高考数学一轮总复习：数系的扩充与复数的引入
2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i.4．若复数z 满足z1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i1－i＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )224＝i 4＝1.答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB，其中O 为坐标原点，则|AB|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25.答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. 答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B a ＋2i i ＝i (a ＋2i )i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x (x 2＋y 2＋1)＋y (1－x 2－y 2)i(x 2－y 2＋1)2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725.由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP|，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP . AB ＝(2,2)，AP＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴0<cos θ<22. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝________.解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________． 解析：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2α－π3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝2⎝⎛⎭⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]． 所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1＝2⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC的值域．解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC＝(－1，3)．所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc 2sinA ≤a 22·32＝334.。
2024年高考数学总复习第十五章数系的扩充与复数的引入
a＋b＝0， 2a－2＝0，
解得ab＝ ＝1－，1.
故选 A.
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真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
2．(2022·浙江，2，4 分)已知 a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i 为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
Ⅰ.复数的实部和虚部
1．(2022·全国乙卷(文)，2，5 分)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中 a，b 为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1
B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝－1，b＝－1
答案：A 由(1＋2i)a＋b＝2i，得 a＋2ai＋b－2i＝0，即(a＋b)＋(2a－2)i＝0，所以
命题者说：(1)理解复数的概念．(2)熟练掌握共轭复数的概念与性质，复数相等的充要条件．
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题 第22题
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C．110
D．130
答案：D 是130 .故选 D.
因为1－1 3i ＝（1－3i1）＋（3i1＋3i） ＝110 ＋130 i，所以复数1－1 3i 的虚部
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真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
5．(2017·课标全国Ⅰ，3，5 分)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1z ∈R，则 z∈R； p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2； p4：若复数 z∈R，则 z∈R. 其中的真命题为( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入 文 湘教版
2009~2013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节 数系的扩充与复数的引入考点一 复数的概念 1．（2013广东，5分）若i(x ＋yi)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋yi 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：本题主要考查复数运算、相等、模等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得－y ＋xi ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，∴|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋－＝5.答案：D2．(2013安徽，5分)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力． 复数a －103－i＝a －＋－＋＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.答案：D 3．（2013福建，5分）复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的几何意义，意在考查考生的数形结合能力．复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限． 答案：C 4．（2013北京，5分）在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限．因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故选A. 答案：A 5．（2013湖南，5分）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的乘法运算和概念，意在考查考生对复数乘法运算和复数概念的掌握．z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限． 答案：B6．（2013江西，5分）复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 本题主要考查复数的乘法及复数的几何意义，旨在考查考生对复数知识掌握的程度．因为z ＝i(－2－i)＝－2i －i2＝1－2i ，所以它对应的点为(1，－2)，其在第四象限． 7.（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：本题主要考查复数的几何表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解．设点A(x ，y)表示复数z ＝x ＋yi ，则z 的共轭复数z ＝x －yi 对应的点为B(x ，－y)，选B. 答案：B8．（2012新课标全国，5分）复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋－2＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.答案：D9．（2012北京，5分）在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：由10i3＋i＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．答案：A 10．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 答案：A11．