等差数列计算题
等差数列及答案
等差数列试题等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷２S=(a1＋a n)×n÷２等差数列之和=中项×项数末项=首项＋公差×（项数－1） a n=a1+d×(n-1)项数=（末项－首项）÷公差＋1 ｎ=（ａn-ａ1）÷d+11、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+102、计算1+2+3+4……+11+12+133、1+2+3……+1991+19924、所有两位数的和是多少？5、8个好朋友在公园门口聚会，每两人之间都要握一次手，他们一共要握多少次？6、求等差数列1、4、7……的第12项和第80项各是几？7、等差数列5、10、15……前100项的总和。
8、求等差数列3、6、9、12……第60项是多少？120是第几项？9、计算1+4+7……+29810、100以内除以4没有余数的数，一共有多少个？它们的和是多少？11、填空题（1）、1＋2＋3……＋99=（）（2）、2＋4＋6……＋100=（）（3）、0＋1＋2……＋100＋101=（）（4）、2＋4＋8＋10＋14＋16……＋92＋94＋98＋100=（）（5）、1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋9－10－11＋12＋……＋1992=（）（6）、（200＋198＋196＋……＋4＋2）－（199＋197＋195＋193＋……＋3＋1）=（）（7）、李师傅从1983年开始收徒弟，第一年只收了一个，以后几年中，每一年都比前一年多收两个，那么李师傅到1993年为止共收了多少个徒弟？（）（8）、1……100这一百个自然数中，能被3整除的数的和是（）（9）、某剧院共有40排座位，第一排有60个座位，以后每一排都比前一排多两个，则这个剧院共有（）个座位。
12、计算（1）1＋2＋3＋4＋5＋6 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 （3）1＋2＋3……＋79＋80（4）1＋2＋3......＋214＋215 （5）450－1－2－3......－20－21 （6）2000－1－2－3 (49)5013、小刚写大字，第一天写一个字，第二天写两个字，以后都是每天比前一天多写一个字，这样，小刚15天共能写多少个字？30天呢？14、13个人举行象棋比赛，每两人之间都要赛一场，他们一共要赛多少场？15、时钟在一点时敲一下，两点时敲两下，以此类推，十二点时敲十二下，当然，十三点也敲一下，十四点敲两下……，那么（1）从一点（包括一点）到五点共敲多少下？（2）一昼夜共敲多少下？16、工人叔叔堆放电线杆，最下面一层摆18根，第2层摆17根，第三层摆16根……最上面是第十八层，只摆1根，这堆电线杆共有多少根？等差数列参考答案1、552、913、19850284、10至99 99－10＋1＝90（10＋99）×90÷2＝49055、8×7÷2＝28次或7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28次6、a12＝1＋3×（12－1）＝34a80＝1＋3×（80－1）＝2387、5＋5×（100－1）＝500（5＋500）×100÷2＝252508、60项是3＋3×（60－1）＝180120是第（120－3）÷3＋1＝40项9、（298－1）÷3＋1＝100（1＋298）×100÷2＝1495010、100÷4＝25个这些数是：4、8、12……100。
等差数列习题
等差数列的通项公式及应用习题1一、 单选题(每道小题 3分 共 63分 )1. 已知等差数列{a n }中，a 2=2，a 5=8，则数列的第10项为[ ]A ．12B ．14C ．16D ．182. 已知等差数列前3项为-3，-1，1，则数列的第50项为[ ]A ．91B ．93C ．95D ．973. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有[ ]A ．13项B ．14项C ．15项D ．16项4. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a ，a 为常数，则公差d=[ ]A ．-3 B.3 C.23 D. -235. 已知等差数列{a n }中，a 1=1，d=3，那么当a n =298时，项数n 等于[ ]A ．98B ．99C ．100D ．1016. 在等差数列{a n }中，若a 3=-4，a 5=11，则 a 11等于 [ ]A ．56B ．18C ．15D ．457. 在等差数列{a n } 中，若a 1+a 2=-18，a 5+a 6=-2，则30是这个数列的[ ]A ．第22项B ．第21项C ．第20项D ．第19项8.在数列｛a n ｝中，若)12(21,2011+==+a a a n n ，则a 51等于[ ]A ．45B ．48C ．52D ．559. 已知等差数列{a n }中，a 8比a 3小10，则公差d 的值为 [ ]A ．2B ．-2C ．5D ．-510. 已知等差数列{a n }中，a 6比a 2大10个单位，则公差d 的值为[ ]A.2B.25C.4D.4511. 已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是[ ]A ．-5B ．0C ．5D ．1012. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=-15，a 3+a 4=-16，则a 1= [ ]A ．-1B ．-3C ．-5D ．-713. 已知等差数列{a n }中，a 10=-20，a 20n =20，则这个数列的首项a 1为 [ ]A ．-56B ．-52C ．-48D ．-4414. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 7=2a 3+a 4，那么这个数列的首项是 [ ]A ．21 B.2 C.0 D.415. 已知等差数列{a n }中，a 10=10，a 12=16，则这个数列的首项是 [ ]A ．-6B ．6C ．-17D ．1716. 已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 11=40，则a 6+a 7+a 8等于 [ ]A ．84B ．72C ．60D ．4317. 已知数列-30，x ，y ，30构成等差数列，则x+y= [ ]A ．20B ．10C ．0D ．4018. 已知等差数列的首项a 1和公差d 是方程x 2-2x-3=0的两根，且知d ＞a ，则这个数列的第30项是 [ ]A ．86B ．85C ．84D ．8319. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=3，则a 2+a 4= [ ]A ．3B ．2C ．1D ．-120. 等差数列{a n }中，已知a 5+a 8=a ，那么a 2+a 5+a 8+a 11的值为 [ ]A ．aB ．2aC ．3aD ．4a二、 填空题(每道小题 3分 共 12分 )1. 等差数列7，11，15，…，195，共有__________项．2. 已知等差数列5，8，11，…，它的第21项为_________．3. 已知等差数列-1，-4，-7，-10，…，则-301是这个数列的第______项．4. 已知等差数列{a n }中，a 4=10，a 8=22，则a 10=_____________．等差数列的前n项和习题一、单选题(每道小题 4分共 64分 )1. 工厂生产某种零件，如果从某一个月开始生产了200个零件，每月比上一个月多生产100个，那么经过多少个月后，该厂共生产3500个零件？ [ ]A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月2. 使得数列57，53，49，45，…的前n项和S n＜0的n的最小值是 [ ]A．32 B．31 C．30 D．293. 等差数列前n项和为S n，且S10=100，S30=900，那么S50的值为 [ ]A．2400 B．2500 C．2700 D．28004. 若数列{a n }的通项公式为a n=12-3n，则使a1+a2+…+a n为负数的最小的n的值为 [ ]A．7 B．8 C．9 D．105. 若等差数列通项为a n=3-na，且知S10=85，则常数a= [ ]A．1 B．-1 C．2 D．-26. 已知等差数列{a n }的前n项和为S n=an2+bn+c，a、b、c为常数，若a1=1，a3=5，则a+b+c=[ ]A．1 B．2 C．3 D．47. 在等差数列中，S20是前20项之和，d为公差，a1为首项，a10为第10项，a20为第20项，则S20等于 [ ]A．20a20 B．20a1+380d C．20a10+10d D．a1+380d8. 已知某等差数列各项之和为2380，首项为1公差为3，则这个数列共有 [ ]A．39项 B．40项 C．41项 D．42项9. 已知数列{a n }为等差数列，a3=5，则S5的值是 [ ]A．15 B．25 C．20 D．不确定10. 公差为d的等差数列{a n }中，前 n项和S n=n(1-n)，那么 [ ]A．d=2，a n=2n-2 B．d=2，a n=-2n+2 C．d=-2，a n=-2n+2 D．d=-2，a n=-2n-211. 在等差数列{a n }中，若a4+a7+a10+a13=16，则前16项的和是 [ ]A．64 B．75 C．80 D．85二、填空题(每道小题 4分共 112分 )2. 在等差数列{a n }中，已知a4=7，则它的前7项的和为________．3. 在等差数列{a n }中，已知a6+a9+a12+a15=30，则该数列前20项的和S20=________．4. 已知数列{a n }，a1=2，a n+1=a n-2(n=1，2，3，…)，则a1+a3+…+a25=___．5. 等差数列{a n }中，已知a6+a9+a12+a15=20，则S20=_______．6. 已知一个等差数列的前五项之和为45，第十项为30，则第100项是_____．7. 等差数列公差为2，前100项的和为40，则前100项中所有偶数项的和为_________．8. 若lgx+lgx2+lgx3+…+lgx n=n2+n，则x=_______．9. 等差数列{a n }中，已知a3=-5，a7=15，则a1+a2+a3+a4+a5=____________．11. 在数列{a n }中，已知S n=2n2-3n，则a5+a6=________．12. 若等差数列{a n }中，满足关系a1-a4-a8-a12+a15=2，则S15=______．14. 在等差数列{a n}中，a1=13，S11=S3，那么这个数列前______项的和最大，最大值是_______．15. 等差数列前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和为_______．17. 若数列{a n }的前n项和为S n=3n2+2n+1，则a n=__________________．18. 已知数列{a n }的通项公式为a n=2n-49，那么S n达到最小值时，n=______．19. 等差数列{a n }的公差d=-1且a1+a4+a7+…+a97=50，那么a3+a6+a9+…+a99的值是________．20. 已知一数列前n项之和是S n=3n2-1，则它的通项公式是__________．21. 已知数列{a n }的前n项和S n=5n2-3n，则a n=_____________．23. 某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同．结果全月共写589个大字．此人每天比前一天多写________个字．(这月共3天)25. 所有被7除余数是1的三位数的和为_________．26. 已知数列{a n}的前n项和为S n=an2+bn，若a2+a3=5，a3+a4+a5=12，则a=_______，b=_________．27. 计算2与10之间所有分母为5的分数(不算整数)之和为________．。
初一等差数列题目及答案
一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 初一等差数列题目及答案的值为（）A ．B ．1C ．D ．﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（）A ．以7为首项，公差为2的等差数列B ．以7为首项，公差为5的等差数列C ．以5为首项，公差为2的等差数列D ．不是等差数列3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（）A ．23B ．24C ．25D ．264．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=6，a 4=8，则公差d=（）A ．一1B ．2C ．3D ．一25．两个数1与5的等差中项是（）A ．1B ．3C ．2D ．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（A ．0B ．8C ．3D ．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A ．25B ．24C ．20D ．1910．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若满足a n =a n ﹣1+2（n ≥2），且S 3=9，则a 1=（）A ．5B ．3C ．﹣1D ．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（）A ．a 1+a 8＞a 4+a 5B ．a 1+a 8=a 4+a 5C ．a 1+a 8＜a 4+a 5D ．a 1a 8=a 4a 512．（2004•福建）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．13．（2009•安徽）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，则a 20等于（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．7）14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30B．35C．36D．24）17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（A．5B．6C．5或6D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5B．5或6C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12B．10C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230B．140C．115D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25C．50D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组D．