系数为(－ 5
Байду номын сангаас
4 4 3 2 2 3 4 C4 (2 y ) ＝ x ＋ 8 x y ＋ 24 x y ＋ 32 xy ＋ 16 y . 4 n 1 n－1 2 n－ 2 2 (2)原式＝C0 ( x ＋ 1) ＋ C ( x ＋ 1) ( － 1) ＋ C ( x ＋ 1) ( － 1) n n n k n n n ＋…＋Cn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cn n(－1) ＝[(x＋1)＋(－1)] ＝x .
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
2．二项展开式的通项公式的特点 (1)它表示(a＋b)n 的展开式的第 k＋1 项，该项的二项式系
k 数为 Cn .
(2)字母 b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和 b 的次数之和为 n.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
二项式定理的正用、逆用
[例 1]
5
x
7－2k
5 ＝－3，得 k＝5.由 22· C5 a 7 ＝84 得 a＝1，故选 C.
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
2.二项式定理破解三项式问题
5 2 [典例] 的展开式的常数项． x 1 5 x 1 [解] 法一：由二项式定理得2＋x ＋ 2 ＝2＋x ＋ x 1 求 2＋x ＋
1 6 6 － 2 · ＝ 112 x . 3 x
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
[类题通法] 1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即 2 1 1 2 2x － 8 －2x 8 在 展开式中的倒数第 3 项就是 3 3 展开式中第 x x 1 8－2 3 项，T3＝C2 · · (－2x2)2＝112x2. 8 3 x 2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前 者只与二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 它是一个组合 数 Ck n；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．
首 页
上一页
下一页
末 页
结
束
4 4 则第 5 项的二项式系数为 C4 ＝ 70 ，第 5 项的系数为 C 2 8 8·
＝1 120. 2 1 2x － 8 (2) 由 (1) 中 3 的展开式可知倒数第 3 项为 x 1 6 2 2 2 C6 · (2 x ) · ＝ 112 x . 8 3 x
合集下载
1.3.1 二项式定理
• 1．3 二项式定理
• 1．3.1 二项式定理
• 1 ．理解用组合知识推导二项式定理，弄 清其运用范围． • 2．理解通项的意义并会灵活应用． • 3．区分项的系数与二项式系数． • 4 ．会正用、逆用定理来解决一些简单的 问题．
• 本节重点：二项式定理的推导及通项公 式． • 本节难点：如何利用计数原理推导出二项 展开式．
(3
x )
解法 2：(化简后再展开)
3
4 1 (3 x ＋ 1) 4 x＋ ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ ＋ 2. x x
2
• [点评] 解法2形式较为简单，在展开二项 式之前应根据二项式的结构特征进行必要 变形，这是使运算求得简化的途径．如求 (1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn ＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方 便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件，对较复杂的二项式，有时先化简再展 开会更简便．
[ 解析 ]
0 n 0 n －1 1 k k n－k 原式＝ C n · 2· 1 －C1 2 · 1 ＋ „ ＋ ( － 1) · Cn2 n
＋„＋(－1)n· Cn 20＝(2－1)n＝1. n·
• [点评] 解决这类问题要注意分析其结构 特点，a的指数是从高到低，b的指数是从 低到高，且a、b的指数和等于二项式的次 数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中， 二项式中的每一项只有两项的乘积，故需 添加“1”凑成二项展开式的形式．
1 求(x ＋x2－2)4 的展开式． 1 2 [解析] (x ＋ 2－2)4 x
• 1．3.1 二项式定理
• 1 ．理解用组合知识推导二项式定理，弄 清其运用范围． • 2．理解通项的意义并会灵活应用． • 3．区分项的系数与二项式系数． • 4 ．会正用、逆用定理来解决一些简单的 问题．
• 本节重点：二项式定理的推导及通项公 式． • 本节难点：如何利用计数原理推导出二项 展开式．
(3
x )
解法 2：(化简后再展开)
3
4 1 (3 x ＋ 1) 4 x＋ ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ ＋ 2. x x
2
• [点评] 解法2形式较为简单，在展开二项 式之前应根据二项式的结构特征进行必要 变形，这是使运算求得简化的途径．如求 (1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn ＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方 便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件，对较复杂的二项式，有时先化简再展 开会更简便．
[ 解析 ]
0 n 0 n －1 1 k k n－k 原式＝ C n · 2· 1 －C1 2 · 1 ＋ „ ＋ ( － 1) · Cn2 n
＋„＋(－1)n· Cn 20＝(2－1)n＝1. n·
• [点评] 解决这类问题要注意分析其结构 特点，a的指数是从高到低，b的指数是从 低到高，且a、b的指数和等于二项式的次 数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中， 二项式中的每一项只有两项的乘积，故需 添加“1”凑成二项展开式的形式．
1 求(x ＋x2－2)4 的展开式． 1 2 [解析] (x ＋ 2－2)4 x
1.3.1二项式定理优秀课件
选做题： 1.求多项式：
2 3 4
(1 x ) (1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
的展开式中 x 的系数. 2.求230除以9所得的余数.