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋bi ＝a －bi 为纯虚数，则a ＝0，b≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B12．（2012江西，5分）若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共扼复数，则z2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z2＋z 2的虚部为0. 答案：A13．（2011山东，5分）复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝2－i2＋i＝－－5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D 14．（2010北京，5分）在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i解析：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i. 答案：C15．（2012江苏，5分）设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋bi ＝11－7i1－2i ＝－＋5＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：816．（2012湖北，5分）若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i＝＋＋－＋＝3－b ＋＋2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：3 17．（2011江苏，5分）设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是____． 解析：z ＝－3＋2i i －1＝1＋3i ，所以z 的实部是1.答案：1考点二 复数的运算1.（2013新课标全国Ⅰ，5分）1＋2i－＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：本题主要考查复数的基本运算.1＋2i －＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i.答案：B2. （2013新课标全国Ⅱ，5分）⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1解析：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，意在考查考生对基础知识的掌握程度.21＋i ＝－2＝1－i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋－＝ 2.答案：C3．（2013山东，5分）复数z ＝－i(i 为虚数单位)，则|z|＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：本题主要考查复数的基本概念和运算，考查运算能力．z ＝－i＝－－1＝－4－3i ，|z|＝－＋－＝5.答案：C4．(2013浙江，5分)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i解析：本题主要考查复数的基本运算等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i ＋i2＝5＋5i. 答案：C5．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i －1－－1＋＝－12－12i ，所以|z|＝22.答案：B6．（2013天津，5分）i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.解析：本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力．(3＋i)(1－2i)＝5－5i. 答案：5－5i 7．（2012山东，5分）若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i解析：z ＝11＋7i2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 答案：A8．（2012广东，5分）设i 为虚数单位，则复数3＋4ii ＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i解析：3＋4i i＝－i(3＋4i)＝4－3i.答案：D 9．（2012安徽，5分）复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3i D ．1－2i解析：设z ＝a ＋bi ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋ai ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1. 答案：B 10．（2012福建，5分）复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i解析：(2＋i)2＝4－1＋4i ＝3＋4i 答案：A11．（2012浙江，5分）已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 解析：3＋i 1－i ＝＋＋2＝1＋2i.答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数5i1－2i ＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i 解析：5i1－2i＝＋－＋＝－2＋i.答案：C 13．（2011广东，5分）设复数z 满足iz ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1解析：由iz ＝1得z ＝1i＝－i.答案：A 14．（2011福建，5分）i 是虚数单位，1＋i3等于( ) A ．i B ．－iC ．1＋iD ．1－i解析：由i 是虚数单位可知：i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i. 答案：D15．（2011辽宁，5分）i 为虚数单位，1i ＋1i3＋1i5＋1i7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i解析：利用i2＝－1，∴1i ＋1i3＋1i5＋1i7＝1i －1i ＋1i －1i ＝0.答案：A16．（2011北京，5分）复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i解析：i －21＋2i ＝－2＋－＋－＝5i5＝i. 答案：A 17．（2011湖南，5分）若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋ai ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1. 答案：C 18．（2011江西，5分）若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i解析：由题意得，xi ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋yi ＝2＋i. 答案：B19．（2010浙江，5分）设i 为虚数单位，则5－i1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 解析：5－i 1＋i ＝－－＋－＝4－6i 2＝2－3i.答案：C20．（2010辽宁，5分）设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋bi ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i a ＋bi ＝1＋i ，得a ＋bi ＝1＋2i 1＋i＝＋－＋－＝1－i ＋2i －2i22＝3＋i 2＝32＋12i ， ∴a ＝32，b ＝12.答案：A 21．（2010江苏，5分）设复数z 满足z(2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：∵z(2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ，∴|z|＝2|3＋2i||2－3i|＝2.答案：2。
高三数学第一轮复习专题---数系的扩充与复数的引入
