云南省三校生考试复习题(数学)2

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云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷(六)数学试题含答案

2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}13A x x =≤<，{}0,1,2,3,4B =，则()RA B ⋂=ð（）A.{}0,1,3,4 B.{}0,3,4 C.{}0,4 D.{}0,1,4【答案】B 【解析】【分析】根据补集和交集求出答案.【详解】{R 1A x x =<ð或}3x ≥，故(){}R 0,3,4A B = ð.故选：B.2.已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则z =（）A.2i-- B.2i-+ C.2i- D.2i+【答案】D 【解析】【分析】应用复数除法及加法运算求z ，结合共轭复数的定义写出其共轭复数.【详解】由题意知：1i12i iz +=+=-，则2i z =+.故选：D3.已知角α的终边经过点115,44P ⎛- ⎪⎝⎭，则22cos sin 2αα+=（）A.54- B.54C.54+ D.54-【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1sin cos 4αα==所以2152cos sin 1cos sin 12444αααα+=++=-+=.故选：A.4.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.5.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位后得到()g x 的图象，则ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为（）A.[]22-,B.[]1,2- C.[]2,1- D.[]1,1-【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数的图象变换求出()g x ，再利用整体法求解函数值域即可.【详解】由题意得πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]π2sin 22,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.故选：C6.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg 20lg L D F =++，其中D 为传输距离，单位是km ，F 为载波频率，单位是MHz ，L 为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB ，则载波频率约增加到原来的（参考数据：lg 20.3≈）（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【答案】D 【解析】【分析】设出变化后的相关量，根据已知等式结合对数运算，列出等式化简，即可得答案.【详解】设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D ¢是变化后的传输距离，则18L L '=+，2D D '=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg 20lg D F L L D F D F D F'''''=-=+--=+，则20lg1820lg 212F F '=-≈，即12lg 0.62lg 2lg 420F F ≈='=≈，从而4F F '≈，即载波频率约增加到原来的4倍，故选：D.7.已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且1123MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A.53B.175C.23D.135【答案】B 【解析】【分析】设1||2NF n =，结合椭圆定义得2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF 中由勾股定理得215an =，再结合12Rt MF F △求解.【详解】连接2NF ，设1||2NF n =，则1||3MF n =，2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF 中，22222||||||MN MF NF +=，即222(5)(23)(22)n a n a n +-=-，所以215a n =，所以12||5a MF =，28||5a MF =，在12Rt MF F △中，2221212||||||MF MF F F +=，即222517c a =，所以5e =.故选:B.8.如图所示的三棱锥S ABC -中，SC BC ⊥，SC AC ⊥，BC AB ⊥，AB SB ⊥，且10AB BC ⋅=，SC =则其外接球表面积的最小值为（）A.25πB.20πC.125π6D.65π3【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，将三棱锥S ABC -放入长方体中，再利用基本不等式即可求其外接球表面积的最小值.【详解】因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，且BC AC C ⋂=，,BC AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，又因为BC AB ⊥，AB SB ⊥，且BC SB B = ，,BC SB ⊂平面SBC ，所以AB ⊥平面SBC ，所以可以将三棱锥S ABC -放入一个长方体ABFE DCSG -中，该长方体以AB SC BC ，，为长，宽，高，如图所示，则长方体ABFE DCSG -的外接球就是三棱锥S ABC -的外接球，设所求外接球的半径为R ，因为10AB BC ⋅=，所以22220AB BC AB BC +≥⋅=，当且仅当AB BC ==时等号成立，所以22220525AB BC SC ++≥+=，即()2225R ≥，解得52R ≥，所以该长方体外接球表面积的最小值为2254π4π25π2R ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为25π，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()12f x x x=-，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 在定义域内单调递增C.()f x 有2个零点D.()f x【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由函数()12f x x x=-，可得定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，又由()()11()22f x x x f x x x-=-+=--=-，所以函数()f x 为奇函数，所以A 正确；对于B 中，由()21102f x x'=+>，所以()f x 为单调递增函数，所以函数()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，所以B 错误；对于C 中，令()0f x =，即102x x -=，解得2x =±，所以C 正确；对于D 中，例如：当12x =时，111()1222f =-=-<，所以D 不正确.故选：AC.10.已知圆M ：()2214x y ++=和圆N ：22430x y x +-+=相交于A ，B 两点，下列结论正确的是（）A.直线AB 的方程为22y x =-+ B.若点P 为圆N 上的一个动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为515+ C.线段AB 的长为455D.直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两圆作差求出相交弦方程；B 选项，求出圆心(20)N ，到直线AB 的距离，从而得到点P 到直线AB 的距离的最大值；C 选项，根据垂径定理求出弦长；D 选项，利用圆心到直线的距离等于半径得到直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线.【详解】A 选项，两圆方程作差得4260x y +-=，即23y x =-+，所以两圆公共弦AB 所在直线方程为23y x =-+，A 错误；B 选项，圆M 的圆心为()0,1M -，半径12r =，圆22430N x y x -++=：，即22(2)1x y -+=的圆心为()2,0N ，半径21r =；圆心()2,0N 到直线AB 的距离55d ==，半径21r =，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为15+，B 正确；C 选项，5AB ==，C 正确；D 选项，圆心()0,1M -到直线43130x y --=的距离112d r ===，圆心(20)N ，到直线43130x y --=的距离221d r ===，所以直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线，D 正确.故选：BCD.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的是（）A.若P 在棱AB 上运动，则直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒B.若P 在棱AB 上运动，则三棱锥11C D PC -的体积为16C.若P 在底面ABCD 内（包含边界）运动，且满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为πD.若P 在ABC 内（包含边界）运动，则直线1D P 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为,33⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】证明1A D ⊥平面11ABC D ，再根据线面垂直的性质即可判断A ；根据1111C D PC P D C C V V --=即可判断B ；易得动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C ；1DD ⊥平面ABCD ，可得1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，再进行分析即可判断D .【详解】对于A ，连接11,AD A D ，则11A D AD AB ⊥⊥，平面11ADD A ，又1A D ⊂平面11ADD A ，1A D AB ∴⊥，又1AB AD A = ，AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面11ABC D ，又1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒，故A 正确；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，//AB 平面11CDD C ，∴点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，故B正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P 点的轨迹的长度为π2，故C 错误；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，设AC BD O = ，则AC BD ⊥，因为P 是ABC 内（包括边界）的动点，所以当P 与O 重合时，22DB DP ==最小，此时11sin 1DPD D P ==∠当P 与B 重合时，DP DB ==11sin 1DPD D P ==∠，所以1sin ,33DPD ∠∈⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数()()2ln 0f x x x mxm =+<有两个极值点1x ，2x （21x x >），则下列正确的是（）A.102m -<< B.()10<f x C.()212f x >-D.()112f x >【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数有两个极值点得m 的范围判断A,，并判断出12102x x m<<-<，结合11ln 12x mx =--，和22ln 12x mx =--代换，结合函数()f x 的单调性判断BCD.【详解】由题意知()ln 12(0)f x x mx x '=++>，令()0f x '=得，ln 120(0)x mx x ++=>有两个解12x x ，，令()ln 120g x x mx =++=，即等价于()g x 有且仅有两个零点，也即()g x 在(0,)+∞上有唯一的极值点且不等于零，又12()mxg x x+'=且0m <，所以当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当1,2x m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以12x m =-是函数()g x 的极大值点，则102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 1222m m m ⎛⎫⎛⎫-++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln(2)0m =-->，解得102m -<<，故A 正确；且有12102x x m <<-<，111()ln 12=0f x x mx '=++∵11ln 12x mx ⇒=--，22222()ln 120ln 12f x x mx x mx '=++=⇒=--111()ln f x x x =+∴22111111(12)(1)0mx x mx mx x mx =--+=-+<.故B 正确,D 错误;因为1,2x m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，又102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，2()0g x =，所以()f x 在21,2x m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有21()2f x f m ⎛⎫>-⎪⎝⎭111111ln ln 224222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为110122m m -<<⇒->，令()h x =1ln 12x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，，则11()ln 1ln 022h x x x =+-=+>'，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则1()(1)2h x h >=-，所以21()2f x >-,故C 正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，关键是求出m 的范围，并利用单调性判断CD 选项.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为______.【答案】82【解析】【分析】由百分位数的定义和频率分布直方图求解即可.【详解】因为所有小矩形的面积之和为1，所以(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，所以0.03a =，测评得分落在[4080)，内的频率为(0.010.01520.03)100.7+⨯+⨯=，落在[4090)，内的频率为(0.010.01520.030.025)100.95+⨯++⨯=，设第75百分位数为x ，由0.7(80)0.0250.75x +-⨯=，解得82x =，故第75百分位数为82.故答案为：8214.已知单位向量a ，b的夹角为π3，3c a b =-r r r，若a b λ+ 与c 垂直，则λ=______.【答案】5-【解析】【分析】根据题意，结合()(3)0a b a b λ+⋅-=，列出方程，即可求解.【详解】因为单位向量a ，b 的夹角为π3，可得11,2a b a b ==⋅= ，又因为a b λ+ 与c垂直，可得()(3)0a b a b λ+⋅-= ，即2233a a b a b b λλ+-- 1(13)302λλ=+-⨯-=，解得5λ=-.故答案为：5-.15.若函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π的最小值为a ，最大值为b ，则a b +=______.【答案】π-【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()cos cos (1)(sin )(1)sin f x x x x x x x '=--+-=+，当π()0,x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，当(π,2π)x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以()f x 在[]0,2π上的最大值(π)π1b f ==+.，又因为(0)1(2π)2π1f f =-=--，，所以()f x 在[]0,2π上的最小值(2π)2π1a f ==--，所以πa b +=-.故答案为：π-.16.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222103x y b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，过2F 作渐近线y x =的垂线，垂足为P ，且1sin 3F PO ∠=，过双曲线C 上一点Q 作两渐近线的平行线分别交渐近线于M ，N 两点，则四边形OMQN 的面积为______.【答案】2【解析】【分析】先求得双曲线方程为22136x y -=，设()00,Q x y 到两渐近线的距离之积22001223x y d d -=，结合双曲线的方程，求得122d d =，结合面积公式，即可求解.