北师大版高中数学必修1-知识点总结讲解学习

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，

Q 表示有理数集，R 表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集(?).

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

⑼ 集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:

0-1律：

等幂律：

求补律：A ∩?uA =? A ∪CuA =U ?uU =??u?=U

反演律：?u (A ∩B)=(?u A)∪(?u B) ?u (A ∪B)=(?u A)∩(?u B)

第二章函数

§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元

素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同

.;A B B A A B B A Y Y I I ==)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I ==,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U .,A A A A A A ==Y I

时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。

§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式 的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式，就是 .

② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

二、值域：

1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）

例如：① 形如y ＝，可采用 法；② y ＝，可采用

法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －，可采用 法；⑤ y ＝x －

，可采用 法；⑥ y ＝可采用 法等.

§3函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、

而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .

221

x +)32(2312-≠++x x x x -121x -x

x

cos 2sin -

若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 .

2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .

(2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数；

2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ；

3．互为反函数的两个函数有 的单调性；

4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .

5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；若 ，则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质，则 f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则 f

(x ) .

② 简单性质：

1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.

2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；

)()(x f a x f -=+m x f a x f =+)()(a m 0>a )(x f

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期

第三章 指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数

§2 指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数

函数y ＝a x (a>0，a≠1，x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ，

a >0，且a ≠1)的函数称为________函数．

2．分数指数幂

(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，

存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m

，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝m n a ； (2)正分数指数幂写成根式形式：m n a ＝n a m (a >0)；

(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m

n a -＝__________________(a >0，m 、

n ∈N ＋，且n >1)；

(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)a m a n ＝________(a >0)；

(2)(a m )n ＝________(a >0)；

(3)(ab )n ＝________(a >0，b >0)．

§3 指数函数(一)

1．指数函数的概念

一般地，________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．

2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质

)(x f y =)0,(),0,(b a )(x f y =b x a x ==,)(x f

R

§4对数(二)

1．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：

(1)log a(MN)＝________________；

(2)log a M

N

＝________；

(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式

log b N＝log a N

log a b

(a，b>0，a，b≠1，N>0)；

特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．

§5对数函数(一)

1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.

2．对数函数的图像与性质

______

3.

对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．

第四章函数应用

§1函数与方程

1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．

3．方程f(x)＝0有实数根

?函数y＝f(x)的图像与x轴有________

?函数y＝f(x)有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

1.2 利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念

每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)

(1)确定区间[a，b]，使____________．

(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.

(3)计算f(x1)．

①若f(x1)＝0，则________________；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．

(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．