第五十三讲 数系的扩充与复数的引入班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·山东)已知2a ii +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( )A.-1B.1C.2D.3解析:由2a ii +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.答案:B2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( )A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y,又因x,y 为实数,所以有1,10y x x =+⎧⎨-=⎩解得1.2x y =⎧⎨=⎩答案:D3.(2010·新课标全国)已知复数z 是z 的共轭复数,则z·z =( )11..42.1.2A B C D解析:∵z======∴z =∴z•z =|z|2=14,故选A.答案:A4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( )A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析:z 1•z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2=4+2i.答案:A5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2C.|z-z |≥2xD.|z|≤|x|+|y|解析:|z|==|x|+|y|,D 正确,易知A ､B ､C 错误.答案:D6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时,b+c+d 等于( )A.1B.-1C.0D.i解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1.答案:B二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i-对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1)i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)8.(2010·重庆)已知复数z=1+i,则2z-z=________.解析:222(1)(1)1(1)(1)iz iz i i i--=-+=-++-(1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.答案:-2i9.(2010·江苏)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为________. 解析:∵z(2-3i)=6+4i,∴z=6423ii+-,∴|z|=2|32|2.|23|ii+=-答案:210.已知复数z=x+yi且则yx的最大值是________;最小值是________.解析:∵|z∴(x-2)2+y2=3,则yx可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,设yx=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.=解得k=k=最小值为答案三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内.解:(1)若z为纯虚数,则有22(22)0320lg m mm m⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即2221(1)(2)0m m m m ≠⎧--=⎨++⎩⇒(3)(1)0(1)(2)0m m m m ≠-+=⎧⎨++⎩∴m=3;(2)若z 为实数,则有22220320m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩ ⇒m=-1或m=-2;(3)若z 对应的点在复平面内的第二象限,则有2222220(22)0221320(1)(2)0m m lg m m m m m m m m ⎧-->⎧--<⎪⎪--<⎨⎨++>⎪⎩⎪++>⎩⇒111321m m m m m ⎧<>+⎪-<<⎨⎪<->-⎩或⇒或12.复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ､B ､C,若∠BAC 是钝角,求实数c 的取值范围.解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得AB AC <0,且B ､A ､C 不共线,由(-3,-4)·(c -3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB ==- ,三点共线,故c≠9.∴c 的取值范围是c>4911且c≠9. 13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b z =(a+2z)2.分析:充分利用共轭复数的性质､复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快､别具一格的解法.解:因为z=1+i,因为a,b都是实数,所以可得224,24(2).a b a a a b a⎧+=+⎨-=+⎩解得112 1a b =-⎧⎨=-⎩或2 24, 2.a b =-⎧⎨=⎩即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.。
高考数学(理科)一轮复习：单元五 5.4 数系的扩充与复数的引入
若复数 z1, z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共线, 则复数 z1+z2 是以 ������������1 , ������������2为两邻边的平行四边形的对角线������������ 所对应的复数;复数 z1 -z2 是������������1 − ������������2 = ������2 ������1所对应的复数.
当 b=0 时, a+bi 为实数;当 a=0, 且 b≠0 时, a+bi 为纯虚数;当 b≠0 时, a+bi 为虚数 实数能比较大小, 虚数不能比 较大小 实数 a 的共轭复数是 a 本身
第五章
知识梳理 考点自测
5.4
数系的扩充与复数的引入
关键能力 学科素养
必备知识
-3-
内容 复平 面
意
义
备
C
解析 答案
第五章
知识梳理 考点自测
第五章
知识梳理 考点自测
5.4
数系的扩充与复数的引入
关键能力 学科素养
必备知识
-7-
1.(1±i)2=±2i; 1-������ =i;1+������ =-i.
2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).
解析 答案
第五章
知识梳理 考点自测
5.4
数系的扩充与复数的引入
关键能力 学科素养
必备知识
高考数学一轮总复习 专题13 数系的扩充与复数的引入 13 数系的扩充与复数的引入课件
1i 1i
7.复数z=a+bi(a,b∈R)的模,也就是向量 OZ 的模,即有向线段 OZ 的长度, 计算公式:|a+bi|= a2 b2 . 当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|= a2 .这与以前关于实 数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对 值概念的扩充. 8.共轭复数及其运算性质
方法技巧
方法1 复数有关概念的解题方法
掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件,两个复数互为共轭复
数的充要条件,两个复数相等的充要条件.明确复数问题实数化是解决
复数问题的最基本的思想方法.
例1 (2018浙江杭州第一学期教学质检,11)设复数z= 25 i (其中i为虚数
单位),则复数z的实部为
2 3i
i
= (2 i23i)i
= 2i 3
1
=3-2i,则其虚部为-2,模为 32
(2)2
= 13
.
答案 -2; 13
考向二 复数的运算 例2 (2018浙江嘉兴第一学期期末,2)若复数z=2-i,i为虚数单位,则(1+z) (1-z)= ( ) A.2+4i B.-2+4i C.-2-4i D.-4 解析 由z=2-i,得(1+z)(1-z)=(3-i)(-1+i)=-3+3i+i-i2=-2+4i,故选B. 答案 B
z=a+bi与 z =a-bi(a,b∈R)互为共轭复数,且z+ z =2a,z- z =2bi,z· z =|z|2=| z |2,运
高考一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积
[分析](1)利用夹角公式求解．
[解析](1)设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝( ， )，
cos<a，c>＝ ＝ ＝ ，
∴sin<a，c>＝ ，故选B.
(2)∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.又|a＋b|＝ ＝ ＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝ ＝ ＝ .故选D.
A. B．
C．6D．
[解析](1)本题考查向量的数量积．由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝ ，b2＝|b|2＝1.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝ ＋2＝ ≠0，故A错；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B错；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝ －2＝－ ≠0，故C错；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝| |＝ .
[分析](1)求出|a|，再由|2a－b|＝ 求解；
[解析](1)∵a＝(1，－ )，∴|a|＝2.