2
5
谢谢指导！
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是
课件2:1.3.1 二项式定理
()
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】二项式(1＋3x)n 的展开式的通项是 Tr＋1＝Crn1n－r·(3x)r＝Crn·3r·xr.依题意得 C5n·35＝Cn6·36，即n（n－1）（n－2） 5！（n－3）（n－4） ＝3×n（n－1）（n－2）（n6－ ！3）（n－4）（n－5）(n≥6)， 解得 n＝7.
本节内容结束 更多精彩内容请登录：
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开； (2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求 解．
解: (1)(2x－23x2)5＝C05(2x)5＋C51(2x)4·(－23x2)＋…＋C55(－23x2)5
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？
答：能，(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnnbn.
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cnran－rbr ＋…＋Cnnbn(n∈N＋) 所表示的规律叫做二项式定理．
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数． (3)展开式中的Crnan－rbr 叫做二项展开式的通项，记作： Tr＋1 ，它表示展开式的第 r＋1 项． (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n ＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn .
展开式具有以下特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)二项式系数：依次为 Cn0，Cn1，Cn2，…，Crn，…，Cnn； (3)每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂、 b 的升幂排列展开； (4)通项是第 r＋1 项．
1.3.1 二项式定理 课件
二.求展开式中的项及项的系数
例2.(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
7
和倒数第四项。 19 (2)求( x ) 的展开式中x3的系数。 x
分析：法1：转化为通项公式来求； 法2：利用组合数知识来求；
四：求有理项
例4 求
x3 x
r 9
1 2
解: Tr 1 C ( x ) ( x )
若令a=1,b=x，则得到：
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
若令a=1,b= -x，则展开式又如何？
(1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
典型题型 分析与研究
一.公式的正用
例1. 用二项式定理展开下列各式：
A.-28 B.-7 C.7 D.28
课堂小结
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n 1 n 1 n r n r r n n n n
———二项式定理
2）区别二项式系数，项的系数
(n N )
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥·＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn
(n∈N*)
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
1.3.1二项式定理
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
1.3.1二项式定理
C54a1b4 C55b5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
练习：展开 2
x
1
6
x
结果参看教材31页例1
二项式定理：
(a＋b
)
n
＝
C 0an＋C n
1an-1b＋C
n
n 2an-2b2＋…＋C
nran-rbr＋…＋
C
n nbn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C nran-rbr ；其中 C nr称为第r+1项的二项式系数。
x
二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnr an－rbr＋…＋ Cnnbn，
在实际运用时注意正确选择a、b。
通项公式Tr+1＝C
nran-rbr
是指第r＋1项，其中
（见例3）
C
nr称为第
r+1项的二项式系数。
注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）
(a＋b)3＝(
a2 a＋b
)(
＝aa＋b ba)b(
b2 a＋b
)
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33b3
共有四项
a3 : 每个括号都不取b的情况有C03 种， 所以a3的系数是 C03
a2b: 相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个； b3 有 C33 个；
3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：
(1+x)n=1+ C1n x+ C2nx2+…+ Crn xr +…+ Cnnxn
练习：展开 2
x
1
6
x
结果参看教材31页例1
二项式定理：
(a＋b
)
n
＝
C 0an＋C n
1an-1b＋C
n
n 2an-2b2＋…＋C
nran-rbr＋…＋
C
n nbn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C nran-rbr ；其中 C nr称为第r+1项的二项式系数。
x
二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnr an－rbr＋…＋ Cnnbn，
在实际运用时注意正确选择a、b。
通项公式Tr+1＝C
nran-rbr
是指第r＋1项，其中
（见例3）
C
nr称为第
r+1项的二项式系数。
注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）
(a＋b)3＝(
a2 a＋b
)(
＝aa＋b ba)b(
b2 a＋b
)
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33b3
共有四项
a3 : 每个括号都不取b的情况有C03 种， 所以a3的系数是 C03
a2b: 相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个； b3 有 C33 个；
3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：
(1+x)n=1+ C1n x+ C2nx2+…+ Crn xr +…+ Cnnxn
1.3 1.3.1 二项式定理课件人教新课标
栏目 导引
第一章 计数原理
求二项展开式中的特定项或其系数
已知
x－2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大
162，求：
(1)n 的值；
(2)展开式中含 x3 的项.