﹣1，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{an}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{an}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为an=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（）A ．23B ．24C ．25D ．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a 1=13，a 3=12，利用等差数列的通项公式求得d 的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n 的方程，求出方程的解即可得到n 的值．解答：解：由题意得a 3=a 1+2d=12，把a 1=13代入求得d=﹣，则a n =13﹣（n ﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=6，a 4=8，则公差d=（）A ．一1B ．2C ．3D ．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=6，∴a 2=2∵a 4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C ．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A ．1B ．3C ．2D ．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a ，b 的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：故选B ．=3，点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a ，b 的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公n差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a}的公差为d，n所以a=23+5d，a7=23+6d，6又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．n解答：解：设数列{a}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，n故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．）8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8n∵∴b=a8﹣a18∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a﹣3，8∴a=11．8故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A ．25B ．24C ．20D ．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n }，则a 1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n }的公差d=3×4=12，∴a n =11+12（n ﹣1）=12n ﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n =12n ﹣1≤302，即n ≤25.5．又∵n ∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n }与{b n }，则a n =3n+2，b n =4n ﹣1．设{a n }中的第n 项与{b n }中的第m 项相同，即3n+2=4m ﹣1，∴n=m ﹣1．又m 、n ∈N*，可设m=3r （r ∈N*），得n=4r ﹣1．根据题意得1≤3r ≤100 1≤4r ﹣1≤100解得≤r ≤∵r ∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若满足a n =a n ﹣1+2（n ≥2），且S 3=9，则a 1=（）A ．5B ．3C ．﹣1D ．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S 3=9以及前n 项和公式求出a 1的值．解答：解：∵a n =a n ﹣1+2（n ≥2），∴a n ﹣a n ﹣1=2（n ≥2），∴等差数列{a n }的公差是2，由S 3=3a 1+=9解得，a 1=1．故选D ．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n 项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（）A ．a 1+a 8＞a 4+a 5B ．C ．a 1+a 8＜a 4+a 5a 1+a 8=a 4+a 5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a 1+a 8与a 4+a 5的关系．解答：解：∵a 1+a 8﹣（a 4+a 5）=2a 1+7d ﹣（2a 1+7d ）=0D ．a 1a 8=a 4a 5∴a 1+a 8=a 4+a 5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若A．1B．﹣1C．2=（）D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{an}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{ A．B．}的前n项和等于（）C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{an}中，a2=4，a6=12；∴公差d=∴an=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{an}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30B．35C．36D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（A．5B．6C．5或6D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1B．0C．1D．2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．）再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式an=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：an==∵n=1时适合an=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜ak＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5B．5或6C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和Sn 看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到Sn取得最小值时n的值．