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝3，
|2a－b|＝ ＝ ＝ .故选C.
(2)由题意知m·n＝ ×2×cos ＝3.
∵△ABC中，D为BC的中点，
∴ ＝ ( ＋ )＝ (2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.
高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
i1＋2 3i 2 21005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1005 ＝i＋( ) ＝i＋i1005 －2i ＝i＋i4
×251＋1
＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
1＋i2 6 ＝ ＋ 2
6
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
－2＋2i z1 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，共轭复数 z2 1－i 2 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
1－i 3． 设复数 z＝ ＋(1＋i)2， 则(1＋z)7 展开式的第 1＋i 五项是 ( A．－21 C．－21i B．35 D．－35i )
(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
• 此题是基础题，用到了复数的分类．在对 复数进行分类时要注意，使得虚部和实部 均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝ 0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时， 应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义； 当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保 证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题 时要特别小心.
→ → 解析：如右图，OA与OB对应复数 z1、z2， → → ∴OC、BA分别对应复数 z1＋z2 和 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|， → → ∴|OC|＝|BA|， ∴平行四边形 OACB 为矩形， → → ∴OA⊥OB，即OA⊥OB.
答案：C
• 1．复数的代数运算 • (1)复数代数运算的实质是转化为实数运 算，在转化时常用的知识有复数相等，复 数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质．
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数系的扩充与复数的引入[基础梳理] 1．复数的有关概念2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 复平面内的点Z (a ，b )向量OZ→. 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(2)复数加法的运算律：设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )数系表复数⎩⎪⎨⎪⎧实数a (b ＝0)虚数a ＋b i (b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数b i (a ＝0)非纯虚数a ＋b i (a ≠0)2．复数不能比较大小 3．几个重要运算结论 (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈Z *)． (4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．[四基自测]1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A ．2－iB ．2＋iC ．3－4iD ．3＋4i答案：C2．(教材改编)若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( ) A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1 D.23<m <1答案：D3．已知z1＋i ＝3－i ，则复数z 的实部为________．答案：4 4．复数z ＝7＋i3＋4i，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 答案：2考点一 复数的概念和运算◄考基础——练透[例1] (1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题设知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. 答案：A(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i. 答案：5(3)已知i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)·(a ＋i)＝a ＋i －2a i ＋2＝a ＋2＋(1－2a )i ，且(1－2i)·(a ＋i)为纯虚数，可得：a ＋2＝0且1－2a ≠0，所以a ＝－2.故填－2. 答案：－2(4)(2018·高考全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1D.2解析：∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z|＝1.故选C.答案：C解决复数概念类问题的要点(1)找准复数的实部和虚部．复数的相关概念都与实部和虚部有关．(2)复数问题实数化．解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理．1．本例(1)条件不变，求|(1＋2i)(a＋i)|.解析：当实部与虚部相等时，a＝－3，∴(1＋2i)(a＋i)＝－5－5i，∴|(1＋2i)(a＋i)|＝5 2.2．本例(3)条件改为“(1－2i)(a＋i)”为实数，求a的值．解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i为实数，∴1－2a＝0，∴a＝1 2.考点二共轭复数◄考基础——练透[例2](1)设复数z满足z＋i＝3－i，则复数z的共轭复数为() A．－1＋2i B．1－2iC．3＋2i D．3－2i解析：由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以z＝3＋2i，故选C.答案：C(2)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝() A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z ＝a －b i,2z ＋z ＝3a ＋b i ，又2z ＋z ＝3－2i ，所以3a ＋b i ＝3－2i ，故可得a ＝1，b ＝－2，即z ＝1－2i.故选B. 答案：B共轭复数的运算性质 (1)z z ＝|z |2＝|z |2. (2)|z |＝1⇔z ·z ＝1.(3)非零复数z ，则z 为纯虚数⇔z ＋z ＝0.1．若复数z 满足2z ＋z ·z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－1－i B ．－1－2i C ．－1＋2i D ．1－2i解析：设z ＝a ＋b i ⇒2(a ＋b i)＋(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＋2a ＋2b i ＝3－4i ⇒a ＝－1，b ＝－2⇒z ＝－1－2i. 答案：B2．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i解析：z|z |＝4－3i 42＋32＝45－35i ，故选D. 答案：D考点三 复数相等与复数的模◄考基础——练透[例3] (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B.2 C. 3D ．2解析：由(1＋i)x ＝1＋y i 得x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝1，y ＝x ＝1，故|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B. 答案：B(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________． 