【详解】过1F作渐近线y x =的垂线，垂足为H ，如图所示，因为21F P F H b ==，OP a =，所以2PH a =，因为1sin 3F PO ∠=，所以1tan 2F PO ∠=，在直角在1PHF 中，1tan 2b F PH a ∠=，所以22b a =，所以b a=又因为a =b =，所以双曲线方程为22136x y -=，因为()222tan tan 221MON NOF ∠=∠==--，所以sin 3MON ∠=，设()00,Q x y 到两渐近线的距离为12,d d，则22001223x y d d -==，又因为22026x y -=，所以122d d =，所以12·sin sin 2OMQN d d S QM QN MON MON =∠==∠.故答案为：322.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .从条件①：3sin cos tan 4B B B =；条件②：12=；条件③：2cos cos cos c B b A a B -=这三个条件中选择一个作为已知条件.（注：若选择多个条件作答，则只按第一个解答计分）（1）求角B 的大小；（2）若b =，B ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且BD =，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）332【解析】【分析】（1）选①，求出23sin 4B =，结合π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到π3B =3cos B B =，tan B =，得到答案；选③，由正弦定理得到1cos 2B =，求出答案；（2）由ABC ABD BCD S S S =+△△△和三角形面积公式，得到ac a c =+，由余弦定理得到2218a c ac +-=，求出6ac =，得到三角形面积.【小问1详解】选条件①：因为3sin cos tan 4B B B =，所以sin 3sin cos cos 4B B BB =，即23sin 4B =，又因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =，所以π3B =.12=，所以cos )cos B B B B -=+，3cos B B =，又因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0B ≠，所以tan B =，所以π3B =.选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B B A A B -=，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=，又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =.【小问2详解】由BD 平分ABC ∠，得ABC ABD BCD S S S =+△△△，则1π1π1πsin sin sin 232626ac =+，即ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理可得222π2cos 3b ac ac =+-，又b =2218a c ac +-=，联立2218ac a c a c ac =+⎧⎨+-=⎩，，可得223180a c ac --=，解得6ac =（3ac =-舍去）.故1π1333sin 623222ABC S ac ==⨯⨯=△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，点E 在以AB 为直径的半圆O 上运动（不包括端点），底面ABCD 为矩形，112AD BC AB ===.（1）求证：BE ⊥平面ADE ；（2）当四棱锥E ABCD -体积最大时，求平面ADE 与平面ACE 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由面面垂直得AD ⊥平面ABE ，再结合圆的性质得AE EB ⊥即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解.【小问1详解】点E 在 AB 上且AB 为直径，AE BE ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，AD AB ⊥且AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，BE ⊂ 平面ABE ，AD BE ∴⊥，又,,DA AE A DA AE =⊂ 平面ADE ，故BE ⊥平面ADE .【小问2详解】当四棱锥E ABCD -体积最大时，E 是 AB 的中点，此时AE BE =，OE AB ⊥，取CD 中点F ，连接OF ，则//OF AD ，即OF ⊥平面ABE ，又OE AB ⊥ ，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)O A B C E -∴，()0,2,1AC ∴= ，()1,1,0AE =，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则·20·0n AC y z n AE x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，，取1x =，可得(1,1,2)n =-，平面ADE 的一个法向量为(1,1,0)BE =-，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos 3||||n BE n BE θ⋅=== ，即平面ADE 与平面ACE所成夹角的余弦值为3.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S ++=.在数列{}n b 中，10b =，1112n n n b b --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()1n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*3,1,2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1262n n n T -+=-【解析】【分析】（1）直接利用n S 与n a 的关系求解n a ，利用累加法求解n b ；（2）利用错位相减法求和.【小问1详解】由题知，当1n =时，113S a ==，当2n ≥时，2214(1)(1)422n n n n n n n a S S n -++-+-+=-=-=，因为13a =，所以*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，，，.因为1112n n n b b --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()()1122112,n n n n n n b b b b b b b b ---≥=-+-+-+ 11211111221111011222212n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，1n =时符合，故1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，综上，()*3,1,2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知(1)n n n c a b =-()*13,1,1,22n n n n n -=⎧⎪=∈⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩N 所以{}n c 的前n 项和123123123432222n n n n nT c c c c c --=+++++=++++⋅⋅⋅+ ,2n ≥,①，23413234222222n n nT =++++⋅⋅⋅+②，①−②得23412151111511122222222222n n n n n n n T --⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2111266222n n n n n nT ---+=--=-.()2n ≥,当1n =,满足题意，故1262nn n T -+=-20.数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，记移动k 次后质点回到原点位置的概率为k p ，其中k 为偶数.（1）求0p ，2p ，4p ；（2）证明：220k k p p +-≥.【答案】（1）01p =，212p =，438p =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到质点向左或向右的均为概率为12，进而求得024,,p p p 的值；（2）法一：设2(N )k n n *=∈，则22(2)!1!!2nk n n p p n n ⎛⎫==⋅ ⎪⋅⎝⎭，222(22)!1(1)!(1)!2n k n p n n +++⎛⎫=⋅ ⎪+⋅+⎝⎭，求得+21122k k p p n =-+，进而得到+212k k p p ≥，即可得到220k k p p +-≥.法二：设*2()k n n =∈N ，求得2221C 2nn k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，化简得到22112222211(C C )22n n n k n k n n p p p ++-++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，结合2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，即可得证.【小问1详解】解：由题意，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，可得质点向左或向右的均为概率为12，可得01p =，122111C ()222p =-=，22244113C ()(1)228p =⋅⋅-=.【小问2详解】证明：法一：设2(N )k n n *=∈，则22221(2)!1C 2!!2n nnk n nn p p n n ⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，同理22221222221(22)!1C 2(1)!(1)!2n n n k n n n p p n n +++++++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ +⋅+⎝⎭⎝⎭，所以222+2(22)!1!!21121(1)!(1)!2(2)!2222n n k k p n n n n p n n n n n ++⋅+⎛⎫=⋅⋅⋅==- ⎪+⋅+++⎝⎭，因为n N ∈，所以11222n +≤，所以+212k k p p ，即220k k p p +-≥.法二：当0k =时，由（1）知022p p =，即2020p p -=；当0k ≠时，设*2()k n n =∈N ，则2221C 2nn k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1111112221212222222C C C C C C C C 2C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-+++=+=+++=++，所以22221111222222222111(C 2C C)(C C )222n n n n n n n k n nn nn n n p p p +++-+-++⎛⎫⎛⎫==++⋅=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112211(C C )22n n n k n n p ++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，所以2102k k p p +->，即220k k p p +->，综上，220k k p p +-≥.21.已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上三点，且CA CB ⊥，CD AB ⊥，垂足为D .（1）当C 的坐标为()0,0时，求点D 的轨迹方程；（2）当C 的坐标为()1,2时，是否存在点Q ，使得DQ 为定值，若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(2)4x y -+=（除去原点）（2）存在，(3,0)Q 【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my b =+，与抛物线联立，由CA CB ⊥得直线过定点，再利用CD AB ⊥求出轨迹方程；（2）同（1）的方法，先求出直线AB 恒过()5,2P -，再利用直角三角形和圆的意义，求出定点和定值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()0x my b b =+≠.联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩，得2440y my b --=，则124y y m +=，124y y b =-①，因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，即12120x x y y +=，所以1212()()0my b my b y y +++=②，由①②得：()()22121210m y y mb y y b ++++=,整理得240b b -=，因为0b ≠，所以4b =，直线AB 恒过定点()4,0，设点(),D x y ，则1CD AB k k =- ，即14y y x x =-- ，整理得22(2)4x y -+=，所以点D 的运动轨迹为以()2,0为圆心，半径为2的圆（原点除外）.【小问2详解】由（1）因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，()111,2CA x y =-- ，()221,2CB x y =-- ，则12121212()12()4CA CB x x x x y y y y =-+++-++()()()21212121225016y y y y m y y b =+-++-+=③，将①代入③得：2264850b b m m ---+=，22(3)4(1)b m -=+得，32(1)b m -=+或者32(1)b m -=-+.当32(1)b m -=+时，直线AB 过()5,2P -.当32(1)b m -=-+时，直线AB 过()1,2，此时C 在AB 上，不合题意.所以直线AB 恒过()5,2P -.因为C 为定点，所以CP 为定值，在Rt CPD 中取CP 中点Q ，连接DQ ，1||||2DQ CP =，所以||DQ 为定值.此时Q 的坐标为()3,0，故存在点()3,0Q ，使得||DQ 为定值.22.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程()0f x =的其中一个根r 在0x x =的附近，如图6所示，然后在点()()00,x f x 处作()f x 的切线，切线与x 轴交点的横坐标就是1x ，用1x 代替0x 重复上面的过程得到2x ；一直继续下去，得到0x ，1x ，2x ，…，n x .从图形上我们可以看到1x 较0x 接近r ，2x 较1x 接近r ，等等.显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求n x ，若设精度为ε，则把首次满足1n n x x ε--<的n x 称为r 的近似解.已知函数()31f x x x =-+，R a ∈.（1）试用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解（取01x =-，且结果保留小数点后第二位）；（2）若()2365e 0xf x x x a ++++≤对任意x ∈R 都成立，求整数a 的最大值.（计算参考数值：e 2.72≈，1.35e 3.86≈， 1.5e 4.48≈，31.352.46≈，21.35 1.82≈）【答案】（1） 1.35-（2）9-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及牛顿迭代法可得结果；（2）根据已知通过分离变量，构造函数()g x ，利用导数得出()g x 的最小值，由（1）的结论可得结果.【小问1详解】第21页/共21页解：因为3()1f x x x =-+，则2()31x f x '=-，()1(1)2,11k f f '=-=-=，曲线()f x 在01x =-处的切线为112(1) 1.5y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥，()2237(1.5), 1.548k f f =-==-'-，曲线()f x 在1 1.5x =-处的切线为2723331 1.3584223y x x ⎛⎫+=+⇒=-≈- ⎪⎝⎭，且21||0.5x x -<，故用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.35-.【小问2详解】将2()365e 0xf x x x a ++++≤整理得到：32356e xx x x a ----≥，令32356()e x x x x g x ----=，31()()e e x x x x f x g x -+'==，因为2()31x f x '=-，令()0f x '>，即2310x ->，得3x >或3x <-，令()0f x '<，即2310x -<，得3333x -<<，所以()f x在,,,33∞∞⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为增函数，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，所以()f x的极小值为9039f ⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭，因此()f x 有且仅有一个零点0x ，所以()g x 有且仅有一个极小值点0x ，即0()()g x g x ≥，所以有0()a g x ≤，方法一：由（1）有031 1.3523x =-≈-，则320 1.351.353 1.355 1.356()(1.35)(2.46 5.46 6.756)3.86e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-+-⨯≤8.685=-.方法二：3201131516()(1)3 2.728.16ea g x g --⨯+⨯-<-=≈-⨯=-≤.320 1.51.531.551.56272715()(1.5)6 4.48e 842a g x g --⨯+⨯-⎛⎫≤<-=≈-+-⨯ ⎪⎝⎭方法三：8.4=-，所以，a 能取到的最大整数值为9-.【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数()g x 的性质，得出最值.。