解答：解：因为Sn=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，Sn取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12B．10C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{an}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{an}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230B．140C．115D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25C．50考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：D．100根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10=果．解答：解：等差数列{an}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10=故选B．=25，运算求得结点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则A．1B．2考点：等差数列的前n项和．等于（）D．4C．3专题：计算题．分析：由S 1，S 2，S 4成等比数列，根据等比数列的性质得到S 22=S 1S 4，然后利用等差数列的前n 项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d ，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d 的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S 1，S 2，S 4成等比数列，∴（2a 1+d ）2=a 1（4a 1+6d ）．∵d ≠0，∴d=2a 1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n =﹣2n+21，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项考点：等差数列的前n 项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n ，令n=1求出数列的首项，利用a n ﹣a n ﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n 项和的公式，得到前n 项的和与n 成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n 项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n 大于等于0，列出关于n 的不等式，求出不等式的解集即可得到n 的范围，在n 的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n =﹣2n+21，得到首项a 1=﹣2+21=19，a n ﹣1=﹣2（n ﹣1）+21=﹣2n+23，则a n ﹣a n ﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n ＞1，n ∈N +），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n =19n+当n=﹣•（﹣2）=﹣n 2+20n ，为开口向下的抛物线，=10时，S n 最大．所以数列{a n }从首项到第10项和最大．方法二：令a n =﹣2n+21≥0，解得n ≤，因为n 取正整数，所以n 的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n }从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n 项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值；也可以直接令a n ≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n }满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a=3，1∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=n2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{a}的前n项的和，故a=s=5，n11∴a=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．2当n≤3时，|a|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．n故前10项之和为a+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，1故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n==（n 为正整数），求数列{b n }的前n 项和S n ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a 3a 6=55，a 2+a 7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n }的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n }的通项，利用等比数列的前n 项和公式求出数列{b n }的前n 项和S n ．解答：解（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，则依题设d ＞0由a2+a7=16．得2a 1+7d=16①由a 3•a 6=55，得（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①得2a 1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d ）（16+3d ）=220．即256﹣9d 2=220∴d 2=4，又d ＞0，∴d=2，代入①得a 1=1∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1所以a n =2n ﹣1（2）令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n ，a n+1=c 1+c 2+…+c n ﹣1两式相减得a n+1﹣a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1﹣a n =2∴c n+1=2，c n =2（n ≥2），即当n ≥2时，b n =2n+1又当n=1时，b 1=2a 1=2∴b n =＜BR ＞于是S n =b 1+b 2+b 3…+b n =2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n =2n+2﹣6点评：求一个数列的前n 项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。