解析：由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，根据复数相等的条件可得⎩⎨⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2，故填2. 答案：2解决复数相等，可利用实数化思想，利用实部、虚部的关系构建实数方程组，也可以利用方程思想视“z ”为未知数直接求z .1．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：由已知等式可得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.答案：D2．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，得⎩⎨⎧ a 2－b 2＝0，2ab ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1，故选A. 答案：A考点四 复数的几何意义◄考基础——练透 [例4] (1)(2018·高考北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：11－i＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限． 故选D. 答案：D(2)若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则|z －i|＝|a ＋(b －1)i|＝(a －0)2＋(b －1)2≤2，所以(a －0)2＋(b －1)2≤2，复数z 在复平面内所对应的图形是以(0,1)为圆心，2为半径的实心圆，面积为2π. 答案：2π1.已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解．2.已知复数对应的点进行运算时，可建立方程待定系数求解．3.研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解．4.若复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝r ，点Z 在以(0,0)为圆心，r 为半径的圆上.1．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：要使复数z 对应的点在第四象限，需要满足⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A. 答案：A2．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，此复数对应的点在第二象限，故选B. 答案：B直观想象——复数几何意义中的学科素养复数z 的几何意义表示与点对应，模的几何意义表示长度，当涉及复数的几何意义时，用数形结合法，直观想象解决问题.[例] 复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，求|z ＋1＋i|的最值．解析：由|z ＋i|＋|z －i|＝2可知：复数z 对应的点Z 与点A (0，－1)，B (0,1)的距离之和为2，而|AB |＝2，所以复数z 对应的点Z 在以A ，B 为端点的线段上．而|z ＋1＋i|＝|z －(－1－i)|表示点Z 到点C (－1，－1)的距离，因而所求问题的几何意义是求定点C 到线段AB 上的动点Z 的距离的最大值与最小值，结合图形易知：|z ＋1＋i|max ＝|BC |＝5， |z ＋1＋i|min ＝|AC |＝1.课时规范练 A 组 基础对点练1．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：因为复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数， 所以⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.答案：B2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：由(1＋i)2＝2i 为纯虚数知选C. 答案：C3．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：因为m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数， 所以m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，所以m ＝－2. 答案：C4．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4iD ．4i解析：由已知可得z i ＝4，所以z ＝4i ＝－4i. 答案：C5．设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，则z 1－z 2＝(a 1＋b 1i)－(a 2＋b 2i)＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ，若z 1－z 2是虚数，则b 1－b 2≠0，所以b 1，b 2不能都为零，即“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”；若“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”，则b 1，b 2至少有一个不为零，但是有可能b 1－b 2＝0，比如1＋i,2＋i 都是虚数，但是它们的差为实数，所以“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的必要不充分条件． 答案：B6．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a＝0.故选B. 答案：B7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 解析：因为z ＝21＋i＝1－i ，所以z 的实部是1. 答案：18．|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝__________. 解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i 2i ＝3＋－22i ＋－23i2i ＝i. 答案：i9．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是__________．解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 B 组 能力提升练10．已知复数z 1＋i＝2＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3iC ．－1－3iD ．1＋3i 解析：由题意得，z ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，所以z ＝1－3i.答案：B11．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A ．3－2iB ．3＋2iC ．2＋3iD ．2－3i解析：因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.答案：D12．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数(i 为虚数单位)，则a ＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：因为(a ＋i)2i ＝(a 2＋2a i ＋i 2)i＝－2a ＋(a 2－1)i 是正实数，所以－2a ＞0，a 2－1＝0，解得a ＝－1.答案：D13.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC．1＋12i D．1－12i解析：1＋2i(1－i)2＝1＋2i－2i＝(1＋2i)i2＝－2＋i2＝－1＋12i.答案：B14．已知复数z＝x＋y i，且|z－2|＝3，则yx的最大值为__________．解析：复数z＝x＋y i且|z－2|＝3，复数z的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆(x－2)2＋y2＝3.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设yx＝k，即y＝kx，|2k|1＋k2≤3，可得k∈[－3，3]，则yx的最大值为 3.答案：315．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.解析：(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.答案：－1。