完全平方公式标准
椭圆标准方程化简过程中的三个妙招
椭圆标准方程化简过程中的三个妙招椭圆是一个非常重要且有趣的数学概念，它在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
而在椭圆的研究中，标准方程的化简是一个非常重要的步骤，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关知识。
在进行椭圆标准方程的化简时，有一些妙招可以帮助我们更快地完成这一过程，让我们来一起看看。
1. 完全平方公式在化简椭圆的标准方程时，我们经常会遇到形如$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$的形式。
这时，我们可以利用完全平方公式来将方程化简为标准形式，即$(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1$。
具体步骤是，首先将方程中的常数项移到右边，得到$x^2 + y^2 + Ax + By = -C$。
我们需要补全平方，即加上一些项使得左边成为一个完全平方。
我们可以通过求得一个适当的常数来实现这一步骤。
我们需要将左边的方程除以一个常数，使得等号右边为1。
这样，我们就可以得到标准形式的椭圆方程。
2. 利用配方法化简在化简椭圆的标准方程时，我们经常会遇到形如$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$的形式。
这时，我们可以利用配方法将方程化简为标准形式。
具体步骤是，我们首先将$x^2 + Dx$和$y^2 + Ey$这两项分别配方，得到$(x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2$和$(y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2$。
我们将这两项的结果合并，得到$(x +\frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 -(\frac{E}{2})^2 + F = 0$。
我们将合并后的方程整理成标准形式，即$(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1$。
3. 利用配方和标准方程的关系当我们遇到形如$x^2 + y^2 + Ax + By = 0$的方程时，我们可以直接通过配方来将方程化简为标准形式。
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
THANKS
感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
国家公务员考试常用数学公式汇总
国家公务员考试常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）³（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b23. 同底数幂相乘: am³an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝；（2）an＝a1＋（n－1）³d；（3）n ＝＋1（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1²q n－1；（2）sn ＝（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；直角三角形的判定：（1）有一个角为90°；（2）边上的中线等于这条边长的一半；（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；2. 面积公式：正方形＝边长³边长；长方形＝长³宽；三角形＝³底³高；梯形＝；正方体＝6³边长³边长长方体＝2³（长³宽＋宽³高＋长³高）；圆柱体＝2πr2＋2πrh；3. 体积公式正方体＝边长³边长³边长；长方形＝长³宽³高；圆柱体＝底面积³高＝Sh＝πr2h4. 与圆有关的公式设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；线与圆的位置关系的性质和判定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：（1）直线与⊙O相交：d﹤r；（2）直线与⊙O相切：d＝r；（3）直线与⊙O相离：d﹥r；圆与圆的位置关系的性质和判定：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：（1）两圆外离：；（2）两圆外切：；（3）两圆相交：（）；（4）两圆内切：（）；（5）两圆内含：（）．圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926）；的圆心角所对的弧长的计算公式：＝；扇形的面积：（1）S扇＝πR2；（2）S扇＝R；若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr；圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h。
(2021年整理)平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（平方差公式与完全平方公式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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文案大全文案大全平方差公式与完全平方公式(a+b ）2 = a 2+2ab+b 2(a －b)2=a 2－2ab+b2（a+b ）(a －b ）=a 2－b 2应用1、平方差公式的应用：例1、利用平方差公式进行计算： （1）（5+6x)（5－6x ） （2）(x ＋2y ）（x －2y) （3）（－m ＋n)(－m －n ） 解:例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-）（2）（－m －n ）（m －n ）（3)(m ＋n ）（n －m)+3m 2（4)（x+y ）(x －y)（x 2－y 2) 解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平方公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2(2)（4x+5y ）2 （3)(y x 21-)2 （4)(－x －2y ）2（5）（－x+y 21)2解:例5、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2)1972 （3）199992－19998×20002解:文案大全试一试：计算:123456789×123456787－1234567882=_______________应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算： （1)(x+5）2－（x+2）（x －2） （2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）(b －a+1)（4）（a+b －c ）2解:例7、（1）若4ax x 412++是完全平方式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________例8、(1）已知：3a1a =+，则:__________a1a 22=+（2）已知:5a 1a =-，则：__________a1a 22=+ （3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______(4)已知:(a+b ）2=7,（a －b ）2=3，则:a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222----(2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