奥数等差数列
1、求1+2+3+4+……+24+25的和2、甲数＝1+3+5+……+97+99，乙数＝2+4+6+……+98+100，问：甲数和乙数谁大？大多少？3、从4到81所有自然数的和是多少？4、五个连续自然数的和是100，求这五个数各是多少？5、四个连续自然数的和是162，求这四个数。
6、比101小的所有双数的和是多少？7、7个连续自然数的和是105，其中最小的数是多少？最大的数是多少？8、39个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是多少？9、全部三位数的和是多少？10、三年级52名学生站成4排照相，每一排都要比前一排多2人，每排各站多少人？11、十五个连续自然数中，最大数是最小数的3倍。
这十五个数的和是多少？12、11至18八个连续自然数的和加上1992，所得结果恰巧等于另外八个连续自然数的和，这另外八个连续自然数中，最小的是多少？13、四个连续奇数，第一个是第四个数的19/21，那么这四个数的和是多少？14、从1到n的连续自然数n个，这些自然数中偶数和是90，奇数和是100，n 是多少？15、在从1992开始的100个连续自然数中，前50个数的和比后50个数的和小多少？16、3＝1+2，1、2是连续自然数，10以内能用连续自然数的和表示出来的数有哪几个，请你写出来。
35能不能用几个连续自然数的和表示出来？如能，你能写出几种表示形式？请写出来。
17、有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。
例如：30就满足上述要求。
因为30＝9+10+11，30＝6+7+8+9，30＝4+5+6+7+8。
请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数，并简述理由。
18、有三个连续偶数，如果最大的一个偶数增加6之后，正好是原来三个偶数和的一半，最大的一个偶数是多少？19、1～1991这1991个自然数中，所有奇数之和与所有偶数之和的差是多少？20、1+2+3+4+…+1990+1991所得的和是奇数还是偶数？21、从100到200之间，所有奇数相加的和是多少？22、有100个连续自然数的和是8450，第一个自然数是多少？23、三个连续自然数，后两个数的积与前两个数的积之差是114，最小数是多少？24、五个连续奇数和的倒数是1/45，这五个奇数中最大的数是多少？25、在两位数10、11、……、98、99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变，问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？1、1＋2＋3＋…＋19992、2＋5＋8＋…＋2993、求数列6，9，12，…前100个数的和。
等差数列练习题(有答案)
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．803．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2206．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．10311．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5212．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3013．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13 B ．26 C ．52 D ．56 15．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1616．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2219．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S二、多选题21．题目文件丢失！22．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ）A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T23．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．324．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >25．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值26．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S27．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <29．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ；D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.30．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 14．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 15．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 16．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 17．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .二、多选题21．无22．AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈. 23．BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】 因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-， 212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-；∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ．【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．24．ABD【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确；所以6S 最大，故B 正确；所以()113137131302a a S a +⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a +⨯==>，故D 正确. 故选：ABD.25．BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.26．BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．27．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．28．BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.29．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．30．ACD【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.。