云南省三校生高考复习试题(月考)

云南省三校生高考复习试题（月考）（二B ）答卷注意事项：1.学生必须用碳素墨水笔直接在试题卷上答题；2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚；3.字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用； 4.本卷共29大题，总分为150分，考试时间120分钟；一、选择题（每题4分，共计80分）1、0与{}0之间的关系正确的是（）A 、{}00⊂B 、{}00=C 、{}00∈D 、{}00⊆ 2、∅与0之间正确的是（）A 、0=∅B 、0∈∅C 、0∉∅D 、0⊂∅ 3、集合{},,,.a b c d e 有（）个真子集 A 、5 B 、30 C 、31D 、32 4、奇函数()f x 在[0,4]上是单调递增，则有（） A 、127((log 3)f f < B 、127((log 3)f f >C 、127((log 3)f f = D 、不能确定(f 与127(log 3)f 的大小5、“2αβ+>且1αβ>”是“1,1αβ>>”成立的（）条件. A 、充要不充分 B 、充分不必要 C 、充要 D 、既不充分也不必要6、若函数31,0;()13,0.x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩那么((3))f f -= （）A 、29B 、10C 、-10D 、0. 7、已知函数1()f x x=()f x =（）A B C D8、函数2(2)x y a =-在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围（）A 、(),-∞⋃+∞B 、(C 、)+∞ D 、(⋃9、将21(3)12y x =--+经过（）后得到212y x =-. A 、沿着x 轴向左平移3个单位，接着向下平移1个单位 B 、沿着x 轴向右平移3个单位，接着向下平移1个单位 C 、沿着x 轴向左平移3个单位，接着向上平移1个单位 D 、沿着x 轴向右平移3个单位，接着向上平移1个单位 10、若实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最小值为（）A 、0BC 、 12-D 、11、若()f x =）A 、()(),12,-∞-⋃+∞B 、()()0,22,⋃+∞C 、()()(),11,22,-∞-⋃-⋃+∞D 、[0,2)(2,)⋃+∞12、在同一坐标系中，函数y x a =- 与log a y x =的图像可能是（）A 、B 、C 、D 、13、在同一坐标系中，函数x y a =和log (1)a y x a =>的图像可能为（）A 、B 、C 、D 、14、函数22(0)y x x =-≥是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既是奇函数又是偶函数 15、设函数()y f x =是反比例函数，且过（-2，4），则()f x =（）A 、4xB 、4x -C 、8xD 、8x- 16、已知函数1()1x f x x +=-，则有（）A 、1()()fx f x -=- B 、1()()f x f x -=-- C 、1()()f x f x -=D 、11()()f x f x --=17、下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（） A 、1y x -=- B 、0.5log 0.3x y = C 、1()2xy = D 、3log 0.2x y =18、函数lg(62)y x -的定义域为（）A 、(),3-∞B 、(,3]-∞C 、(3,)+∞D 、[3,)+∞ 19、抛物线23(5)7y x =+-的顶点坐标、对称轴为（）A 、（-5，-7），x =-5B 、（-5，-7），x =-7C 、（5，-7），x =5D 、（5，7），x =5 20、函数0.51()x y x R -=+∈的反函数为（）A 、2log 1(0)y x x =+>B 、log 21(0,1)x y x x =+>≠C 、2log 1(0)y x x =->D 、2log (1)(1)y x x =->二、填空题（每小题5分，共计25分）21、已知函数()y f x =过点（—5，1），则其反函数过点 22、若1213x <+≤，则x 的集合为23、已知{}2135/1,/,5236x x A x x a B x x x ⎧-<+⎫⎧=-≥=⎨⎨⎬-<+⎩⎩⎭且A B ⋂= ∅，则a 的取值范围为24、若mna a >，则m 、n 的大小关系是25、若y =x 的范围是三、计算题（共计45分，写出必要演算步骤，不然不得分）26、（10分）(10分) 若不等式54x x a -+-<的解为空集，求a 的取值范围.27、（100.3log 2x<-28、解不等式22430x x -->29、（15分）已知2,0,()0,0,2,0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）求函数定义域.（2）求(5),(0),(2)f f f -的值.（3）作出该函数图像..。

三校生高三复习数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(3)的值介于下列哪个区间内？A. [1, 2]B. [2, 3]C. [3, 4]D. [4, 5]2. 下列哪个数是方程x^2 - 4x + 3 = 0的根？A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，若a1 + a2 + a3 = 12，且a2 = 4，则该等差数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0, 2]上单调递增，则f(1)的值介于下列哪个区间内？A. [0, 1]B. [1, 2]C. [2, 3]D. [3, 4]5. 已知等比数列{bn}的前三项分别为b1, b2, b3，若b1 = 2，b2 = 4，则该等比数列的公比为：A. 1B. 2C. 4D. 86. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则下列哪个条件是错误的？A. a > 0B. b > 0C. c > 0D. a + b + c > 07. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S20 = 200，则该等差数列的首项a1为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数f(x) = 2x + 1在区间[0, 3]上单调递减，则f(2)的值介于下列哪个区间内？A. [0, 1]B. [1, 2]C. [2, 3]D. [3, 4]的首项b1为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则下列哪个条件是正确的？A. a > 0B. b > 0C. c > 0D. a + b + c > 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上单调递增，则f(1)的值为______。

第一章基础知识云南省三校生历年考题

第一章基础知识1.（17-2）若01a <<，则2224(2)a a -+-可化简为 A ．1a a -- B ．1a a -- C ．1a a -+ D ．1()a a --+2.（17-3）已知命题:10,30;:(1)(3)0p x x q x x ->+>-+>且，那么p 是q 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分而不必要条件D ．必要而不充分条件3.（17-21）已知22230,()(5)9x x x x x x -=-+--则=4.（17-23）已知334,27x x x x --+=+则27=5.（17-31）k 取什么值时，方程组2080x y k x y --=⎧⎨-=⎩有一个实数解？并求出这时方程组的解6．(16-1)220161,(1)22)2x y x y x y -+++=设为实数，且，则（（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．47．（16-2）,,46a b c a b c ==设都是正数，且3，则（）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+D ．212c a b=+ 8．（16-21）23-)3x x x =-“”是“（”的条件.9．(16-31)25(21)60x x --+=求方程(2-1)的解.10．(15-2)对于二元一次方程 12=+y x 的实数解，表述正确的是（）A.方程无解B.方程有唯一解C. 方程有无穷个解D.方程仅有无理数解11．(15-31)求2153112x x x -+=+-的解. 12．（15-21）若2216,mm -=则3 ； 13．(15-1)设a, b 为实数，两实数在数轴上的位置关系如下图，则下列表述中正确的是( )A. a>bB. a<bC.a ≥bD. a ≤b14．（14-19）已知,2323-+=a ,2323+-=b 则ab b a -+22的值为（） A ．0 B ．97 C ．96 D ．115.（13-2）设=+=+--a a a a 221,3则（） A.3 B.7 C.9 D.1116.（12-7）若k 能使方程组35223x y k x y k+=+⎧⎨+=⎩的解,x y 的值和为2，则k =（）A.0B.2C.4D.617.（12-21）若210x x ++=，则14141x x+= . 18.（12-26）求33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+的值.19.（12-5）一个数“能被2整除”是“这个数是偶数”的什么条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要20.（11-21）若20101(1)0x y ++-=，则2011()xy = .21.（11-26）计算：4567log 5log 6log 7log 8⋅⋅⋅的值.22.（10-26）求方程组23223x y x y +=⎧⎨+=⎩的解.23.（10-27）计算12lg 3lg1621lg 5lg 2713-+-的值.24.（09-26）设x =2322112723(1)(39)x x x x x x x x --+-⨯⨯---++的值.25.（09-20）已知2211(0)a a a a a-=+>，则a =（）26.（09-22）已知332log 21x =，则x = .27.（09-212(2)0y +=，则2009()x y += .28.（09-2）68x +在实数范围内分解因式为（）A.224(2)(42)x x x +++B.224(2)(42)x x x +-+C.322()x +D.33()()x x 29.（09-11）设12,x x 为方程2420x x +-=的两根，则1211x x +=（） A.1 B.2C. D.430.（09-16）“0a >a =”的什么条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要31.（08-1）下列代数式中，221,(),2,,52b ax x y a +---，属于单项式的个数是（）A.1B.2C.3D.432.（08-9）方程267101x x x -+=-的解是（）A.116x =或B.16x =C.1x =D.116x =-或- 33.（08-23）133106121()27(3)()a b ---=- . 34.（08-22）在实数范围内分解因式642441x x x +--=35.（08-17）设12,x x 是方程2510x x +-=，则3312x x +=（）A.110B.110-C.140D.140-36.（08-28）已知关于未知数x 有二次方程2420mx x m +++=有两个不相等的正37.（08-15）设52log 7,log 5a b ==，则4log 7=（） A.2ab B.2ab C.ab D.a b + 38.（08-12）某工厂为四川地震灾区赶制一批救灾衣物，计划第一天完成3万件，以后每天比前一天多制15%，那么6天后赶制的衣物总件数是（）万件 A.15.01)1(315.05.1-- B. 15.01)1(315.06-- C. )15.1(53⨯ D. )15.1(63⨯ .39.（07-26）计算：4230.25 1.502033431()(2)[(0.0001)]2)log 12sin 22516---+--+-+ 40.（07-9）方程222220x bx b ++-=有两个相等实根，则b =（） A.1144-或 B.44-或 C.22-或 D.1122-或 41.（07-7）已知log 2,a x a ==25x =（）A.4B.16C.2D.842.（07-16）放射性元素镭，每一年内质量要减少000.044，那么经过三年后，一克镭剩下的克数是（） A.00130.044-⨯ B.200(30.044)- C.003(10.044)- D.300(10.044)-。

