等差数列典型例题及分析 (学生用)

数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2ba +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式；[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

[例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ；[例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？[例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。

（02>n S ）§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-⋅-=--=⋅=)1(11)1()1(111q q qa a q q a q a n S n n n二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1可改写为nn q qa a ⋅=1.当q>0，且q ≠1时，y=q x 是一个指数函数，而xq qa y ⋅=1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数xq qa y ⋅=1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. [例3] 求和：a+a 2+a 3+…+a n.[例4]设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ，求证：c b a ,,成等比数列且公比为d 。

[例5]在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前7项之积。

[例6]求数列}21{n n ⨯前n 项和§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或解决； 2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, nm a a d n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m; mn m n a a q =-4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）； 8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：12122121log 2log log +++n n n S S S ＞。

[例2]求数列 ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和。

[例3]求数列,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 [例4]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(2+∈+=N n a S n n ，求数列{a n }的前n 项和。