等差数列前n项和典型例题
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
【即时训练】在等差数列{an}中，a1=50，d=-0.6. （1）从第几项起以后各项均小于零？ （2）求此数列前n项和的最大值. 【解题提示】（１）实质上是解一个不等式，但要注意 ｎ为正整数；（２）转化为求二次函数的最大值的问题．
数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ 10 9 ·D=S100=10
2
D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22)=-120. ∴S110=-120+S100=-110. 练习：1、等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S8=132，Sm=690， Sm-8=270（m＞8），则m为（ ） 2、等差数列{ n}的前m项和为30，前2m项和为100，前3m项和为（210）
a
知识点：等差数列前n项和的性质的应用 (1)项数（下标）的“等和”性质： Sn= n（a1 a n） n（a m a n m 1）
2 2
(2)项的个数的“奇偶”性质： 等差数列{an}中，公差为d：
①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）；
S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；
故此数列的前110项之和为-110. 方法二：设Sn=An2+Bn 100A+10B=100 10000A+100B=10，解得A=-11/100，B=111/10，S110=-110
方法三:Sn=
n（a1 a n） n（a m a n m 1） . 2 2
方法四:数列S10,S20-S10,S30-S20,„,S100-S90,S110-S100成等差
等差数列求和及练习题(整理).doc
等差数列求和引例：计算 1+2+3+4++97+98+99+100一、有关概念 :像1、2、3、4、5、6、7、8、9、这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。
这个固定的数就叫做“公差”。
二、有关公式：和 =（首项 +末项）×项数÷ 2末项 =首项 +公差×（项数 -1）公差 =（末项 -首项）÷（项数 -1）项数 =（末项 -首项）÷公差 +1三、典型例题：例 1、聪明脑筋转转转：判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。
判断首项末项公差项数（1） 1、2、4、8、16、 32.（）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）练习1、填空：数列首项末项公差项数2、5、8、 11、140、4、8、 12、163、15、27、39、511、2、3、 4、5、、 48、49、 502、4、6、 8、、 96、 98、100例 2、已知等差数列 1,8,15, , 78.共 12 项，和是多少？（博易 P27例 2）（看 ppt,推出公式）例 3、计算 1+3+5+7++35+37+39练习 2：计算下列各题（1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7++95+97+99（2）3+15+27+39+51+63（4）2+4+6+8++96+98+100（3）已知一列数 4,6,8,10 ，，64，共有 31 个数，这个数列的和是多少？例 5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有 10 根，每向下一层增加一根，共堆了 10 层。
等差数列测试题含答案
等差数列测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．等差数列1＋x ，2x ＋2，5x ＋1，…的第四项等于( ) A ．10B ．6C ．8D ．122．在等差数列{}n a 中，若2810a a +=.，则()24652a a a +-=（ ） A ．100B ．90C ．95D ．203．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ ） A ．||n n b a =B ．2n n b a =C ．1n nb a =D ．2nn a b =-4．在等差数列{}n a 中，11a =，513a =，则数列{}n a 的前5项和为（ ） A ．13B ．16C ．32D ．355．在等差数列{}n a 中，若39717,9a a a +==，则5a =（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．在等差数列{}n a 中，124a a +=，7828a a +=，则数列的通项公式n a 为（ ） A ．2nB ．21nC ．21n -D ．22n +7．已知数列{}n a 是等差数列，71320a a +=，则91011a a a ++= ( ) A ．36B ．30C ．24D ．18．已知数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，若2022n a =，则n = （ ） A ．504B ．505C ．506D ．5079．已知数列{}n a 满足13n n a a +=-，127a =，*n ∈N ，则5a 的值为（ ） A ．12B ．15C ．39D ．4210．已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（ ） A ．18B ．30C ．36D ．4511．在等差数列{}n a 中，143,24a a ==，则7a = A ．32B ．45C ．64D ．9612．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若244,6a a ==，则d = （ ）A ．4B ．3C ．2D ．113．在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1014．在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A ．24B ．36C ．48D ．6015．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72B ．60C ．48D ．3616．已知数列{}n a 是等差数列，且66a =，108a =，则公差d =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．2二、填空题17．在数列{}n a 中，12a =，13n n a a +-=则数列{}n a 的通项公式为________________. 18．已知数列{}n a 中，12a =，25a =，212n n n a a a +++=，则100a =________ 19．在等差数列{}n a 中，47a =，2818a a +=，则公差d =__________．20．己知等差数列{}n a 满足：10a =，54a =，则公差d =______；24a a +=_______. 