2024届云南省三校高三下学期高考备考联考(七)数学试卷及答案

数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A BCD C A C【解析】1．由{|1}A x x =-≤≤0，得{|1U A x x =<- 或0}x >，而{1134}B =-，，，，依题意，阴影部分表示的集合(){134}U A B = ，，，故选B ． 2．设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故1i z =-，故1i 1i 2++-=，故选A ．3．由题知，222||1()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++= ，，所以1π2cos 1cos 23θθθ===，，，故选B ．4．由题意可知A ：两人都没选择篮球，即4416(5525P A =⨯=，所以9()1(25P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则428()5525P AB ⨯==⨯，所以8()825(|)9()925P AB P B A P A ===，故选C．5．如图1所示，高线为MN，由方斗的容积为28升，可得128(4163MN =++ ，解得3MN =．由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB ==，AB =，侧面积为，所以方斗的表面积为2(20s =+，故选D ． 6．设a ，b ，c 分别为角A，B ，C 所对的边，在ABC △中，由正弦定理可得，22sinsin sin a b c R A B C ====，所以sin 2c C =，11sin 22244ABC c abc S ab C ab ==== △ =，故选C ．图1数学参考答案·第2页（共10页）7．根据已知条件有11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，1n n a a n --=，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以1234n a n =+++++(1)(2)2n n n +=≥，经检验11a =符合上式，所以(1)()2*n n n a n ∈+=N ，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则11121223n S ⎡⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣ 1111223411n n n ⎤⎛⎫⎛⎫+-++-=- ⎪ ⎪⎥++⎝⎭⎝⎭⎦，所以3026023131S =-=，故选A ． 8．根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()e ln x g x x x x =--，(0e)x ∈，，则函数e (n )l xf x x x a x =---在(0e)，上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点．111(1)(e 1)()e e 1e (1)(1)e x x xx x x x x g x x x x x x x x ++-⎛⎫=+--=+-=+-= ⎪⎝⎭'，令()e x h x x = 1-，(0e)x ∈，，则()e e 0x x h x x ='+>，故()h x 在(0e)，上单调递增，因为(0)10h =-<，(1)e 10h =->，所以存在唯一的0(01)x ∈，，使得0()0h x =，即00 e 10x x -=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，0()0h x <， ()0g x '<，()g x 单调递减，当0e x x <<时，0()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0min 000000()()e ln 11x g x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x →+∞，故(0e)x ∈，，()[1)g x ∈+∞，，所以1a ≥，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号9 10 11 答案AB AD ABD【解析】 9．对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A正确；对于B ，根据方差公式2222121[(()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，可知若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0，则12n x x x === ，B 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于D ，2χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB ．数学参考答案·第3页（共10页）10．对A ，由(0)1f =-，1ϕ=-，即sin 2ϕ=，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ=-∴，又()f x 的图象过点π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω-=∴，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，2ω=∴，所以π5π()2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，则5π5π23π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ2k +，k ∈Z ，方程()1f x =在(0)m ，上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π424242，，，，，，而第7个根为13π4，所以5π13π24m <≤，故D 正确，故选AD ． 11．对A 选项：当αβ⊥时，因为l αβ= ，AC l ⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为BD l ⊥，AC AB BD ==，所以AD ==，所以sin 3AC CDA CD ∠===，故A 正确；对B 选项：如图2，过A 作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB DE ∥，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE BD ∥，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠=︒，由AC l ⊥、AE l ⊥、AC AE A = ，且AC ，AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE l ∥，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥．由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠=︒，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠=︒，即直线AB 与CD 所成角为45︒，故B 正确；对于D ，如图3，作AE BD ∥，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC △中，易得CE =，在ACE △中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，图2 图3数学参考答案·第4页（共10页）120CAE ∠=︒，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得2CO =，1HO =，2CH =，所以cos 7OH CHO CH∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠=︒，如图4，分别取线段AD ，AE 的中点G ，M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE △的外接圆半径112sin120r =⨯=︒，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π3R =C 错误，故选ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】 12．含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x -+-=- ，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，23458a a a a +++=∴．13．()f x 定义域为210x b +>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-．14．如图5，伞的伞沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C ，O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由OF BC ⊥,||||OF OB ==，得||a c BF +==45FBC∠=︒，||2AB a =，||BC =，在ABC △中，60BAC ∠=︒，则75ACB ∠=︒，1sin 75sin(4530)2︒=︒+︒=+ 图5 图4数学参考答案·第5页（共10页）4+=，由正弦定理得，2sin 75sin 60a =︒︒，解得2a =，则2c -=，所以该椭圆的离心率2ce a== 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）圆1C ：22(3)1x y ++=的圆心为1(30)C -，，半径为1，圆2C ：22(3)1x y -+=的圆心为2(30)C ，，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则12||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（2分）可得21||||2CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则21||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（4分）可得12||||2CC CC -=；综上所述：12||||||2CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1a =，3c =，可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=．……………………………（6分）（2）联立方程22180y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，消去y 得227280x mx m ---=， ………………………………………（8分）则222428(8)32(7)0m m m ∆=++=+>，可知直线与双曲线相交，………………………………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共10页）如图6，设1122()()A x y B x y ，，，，线段AB 的中点为00()M x y ，，可得12027x x m x +==，0087m y x m =+=，即877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，， ………………………………………………………（11分）且877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±，又0m >，所以实数m 的值为7． ………………………………………（13分）16．（本小题满分15分）解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，21()2a f x x x -'=+， ……………………………………………………（1分）又曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线12y x =-垂直，所以(1)122f a -+'==，即1a =． ………………………………………（3分）1()ln 2f x x x x =++∴，2(1)(21)()(0)x x f x x x +-=>'，由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，，由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．………………………………………………………（6分）（2）由（1）知不等式()22mf x x x+≥恒成立，可化为1ln 222m x x x x x+++≥恒成立，即ln 12m x x + ≤恒成立．………………………………………………………（8分）令()ln 1g x x x =+ ，……………………………………（10分）当1e 0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．………………………………………………………（12分）图6数学参考答案·第7页（共10页）所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-． ……………………………………（13分）由ln 12mx x + ≤恒成立，得22e m -≤，即实数m 的取值范围是22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，． ………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接MB MC ，，由已知可得12AM MF MD BM CM ====，，，……………………………………………………………（2分）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD FM =⊂，平面ADEF ， FM AD FM ⊥⊥，∴平面ABCD ， ……………………………………………………………（4分）MB MC ⊂，∵平面ABCD FM MB FM MC ⊥⊥，，∴，BF CF ==∴ 222BF CF BC +=，∴BF CF ⊥∴．…………………………………………………（6分）（2）解：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(130)(021)(011)C E F ，，，，，，，，，……………………………………………………………（8分）(011)(111)(010)AF CE EF ==--=- ，，，，，，，，∴，……………………（9分）设平面CEF 的法向量为()n x y z = ，，，则00n EF y n CE x y z ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩，，令1x =得(101)n =，，， …………………………………（12分）设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，||1sin |cos |2||||AF n AF n AF n θ=〈〉===，．………………………（14分）ππ026θθ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，∵∴，即直线AF 与平面CEF． ……………………………（15分）图7数学参考答案·第8页（共10页）18．（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==． …………………………………………………………（3分）（2）由题可知ξ可取123，，，221123222222224444C C C C C 7(1)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（4分）221123222222224444C C C C C 7(3)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（5分） 11(2)1(1)(3)18P P P ξξξ==-=-==， ………………………………………（6分）所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为………………………………………（8分）（3）记1n a -为第(2)n n ≥号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，……………………………………………………………（9分）1n b -为第(2)n n ≥号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211318b b ==，…………………………………………………………（10分）则第(2)n n ≥号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----，且12222211(1)(3)322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，………………………………………（12分）得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，数学参考答案·第9页（共10页）所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ………………………（15分）因此111111()123(1)322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）①解：因为(021)A ，，，(132)B -，，，则021402032(112)132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- ，，．……………………………………………………………（3分）②证明：设111()A x y z ，，，222()B x y z ，，，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i z ⨯=++--- 122112211221()z z x z x x y x y y z y --=-，，，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得211221122112()OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---，，，故(000)0OA OB OB OA ⨯+⨯== ，，．………………………………………（7分）（2）证明：因为sin AOB ∠==OA OB =，故1||||sin 2AOBS OA OB AOB =∠=△，故要证1||2AOBS OA OB =⨯△，只需证||OA OB ⨯= 即证2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=- ．数学参考答案·第10页（共10页）由（1）111()OA x y z = ，，，222()OB x y z =，，，122112211221()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，，，故2222122112211221||()()()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又2222111||OA x y z =++ ，2222222||OB x y z =++ ，22121212()()OA OB x x y y z z =++ ，则2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-成立，故1||2AOB S OA OB =⨯△． ………………………………………（13分）（3）解：由（2）1||2AOB S OA OB =⨯△，得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1||2|2||2|AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⨯=⨯△，故21()||63AOB OA OB S OA OB ⨯=⨯⨯△，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB △为底面、||OA OB ⨯为高的三棱锥体积的6倍． ………………………………………（17分）。