七年级数学下册知识讲义-9完全平方公式-苏科版
【考点精讲】1. 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
这两个等式是完全平方式，它们由左到右的变形是多项式的因式分解，我们可以运用这个公式对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做运用完全平方公式法。
2. 完全平方公式的特点：等式的左边是三项式，其中有两项同号，且能写成两数平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍；等式右边是这两数和（或差）的平方。
其中三项式可用口诀来记忆：首平方尾平方，二数乘积在中央。
【典例精析】例题1 把下列各式因式分解：（1）9x2＋12xy＋4y2；（2）4a2－36ab＋81b2；（3）25x4＋10x2＋1；（4）4（m＋n）2－28（m＋n）＋49。
思路导航：本例中的四个题目直接按完全平方公式分解因式即可，但一定要分清公式中的a，b，并适当地改写成公式的形式。
答案：（1）原式＝（3x）2＋2·3x·2y＋（2y）2＝（3x＋2y）2；（2）原式＝（2a）2－2·2a·9b＋（9b）2＝（2a－9b）2；（3）原式＝（5x2）2＋2·5x2·1＋12＝（5x2＋1）2；（4）原式＝[2（m＋n）]2－2·2（m＋n）·7＋72＝[2（m＋n）－7]2＝（2m＋2n－7）2。
点评：通过本例，我们知道运用完全平方公式法因式分解的步骤：一变（将三项式转化成“首平方尾平方，乘积2倍在中央”的形式）、二套（直接套用完全平方公式进行分解因式分解）。
另外，第（4）题要利用整体思想，即公式中的a相当于2（m＋n），并注意结果的化简。
例题2 （1）简便计算：20132－4026×2014＋20142；（2）已知实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋12c－61，求（a＋b－c）2014的值。
八年级15.3.2 完全平方公式(公开课)优质课件PPT
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
2021/02/01
7
学一学
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a −b)2 = a2 −2ab+b2 .
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 ； (2) (y-0.5x)2 ; (3) (-a−b)2 ; (4) (b-a)2
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
2021/02/01
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2号题：
填空题：
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
(4) (b-a)2= b2-2 •b •a+a2 =b2-2ab+a2
(-a−b)2=(a+b)2 (b−a)2=(a-b)2
2021/02/01
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随随堂堂练练习习
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
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ab
b2 ab
b
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b
用自己的语 语言表述: 言叙述上面 a−b (a−b)2 b(a−b) 两数和(差) 的平方 的公式 a 等于 这两数的平方和 ab b 加上 (减去) −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 . (a−b)2 = a2 这两数乘积的两倍.
随堂练习 随堂练习
2、运用完全平方公式计算：
(1) ( x − 2y)2 ；
1 2
(2) (2xy+ (3) (-2x+5)2
(4) (n
1 2 5x)
;
2− +1)
2. n
学一学
(2)
2 99
例2:运用完全平方公式计算:
(1)
2 102
解: (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404
2
2
a 2ab b
2
2
初 识 完全平方 公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
(a−b)2 = a2− 2ab+b2 .
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
a
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同。 首平方，尾平方，
积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
学一学
例题解析
(3) (mn−a)2
自己做
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2
(2). (a-b)2=a2-b2
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
你能用面 积的方法 得出上式 吗？
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
a² ab
(a-b)²
( a b) a ab ab b
2
a b
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)· [(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。 (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
(2) 992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?
本节课你的收获是什么？
注意完项， 2 2 2 结果不同： 即 (a b) ＝a 2ab+b ; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键
初二数学组
复习: 1.叙述平方差公式的内容并用字母表示.
2.用简便方法计算 （1）103×97
（2）99 × 101
1.叙述平方差公式的内容并用字母表示. 两个数的和与这两个数的差的积,
等于这两个数的平方差. 公式表示: (a+b) (a-b)=a2 –b2 2.（1）103× 97=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991 （2） 99 ×101=(100-1)(100+1) =1002-12 =9999
形式不同．
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b. 做题时要边念边写： 第一数 的平方,
2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
目标导航
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平公式的几何理解.
计算:
(1) (a+b)2 (2) (a-b)2
解: (1) (a+b)2 = (a+b) (a+b)
= a2 +ab+ab+b2 = a2 +2ab +b2 (2) (a-b)2 =(a-b) (a+b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2