21．已知数列{}n a 对任意的,m n N +∈有mn m n a a a ++=，若12a =,则2019a =_______.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质求出x ，进而求出公差，得出答案. 【详解】解：由题意可得,(1＋x )＋(5x ＋1)＝2(2x ＋2) 解得x ＝1∴这个数列为2，4，6，8，… 故选C. 【点睛】本题考查了等差数列及等差中项的性质. 2．B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到28465210a a a a a +=+==. 【详解】数列{}n a 为等差数列，28465210a a a a a +=+==，∴()24652a a a +-=2101090-=.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题. 3．D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】数列{}n a 的前5项和为1555)(113)3522a a +=+=（. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】通过等差数列的性质可得答案. 【详解】因为3917a a +=，79a =，所以51798a =-=. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大. 6．C 【解析】 【分析】直接利用等差数列公式解方程组得到答案.【详解】121424a a a d +=⇒+= 7812821328a a a d +=⇒+= 1211,2n n a d a ==⇒-=故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型. 7．B 【解析】 【分析】通过等差中项的性质即可得到答案. 【详解】由于71310220a a a +==，故9101110330a a a a ++==，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度较小. 8．C 【解析】 【分析】本题首先可根据首项为2以及公差为4求出数列{}n a 的通项公式，然后根据2022n a =以及数列{}n a 的通项公式即可求出答案。
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等差数列计算题
等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）
递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）
② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1
由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，
分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路1) 1239899100++++++
11002993985051=
++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=
(思路2)这道题目，还可以这样理解：
23498991001009998973212101101101101101101101++++
+++=++++
+++=+++++++和=1+和倍和即，和
(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=
(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；
② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．
【例 1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴3456767778+++++++=
⑵13578799++++++=
例题精讲 知识点拨
⑶471013404346+++++++=
【巩固】 1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
【巩固】 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?
【巩固】 计算：110＋111＋112＋ (126)
【巩固】 计算下面结果．
⑴4812163236++++++
⑵656361531++++++
⑶34599100+++++
【巩固】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴3456767778+++++++=
⑵13578799++++++=
⑶471013404346+++++++=
【巩固】 计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200
【巩固】 聪明的小朋友们，PK 一下吧．
⑴4812163236++++++
⑵656361531++++++
【巩固】 巧算下题：
⑴500024698100-----
⑵1357199519971999+++++++
【巩固】 (123200720082007321)2008+++⋯++++⋯+++÷=
【巩固】
=÷++++++2008)2011201020092008200720062005(__________
【巩固】 计算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=
【例 2】 计算：
⑴1351997199924619961998++++++++++（）-（）
⑵40005101595100------
⑶99198297396495594693792891990+++++++++
【巩固】 计算246198419861988135198319851987++++++-++++++（）（）
【巩固】 计算：20072006200520042003200254321-+-+-++-+-+
【巩固】 计算：⑴ 2469698100135959799++++++-++++++（）（）
⑵ 13467910121366676970+++++++++++++；
⑶ 1000999998997996995106105104103102101+-++-+++-++-． ⑷ 616926993699946999956999996+++++
【巩固】 计算：13520092462008+++
+-++++（）（）
【巩固】计算：24620081352007
++++-++++
（）（）．
【巩固】计算：
200820072006200520042003200220014321 +--++--+++--．【巩固】计算：123456789979899
+-++-++-+++-．
【例 3】计算： 1.1 3.3 5.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19
+++++++++．
【例 4】计算
1231990 1990199019901990
+++=______
【巩固】⑴计算468103436
++++++
⑵以质数71做分母的最简真分数有123
,,......,
717171
6970
,;
7171
求这列数的和
⑶计算：
567891011 135791113 13131313131313 ++++++。