2010年云南省三校生高考数学试题

2010年云南省三校生高考数学试题（2010年云南省高等职业技术教育招生考试试题数学）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，本大题共20小题，每小题4分，共计80分）1.设集合A=2{/60}x x x --<，B={/0}x x >，则A B ⋂=( ).A. {/21}x x -<<-B. {/13}x x <<C. {/213}x x x -<<-<<或1D. {/11}x x x ><-或2.复数2332i Z i+=+的值为（）. A. 1251313i + B. 513i C. 125i D. i 3.下列函数中，图像关于y 轴对称的是（）.A. sin y x =B. 22y x x =+C. 2y e =D. 2log y x =4.已知cos 0,tan 0θθ>>，则θ在第（）象限.A. 一B. 二C. 三D.四5.直线12l l ⊥是直线1l 、2l 的斜率乘积为-1的（）条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要6.圆的方程2242150x y x y ++--=，则该圆的圆心、半径分别为（）A.(-2,1),20B.(2，-1),20C.(2，-1),7.已知点A(-1,2), B(3,1), C(2，-3),则ABC ∆是（）A.直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D.等边三角形8.过点M(-1,2)与向量a=(1,3)平行的直线方程为（）A. 350y x +-=B. 350y x --=C. 350y x -+=D. 350y x ++=9.已知圆的半径为1cm,圆心角为45︒，则此圆心角所夹的扇形面积为（）. A. 8π 2cm B. 4π 2cm C. 4522cm D.45 2cm10.等比数列{}n a 中，1a =2，4a =16，那么{}n a 的通项公式是（）.A. 12n -B. 2nC.2nD.2(n-1)11.设向量a=(x,-4),b=(2,-1)且a-3b 与a-b 垂直，则实数x 的值为（）A.x=3或x=5B.x=3C.x=-5D. x=3或x=-512.若函数22 ;() . e x f x x x οο⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，那么(2)f =（）A.5B. 2eC. 5+2eD. 2e ，513.函数2cos 2cos 1y x x x =+-的周期为（）A. 2π-B. π-C. πD. 2π14.设正方体的全面积为242cm ，则外接球的体积为（）A.33cm B.33cm C.3cm D.3cm15.若直线过点（1，-1）和（，2）则此直线的倾斜角为（）A. 4πB. 2πC. 6D. 3π16.在ABC ∆中，已知a ：b ：c=1：2，则A:B:C=( )A. 1：2 B. 1：2：3 C.3:4:5 D.4:3:517.下列各式中不正确的是（）A. 1.5 1.50.60.5>B. 113323--> C. 11320.20.2--> D.<18.与双曲线2214x y -=的椭圆方程为（）A. 22194x y +=B. 22149x y +=C. 221913x y +=D. 221139x y +=19.抛物线221y x ax =-+，其中a R ∈,与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是（）A. 11a -<<B. 1a >或1a <-C. 1a <-D. 1a >20.复数Z i =的三角形式是（）A. 552(cossin )66i ππ+ B. 2(cos sin )66i ππ+ C. 772(cos sin )66i ππ+ D. 11112(cos sin )66i ππ+ 二、填空题（请将答案填写在相应的题号后面，本大题共5小题，每小题5分，共计25分）21. 0.21()x y x R -=+∈的反函数是 .22. 函数2sin 4sin 5y x x =-+的最小值 .23.已知数列{}n a 的通项公式1(1)n a n n =+，其前9项的和9S = 24.圆柱的轴截面的面积为M ，则这个圆柱的侧面积为 .25.抛物线24y x =-的准线方程为 . 三、解答题（请将答案填写在答题卡上相应的题号下面，解答时应写出推理，演算步骤.本大题共4小题，共45分）26.（10分）求方程组23223x y x y +=⎧⎨+=⎩的解. 27.（10分）计算12lg3lg1621lg5lg2713-+-的值. 28.（12分）已知函数20.3()log (22)f x x x =--，求（1）. ()f x 的定义域.（2）. ()f x 的单调区间.29.（13分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知1a =2，11(1,2,3)2n n n a S n n +-==…. （1）.证明n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列. （2）.求{}n a 的通项公式.。

云南省三校2025届高三高考备考实用性联考卷(二)数学试题+答案

2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，()()1i 2i −+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．“a b >”是“ln ln a b >”成立的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin 2sin A B =，则2222b a a−的值为（） A ．19−B ．13C ．1D ．724．已知()2,X N µσ∼，且()()330.2P X t P X t >+=<−=，则()33P t X −<<=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.85．在ABC △中，点D 是线段BC 上的一点，且满足3BC BD =，点P 是线段AD 的中点，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则m n +=（） A ．13B ．13−C ．12D ．12−6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a 值为（）A ．1−B ．C ．D ． 7．已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，体积为7π，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC △面积的最大值为（）A ．3B C ．D ．68．1x ，2x 为函数()log 3a f x x =−的两个零点，其中12x x <，则下列说法错误的是（）A ．121x x =B ．122x x +>C ．124x x +的最小值为4D ．124x x +的最小值为4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列；{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221n n S n n =−+−，*n ∈N ，则（）A ．12a =−B ．11b =C ．4d q +=D ．1d =10．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2c B b C c +=，且2sin sin sin B A C =，则（）A ．a ，b ，c 成等比数列B ．ABC △为钝角三角形C ．A ，B ，C 成等差数列D ．若2c =，则ABC S =△11．现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A ．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为14B ．第二次抽到蓝色球的概率为316C ．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子D ．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．()1012x −的展开式中x 项的系数为______． 13．已知()f x ′是定义域为π0,2的函数()f x 的导函数，且()()sin cos 0f x x f x x +<′，则不等式()1πsin 26f x x f>的解集为______． 14．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n−=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e −=______，12e e 的取值范围是______．四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：不少于5本少于5本合计活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计95105200（1）依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数X 的分布列及数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：α0.10.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.841 6.635 7.879 10.82816．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥S ABCD −中，SA ⊥平面ABCD ，90CDA DCB ∠=∠=°，224BC AD CD ===．（1）求证：平面SAC ⊥平面SAB ；（2）若平面SAB 与平面SCD ，求线段SA 的长． 17．（本小题满分15分）已知函数()()31ln 3f x x x ax x a =−−∈R ．（1）()f x 在1x =处的切线与直线y x =垂直，求a 的值；（2）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围． 18．（本小题满分17分）抛物线()2Γ:20y px p =>的图象经过点()1,2M −，焦点为F ，过点F 且倾斜角为θ的直线l 与抛物线Γ交于点A ，B ，如图．（1）求抛物线Γ的标准方程；（2）当π3θ=时，求弦AB 的长；（3）已知点()2,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线Γ交于点C ，D ．证明：直线CD 过定点． 19．（本小题满分17分）如图，已知点列2,n n nP x x与(),0n n A a 满足1n n x x +>，11n n n n P P A P ++⊥ 且11n n n n P P A P ++= ，其中n +∈N ，11x =．（1）求2x ；（2）求1n x +与n x 的关系式；（3）证明：22222123141n x x x x n +++++≤+ ．2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBDBDABC【解析】1．()()21i 2i 2i 2i i 3i −+=+−−=− ，∴其对应的点坐标为()3,1−，位于第四象限，故选D ． 2．由题意，利用对数函数性质可知：ln ln 0a b a b a b >⇒>>⇒>，故必要性成立；而ln ln a b a b >⇒>，但不能确定a ，b 是否都大于0，若a ，b 小于0时函数无意义，故a b >不能推出ln ln a b >，故充分性不成立，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要而不充分条件，故选B ．3．因为3sin 2sin A B =由正弦定理得32a b =，所以32b a =，22222237212122b a b a a −=×−=×−=，故选D ． 4．根据正态曲线的对称性，由()()33P X t P X t >+=<−，得3332t tµ++−==，再由总体密度曲线，数形结合知：()330.3P t X −<<=，故选B ．5．由题意，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，而1112123636BP AP AB AD AB AB AC AB AB AB =−=−=+−=−+ ，由已知，2,31,6m n=− =则12m n +=−，选项D 正确，故选D ．6．由()max 2f x =得2A =，()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后图象关于原点对称，得函数()f x 的图象过点π,012，所以7ππ12122T −=，所以2ππT ω==，故2ω=，又π012ωϕ+=，得π6ϕ=−，所以()π2sin 26f x x =−，π2sin 16a=−=− ，故选A ． 7．圆台的高为h ，则圆台的体积()221π12127π3V h =++××=，解得3h =，如图，取上下底面圆心M 、N ，连接MN 、MC 、NC ，由圆台性质可知MN NC ⊥，且3MN =，又2NC =，故MC MC 为ABC △以AB 为底的高时，ABC △面积最大，且其最大值为122×B ．8．函数()log 3a f x x =−的定义域为()0,+∞，0a >且1a ≠，由()0f x =，得log 3a x =，因此直线y 3=与函数log a y x =的图象有两个公共点，其横坐标为1x ，2x ，a 比1大还是小对log a y x =的图象没有影响，可令1a >，而当01x <<时，log a y x =−递减，当1x >时，log a y x =递增，于是1201x x <<<，对于A ，由12log log a a x x =，得12log log a a x x −=，即121x x =，A 正确；对于B，12221x x x x +=+，而函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此122212x x x x +=+>，B 正确；对于C ，1222144x x x x +=+，函数14y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此12221445x x x x +=+>，C 错误；对于D ，1222444x x x x +=+≥，当且仅当22x =时取等号，D 正确，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案BCABDACD【解析】 9．()()12111111212211nn n b q n n b b d d S na d n a n q qq q −−=++=+−+−+ −−−， 221n n S n n =−+− ，11112121111dd a b q bq=−=−∴ −=− − ，10a ∴=，2d =，11b =，2q =，故选BC ．10．2sin sin sin B A C = ，由正弦定理可得2b ac =，且,,0a b c >，则a ，b ，c 成等比数列，故A 正确；将cos cos 2c B b C c +=，利用正弦定理化简得：sin cos sin cos2sin C B BC C +=，即()sin 2sin C B C +=，sin 2sin A C ∴=，利用正弦定理化简得：2c a =，222b ac c ∴==，b ∴，::2:2a bc c c ∴==，所以A 角最大，由222cos 02c b a A cb +−==<得A 角为钝角，故B 正确；若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，且πA B C ++=，可得π3B =，则由余弦定理可得2222224231cos 22242a cbc c cB ac c c +−+−===≠×，故C 错误；若2c =，可得b =，4a =，则b c >，由3cos 4B =，()0,πB ∈，可得sin B =，所以1sin 2ABC S ac B==△D 正确，故选ABD ．11．对于选项A ，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内，此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球，因此第二次抽到蓝色球的概率为14，故A 选项正确；对于选项B 、C ，记1A =“第一次抽到红色球”，2A =“第一次抽到黄色球”，3A =“第一次抽到蓝色球”，1B =“第二次在红色箱子中抽到蓝色球”2B =“第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”，3B =“第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”，B =“第二次抽到蓝球”，易知1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()112P A =，()()2314P A P A ==，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A == ===×+×+×= ∑∑，故B 选项错误；第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同，所以()()()()111111624111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()222211344111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()333311246111148P A P B A P A B P B ×===，所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，故C 选项正确；对于D ，将5个不同的小球分成3组（每组至少一个）（按1:1:3分或按2:2:1分）再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有2223535322C C C A 150A +=种，故D 选项正确，故选ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．展开式中x 的系数为()1110C 220−=−． 13．设()()sin g x f x x =，()()()sin cos 0g x f x x f x x +′=<′，所以函数()g x 单调递减，()()1πππsin sin sin 2666f x x f f x x f >⇔> ，即()π6g x g > ，得π6π02x x <<<，所以π06x <<，所以不等式的解集为π0,6． 14．由已知可得()23c a m =−，所以23a mc c=−，即121123e e −=；所以，()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a −−+=⋅====+−．令a t m =，则129124e e t t =+−．因为a m >，所以1at m =>．又1212MF MF F F +>，所以有()223a c a m >=−，所以有3a m <；1212MF MF F F −<，所以有()223m c a m <=−，所以有35a m >，所以5,33a t m =∈ ．设函数12y t t =+−，则2110y t =−>′，函数12y t t=+−在区间5,33上单调递增，所以44153y <<，所以12335e e <<．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）零假设0H ：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；由表中数据可知，()2220035406560500012.5310.82810595100100399χ×−×==≈>×××，故可推断0H 不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．（2）由题意可知，X 的可能取值为0、1、2，()3436C 10C 5P X ===；()214236C C 31C 5P X ===；()124236C C 12C 5P X ===，所以X 的数学期望为：()1310121555E X =×+×+×=． 16．（本小题满分15分）（1）证明：设BC 中点为E ，连接AE ，如图，因为90CDA DCB °∠=∠=，且AD CD =，故四边形ADCE 为正方形，而AC 2AE =，AB所以222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥，因为SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SA AC ⊥，又,SA AB ⊂平面SAB ，SA AB A = ，所以AC ⊥平面SAB ，因为AC ⊂平面SAC ，所以平面SAC ⊥平面SAB ．（2）解：以A 为坐标原点，AE 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，设()0SA a a =>，则()2,2,0C ，()0,2,0D ，()2,2,0B −，()0,0,S a ，所以()0,2,SDa =−，()2,0,0DC =，设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n SD n DC ⋅=⋅=，即2020y az x −= = ，令2z =，所以()0,,2n a =，由（1）知，平面SAB 的法向量为()2,2,0AC =，设平面SAB 与平面SCD 所成角为θ，则cos θ=cos,AC nAC nAC n⋅==，解得a=a=，所以AS=．17．（本小题满分15分）解：（1）易知()22ln11lnf x x ax x ax′=+−−=−，又()f x在1x=处的切线与y x=垂直，所以()11f′=−，即1a−=−，所以1a=．（2）因为()2lnf x x ax=−′，且()f x有两个极值点，所以方程()0f x′=在()0,+∞上有两个不同的根，即方程2ln0x ax−=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()2ln xg xx=与函数y a=的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，则()()4312ln12lnx x xg xx x−−==′，令()312lnxg xx−==′，解得x=当x>()0g x′<，()g x单调递减，当0x<<时，()0g x′>，()g x单调递增，且当1x>时，()0g x>，且x+∞，()0g x→，()10g=，故作出()g x的图象如图所示：由图象可知10,2ea∈满足题意，即a的取值范围为10,2e．18．（本小题满分17分）（1）解：曲线22y px=图象经过点()1,2M−，所以()222p−=，所以2p=，所以抛物线Γ的标准方程为24y x=．（2）解：由（1）知()1,0F ，当π3θ=时，l的方程为)1y x −，联立)214y x y x=− = ，得231030x x −+=，则12103x x +=，由12163AB x x p =++=，所以弦163AB =．（3）证明：由（1）知()1,0F ，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立214x my y x=+ = 得2440y my −−=，2Δ16160m =+>，因此124y y m +=，124y y =−．设直线AC 的方程为2x ny =+，联立224x ny y x=+ = 得2480y ny −−=，则2Δ16320n =+>′，因此134y y n +=，138y y =−，得318y y −=，同理可得428y y −=．所以()343412223434341212441882244CD y y y yy y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−．因此直线CD 的方程为()332x m y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上，令0y =得，2233331181822244y x my x my m y y −−=−+=−+=−+ ()122122222111111144161616444444y y y y y m y y y y y y y + +=+=+=++=+⋅=，所以，直线CD 过定点()4,0．19．（本小题满分17分）解：（1）因为1212PP A P ⊥ ，1212PPA P = ，所以()()21221222221212124222x a x x x x x a x x x −=−+−=−+，得2122x x x −=，所以22x =．（2）由11122,n n n n n n P P x x x x +++ =−−，1112,n n n n n A P x a x +++ =− ，1112140n n n n n n n nP P A P x a x x ++++⋅=⇒−= ①，又11n n n n P P A P ++= ，则()()22221111222n n n n n n n x x x a x x x ++++ −+−=−+②，将①代入②得()()22111222222111114444211n n n n n n n n n n n n n X X X X x X X X X X x X X ++++++++ −+=+⇒−=⇒−=．（3）要证22222123141n x x x x n +++++≤+ 等价于证明22222314n x x x n ++++≤ ，当2n ≥时，()12122212n n n n i i i i i i x x x x x ++===+−=−=<∑∑ ()2221111122211112212n n n n n n n n n n i i n i x x x x x x x x x x n x ++++++++= −=⇒=−<− ⇒−=−>⇒> ∑，<−，所以12n x x +−≤12n x +⇒≤−2188484n x n n +⇒≤++−≤−()()2222231413214n x x x n n +⇒+++≤+++−= ， 22222314n x x x n +∴+++≤ ，22222123141n x x x x n +∴++++≤+ ．。