栏目 导引
第一章 计数原理
【解】 (1)因为 T3＝C2n( x)n－2(－2x)2＝4C2nxn－2 6， T2＝C1n( x)n－1(－2x)＝－2C1nxn－2 3， 依题意得 4C2n＋2C1n＝162，所以 2C2n＋C1n＝81， 所以 n2＝81，n＝9. (2)设第 r＋1 项含 x3，则 Tr＋1＝C9r( x)9－r(－2x)r＝(－2)rC9rx9－23r， 所以9－23r＝3，r＝1，所以第二项为含 x3 的项， T2＝－2C19x3＝－18x3.
)
A．80
B．－80
C．40
D．－40
答案：C
栏目 导引
第一章 计数原理
(1＋2x)5 的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项 式系数为________. 答案：40 10
栏目 导引
第一章 计数原理
二项式定理的正用与逆用 (1)用二项式定理展开1＋1x4； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
栏目 导引
第一章 计数原理
【解】 (1)法一：1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4 ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. 法二：1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4·(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1) ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1) ＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1.3.1二项式定理
1.3.1二项式定理
10
3.你能否判断 (3 x
2
1 x
) 的展开式中是否包含常数项?
1 x
20 5r 2
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－
∴
(3 x
2
r 10 2
1
1 r r 10 r Tr 1 C 3 x 1 C10 3 x x 5r 由题意可知， 20 2 0 r 8 常数项即 x 0项. 故存在常数项且为第9项，
常数项即 x 0项.
故存在常数项且为第7项，
1 常数项T 1 C 7 2
6 6 8
8 6
x 7
0
0 1 分析： 9192 (90 1)92 C92 9092 C92 9091 91 92 C92 90 C92
由此可见，除后两项外均能被100整除 91 92 C92 90 C92 8281 82 100 81
所以 9192除以100的余数是81 5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1 （n∈N*）， 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
课后作业：素能综合检测(9）
9 [普通高中课程数学选修2-3]
1.3.1二项式定理
巩固练习: 1.若（2 x 3)4 a0 a1 x a2 x2 a3 x 3 a4 x 4
则 （a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____. 2.求(1 + x + x2)(1－x)10展开式中含 x 项的系数 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
1.3.1二项式定理
变式: 求(x2+3x+2)5展开式中 x 的系数. ∵ (x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5
∴ x 的系数是C50C51 24 C51C50 25=240
熟能生巧
求（1-x3)(1+x)10展开式中x5的系数. 207
小结
1. 二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnnbn 2. 二项展开式的通项: Tr+1= Cnran-rbr
下面分析一下形如a2-kbk的项的个数
a2项，没有b，相当于从２个(a+b)中取 0
个b(即都取a),有C20种取法，即有 C20个a2，即
a2项的系数为：C
0 2
ab项，相当于从２个(a+b)中取 1个b,有
C
1 2
种取法，即有 C21个ab，即ab项的系数为：C21
b2项的系数呢？
问题:以(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4, …,(a+b)n的展开 式中有多少项?每一项有何特点?
④各项次数都等于二项式的次数n,a按降幂 排列,次数由n递减到0，b按升幂排列,次数 由0增到n。
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnn bn
【练习一】 求 展 开 式
1.(1+x)n的展开式是
_1___C__n1_x___C_n2_x_2_______C_n_r x_r_______x_n_.
2. (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1
∴ x 的系数是C50C51 24 C51C50 25=240
熟能生巧
求（1-x3)(1+x)10展开式中x5的系数. 207
小结
1. 二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnnbn 2. 二项展开式的通项: Tr+1= Cnran-rbr
下面分析一下形如a2-kbk的项的个数
a2项，没有b，相当于从２个(a+b)中取 0
个b(即都取a),有C20种取法，即有 C20个a2，即
a2项的系数为：C
0 2
ab项，相当于从２个(a+b)中取 1个b,有
C
1 2
种取法，即有 C21个ab，即ab项的系数为：C21
b2项的系数呢？
问题:以(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4, …,(a+b)n的展开 式中有多少项?每一项有何特点?
④各项次数都等于二项式的次数n,a按降幂 排列,次数由n递减到0，b按升幂排列,次数 由0增到n。
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnn bn
【练习一】 求 展 开 式
1.(1+x)n的展开式是
_1___C__n1_x___C_n2_x_2_______C_n_r x_r_______x_n_.
2. (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1