2024年云南省三校高考备考联考卷(一)数学试题及答案

２０２５届云南三校高考备考实用性联考卷(一)数㊀学注意事项:１答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.３考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回.满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟.一㊁单项选择题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的)１.已知集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ－３>０}ꎬＢ＝{ｘ０<ｘ<４}ꎬ则(∁ＲＡ)ɘＢ＝Ａ.(３ꎬ４)Ｂ.(０ꎬ３]Ｃ.(－ɕꎬ３)ɣ(１ꎬ４)Ｄ.(－ɕꎬ－１)２.已知复数ｚ＝２ｉ１＋ｉꎬ则下列说法正确的是Ａ.ｚ＝１－ｉＢ.ｚ＝２Ｃ.ｚ－＝１＋ｉＤ.ｚ的虚部为ｉ㊀图１３.如图１ꎬαꎬβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角ꎬ则ｔａｎ(α＋β)＝Ａ.－３Ｂ.３３Ｃ.３Ｄ.１４.假设ＡꎬＢ是两个事件ꎬ且Ｐ(Ａ)>０ꎬＰ(Ｂ)>０ꎬ则下列结论一定成立的是Ａ.Ｐ(ＡＢ)ɤＰ(ＢＡ)Ｂ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｃ.Ｐ(ＢＡ)＝Ｐ(ＡＢ)Ｄ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(ＢＡ)５.已知ａ＝ｌｏｇ５２ꎬｂ＝ｌｏｇ７３ꎬｃ＝１２ꎬ则下列判断正确的是Ａ.ｃ<ｂ<ａＢ.ｂ<ａ<ｃＣ.ａ<ｂ<ｃＤ.ａ<ｃ<ｂ６.在前ｎ项和为Ｓｎ的正项等比数列{ａｎ}中ꎬ设公比为ｑꎬ{ａｎ}满足ａ１ａ４＝８ꎬａ３＝ａ２＋２ꎬｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎＳｎ＋１ꎬ则Ａ.ｑ＝１２Ｂ.Ｓｎ＝２ａｎ＋１Ｃ.ｂｎ＝ｎ－１２ｎＤ.数列{ｂｎ}的最大项为ｂ３７.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＭ是线段Ｃ１Ｄ１(不含端点)上的动点ꎬＮ为ＢＣ的中点ꎬ则Ａ.ＣＭʊ平面Ａ１ＢＤＢ.ＢＤʅＡＭＣ.ＭＮʊ平面Ａ１ＢＤＤ.平面Ａ１ＢＤʅ平面ＡＤ１Ｍ８.已知Ｆ为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左焦点ꎬＡ是Ｃ的右顶点ꎬ点Ｐ在过点Ｆ且斜率为２－３的直线上ꎬøＯＡＰ＝２π３且线段ＯＰ的垂直平分线经过点Ａꎬ则Ｃ的离心率为Ａ.３－２Ｂ.３－１Ｃ.３Ｄ.６二㊁多项选择题(本大题共３小题ꎬ每小题６分ꎬ共１８分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得６分ꎬ部分选对的得部分分ꎬ有选错的得０分)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ＋２ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.点(０ꎬ２)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｃ.ｆ(ｘ)有三个零点Ｄ.直线ｙ＝０是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的一条切线１０.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｃｏｓ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬφɤπ２æèçöø÷的最小正周期为πꎬ且过点(０ꎬ２)ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的一条对称轴为ｘ＝π２Ｃ.ｆ(ｘ)的周期为π２Ｄ.把函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个长度单位得到函数ｇ(ｘ)的解析式为ｇ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋π３æèçöø÷１１.已知ａｎ＝２ｎ和ｂｎ＝３ｎ－１ꎬ数列{ａｎ}和{ｂｎ}的公共项由小到大组成数列{Ｃｎ}ꎬ则Ａ.Ｃ３＝３２Ｂ.{Ｃｎ}不是等比数列Ｃ.数列１ｂｎｂｎ＋１{}的前ｎ项和Ｔｎ＝１２－１３ｎ＋２Ｄ.数列ｂｎａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎɪ[１ꎬ５)三㊁填空题(本大题共３小题ꎬ每小题５分ꎬ共１５分)１２.若函数ｆ(ｘ)＝(２ｘ＋ａ)ｌｎ３ｘ－１３ｘ＋１为偶函数ꎬ则ａ＝㊀㊀㊀㊀.１３.正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为２ꎬ底面边长为１ꎬ则该球的表面积为㊀㊀㊀㊀.１４.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘꎬ焦点为Ｆꎬ不过点Ｆ的直线ｌ交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬＤ为ＡＢ的中点ꎬＤ到抛物线Ｃ的准线的距离为ｄꎬøＡＦＢ＝１２０ʎꎬ则ＡＢｄ的最小值为㊀㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(共７７分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１５.(本小题满分１３分)已知在әＡＢＣ中ꎬ三边ａꎬｂꎬｃ所对的角分别为ＡꎬＢꎬＣꎬａ(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ)＝３ｂｓｉｎＡｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若ａ＋ｂ＝２ｃꎬәＡＢＣ外接圆的直径为４ꎬ求әＡＢＣ的面积.１６.(本小题满分１５分)如图２ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＤʅ底面ＡＢＣＤꎬＣＤʊＡＢꎬＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ＝２ꎬＡＢ＝４ꎬＤＰ＝３.(１)证明:ＢＤʅＰＡꎻ㊀图２(２)求平面ＡＢＤ与平面ＰＡＢ的夹角.１７.(本小题满分１５分)已知椭圆Ｃ１:ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)左右焦点Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ２:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点ꎬ过点Ｆ１且斜率不为零的直线与椭圆Ｃ１相交于ＡꎬＢ两点ꎬ交椭圆Ｃ２于点Ｍꎬ且әＡＢＦ２与әＢＦ１Ｆ２的周长之差为４－２２.(１)求椭圆Ｃ１与椭圆Ｃ２的方程ꎻ(２)若直线ＭＦ２与椭圆Ｃ１相交于ＤꎬＥ两点ꎬ记直线ＭＦ１的斜率为ｋ１ꎬ直线ＭＦ２的斜率为ｋ２ꎬ求证:ｋ１ｋ２为定值.１８.(本小题满分１７分)绿色已成为当今世界主题ꎬ绿色动力已成为时代的驱动力ꎬ绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流ꎬ最新研发了一款新能源汽车ꎬ并在出厂前对该批次汽车随机抽取１００辆进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析ꎬ得到如图３所示的频率分布直方图.㊀图３(１)估计这１００辆汽车的单次最大续航里程的平均值ｘ－(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)ꎻ(２)若单次最大续航里程在３３０ｋｍ到４３０ｋｍ的汽车为Ａ类汽车 ꎬ以抽样检测的频率作为实际情况的概率ꎬ从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取１０辆ꎬ设这１０辆汽车中为Ａ类汽车的数量为Ｙꎬ求Ｅ(Ｙ).(３)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车ꎬ现面向意向客户推出玩游戏ꎬ送大奖活动ꎬ客户可根据抛掷硬币的结果ꎬ操控微型遥控车在方格图上行进ꎬ若遥控车最终停在胜利大本营 ꎬ则可获得购车优惠券.已知硬币出现正㊁反面的概率都是１２ꎬ方格图上标有第０格㊁第１格㊁第２格㊁㊁第３０格.遥控车开始在第０格ꎬ客户每掷一次硬币ꎬ遥控车向前移动一次ꎬ若掷出正面ꎬ遥控车向前移动一格(从ｋ到ｋ＋１)ꎬ若掷出反面ꎬ遥控车向前移动两格(从ｋ到ｋ＋２)ꎬ直到遥控车移到第２９格(胜利大本营)或第３０格(失败大本营)时ꎬ游戏结束.已知遥控车在第０格的概率为Ｐ０＝１ꎬ设遥控车移到第ｎ格的概率为Ｐｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ３０)ꎬ试证明:数列{Ｐｎ－Ｐｎ－１}(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ２９)是等比数列ꎬ并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车?１９.(本小题满分１７分)(１)证明:当０<ｘ<１时ꎬｘ－ｘ２<ｓｉｎｘ<ｘꎻ(２)已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓａｘ－ｌｎ(１－ｘ２)ꎬ若ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ求ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共11页）2025届云南三校高考备考实用性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C D C 【解析】1．2230x x -->，(3)(1)0x x -+>，得x >3或x <−1，∴{|31}A x x x =><-或，{|04}B x x =<<， ∴{|13}A x x =-R ≤≤ ，∴(03]A B =R ，，故选B.3．由题意及图得，1tan 3α=，1tan 2β=，∴11tan tan 23tan()11tan tan 11123αβαβαβ+++==⨯=-+-，∵π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴π4αβ+=，∴tan()1αβ+=，故选D.5．55771log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<，故选D. 6．A ．∵148a a =，322a a =+，23223332824422a a a a a a a a ===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==--=⎩⎩⎩或（舍去）∴，∴322.aq a ==11a =∴； B. 1112n n n a a q --== ，112112n n n a a q a S q --==-- ，∴12n n S a -=-，∴21n n S a =-；C ．1221log log 21112222n n n n n n n a n n b S a ----====+ ；D ．1122n nn nb b ++--=，∵12345b b b b b <=>>…， ∴2314b b ==，∴23{}n b b b 的最大项为和，故选C. 7．如图1，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，所在直线为x 轴，y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，则B (2，2，0)，A 1 (2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，N (1，2，0)，设M (0，y ，2)(02y <<)，则(220)DB = ，，，1(202)DA =，，，设平面1A BD 的法向量为图1数学参考答案·第2页（共11页）111()n x y z = ，，，则11111220220n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取11x =，得(111)n =-- ，，， (022)CM y =- ，，∵，∴ (111)(022)0n CM y y =---=-≠ ，，，，，故A 不正确； (22)AM y =- ，，∵，∴(220)(22)240DB AM y y =-=-≠，，，，，故B 不正确；(122)MN y =-- ，，∵，∴(111)(122)10n MN y y =----=+≠，，，，，故C 不正确；∵11A D AD ⊥，111A D C D ⊥，111 AD C D D = ，1AD ，111C D AD M ⊂平面，∴11 A D AD M ⊥平面.又11A D A BD ⊂平面，∴平面11A BD AD M ⊥平面，故D 正确，故选D.8．因为2π3OAP ∠=且OP 的垂直平分线经过点A ，所以OPA △为等腰三角形且OA PA a ==，所以在三角形FPA △中tan tan(60)1FPA PFA ∠=-∠== ，∴45FPA ∠= ，从而在三角形FPA △由正弦定理可知：sin sin AF AP FPA PFA =∠∠，即：sin sin a c aFPA PFA+=∠∠，24=，解得e =，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ABD BD AD【解析】9．由题，2()33f x x '=-，令()0f x '>得1x >或1x <-，令()0f x '<得11x -<<，所以()f x 在(1)-∞-，，(1)+∞，上单调递增，(11)-，上单调递减，所以1x =±是极值点，故A 正确；令3()3h x x x =-，该函数的定义域为R ，33()()(3)3()h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(00)，是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动两个单位得到()f x 的图象，所以点(02)，是曲线()y f x =的对称中心，故B 正确；因为(1)40f -=>，(1)0f =，(2)0f -=，所以，函数()f x 在(1)-∞-，上有一个零点，当1x >时，()(1)0x f f >=，即函数()f x 在数学参考答案·第3页（共11页）(1+)∞，上无零点，综上所述，函数()f x 有两个零点，故C 错误；令2()330f x x '=-=，可得1x =±，又(1)0(1)4f f =-=，，当切点为(10)，时，切线方程为0y =，当切点为(14)-，时，切线方程为4y =，故D 正确，故选ABD.10．根据辅助角公式得πsin()cos()n 4)i (x f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，0ω>， 2π2π2πT ω===∴，即π()24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵函数()f x过点(0，π||2ϕ≤，(0)πin 4f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，则ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，．当0k =时π4ϕ=．即π()222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令2(2ππ2π)x k k k ∈+∈Z ，，，则πππ2x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，当0k =时，()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，故A 错误；令2πx k k =∈Z ，，则π2k x k =∈Z ，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；因为()2f x x =为偶函数，所以(||)2|)2f x x x ==，则(||)f x 的周期为πk k ∈Z ，且0k ≠，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移π6个长度单位得到函数()g x 的解析式为ππ()2263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选BD ．11．∵2n n a =，31n b n =-，∴C n 是以2为首领，4为公比的等比数列，∴12n n C q -==1222124222n n n ---== ，∴61532232C -===， A 正确B 不正确；311(31)22n n n n b n n a -==- ；35552n nn S +=-<，而1 1n S S =≥，∴15n S <≤，D 正确；C. 1111(31)(32)3n n b b n n +==-+ (32)(31)(31)(32)n n n n +----+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴13n T =111111125588113132n n ⎛⎫-+-+-+- ⎪-+⎝⎭1…1113232n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11696n =-+，∴C 选项错误，正确选项为AD ，故选AD.数学参考答案·第4页（共11页）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(2)ln (2)ln 22f f a a =-+=-+，∴，解得0a =，当0a =时，31ln31()2f x x x x =-+，(31)(31)0x x -+>，解得13x >或13x <-，则其定义域为1|3x x ⎧>⎨⎩或13x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.13()13131ln ln ln 3()13()(2)(2)(1)132x x f x x x x x x x x ---+-⎛⎫== ⎪-+-+⎝--⎭=-- 312ln31()x x x f x -==+，故此时()f x 为偶函数. 13．正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO1上，记为O ，如图2，则 PO =AO =R ， 12PO =，12OO R =-，在Rt △AOO 1中，1 2AO =，由勾股定理：222 (2)2R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，得98R =，所以球的表面积 281π4π16S R ==. 14．过点AB ，作抛物线C ：24y x =的准线的垂线，垂足为M N ，，设AM λ=，BNμ=，则由梯形的中位线可知2d λμ+=，在AFB △中由余弦定理可知：||AB =所以||AB d =又因||AB d====，当且仅当λμ=时，等号成立，所以||AB d 图2数学参考答案·第5页（共11页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为(cos cos cos )sin cos a A B C A C +=，由正弦定理得，sin (cos cos cos )sin cos A A B C B A C +=，因为(0π)sin 0A A ∈≠，，，所以cos cos cos cos A B C B C +，……………………………………（2分）因为cos cos()A B C =-+sin sin cos cos B C B C =-．……………………………………（4分）所以sin sin cos B C B C =，又sin 0B ≠，则tan C =，因为(0π)C ∈，，所以π3C =． ……………………………………（6分）（2）由正弦定理，4sin cC=，则4sin c C ==，………………………………（8分）由余弦定理：22222121cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2()212a b ab ab +--=， 2()123a b ab +-=，∴a b +=∵， ………………………………（11分）12ab =，∴1sin 2ABC S ab C ==故△的面积 ………………………………（13分）16．（本小题满分15分）（1）证明：在四边形ABCD 中作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图3， ∵CD AB ，2CD AD CB ===，4AB =， ∴四边形ABCD 为等腰梯形，1AE BF ==∴，故 DE BD ==.……………………（2分）数学参考答案·第6页（共11页）∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面， ∴PD BD ⊥，又∵PD AD D = , ∴BD ⊥平面P AD. ……………………（5分）又 PA PAD ⊂平面， ∴BD PA ⊥．……………………………（7分）（2）解：如图4，以D 为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得BD =，则A (2，0，0)，B (0，，0)， P (0，0)，则(20AP =- ，，(0BP =-，， ……………………………（9分）设平面P AB 的法向量()n x y z =，，，则有20n AP x n BP ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取12)n = ，， …………………（12分）又平面ABD 的一个法向量 (001)m = ，，，……………………（13分）∴||cos 2||||m n m n m n 〈〉==，，…………………（14分）即平面ABD 与平面P AB所成夹角的余弦值为2，所以，平面ABD 与平面P AB 的夹角为π4. …………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）解：设椭圆1C 的半焦距为c ，由椭圆的定义可知2ABF △的周长为，12BF F △的周长为2c +，又2ABF △与12BF F △的周长之差为4-……………………………………（2分）所以24c -=-，图3图4数学参考答案·第7页（共11页）又因椭圆1C 左右焦点12F F ，分别为椭圆2C 的左右顶点.c a =∴，……………………………………（4分）联立解得，a =从而有c a == ……………………………………（5分）所以222222a b c -==，解得21b =，所以所求椭圆1C 的方程为22142x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=．……………………………………（6分）（2）①证明：由（1）可知椭圆1C 的方程为22142x y +=，12(0)0)F F ，，设000()(0)M x y y ≠，，则有220012x y +=，于是12kk 2020122y x ===--.……………………………………（10分）②解：因为1212k k =-，所以21k =-，所以直线DE的方程为：y x =-联立y x =-与22142x y +=，消去y得：230x -=,……………………………………（11分）则有：1203x x ==，所以(033D E ⎛- ⎝⎭，，……………………………………（14分）83DE ==． ……………………………………（15分）附注：本题也可由椭圆的焦半径公式可知：122()DE a e x x =-+22224412k k =-+．也可以利用弦长公式直接求. 18．（本小题满分17分）解：（1）x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405 =300(km)．……………………………………（3分）数学参考答案·第8页（共11页）（2）由题意可知任取一辆汽车为“A 类汽车”的概率为(0.0040.001)500.25+⨯=，……………………………………（4分）经分析Y ~(100.25)B ，，……………………………………（6分） ()100.25 2.5E Y =⨯=．……………………………………（8分）（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(229)n n ≤≤格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为212n P -；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+， ……………………………………（10分）所以1121()2n n n n P P P P ----=--，……………………………………（11分）因为1012P P -=-，所以129n ≤≤时，数列{P n −P n −1}是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列.所以1112P -=-，22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯+-+=1111...1222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ⎪⎝⎭， 01P =也满足上式，故1211(0129)32n n P n +⎡⎤⎛⎫=--=⋯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，，，……………………………………（14分）所以获胜的概率302921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，数学参考答案·第9页（共11页）失败的概率2929302811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………………………（16分）所以30292829302111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以获胜的概率大.所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．……………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）证明：构建()sin (01)F x x x x =-∈，，， ……………………………………（1分）则()1cos 0F x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（2分）则()F x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0F x F >=，所以sin (01)x x x >∈，，； ……………………………………（3分）构建22()sin ()sin (01)G x x x x x x x x =--=-+∈，，，………………………………（4分）则()21cos (01)G x x x x '=-+∈，，， ……………………………………（5分）构建()()(01)g x G x x '=∈，，，则()2sin 0g x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立，……………………………………（6分）则()g x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0g x g >=，即()0G x '>对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（7分）则()G x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0G x G >=，所以2sin (01)x x x x >-∈，，；综上所述：sin x x x x 2-<<． ……………………………………（8分）（2）解：令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(11)-，，若0a =，则21ln(1)(11)()f x x x =--∈-，，，令21u x =-，因为1ln y u =-在定义域内单调递减，21u x =-在(10)-，上单调递增，在(01)，上单调递减，则21ln(1)()x x f =--在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递增，数学参考答案·第10页（共11页）故0x =是()f x 的极小值点，符合题意. ……………………………………（10分）当0a ≠时，令||0b a =>，因为222()cos ln(1)cos(||)ln(1)cos ln(1)x ax x a x x bx f x =--=--=--，且22()cos()ln[1()]cos ln(1)()x f f x bx x bx x -=----=--=，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，…………………………………………………………（11分）由题意可得：22()sin (11)1xf x b bx x x '=--∈--，，（i ）当202b <≤时，取1min 1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，(0)x m ∈，，则(01)bx ∈，，由（1）可得222222222(2)()sin()111x x x b x b f x b bx b x x x x +-'=-->--=---，且222202010b x b x >-->，≥，，所以2222(2)()01x b x b f x x +-'>>-， ……………………………………（13分）即当(0)(01)x m ∈⊆，，时，()0f x '>，则()f x 在(0)m ，上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)m -，上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，符合题意； ……………………………………（14分）（ⅱ）当22b >时，取10(01)x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，，，则(01)bx ∈，，由（1）可得2233223222222()sin ()(2)111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建3322321()20h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，，， …………………………………（15分）则32231()320h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，，，且331(0)00h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，，则()0h x '>对10x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，恒成立，可知()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，且21(0)2020h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，，数学参考答案·第11页（共11页）所以()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在唯一的零点10n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当(0)x n ∈，时，则()0h x <，且2010x x >->，，则3322322()(2)01xf x b x b x b x b x'<-+++-<-，……………………………………（16分）即当(0)(01)x n ∈⊆，，时，()0f x '<，则()f x 在(0)n ，上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)n -，上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，不符合题意；综上所述：22b ≤，即22a ≤，解得a ，故a的取值范围为a .……………………………………（17分）。

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彝良职高2011年秋季学期高三数学测试题
（一）
答卷注意事项：
1.学生必须用碳素墨水笔直接在试题卷上答题；
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚；
3.字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用；
4.本卷共29大题，总分为150分，考试时间120分钟；
一、选择题（每题4分，共计80分）
1、a a -是（）
A 、负数
B 、非负数
C 、0
D 、正数
2、将式子
） A
B 、
C
D 、3、下列约分中正确的是（）
A 、62
3x x x = B 、x m m x n n
+=+ C 、
1x y x y -=--+ D 、22x y x y x y +=++ 4、已知331a a a a
--+=+，则2a =（）
A 、1
B 、3
C 、2
D 、3+ 5、设a b c ===a,b,c 的大小关系是（） A 、a<b<c B 、a>b>c C 、c>a>b D 、a<c<b 6、若21025,m =则10m -= （）
A 、15
B 、15-
C 、1625
D 、15
±
7、若x,y 都大于零，且2lg(2)lg lg x y x y -=+，那么x
y
=（） A 、1 B 、
1
4
C 、4
D 、不是确定的数 8、下列各式的值为零的是（）
A 、00
B 、1log 1
C 、0(2
D 、2log 1-
9、不等式组2
,3
x x >-⎧⎨<⎩的解集为（）
A 、{}/2x x >-
B 、{}/3x x <
C 、{}/23x x -<<
D 、空集 10、不等式ax b >（0a ≠）的解集是（）
A 、空集
B 、/b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
C 、/a x x b ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
D 、//b b x x x x a a ⎧
⎫⎧⎫>⋃<⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭
11、不等式2330x +>的解集为（）
A 、R
B 、空集
C 、{}/11x x x >-<或
D 、{}/11x x x ><-或
12=（）
A 、
B
C 、
D 13、若x y m
x y n +=⎧⎨-=⎩
，那么2x-3y 的值是（）
A 、1(4)2m n +
B 、1(5)2m n -
C 、1(5)2n m -
D 、1
(5)4
n m -
14、已知a a =-，那么a 是（）
A 、正数
B 、负数
C 、非正数
D 、0 15、已知a<-b ，且ab>0,化简a b a b ab +-+-等于（） A 、-ab B 、2a+2b+ab C 、-2a-2b+ab D 、-2a+ab 16、关于函数2()1f x x =+ 的说法正确的是（） A 、在(,0)-∞是增函数 B 、在[0,)+∞是增函数 C 、在(,1)-∞是增函数 D 、在[1,)-+∞是增函数
17、已知函数
{1(0)
1(0)()x x x x f x -≥+<=，则((0))f f = （）
A 、0
B 、-1
C 、1
D 、2
18、方程
1 1.20.25 1.25x x --=的解为（） A 、194 B 、138 C 、- 138 D 、-194
19、2lg(3)2lg x x +-的值为（）
A 、负数
B 、正数
C 、0
D 、不存在 20、下列函数中，在定义域内是减函数的是（） A 、1
y =-
B 、2y x =
C 、2y x =
D 、3y x =-
二、填空题（每小题5分，共计25分）
21、∣x +1∣+2010(1)y -=0，则2011()xy =
22、已知a,b 为实数，且满足221a a -=-，则20112011a b += 23、已知：x=2,y=-1是方程组1
4ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a= b=
24、若3
log 4
x =
，则x=
25、若1a
a
=-12a -=
三、计算题（共计45分，写出必要演算步骤，不然不得分） 26、（10分）计算56784567log log log log
27、（10分）已知
1
2
x=，求
1
1
1
1
1
x
x
x
+
-
++
-
28、(15分)求关于x的方程2
(1)2(3)0
m x m x m
+--+=的根.
29、（10分）解不等式
2
2
54
56
x x
x x
++
<
--
.。